Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Przykład 1 Szukana w mianowniku

Latawiec unosi się na wysokości $12$ m. Linka tworzy z ziemią kąt $65°$. Jaka jest długość linki? Wynik zaokrąglij do części dziesiętnych.

1. Rysuję trójkąt: linka to przeciwprostokątna, wysokość latawca to przeciwległa względem kąta $\textcolor{#16A06A}{65°}$.
2. Mam przeciwległą ($\textcolor{#16A06A}{12}$ m), szukam przeciwprostokątnej — z tabeli wychodzi sinus.
3. $\sin \textcolor{#16A06A}{65°} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{l}$, gdzie $l$ to długość linki.
4. Szukana stoi w mianowniku, więc trzeba podzielić: $l = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\sin \textcolor{#16A06A}{65°}}$.
5. $\sin 65° \approx 0{,}9063$, więc $l \approx \dfrac{12}{0{,}9063} \approx \textcolor{#E0453A}{13{,}2}$ m.
6. Kontrola: linka ($\textcolor{#E0453A}{13{,}2}$ m) jest dłuższa od wysokości ($12$ m) ✓ — przeciwprostokątna musi być najdłuższa
7. Kontrola błędu odwrotnego: gdyby pomnożyć zamiast podzielić, wyszłoby $12 \cdot 0{,}9063 \approx \textcolor{#9b1c14}{10{,}9}$ m — mniej niż wysokość, co jest niemożliwe ✓

Odpowiedź: Linka ma około $13{,}2$ m długości.

Ostatnia kontrola pokazuje, dlaczego warto ją robić: błąd mnożenia zamiast dzielenia daje liczbę wyglądającą sensownie, a wykrywa go dopiero porównanie z bokiem, który musi być krótszy.

Przykład 2 Kąt z dwóch boków

Drabina o długości $4$ m sięga ściany na wysokości $3{,}2$ m. Pod jakim kątem stoi do podłoża?

1. Dane: przeciwprostokątna ($\textcolor{#16A06A}{4}$ m — drabina) i przeciwległa ($\textcolor{#16A06A}{3{,}2}$ m — wysokość na ścianie).
2. Szukam kąta, mając przeciwległą i przeciwprostokątną → sinus.
3. $\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3{,}2}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}8}$
4. Kontrola zakresu: $\textcolor{#E0453A}{0{,}8} < 1$ ✓ — sinus kąta ostrego musi być mniejszy od jedynki
5. Z tablic: $\alpha \approx \textcolor{#2F80D8}{53°}$.
6. Kontrola przez drugi bok: odległość drabiny od ściany to $\sqrt{4^2 - 3{,}2^2} = \sqrt{16 - 10{,}24} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ m.
7. Sprawdzam cosinusem: $\cos\alpha = \frac{2{,}4}{4} = 0{,}6$, a $\cos 53° \approx 0{,}6018$ ✓ — zgadza się
8. Dodatkowa kontrola jedynką: $0{,}8^2 + 0{,}6^2 = 0{,}64 + 0{,}36 = 1$ ✓

Odpowiedź: Drabina stoi pod kątem około $53°$.

Trójkąt o bokach $2{,}4$, $3{,}2$ i $4$ to przeskalowana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$ — stąd okrągłe wartości $0{,}6$ i $0{,}8$. Rozpoznanie takiej trójki oszczędza cały rachunek.

Przykład 3 Nachylenie podane w procentach

Droga ma nachylenie $8\,\%$. O ile metrów wzniesie się rowerzysta, pokonując $500$ m tej drogi mierzone wzdłuż jezdni?

1. Nachylenie $8\,\%$ znaczy: na $\textcolor{#16A06A}{100}$ m w poziomie przypada $\textcolor{#16A06A}{8}$ m w pionie, czyli $\tg\alpha = \textcolor{#16A06A}{0{,}08}$.
2. Stąd kąt: $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{4{,}574°}$ — nie $8°$, to zupełnie inna wartość.
3. Uwaga na dane: $500$ m mierzone wzdłuż jezdni to przeciwprostokątna, a nie odległość pozioma.
4. Szukam przeciwległej (wzniesienia), mam przeciwprostokątną → sinus.
5. $h = 500 \cdot \sin \textcolor{#E0453A}{4{,}574°} \approx 500 \cdot 0{,}07975 \approx \textcolor{#2F80D8}{39{,}9}$ m
6. Kontrola przybliżeniem: dla małych kątów sinus i tangens są prawie równe, więc $500 \cdot 0{,}08 = 40$ m — zgadza się z $\textcolor{#2F80D8}{39{,}9}$ ✓
7. Kontrola sensowności: wzniesienie ($\textcolor{#2F80D8}{39{,}9}$ m) jest znacznie mniejsze od przebytej drogi ($500$ m) ✓
8. Kontrola pułapki: gdyby przyjąć $8°$ zamiast $4{,}574°$, wyszłoby $500 \cdot \sin 8° \approx \textcolor{#9b1c14}{69{,}6}$ m — o $75\,\%$ za dużo

Odpowiedź: Rowerzysta wzniesie się o około $39{,}9$ m.

Ostatnia kontrola pokazuje skalę pomyłki: potraktowanie procentu jak stopni zawyża odpowiedź o trzy czwarte. Przy małych nachyleniach wolno natomiast liczyć z tangensa zamiast sinusa — różnica wyniosła tu $0{,}1$ m na $40$.