Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Geometria płaska — okręgi, pola, twierdzenie cosinusów

Geometria płaska — okręgi, pola, twierdzenie cosinusów — sprawdzian, kartkówki i test (2 liceum)

Piąty dział klasy 2: okrąg i koło, kąty wpisane i środkowe, okrąg opisany i wpisany, wielokąty foremne, twierdzenie sinusów i cosinusów. Na tej stronie: 2 sprawdziany, 3 kartkówki, 1 test, 3 karty pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 2 liceum / technikumDział w podręczniku: 5. PlanimetriaPliki: 45 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Czworokąty — pierwsza strona, grupa A

Sprawdzian: Czworokąty

  • Pole rombu i równoległoboku z kąta, pole z przekątnych
  • 4 zadania · 4 pkt · 20 minut · grupy A i B
  • wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz
Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z geometrii płaskiej

Sprawdzian

Czworokąty

Pole rombu i równoległoboku z kąta, pole z przekątnych

4 zadania · 4 pkt · 20 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Pole trójkąta z dwóch boków i kąta, bok i kąt z twierdzenia cosinusów

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z geometrii płaskiej

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Okrąg, koło, kąty w okręgu

długość okręgu, łuk, kąt środkowy i wpisany, cięciwa

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Okręgi i wielokąty foremne

okrąg opisany i wpisany, kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Twierdzenie cosinusów

trzeci bok, kąt z trzech boków, rodzaj trójkąta, przekątne

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Pola figur i okręgi

planimetria: pola, okrąg i koło, kąty w okręgu, twierdzenie cosinusów

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z geometrii płaskiej — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

  1. Trójkąt ma boki 66 i 1414 oraz kąt 30∘30^\circ między nimi. Ile wynosi jego pole?

    Rozwiązanie

    P=12⋅6⋅14⋅sin⁡30∘=12⋅84⋅12=21\displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot14\cdot\sin30^\circ=\frac{1}{2}\cdot84\cdot\frac{1}{2}=21. (4242 — bez 12\displaystyle \frac{1}{2} przed iloczynem; 213\displaystyle 21\sqrt{3} — wzięty cos⁡30∘\cos30^\circ.)

  2. Przekątne rombu mają długości 1616 i 3030. Ile wynosi obwód tego rombu?

    Rozwiązanie

    Połowy przekątnych 88 i 1515, bok 64+225=17\displaystyle \sqrt{64+225}=17, obwód 6868. (92=2⋅(16+30)92=2\cdot(16+30); 34=162+302\displaystyle 34=\sqrt{16^{2}+30^{2}} — bok z całych przekątnych; 240=16⋅302\displaystyle 240=\frac{16\cdot30}{2} — to pole.)

  3. Pole koła jest równe 121π121\pi. Ile wynosi długość okręgu, który ogranicza to koło?

    Rozwiązanie

    πr2=121π\pi r^{2}=121\pi, r=11r=11, długość okręgu 2πr=22π2\pi r=22\pi. (11π11\pi — samo πr\pi r; 44π44\pi — wzięta średnica zamiast promienia.)

  4. Kąt środkowy 136∘136^\circ i kąt wpisany α\alpha oparte są na tym samym łuku. Jaką miarę ma α\alpha?

    Rozwiązanie

    Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku: α=68∘\alpha=68^\circ. (272∘272^\circ — pomnożone zamiast podzielenia; 44∘=180∘−136∘44^\circ=180^\circ-136^\circ.)

  5. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 1010 i 2424. Ile wynosi promień okręgu opisanego na tym trójkącie?

    Rozwiązanie

    Przeciwprostokątna 100+576=26\displaystyle \sqrt{100+576}=26, środek okręgu opisanego to jej środek: R=262=13\displaystyle R=\frac{26}{2}=13. (2626 — cała przeciwprostokątna; 4=10+24−262\displaystyle 4=\frac{10+24-26}{2} — promień okręgu wpisanego.)

  6. Jaką miarę ma kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego?

    Rozwiązanie

    Suma kątów ośmiokąta (8−2)⋅180∘=1080∘(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ, jeden kąt 1080∘:8=135∘1080^\circ:8=135^\circ. (45∘=360∘:845^\circ=360^\circ:8 — kąt środkowy.)

  7. Trójkąt ma boki 55 i 88 oraz kąt 60∘60^\circ między nimi. Jaką długość ma trzeci bok?

    Rozwiązanie

    Z twierdzenia cosinusów c2=25+64−2⋅5⋅8⋅12=49\displaystyle c^{2}=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac{1}{2}=49, c=7c=7. (129\displaystyle \sqrt{129} — przyjęte cos⁡60∘=−12\displaystyle \cos60^\circ=-\frac{1}{2}; 89\displaystyle \sqrt{89} — bez wyrazu z cosinusem.)

  8. Kąt środkowy 150∘150^\circ wyznacza łuk okręgu o promieniu 66. Ile wynosi długość tego łuku?

    Rozwiązanie

    l=150∘360∘⋅2π⋅6=5π\displaystyle l=\frac{150^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=5\pi. (15π=150360⋅π⋅62\displaystyle 15\pi=\frac{150}{360}\cdot\pi\cdot6^{2} — pole wycinka; 12π12\pi — cały okrąg.)

  9. Trapez równoramienny ma podstawy 1616 i 66 oraz ramię 1313. Ile wynosi jego pole?

    Rozwiązanie

    Rzut ramienia: 16−62=5\displaystyle \frac{16-6}{2}=5, wysokość 169−25=12\displaystyle \sqrt{169-25}=12, pole 16+62⋅12=132\displaystyle \frac{16+6}{2}\cdot12=132. (143=11⋅13143=11\cdot13 — ramię jako wysokość; 264264 — bez dzielenia przez 22.)

  10. Cięciwa długości 1616 leży w okręgu o promieniu 1010. Jaka jest jej odległość od środka okręgu?

    Rozwiązanie

    Promień, połowa cięciwy i odległość tworzą trójkąt prostokątny: d=102−82=6\displaystyle d=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6. (2=10−82=10-8 — odjęte długości zamiast kwadratów; 88 — połowa cięciwy.)

5Karty pracy z geometrii płaskiej

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Okrąg, koło, kąty w okręgu

Długość okręgu i pole koła, wycinek, cięciwa, kąt wpisany i środkowy, styczna do okręgu

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Okrąg opisany i wpisany, wielokąty foremne

Promień okręgu opisanego i wpisanego, pola i kąty wielokątów foremnych

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Twierdzenie cosinusów

Bok i kąt trójkąta z twierdzenia cosinusów, rodzaj trójkąta, przekątne równoległoboku, zastosowania

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Okrąg i kołoteoria z przykładami Twierdzenie cosinusówteoria z przykładami Wzory na pole trójkątateoria z przykładami Okręgi i koła na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Pola i obwody na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 2 liceum:

Funkcja kwadratowa2 sprawdziany · 5 kartkówek · 1 test · 5 kart pracy Wielomiany1 sprawdzian · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy Funkcje wymierne1 sprawdzian · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Trygonometria2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 2 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z geometrii płaskiej?

Czworokąty: Pole rombu i równoległoboku z kąta, pole z przekątnych. Twierdzenie sinusów i cosinusów: Pole trójkąta z dwóch boków i kąta, bok i kąt z twierdzenia cosinusów.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 2 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 5. Planimetria, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Czworokąty”: 4 zadania, 4 pkt, 20 minut; Sprawdzian „Twierdzenie sinusów i cosinusów”: 6 zadań, 8 pkt, 40 minut; Kartkówka „Okrąg, koło, kąty w okręgu”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Okręgi i wielokąty foremne”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Twierdzenie cosinusów”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Pola figur i okręgi”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27