Jak zapamiętać wartości dla 30°, 45° i 60°?

Nie trzeba ich pamiętać — wychodzą z dwóch trójkątów. Połówka trójkąta równobocznego o bokach 1 : √3 : 2 daje wiersze 30° i 60°, a połówka kwadratu o bokach 1 : 1 : √2 daje wiersz 45°.

Ile wynosi sin 30°, cos 30° i tg 30°?

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0,866, tg 30° = √3/3 ≈ 0,577. Wynikają z trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°, którego boki mają się jak 1 : √3 : 2.

Strona główna › Trygonometria

Trygonometria — sinus, cosinus i tangens

Q: Co to jest sinus, cosinus i tangens?

To stosunki boków w trójkącie prostokątnym. Sinus to przeciwległa przez przeciwprostokątną, cosinus przyległa przez przeciwprostokątną, a tangens przeciwległa przez przyległą. Każdy zależy wyłącznie od kąta, a nie od wielkości trójkąta.

Q: Dlaczego stosunek boków zależy tylko od kąta?

Bo trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne — mają po dwa równe kąty. A w figurach podobnych odpowiadające boki są proporcjonalne, więc ich ilorazy wychodzą identyczne niezależnie od rozmiaru.

Q: Skąd bierze się jedynka trygonometryczna?

Z twierdzenia Pitagorasa. Podstawiając sin α = a/c i cos α = b/c, po podniesieniu do kwadratu i dodaniu otrzymujemy (a² + b²)/c², a licznik równa się c² — więc całość daje jeden.

Q: Czy sinus może być większy od jedynki?

Nie. Dla kąta ostrego sinus jest ilorazem przyprostokątnej przez przeciwprostokątną, czyli boku krótszego przez najdłuższy. Wartość większa od 1 zawsze oznacza pomyłkę w doborze boków.

Q: Czy cotangens jest w podstawie programowej?

Nie. Podstawa dla liceum wymienia w dziale o trygonometrii wyłącznie sinus, cosinus i tangens. Cotangens bywa omawiany w podręcznikach jako odwrotność tangensa, ale do matury podstawowej nie jest wymagany.

Q: Czym różni się sinusoida od cosinusoidy?

Tylko przesunięciem. Obie to ta sama fala o wartościach od −1 do 1 i okresie 360° (2π), ale cosinusoida jest przesunięta o 90° w lewo: cos x = sin (x + 90°). Sinusoida przechodzi przez punkt (0, 0), cosinusoida przez (0, 1).

Q: Jak obliczyć sinus kąta?

W trójkącie prostokątnym podziel długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta przez długość przeciwprostokątnej. Dla 30°, 45° i 60° warto znać wartości dokładne (1/2, √2/2, √3/2); dla innych kątów użyj tablic albo kalkulatora.

Trygonometria zaczyna się od jednej obserwacji: w trójkącie prostokątnym o danym kącie ostrym stosunki boków są zawsze takie same, niezależnie od wielkości trójkąta. Mały trójkąt i wielki, byle o tym samym kącie, dają identyczne ilorazy. Te stałe stosunki dostały nazwy — sinus, cosinus i tangens — i na nich stoi cała reszta działu, od wysokości drzewa po twierdzenie cosinusów.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres podstawowy

Krótko: w trójkącie prostokątnym z kątem ostrym $\alpha{}$ : $\boldsymbol{\sin \alpha{} = a : c}$ (przeciwległa przez przeciwprostokątną), $\boldsymbol{\cos \alpha{} = b : c}$ (przyległa przez przeciwprostokątną), $\boldsymbol{\operatorname{tg} \alpha{} = a : b}$ (przeciwległa przez przyległą). Najważniejsze wartości: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$ , $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ .

Kalkulator sinusa, cosinusa i tangensa

Dla wielokrotności $30^\circ$ i $45^\circ$ kalkulator podaje wartość dokładną (z pierwiastkiem) — taką, jakiej oczekuje się na maturze.

1Skąd się to bierze — stosunek, który się nie zmienia

Weź dwa trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym, powiedzmy $30°$ . Jeden mały, drugi duży. Z cechy podobieństwa kąt-kąt są podobne, bo mają po dwa równe kąty: prosty i ten $30°$ .

A skoro są podobne, to ich odpowiadające boki są proporcjonalne. Stosunek dwóch wybranych boków wychodzi więc w obu trójkątach taki sam — mimo że same długości są zupełnie inne.

To jest cała idea trygonometrii

Stosunek boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od rozmiaru figury.

Można więc raz policzyć ten stosunek dla każdego kąta, zapisać w tabeli — i odtąd używać go zamiast mierzenia.

Dlatego trygonometria pozwala liczyć to, czego nie da się zmierzyć: wysokość drzewa, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu. Wystarczy zmierzyć jeden kąt i jeden bok, a resztę policzyć.

Trygonometria łączy geometrię z funkcjami i bez obu tych działów jest nie do ugryzienia. Zobacz wszystkie działy matematyki w jednym miejscu.

2Trzy funkcje kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym boki mają nazwy zależne od tego, który kąt ostry rozważamy. Przy kącie $\alpha$ :

przeciwprostokątna — bok naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy,
przyprostokątna leżąca naprzeciw $\alpha$ — nazywana krótko „przeciwległą”,
przyprostokątna przy $\alpha$ — nazywana „przyległą”.

Trzy funkcje to trzy różne pary tych boków:

funkcja	definicja	zapis
sinus	przeciwległa przez przeciwprostokątną	$\sin\alpha = \frac{a}{c}$
cosinus	przyległa przez przeciwprostokątną	$\cos\alpha = \frac{b}{c}$
tangens	przeciwległa przez przyległą	$\tg\alpha = \frac{a}{b}$

Rysunek 1. Nazwy boków zależą od kąta, który rozważasz. Przy kącie

\alpha{}

: a leży naprzeciw, b przy nim, c naprzeciw kąta prostego. Dla drugiego kąta ostrego a i b zamieniają się rolami — dlatego

\sin \alpha{} = \cos (90^\circ - \alpha{})

Oznaczenia: $a$ to przyprostokątna naprzeciw $\alpha$ , $b$ przy $\alpha$ , a $c$ przeciwprostokątna.

Warto od razu zauważyć dwie rzeczy. Sinus i cosinus kąta ostrego są zawsze mniejsze od jedynki, bo przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem — dzielimy więc coś krótszego przez coś dłuższego. Tangens takiego ograniczenia nie ma i może być dowolnie duży.

Druga: tangens da się wyrazić przez dwa pozostałe, bo przeciwprostokątna skraca się w ilorazie:

\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b} = \tg\alpha

Czego w podstawie programowej nie ma

Podstawa dla liceum, dział VII. Trygonometria, zakres podstawowy, wymienia wyłącznie sinus, cosinus i tangens. Cotangensa tam nie ma — mimo że bywa omawiany w podręcznikach.

Jeśli spotkasz zapis $\ctg\alpha$ , to po prostu odwrotność tangensa: $\ctg\alpha = \frac{b}{a}$ . Do matury podstawowej nie jest potrzebny.

3Wartości dla 30°, 45° i 60° — nie do kucia

Trzy kąty trzeba znać na pamięć, ale nie trzeba ich zapamiętywać — wychodzą z dwóch trójkątów, które już znasz.

$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tg\alpha$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt3}{3}$
$45°$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt3$

Skąd wiersze $30°$ i $60°$ . Weź trójkąt o kątach $30°$ , $60°$ , $90°$ , czyli połówkę trójkąta równobocznego. Jego boki mają się jak $1 : \sqrt3 : 2$ .

Dla kąta $\textcolor{#16A06A}{30°}$ przeciwległa to $\textcolor{#16A06A}{1}$ , a przeciwprostokątna $\textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $\sin \textcolor{#16A06A}{30°} = \frac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}}$ . Przyległa to $\sqrt3$ , więc $\cos \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#E0453A}{\frac{\sqrt3}{2}}$ .

Skąd wiersz $45°$ . Weź połówkę kwadratu — trójkąt o kątach $45°$ , $45°$ , $90°$ i bokach $1 : 1 : \sqrt2$ . Obie przyprostokątne są równe, więc sinus i cosinus muszą wyjść identyczne, a tangens równy $\textcolor{#E0453A}{1}$ .

Dwie kontrole, które warto znać

Sinus rośnie, cosinus maleje. Patrząc na tabelę od góry: sinus idzie $\frac12 \to \frac{\sqrt2}{2} \to \frac{\sqrt3}{2}$ , a cosinus dokładnie odwrotnie. Jeśli wypisujesz z pamięci i wyjdzie inaczej — pomyliłeś wiersze.

Kąty dopełniające się do $90°$ zamieniają sinus z cosinusem: $\sin 30° = \cos 60°$ i $\sin 60° = \cos 30°$ . Bo w tym samym trójkącie przeciwległa jednego kąta jest przyległą drugiego.

4Kąty rozwarte — rozszerzenie definicji

Definicja przez trójkąt prostokątny działa tylko dla kątów ostrych — w trójkącie nie ma kąta $120°$ obok kąta prostego. A jednak twierdzenie cosinusów wymaga wartości dla kątów rozwartych.

Podstawa programowa rozszerza więc definicje na przedział od $0°$ do $180°$ , i robi to tak, żeby zachować dotychczasowe własności:

własność	wzór	co z tego wynika
sinus	$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$	sinus kąta rozwartego jest dodatni
cosinus	$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$	cosinus kąta rozwartego jest ujemny

Stąd $\sin \textcolor{#16A06A}{150°} = \sin \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}}$ , ale $\cos \textcolor{#16A06A}{150°} = -\cos \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{\sqrt3}{2}}$ .

Szczególnie warto zapamiętać wartości graniczne, bo wracają w zadaniach:

$\sin 0° = 0$ , $\cos 0° = 1$ ,
$\sin 90° = 1$ , $\cos 90° = \textcolor{#16A06A}{0}$ ,
$\sin 180° = 0$ , $\cos 180° = -1$ .

Wartość $\cos 90° = \textcolor{#16A06A}{0}$ jest tą, która sprawia, że twierdzenie cosinusów redukuje się do twierdzenia Pitagorasa — cały człon poprawkowy się zeruje. Ona też sprawia, że $\tg 90°$ nie istnieje — dzielenie przez zero jest niewykonalne. Dla kątów rozwartych tangens jest ujemny: $\tg(180° - \alpha) = -\tg\alpha$ .

Własność $\sin(180°-\alpha) = \sin\alpha$ ma z kolei praktyczne znaczenie przy polach: we wzorze $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ nie ma znaczenia, czy kąt jest ostry, czy rozwarty. To samo dotyczy wzoru na pole rombu.

Sinusoida i cosinusoida

Gdy definicję rozszerzy się na dowolne kąty, sinus i cosinus stają się funkcjami, a ich wykresy to sinusoida $(y = \sin x)$ i cosinusoida $(y = \cos x)$ . To ta sama fala: obie przyjmują wartości od −1 do 1 i powtarzają się co $360^\circ$ , tylko cosinusoida jest przesunięta o $90^\circ$ w lewo — stąd $\cos x = \sin (x + 90^\circ)$ . Sinusoida zaczyna w zerze, cosinusoida w jedynce.

Rysunek 2. Sinusoida (niebieska) i cosinusoida (pomarańczowa) dla kątów od

0^\circ

360^\circ

. Więcej o każdym wykresie: wykres funkcji sinus i wykres funkcji cosinus.

5Jedynka trygonometryczna

Najważniejsza tożsamość całego działu wygląda tajemniczo, a jest twierdzeniem Pitagorasa zapisanym inaczej.

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$ — kwadrat wartości, nie sinus kwadratu kąta.

Wyprowadzenie zajmuje dwie linijki. W trójkącie prostokątnym o bokach $a$ , $b$ , $c$ mamy $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ oraz $\cos\alpha = \frac{b}{c}$ . Podnosimy do kwadratu i dodajemy:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2}

A z twierdzenia Pitagorasa licznik równa się $c^2$ , więc cały ułamek daje $\textcolor{#E0453A}{1}$ .

Sprawdźmy to liczbowo dla $\textcolor{#16A06A}{30°}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \textcolor{#E0453A}{1}$ ✓

I dla $\textcolor{#16A06A}{45°}$ : $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$ ✓

Do czego służy w praktyce

Do wyznaczania jednej funkcji, gdy znasz drugą — bez znajomości samego kąta.

Jeśli $\sin\alpha = 0{,}6$ , to $\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$ , czyli $\cos\alpha = 0{,}8$ dla kąta ostrego.

Razem z zależnością $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ wystarcza to, żeby z jednej znanej wartości wyliczyć pozostałe dwie.

6Mapa działu — co gdzie znaleźć

Trygonometria jest w podstawie rozdzielona między zakres podstawowy i rozszerzony, a różnica jest znaczna.

zakres	co obejmuje
podstawowy	definicje $\sin$ , $\cos$ , $\tg$ dla kątów $0°$ – $180°$ · wartości dla $30°$ , $45°$ , $60°$ · jedynka trygonometryczna i $\tg = \frac{\sin}{\cos}$ · twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów · wzór $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ · obliczenia w trójkącie prostokątnym
rozszerzony	miara łukowa i radiany · wykresy funkcji i ich okresowość · wzory redukcyjne · wzory na sumę i różnicę kątów oraz kąt podwojony · równania trygonometryczne

Poza podrozdziałem o sinusoidzie i cosinusoidzie cała ta strona mieści się w zakresie podstawowym — i to wystarcza, żeby rozwiązywać trójkąty, liczyć pola i korzystać z obu twierdzeń.

Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens — technika upraszczania wyrażeń, z zadaniami,
Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych — jak zapisać zadanie „wykaż, że”, żeby było dowodem,
Wykresy trzech funkcji — zestawienie — okres, zbiór wartości i asymptoty w jednej tabeli, z tangensem włącznie,
Miara kąta i jej uogólnienie — kąty ponad pełny obrót i ujemne, czyli warunek wstępny do wykresów,
Funkcje kąta ostrego w trójkącie prostokątnym — którą funkcję wybrać do danych z zadania,
Twierdzenie cosinusów — uogólnienie Pitagorasa na dowolny trójkąt,
Wzory na pole trójkąta — w tym wzór z sinusem kąta,
Trójkąt 30-60-90 — źródło wartości z tabeli,
Twierdzenie Pitagorasa — fundament jedynki trygonometrycznej.

Warunek wstępny do całego działu jest jeden: sprawne pierwiastkowanie. Wartości funkcji dla kątów szczególnych to niemal zawsze liczby z pierwiastkiem, a odpowiedzi zostawia się w postaci dokładnej, nie przybliżonej.

7Wszystkie tematy w tym dziale

Dwanaście stron. Trygonometria zaczyna się w trójkącie prostokątnym, a potem uogólnia na dowolny kąt — dlatego kolejność kafelków ma znaczenie.

Kąt i jego miara

W trójkącie prostokątnym

Wzory i tożsamości

Twierdzenia

Wykresy

8Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: bok z kąta, kąt z boków i wyznaczanie pozostałych funkcji.

Przykład $1$ Wysokość z kąta i długości

Drabina o długości $\textcolor{#16A06A}{5}$ m opiera się o ścianę pod kątem $\textcolor{#16A06A}{60°}$ do podłoża. Na jakiej wysokości sięga ściany?

Drabina, ściana i podłoże tworzą trójkąt prostokątny. Drabina jest przeciwprostokątną, bo leży naprzeciw kąta prostego między ścianą a podłożem.
Szukana wysokość leży naprzeciw kąta $\textcolor{#16A06A}{60°}$ , czyli jest przeciwległą.
Przeciwległa przez przeciwprostokątną to sinus, więc $\sin \textcolor{#16A06A}{60°} = \frac{h}{\textcolor{#16A06A}{5}}$ .
Stąd $h = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{60°} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#2F80D8}{\frac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\frac{5\sqrt3}{2}}$ m.
Kontrola sensu: wysokość musi być mniejsza od długości drabiny — a $\frac{5\sqrt3}{2} < \textcolor{#16A06A}{5}$ , bo $\frac{\sqrt3}{2} < 1$ ✓
Kontrola drugą funkcją: odległość podstawy od ściany to $\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \cos \textcolor{#16A06A}{60°} = \frac{5}{2}$ m, a $\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{75}{4} = \frac{100}{4} = 25$ ✓ — dokładnie kwadrat długości drabiny, zgodnie z Pitagorasem.

Odpowiedź: $h = \frac{5\sqrt3}{2}$ m.

Pierwszy krok — ustalenie, który bok jest którym — decyduje o całym zadaniu. Warto go zapisać słowami, zanim sięgnie się po funkcję: „szukam przeciwległej, mam przeciwprostokątną, więc sinus”.

Przykład $2$ Rozpoznanie kąta z boków

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ , a przeciwprostokątna $\textcolor{#16A06A}{3\sqrt2}$ . Jakie są kąty ostre tego trójkąta?

Liczę sinus jednego z kątów ostrych: $\sin\alpha = \frac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{3\sqrt2}} = \frac{1}{\sqrt2}$ .
Usuwam niewymierność z mianownika: $\frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707$ .
Z tabeli odczytuję, że taką wartość ma $\sin \textcolor{#E0453A}{45°}$ .
Drugi kąt ostry dopełnia do $90°$ : $90° - \textcolor{#E0453A}{45°} = \textcolor{#E0453A}{45°}$ .
Kontrola Pitagorasem: $\textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2 = 9 + 9 = 18$ , a $(\textcolor{#16A06A}{3\sqrt2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ ✓
Kontrola sensu: obie przyprostokątne są równe, więc trójkąt jest równoramienny i kąty przy podstawie muszą być identyczne ✓
Kontrola cosinusem: $\cos\alpha = \frac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{3\sqrt2}} = \frac{\sqrt2}{2}$ — ta sama wartość, co potwierdza $\textcolor{#E0453A}{45°}$ ✓

Odpowiedź: Oba kąty ostre mają po $45°$ .

Równość obu przyprostokątnych pozwalała odpowiedzieć od razu, bez liczenia — to połówka kwadratu. Rachunek posłużył tu za potwierdzenie, a nie za drogę do wyniku.

Przykład $3$ Pozostałe funkcje z jednej danej

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ . Oblicz $\cos\alpha$ i $\tg\alpha$ .

Korzystam z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ .
$\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#16A06A}{0{,}6}^2 = 1 - 0{,}36 = \textcolor{#2F80D8}{0{,}64}$
$\cos\alpha = \sqrt{\textcolor{#2F80D8}{0{,}64}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}8}$ — biorę wartość dodatnią, bo kąt jest ostry.
Teraz tangens z zależności $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .
$\tg\alpha = \frac{\textcolor{#16A06A}{0{,}6}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}8}} = \textcolor{#8B5CF6}{0{,}75}$
Kontrola jedynką: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}^2 + \textcolor{#E0453A}{0{,}8}^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$ ✓
Kontrola sensu: dla kąta ostrego oba, sinus i cosinus, muszą leżeć między $0$ a $1$ ✓
Kontrola trójkątem: stosunek boków $0{,}6 : 0{,}8 : 1$ to znana trójka $3 : 4 : 5$ ✓

Odpowiedź: $\cos\alpha = 0{,}8$ , $\tg\alpha = 0{,}75$ .

Zastrzeżenie „kąt ostry” jest tu konieczne. Gdyby kąt mógł być rozwarty, cosinus wyszedłby $-0{,}8$ — jedynka trygonometryczna daje wartość bezwzględną, a znak rozstrzyga rodzaj kąta.

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość złych odpowiedzi w całym dziale.

Mylenie przyległej z przeciwległą

Skąd się bierze: Nazwy boków zależą od tego, który kąt rozważamy — ta sama przyprostokątna jest przeciwległa dla jednego kąta ostrego i przyległa dla drugiego. Pomyłka zamienia sinus z cosinusem i daje zupełnie inny wynik.

Jak zrobić dobrze: Zanim wybierzesz funkcję, wskaż palcem kąt i sprawdź, który bok leży naprzeciw niego. Kontrola: dla kątów dopełniających się do $90°$ sinus jednego równa się cosinusowi drugiego.

Traktowanie $\sin^2\alpha$ jako sinusa kwadratu kąta

Skąd się bierze: Zapis $\sin^2\alpha$ znaczy $(\sin\alpha)^2$ , czyli najpierw liczymy sinus, potem podnosimy do kwadratu. Odczytanie go jako $\sin(\alpha^2)$ prowadzi do bezsensownych wartości.

Jak zrobić dobrze: Czytaj wykładnik jako doklejony do wyniku, nie do kąta. Kontrola liczbowa: $\sin^2 30° = (0{,}5)^2 = 0{,}25$ , natomiast $\sin(900°)$ to zupełnie co innego.

Zakładanie, że sinus może być większy od jedynki

Skąd się bierze: Sinus i cosinus kąta to iloraz, w którym mianownikiem jest przeciwprostokątna — bok najdłuższy. Wynik większy od $1$ jest więc niemożliwy i zawsze oznacza błąd w doborze boków.

Jak zrobić dobrze: Traktuj warunek $|\sin\alpha| \leq 1$ jako kontrolę końcową. Jeśli w zadaniu wyjdzie $\sin\alpha = 1{,}2$ , prawie na pewno pomylono przeciwprostokątną z przyprostokątną.

Przyjmowanie ujemnego cosinusa dla kąta ostrego

Skąd się bierze: Jedynka trygonometryczna daje $\cos^2\alpha$ , a stąd dwie możliwe wartości: dodatnią i ujemną. Dla kąta ostrego poprawna jest tylko dodatnia — w trójkącie ujemny cosinus ma wyłącznie kąt rozwarty.

Jak zrobić dobrze: Zawsze sprawdź w treści, czy kąt jest ostry, czy może być rozwarty. Przy ostrym bierz wartość dodatnią; przy rozwartym cosinus jest ujemny, a sinus mimo to dodatni.

10Pytania i odpowiedzi

Co to jest sinus, cosinus i tangens?

To stosunki boków w trójkącie prostokątnym. Sinus to przeciwległa przez przeciwprostokątną, cosinus przyległa przez przeciwprostokątną, a tangens przeciwległa przez przyległą. Każdy zależy wyłącznie od kąta, a nie od wielkości trójkąta.

Dlaczego stosunek boków zależy tylko od kąta?

Bo trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne — mają po dwa równe kąty. A w figurach podobnych odpowiadające boki są proporcjonalne, więc ich ilorazy wychodzą identyczne niezależnie od rozmiaru.

Jak zapamiętać wartości dla

30°

45°

60°

Nie trzeba ich pamiętać — wychodzą z dwóch trójkątów. Połówka trójkąta równobocznego o bokach $1:\sqrt3:2$ daje wiersze $30°$ i $60°$ , a połówka kwadratu o bokach $1:1:\sqrt2$ daje wiersz $45°$ .

Skąd bierze się jedynka trygonometryczna?

Z twierdzenia Pitagorasa. Podstawiając $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ i $\cos\alpha = \frac{b}{c}$ , po podniesieniu do kwadratu i dodaniu otrzymujemy $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ , a licznik równa się $c^2$ — więc całość daje jeden.

Czy sinus może być większy od jedynki?

Nie. Dla kąta ostrego sinus jest ilorazem przyprostokątnej przez przeciwprostokątną, czyli boku krótszego przez najdłuższy. Wartość większa od $1$ zawsze oznacza pomyłkę w doborze boków.

Czy cotangens jest w podstawie programowej?

Nie. Podstawa dla liceum wymienia w dziale o trygonometrii wyłącznie sinus, cosinus i tangens. Cotangens bywa omawiany w podręcznikach jako odwrotność tangensa, ale do matury podstawowej nie jest wymagany.

Czym różni się sinusoida od cosinusoidy?

Tylko przesunięciem. Obie to ta sama fala o wartościach od −1 do 1 i okresie $360^\circ$ $(2\pi{})$ , ale cosinusoida jest przesunięta o $90^\circ$ w lewo: $\cos x = \sin (x + 90^\circ)$ . Sinusoida przechodzi przez punkt $(0,\ 0)$ , cosinusoida przez $(0,\ 1)$ .

Jak obliczyć sinus kąta?

W trójkącie prostokątnym podziel długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta przez długość przeciwprostokątnej. Dla $30^\circ$ , $45^\circ$ i $60^\circ$ warto znać wartości dokładne ( $\tfrac{1}{2}$ , $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ); dla innych kątów użyj tablic albo kalkulatora.

Ile wynosi

\sin 30^\circ

\cos 30^\circ

\operatorname{tg} 30^\circ

$\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$ , $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$ , $\operatorname{tg} 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$ . Wynikają z trójkąta o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ , którego boki mają się jak $1 : \sqrt{3} : 2$ .

Czytaj dalej

Twierdzenie cosinusówUogólnienie Pitagorasa na dowolny trójkąt Trójkąt 30-60-90Źródło wartości z tabeli, razem z połówką kwadratu Twierdzenie PitagorasaFundament jedynki trygonometrycznej Podobieństwo trójkątówDlaczego stosunek boków zależy tylko od kąta Wzory na pole trójkątaWzór z sinusem kąta między bokami Dowodzenie tożsamości trygonometrycznychTożsamość dowodzi się jednostronnie: przekształcając jedną stronę w drugą.…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.