Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Trygonometria

Trygonometria — sprawdzian, kartkówki i test (2 liceum)

Czwarty dział klasy 2: sinus, cosinus i tangens kąta ostrego, funkcje kąta wypukłego, tożsamości i pola figur z trygonometrią. Na tej stronie: 2 sprawdziany, 3 kartkówki, 1 test, 3 karty pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 2 liceum / technikumDział w podręczniku: 4. TrygonometriaPliki: 45 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego — pierwsza strona, grupa A

Sprawdzian: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

  • Funkcje z boków trójkąta, bok z wartości funkcji, kąty 30, 45 i 60 stopni
  • 4 zadania · 4 pkt · 20 minut · grupy A i B
  • wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz
Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z trygonometrii

Sprawdzian

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Funkcje z boków trójkąta, bok z wartości funkcji, kąty 30, 45 i 60 stopni

4 zadania · 4 pkt · 20 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Tożsamości trygonometryczne

Jedynka trygonometryczna, jedna funkcja z drugiej, kąty dopełniające

5 zadań · 5 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z trygonometrii

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Trygonometria kąta ostrego

sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym, kąty 30°, 45°, 60°

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Trygonometria kąta wypukłego

kąty rozwarte, znaki funkcji, punkt na ramieniu kąta

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Pola trójkątów i czworokątów

pole trójkąta z sinusem kąta, romb, trapez, równoległobok

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Trygonometria

kąt ostry i kąt wypukły, wartości 30°, 45°, 60°, tożsamości

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z trygonometrii — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

  1. Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=1237\displaystyle \sin\alpha=\frac{12}{37}. Ile wynosi cos⁡α\cos\alpha?

    Rozwiązanie

    cos⁡2α=1−1441369=12251369\displaystyle \cos^{2}\alpha=1-\frac{144}{1369}=\frac{1225}{1369}, kąt ostry, więc cos⁡α=3537\displaystyle \cos\alpha=\frac{35}{37}. (1235\displaystyle \frac{12}{35} — to tg⁡α\operatorname{tg}\alpha; 2537=1−1237\displaystyle \frac{25}{37}=1-\frac{12}{37} — odjęte bez kwadratów.)

  2. Kąt α\alpha jest ostry i cos⁡α=1161\displaystyle \cos\alpha=\frac{11}{61}. Ile wynosi tg⁡α\operatorname{tg}\alpha?

    Rozwiązanie

    sin⁡α=1−1213721=6061\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{1-\frac{121}{3721}}=\frac{60}{61}, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=6011\displaystyle \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{60}{11}. (1160\displaystyle \frac{11}{60} — odwrócony iloraz; 6061\displaystyle \frac{60}{61} — to sin⁡α\sin\alpha.)

  3. Ile wynosi tg⁡30∘⋅cos⁡30∘\operatorname{tg}30^\circ\cdot\cos30^\circ?

    Rozwiązanie

    33⋅32=36=12\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} (to sin⁡30∘\sin30^\circ). (36\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6} — przyjęte 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}.)

  4. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 1212 i 3535. Ile wynosi tangens kąta leżącego naprzeciw krótszej przyprostokątnej?

    Rozwiązanie

    Tangens to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przyprostokątną przy kącie: 1235\displaystyle \frac{12}{35}. (3512\displaystyle \frac{35}{12} — tangens drugiego kąta; 1237\displaystyle \frac{12}{37} — sinus, bo przeciwprostokątna to 144+1225=37\displaystyle \sqrt{144+1225}=37.)

  5. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 88, a jeden z jego kątów ostrych α=60∘\alpha=60^\circ. Jaką długość ma przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α\alpha?

    Rozwiązanie

    a=8⋅sin⁡60∘=8⋅32=43\displaystyle a=8\cdot\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}. (4=8⋅cos⁡60∘4=8\cdot\cos60^\circ — przyprostokątna przy kącie 60∘60^\circ; 16=8cos⁡60∘\displaystyle 16=\frac{8}{\cos60^\circ}.)

  6. Ile wynosi cos⁡150∘\cos150^\circ?

    Rozwiązanie

    cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘=−32\displaystyle \cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2} (cosinus w II ćwiartce jest ujemny). (32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} — zły znak; 12\displaystyle \frac{1}{2} — to sin⁡150∘\sin150^\circ.)

  7. Punkt P=(−12,35)P=(-12,35) leży na końcowym ramieniu kąta α\alpha, którego ramię początkowe to dodatnia półoś OxOx. Ile wynosi tg⁡α\operatorname{tg}\alpha?

    Rozwiązanie

    tg⁡α=yx=35−12=−3512\displaystyle \operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}=\frac{35}{-12}=-\frac{35}{12}. (−1235\displaystyle -\frac{12}{35} — odwrócony iloraz; 3537\displaystyle \frac{35}{37} — to sin⁡α\sin\alpha, a −1237\displaystyle -\frac{12}{37} — cos⁡α\cos\alpha, bo r=144+1225=37\displaystyle r=\sqrt{144+1225}=37.)

  8. Kąt α\alpha jest rozwarty i cos⁡α=−1161\displaystyle \cos\alpha=-\frac{11}{61}. Ile wynosi sin⁡α\sin\alpha?

    Rozwiązanie

    sin⁡2α=1−1213721=36003721\displaystyle \sin^{2}\alpha=1-\frac{121}{3721}=\frac{3600}{3721}, w II ćwiartce sinus jest dodatni: 6061\displaystyle \frac{60}{61}. (−6061\displaystyle -\frac{60}{61} — zły znak; −6011\displaystyle -\frac{60}{11} — to tg⁡α\operatorname{tg}\alpha.)

  9. Któremu wyrażeniu jest równe (sin⁡α+cos⁡α)2−2sin⁡αcos⁡α(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-2\sin\alpha\cos\alpha dla każdego kąta ostrego α\alpha?

    Rozwiązanie

    (sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha; po odjęciu zostaje sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1.

  10. Ile wynosi sin⁡271∘+cos⁡271∘−2tg⁡45∘\sin^{2}71^\circ+\cos^{2}71^\circ-2\operatorname{tg}45^\circ?

    Rozwiązanie

    sin⁡271∘+cos⁡271∘=1\sin^{2}71^\circ+\cos^{2}71^\circ=1, tg⁡45∘=1\operatorname{tg}45^\circ=1, więc 1−2=−11-2=-1. (33 — przyjęte tg⁡45∘=−1\operatorname{tg}45^\circ=-1.)

5Karty pracy z trygonometrii

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Trygonometria kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, wartości z tablic, związki między funkcjami

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

Kąt w układzie współrzędnych, wartości dla kątów rozwartych, wzory redukcyjne, związki między funkcjami

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Pola trójkątów i czworokątów

Pole z przekątnych, trapez, prostokąt, wzór Herona, czworokąt o prostopadłych przekątnych

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Trygonometriateoria z przykładami Funkcje trygonometryczne kąta ostregoteoria z przykładami Jedynka trygonometrycznateoria z przykładami Funkcje kąta ostrego na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Tożsamości trygonometryczne na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 2 liceum:

Funkcja kwadratowa2 sprawdziany · 5 kartkówek · 1 test · 5 kart pracy Wielomiany1 sprawdzian · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy Funkcje wymierne1 sprawdzian · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Geometria płaska — okręgi, pola, twierdzenie cosinusów2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 2 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z trygonometrii?

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego: Funkcje z boków trójkąta, bok z wartości funkcji, kąty 30, 45 i 60 stopni. Tożsamości trygonometryczne: Jedynka trygonometryczna, jedna funkcja z drugiej, kąty dopełniające.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 2 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 4. Trygonometria, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego”: 4 zadania, 4 pkt, 20 minut; Sprawdzian „Tożsamości trygonometryczne”: 5 zadań, 5 pkt, 25 minut; Kartkówka „Trygonometria kąta ostrego”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Trygonometria kąta wypukłego”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Pola trójkątów i czworokątów”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Trygonometria”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27