Strona główna › Równania i nierówności › Nierówności kwadratowe

Nierówności kwadratowe

Q: Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę z ramionami zgodnymi ze znakiem współczynnika a i odczytać przedziały, w których wykres leży po żądanej stronie osi. Odpowiedzią jest zbiór, a nie liczba.

Q: Kiedy nawias jest okrągły, a kiedy kwadratowy?

Przy znakach ostrych (>, <) okrągły, bo miejsca zerowe nie należą do zbioru. Przy nieostrych (≥, ≤) kwadratowy, bo wtedy zero spełnia warunek. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Q: Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Parabola nie przecina osi, więc trójmian ma stały znak — zgodny ze znakiem współczynnika a. Przy a>0 nierówność ze znakiem > spełnia całe R, a ze znakiem < nie ma rozwiązań.

Q: Dlaczego przy ramionach w górę rozwiązaniem są dwa przedziały?

Bo parabola z ramionami w górę leży nad osią po obu stronach miejsc zerowych, a pod osią tylko między nimi. Nierówność >0 obejmuje więc dwa rozłączne kawałki, zapisywane jako suma przedziałów.

Nierówność kwadratowa wygląda jak równanie ze zmienionym znakiem, ale rozwiązuje się ją zupełnie inaczej: nie rachunkiem, tylko rysunkiem. Pytanie nie brzmi „ile wynosi $x$ ”, lecz „dla których $x$ wykres leży nad osią”. Kiedy raz zobaczysz to jako pytanie o znak, cała metoda sprowadza się do naszkicowania paraboli i odczytania odpowiedzi.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Nierówność to pytanie o znak

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum (wersja od 2025), dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 4: „rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe”.

Równania i nierówności stoją w tym samym punkcie, ale metoda jest inna — i to właśnie ta różnica sprawia najwięcej trudności.

Nierówność kwadratowa to nierówność, którą da się zapisać w jednej z postaci:

ax^2+bx+c > 0, \quad ax^2+bx+c \geq 0, \quad ax^2+bx+c < 0, \quad ax^2+bx+c \leq 0

przy czym $a \neq 0$ . Wyrażenie $ax^2+bx+c$ nazywa się trójmianem kwadratowym.

Kluczowa zmiana perspektywy: równanie pyta, gdzie trójmian równa się zeru — czyli gdzie parabola przecina oś. Nierówność pyta, gdzie trójmian jest dodatni albo ujemny — czyli gdzie parabola leży nad osią albo pod nią.

zapis	pytanie	co odczytujesz z wykresu
$ax^2+bx+c > 0$	gdzie trójmian dodatni	gdzie parabola jest nad osią $OX$
$ax^2+bx+c < 0$	gdzie trójmian ujemny	gdzie parabola jest pod osią $OX$
$ax^2+bx+c = 0$	gdzie trójmian zerowy	gdzie parabola przecina oś

Dlatego odpowiedzią nie jest liczba, tylko zbiór — zwykle przedział albo suma dwóch przedziałów.

Miejsca zerowe są przy tym niezbędne, bo to jedyne punkty, w których trójmian może zmienić znak. Między nimi znak jest stały, więc wystarczy je znaleźć, żeby wiedzieć, gdzie przebiega granica.

Schemat z miejscami zerowymi i szkicem wraca później przy wielomianach i przy module — wszystkie typy nierówności zebrałem w jednym miejscu.

2Metoda w czterech krokach

Sposób jest zawsze ten sam, niezależnie od znaku nierówności.

Uporządkuj nierówność do postaci z zerem po prawej stronie.
Znajdź miejsca zerowe trójmianu — tak jak przy równaniu kwadratowym, przez deltę albo rozkład na czynniki.
Naszkicuj parabolę: zaznacz miejsca zerowe i skieruj ramiona zgodnie ze znakiem $a$ .
Odczytaj przedziały, w których wykres jest po żądanej stronie osi.

Szkic nie musi być dokładny. Nie liczy się wierzchołek ani skala — wystarczy, żeby było widać, gdzie wykres przecina oś i w którą stronę idą ramiona.

Weźmy $x^2 - 5x + 6 > 0$ . Miejsca zerowe to $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ (bo $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 6$ i $\textcolor{#16A06A}{2}+\textcolor{#16A06A}{3} = 5$ ). Współczynnik $a = 1 > 0$ , więc ramiona w górę.

Parabola z ramionami w górę leży nad osią po bokach, a pod osią między miejscami zerowymi. Skoro szukamy wartości dodatnich:

x \in (-\infty, \textcolor{#16A06A}{2}) \cup (\textcolor{#16A06A}{3}, +\infty)

Reguła, którą warto zapamiętać obrazem

Przy ramionach w górę ( $a>0$ ): na zewnątrz dodatnie, w środku ujemne.

Przy ramionach w dół ( $a<0$ ): odwrotnie — w środku dodatnie, na zewnątrz ujemne.

Stąd wygodny skrót — gdy $Delta > 0$ , czyli gdy są dwa miejsca zerowe: „ $a$ dodatnie, znak $>$ → dwa przedziały; $a$ dodatnie, znak $<$ → jeden przedział w środku”.

Ta sama nierówność ze znakiem $<$ dałaby odpowiedź $x \in (\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{3})$ — czyli sam środek. Miejsca zerowe są te same, zmienia się tylko to, którą część bierzemy.

3Nawias otwarty czy domknięty

To drugie miejsce, w którym najczęściej giną punkty — a reguła jest krótka.

znak nierówności	czy miejsca zerowe należą	nawias
$>$ oraz $<$ (ostre)	nie	okrągły: $(2, 3)$
$\geq$ oraz $\leq$ (nieostre)	tak	kwadratowy: $\langle 2, 3 \rangle$

Powód jest prosty: w miejscach zerowych trójmian równa się zeru. Przy znaku ostrym zero nie spełnia warunku, przy nieostrym — spełnia.

Przy nieskończonościach nawias jest zawsze okrągły: zapis $(-\infty, 2\rangle$ jest poprawny, ale $\langle-\infty$ już nie, bo nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.

Dla $x^2-5x+6 \leq 0$ odpowiedź to $x \in \langle \textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{3} \rangle$ — ten sam przedział co przy znaku $<$ , ale z końcami.

Kontrola przez podstawienie

Wybierz liczbę z wnętrza przedziału i podstaw do nierówności. Dla $x \in (2,3)$ weź $x = 2{,}5$ : $2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 6 = 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ , czyli wartość ujemna ✓

Potem sprawdź liczbę spoza przedziału, na przykład $x = 0$ : $0 - 0 + 6 = \textcolor{#2F80D8}{6}$ , czyli dodatnia ✓

Dwa podstawienia rozstrzygają, czy wybrano właściwą część — i zajmują kilkanaście sekund.

4Gdy delta nie jest dodatnia

Te przypadki wyglądają na trudniejsze, a są łatwiejsze — bo parabola w ogóle nie przechodzi na drugą stronę osi.

$\Delta$	położenie paraboli ( $a>0$ )	$>0$	$<0$
$\Delta < 0$	cała nad osią	wszystkie liczby: $\mathbb{R}$	zbiór pusty
$\Delta = 0$	dotyka osi w jednym punkcie $x_0$	$\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$	zbiór pusty

Przykład z deltą ujemną. Dla $x^2+2x+5 > 0$ mamy $\Delta = 4 - 20 = \textcolor{#16A06A}{-16}$ , więc miejsc zerowych nie ma, a ramiona idą w górę — cała parabola leży nad osią. Nierówność spełnia każda liczba rzeczywista.

Ta sama nierówność ze znakiem $<$ nie ma rozwiązań: skoro wykres nigdzie nie schodzi pod oś, nie ma takich $x$ , dla których trójmian byłby ujemny.

Przykład z deltą zerową. Dla $x^2-6x+9 > 0$ mamy $\Delta = \textcolor{#16A06A}{0}$ i jedno miejsce zerowe $x = \textcolor{#E0453A}{3}$ . Parabola dotyka osi w tym jednym punkcie, a wszędzie indziej jest nad nią — więc rozwiązaniem są wszystkie liczby oprócz trójki.

Przy znaku nieostrym $\geq$ ta sama nierówność ma za rozwiązanie całe $\mathbb{R}$ , bo w punkcie $\textcolor{#E0453A}{3}$ trójmian równa się zeru, a zero spełnia warunek „większe lub równe”.

Skrót, który warto znać

Delta zerowa oznacza, że trójmian jest pełnym kwadratem: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$ .

A kwadrat jest zawsze nieujemny — stąd od razu wiadomo, że $(x-3)^2 \geq 0$ zachodzi dla każdego $x$ , a $(x-3)^2 > 0$ dla wszystkich poza $x=3$ .

Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia pozwala pominąć całą deltę.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dwa przedziały, przedział domknięty i delta ujemna.

Przykład 1 Nierówność ostra, dwa przedziały

Rozwiąż nierówność $x^2 - x - 6 > 0$ .

Nierówność jest już uporządkowana. Współczynniki: $a=\textcolor{#16A06A}{1}$ , $b=\textcolor{#16A06A}{-1}$ , $c=\textcolor{#16A06A}{-6}$ .
Szukam miejsc zerowych: $\Delta = \textcolor{#16A06A}{(-1)}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{(-6)} = 1 + 24 = \textcolor{#E0453A}{25}$ .
$\sqrt{\textcolor{#E0453A}{25}} = 5$ , więc $x_1 = \frac{1-5}{2} = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ , a $x_2 = \frac{1+5}{2} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
$a = \textcolor{#16A06A}{1} > 0$ , więc ramiona w górę — trójmian jest dodatni na zewnątrz miejsc zerowych.
Znak jest ostry, więc końce nie należą: $x \in (-\infty, \textcolor{#2F80D8}{-2}) \cup (\textcolor{#2F80D8}{3}, +\infty)$ .
Kontrola wewnątrz: dla $x=0$ mamy $0-0-6 = \textcolor{#8B5CF6}{-6} < 0$ ✓ — środek rzeczywiście odpada.
Kontrola na zewnątrz: dla $x=4$ mamy $16-4-6 = \textcolor{#E0453A}{6} > 0$ ✓
Kontrola drugiej strony: dla $x=-3$ mamy $9+3-6 = \textcolor{#E0453A}{6} > 0$ ✓

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$ .

Trzy podstawienia — po jednym w każdym z trzech obszarów — potwierdzają wynik pewniej niż ponowne liczenie delty. Warto je robić zawsze, bo są tanie.

Przykład 2 Nierówność nieostra, przedział domknięty

Rozwiąż nierówność $2x^2 - 7x + 3 \leq 0$ .

Współczynniki: $a=\textcolor{#16A06A}{2}$ , $b=\textcolor{#16A06A}{-7}$ , $c=\textcolor{#16A06A}{3}$ .
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{(-7)}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 49 - 24 = \textcolor{#E0453A}{25}$
$x_1 = \frac{7-5}{4} = \textcolor{#2F80D8}{0{,}5}$ , $x_2 = \frac{7+5}{4} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
$a = \textcolor{#16A06A}{2} > 0$ , więc ramiona w górę — trójmian jest ujemny w środku, między miejscami zerowymi.
Znak jest nieostry, więc końce należą do zbioru: $x \in \langle \textcolor{#2F80D8}{0{,}5}, \textcolor{#2F80D8}{3} \rangle$ .
Kontrola wewnątrz: dla $x=1$ mamy $2-7+3 = \textcolor{#8B5CF6}{-2} \leq 0$ ✓
Kontrola końca: dla $x=\textcolor{#2F80D8}{3}$ mamy $18-21+3 = \textcolor{#E0453A}{0}$ , a zero spełnia $\leq$ ✓
Kontrola na zewnątrz: dla $x=0$ mamy $0-0+3 = 3 > 0$ ✓ — nie należy

Odpowiedź: $x \in \langle 0{,}5, 3 \rangle$ .

Sprawdzenie samego końca przedziału to najlepsza kontrola przy znaku nieostrym — jeśli w tym punkcie wychodzi zero, nawias musi być kwadratowy.

Przykład 3 Delta ujemna — odpowiedź bez liczenia

Rozwiąż nierówności $x^2+2x+5 > 0$ oraz $x^2+2x+5 < 0$ .

$\Delta = \textcolor{#16A06A}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 - 20 = \textcolor{#E0453A}{-16}$
Delta ujemna, więc miejsc zerowych nie ma — parabola nie dotyka osi.
$a = \textcolor{#16A06A}{1} > 0$ , więc ramiona w górę, a skoro wykres nie przecina osi, leży w całości nad nią.
Pierwsza nierówność: trójmian jest wszędzie dodatni, więc rozwiązaniem jest $\textcolor{#2F80D8}{\mathbb{R}}$ .
Druga nierówność: trójmian nigdzie nie jest ujemny, więc zbiór rozwiązań jest pusty.
Kontrola przez postać kanoniczną: $x^2+2x+5 = (x+1)^2 + \textcolor{#E0453A}{4}$ , a kwadrat jest nieujemny, więc całość jest zawsze co najmniej $4$ ✓
Kontrola liczbowa: dla $x=-1$ (wierzchołek) wychodzi $1-2+5 = \textcolor{#E0453A}{4}$ — najmniejsza możliwa wartość, wciąż dodatnia ✓

Odpowiedź: Pierwsza: $x \in \mathbb{R}$ . Druga: zbiór pusty.

Przy ujemnej delcie odpowiedź zależy wyłącznie od znaku $a$ i kierunku nierówności — nie trzeba nic liczyć. Kontrola przez postać kanoniczną pokazuje przy okazji, o ile wykres leży nad osią.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy wynika z traktowania nierówności jak równania.

Podawanie liczb zamiast zbioru

Skąd się bierze: Po policzeniu miejsc zerowych kusi, żeby zapisać je jako odpowiedź. Ale $x=2$ i $x=3$ to rozwiązania równania, a nierówność pyta o całe przedziały — punkty są tylko ich granicami.

Jak zrobić dobrze: Traktuj miejsca zerowe jako etap pośredni, a nie wynik. Odpowiedź nierówności zawsze ma postać przedziału, sumy przedziałów, $\mathbb{R}$ albo zbioru pustego.

Mylenie nawiasu przy znaku nieostrym

Skąd się bierze: Przy $\leq$ i $\geq$ miejsca zerowe należą do zbioru, bo zero spełnia taki warunek. Zapisanie nawiasu okrągłego gubi dwa punkty, co bywa liczone jako błąd nawet przy poprawnej metodzie.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj: kreska pod znakiem nierówności to kreska w nawiasie. Kontrola: podstaw sam koniec przedziału — jeśli wyjdzie zero, nawias ma być kwadratowy.

Wybieranie złej części przy ujemnym $a$

Skąd się bierze: Reguła „na zewnątrz dodatnie” obowiązuje tylko dla ramion w górę. Przy $a<0$ parabola jest odwrócona i wszystko się zamienia — pominięcie tego daje odpowiedź dokładnie odwrotną do poprawnej.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zaczynaj od znaku $a$ i szkicuj ramiona, zanim odczytasz przedziały. Kontrola przez podstawienie jednej liczby ze środka wychwyci odwrócenie natychmiast.

Uznanie, że brak miejsc zerowych oznacza brak rozwiązań

Skąd się bierze: Ujemna delta znaczy tylko tyle, że parabola nie przecina osi — ale nadal leży po jednej jej stronie. Dla $x^2+2x+5>0$ rozwiązaniem jest całe $\mathbb{R}$ , a nie zbiór pusty.

Jak zrobić dobrze: Przy ujemnej delcie sprawdź znak $a$ i kierunek nierówności. Ramiona w górę oznaczają trójmian zawsze dodatni, więc znak $>$ daje $\mathbb{R}$ , a znak $<$ zbiór pusty.

7Pytania i odpowiedzi

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę z ramionami zgodnymi ze znakiem współczynnika $a$ i odczytać przedziały, w których wykres leży po żądanej stronie osi. Odpowiedzią jest zbiór, a nie liczba.

Kiedy nawias jest okrągły, a kiedy kwadratowy?

Przy znakach ostrych ( $>$ , $<$ ) okrągły, bo miejsca zerowe nie należą do zbioru. Przy nieostrych ( $\geq$ , $\leq$ ) kwadratowy, bo wtedy zero spełnia warunek. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Parabola nie przecina osi, więc trójmian ma stały znak — zgodny ze znakiem współczynnika $a$ . Przy $a>0$ nierówność ze znakiem $>$ spełnia całe $\mathbb{R}$ , a ze znakiem $<$ nie ma rozwiązań.

Dlaczego przy ramionach w górę rozwiązaniem są dwa przedziały?

Bo parabola z ramionami w górę leży nad osią po obu stronach miejsc zerowych, a pod osią tylko między nimi. Nierówność $>0$ obejmuje więc dwa rozłączne kawałki, zapisywane jako suma przedziałów.

Czy trzeba dokładnie rysować parabolę?

Nie. Wystarczy szkic pokazujący miejsca zerowe i kierunek ramion — wierzchołek ani skala nie mają znaczenia. Rysunek służy tylko do odczytania, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią.

Jak sprawdzić, czy zbiór rozwiązań jest poprawny?

Podstawić po jednej liczbie z każdego obszaru — ze środka i z zewnątrz. Jeśli znaki wychodzą zgodnie z oczekiwaniem, wybrano właściwe przedziały. Przy znaku nieostrym warto sprawdzić też sam koniec.

Czytaj dalej

Równania kwadratoweDelta i wzory na miejsca zerowe Funkcja kwadratowaParabola, ramiona i położenie względem osi Wzory skróconego mnożeniaPełny kwadrat jako skrót przy delcie zerowej Układ współrzędnychOdczytywanie położenia wykresu względem osi Wartość bezwzględnaInny typ nierówności rozwiązywany podobnym sposobem Nierówności wymiernePrzy nierówności z niewiadomą w mianowniku nie wolno mnożyć przez mianownik.…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.