Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Funkcje wymierne

Funkcje wymierne — sprawdzian, kartkówki i test (2 liceum)

Trzeci dział klasy 2: funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia, wyrażenia wymierne i równania wymierne w zadaniach. Na tej stronie: 1 sprawdzian, 3 kartkówki, 1 test, 3 karty pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 2 liceum / technikumDział w podręczniku: 3. Funkcje wymiernePliki: 39 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Równania i nierówności wymierne

Proporcja prowadząca do równania liniowego, warunek na mianownik
5 zadań · 3 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · grupy A i B
wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz

Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdzian z funkcji wymiernych

Sprawdzian

Równania i nierówności wymierne

Proporcja prowadząca do równania liniowego, warunek na mianownik

5 zadań · 3 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z funkcji wymiernych

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia

dziedzina, zbiór wartości, asymptoty, przesunięcie wykresu

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Wyrażenia wymierne

dziedzina, skracanie, dodawanie i mnożenie wyrażeń wymiernych

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Równania wymierne i zastosowania

dziedzina równania, proporcja, zadanie o wspólnej pracy

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Wielomiany i funkcje wymierne

stopień, pierwiastki, dziedzina, hiperbola, równania wymierne

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z funkcji wymiernych — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

Jakiego stopnia jest wielomian $W(x)=(x^{3}+2)(x^{2}-x)-x^{5}$ ?
Rozwiązanie
$(x^{3}+2)(x^{2}-x)=x^{5}-x^{4}+2x^{2}-2x$ ; po odjęciu $x^{5}$ zostaje $-x^{4}+2x^{2}-2x$ — stopień $4$ . ( $5$ — bez redukcji $x^{5}$ .)
Dany jest wielomian $W(x)=x^{3}+3x^{2}-2x-4$ . Ile wynosi $W(-2)$ ?
Rozwiązanie
$W(-2)=-8+12+4-4=4$ . ( $12=W(2)$ ; $20$ — przyjęte $(-2)^{3}=8$ .)
Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^{3}+mx^{2}-3x-9$ . Ile wynosi $m$ ?
Rozwiązanie
$W(3)=27+9m-9-9=9m+9=0$ , $m=-1$ . ( $1$ — zły znak przy przenoszeniu.)
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie $(x^{2}-1)(x^{2}+2)(x-5)=0$ ?
Rozwiązanie
$x^{2}-1=0$ daje $x=1$ lub $x=-1$ , $x^{2}+2=0$ nie ma rozwiązań, $x-5=0$ daje $x=5$ — trzy rozwiązania. ( $5$ — stopień równania; $4$ — np. $x^{2}+2=0$ rozwiązane jak $x+2=0$ , co dokłada fałszywe $x=-2$ .)
Jaki jest zbiór wszystkich rozwiązań równania $x^{3}-3x^{2}-4x+12=0$ ?
Rozwiązanie
Grupowanie: $x^{2}(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^{2}-4)=(x-3)(x-2)(x+2)$ , rozwiązania $-2$ , $2$ , $3$ . ( $\{2,3\}$ — zgubione $x=-2$ z $x^{2}=4$ .)
Jaki zbiór jest dziedziną funkcji $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-49}$ ?
Rozwiązanie
Mianownik: $x^{2}-49=0$ dla $x=-7$ i $x=7$ . ( $\{7\}$ — zgubiony pierwiastek ujemny; $2$ zeruje licznik, nie mianownik.)
Funkcja $\displaystyle f(x)=\frac{a}{x}$ spełnia warunek $f(3)=-4$ . Ile wynosi $f(-2)$ ?
Rozwiązanie
$a=3\cdot(-4)=-12$ , $\displaystyle f(-2)=\frac{-12}{-2}=6$ . ( $8=-4\cdot(-2)$ — pomnożone zamiast wyznaczenia $a$ .)
Jaki zbiór jest zbiorem wartości funkcji $\displaystyle g(x)=\frac{5}{x+1}-2$ ?
Rozwiązanie
Wykres $\displaystyle y=\frac{5}{x}$ przesunięty o $1$ w lewo i $2$ w dół; $\displaystyle \frac{5}{x+1}$ nie przyjmuje wartości $0$ , więc $g$ nie przyjmuje $-2$ : $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ . ( $\{-1\}$ — to wyłączenie z dziedziny.)
Któremu wyrażeniu jest równe $\displaystyle \frac{x^{2}-9}{x^{2}-3x}$ dla każdej liczby $x$ różnej od $0$ i $3$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x}$ . ( $\displaystyle \frac{x-3}{x}$ — skrócony zły czynnik; $\displaystyle \frac{3}{x}$ — skrócone $x^{2}$ jak czynniki.)
Która liczba jest rozwiązaniem równania $\displaystyle \frac{x+4}{x-1}=2$ ?
Rozwiązanie
Dla $x\neq1$ : $x+4=2x-2$ , $x=6$ . ( $5$ — z $x+4=2x-1$ , bez mnożenia $-1$ przez $2$ ; $-6$ — zły znak przy przenoszeniu; $1$ nie należy do dziedziny.)

5Karty pracy z funkcji wymiernych

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia

Proporcjonalność odwrotna, wykres hiperboli, asymptoty, dziedzina i zbiór wartości, przesunięcia

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Wyrażenia wymierne

Dziedzina, wartość wyrażenia, skracanie, mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Równania wymierne i zastosowania

Dziedzina równania, sprowadzanie do równania kwadratowego, prędkość i czas w zadaniach tekstowych

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

Grupy A i B mają te same typy zadań z innymi liczbami — klucz każdej grupy jest liczony osobno.
Trzy wersje PDF. Każdy arkusz jest w trzech plikach PDF: z miejscem na obliczenia pod każdym zadaniem, same zadania (zwarte, do pracy w zeszycie) i klucz odpowiedzi dla nauczyciela.
Zadania na wzór arkuszy CKE, z liczbami zmienionymi — to arkusze ćwiczeniowe, nie są tworzone ani firmowane przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.
Zamknięte i otwarte. Zadania zamknięte mają cztery odpowiedzi do wyboru, otwarte — miejsce na rozwiązanie i punktację w kluczu.
Druk: A4, skala 100% (bez „dopasuj do strony”). Pliki są za darmo i bez rejestracji.

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Funkcja wymiernateoria z przykładami Wyrażenia wymierneteoria z przykładami Równania wymierneteoria z przykładami Funkcja wymierna na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Wyrażenia wymierne na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Równania wymierne na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 2 liceum:

Funkcja kwadratowa2 sprawdziany · 5 kartkówek · 1 test · 5 kart pracy Wielomiany1 sprawdzian · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy Trygonometria2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Geometria płaska — okręgi, pola, twierdzenie cosinusów2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 2 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z funkcji wymiernych?

Równania i nierówności wymierne: Proporcja prowadząca do równania liniowego, warunek na mianownik.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 2 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 3. Funkcje wymierne, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Równania i nierówności wymierne”: 5 zadań, 9 pkt, 45 minut; Kartkówka „Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Wyrażenia wymierne”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Równania wymierne i zastosowania”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Wielomiany i funkcje wymierne”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Funkcje wymierne — sprawdzian, kartkówki i test (2 liceum)

1Sprawdzian z funkcji wymiernych

Równania i nierówności wymierne

2Kartkówki z funkcji wymiernych

Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia

Wyrażenia wymierne

Równania wymierne i zastosowania

3Test z działu

Wielomiany i funkcje wymierne

4Test online z funkcji wymiernych — sprawdź się

5Karty pracy z funkcji wymiernych

Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia

Wyrażenia wymierne

Równania wymierne i zastosowania

6Jak zbudowane są arkusze

7Teoria i pozostałe działy

8Pytania i odpowiedzi

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku