Strona główna › Trygonometria › Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens

Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens

Q: Co to jest jedynka trygonometryczna?

To tożsamość ^2 + ^2 = 1, prawdziwa dla każdego kąta. Wynika z twierdzenia Pitagorasa i służy głównie do upraszczania wyrażeń bez znajomości miary kąta.

Q: Jak uprościć wyrażenie z sinusami i cosinusami?

Najpierw sprawdź, czy da się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, bo w nawiasie zwykle zostaje wtedy jedynka trygonometryczna. Potem szukaj różnicy kwadratów oraz wyrażeń postaci jeden minus kwadrat funkcji.

Q: Czemu równa się 1 - ^2 ?

Wyrażeniu ^2 . To jedynka trygonometryczna przekształcona przez przeniesienie sinusa na drugą stronę — najczęściej używana postać tego wzoru w zadaniach.

Q: Jaki jest wzór na tangens?

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus tego samego kąta. Wzór wymaga, żeby cosinus był różny od zera, więc dla kąta prostego tangens nie istnieje.

Q: Czy cotangens jest potrzebny do matury podstawowej?

Nie. Podstawa programowa wymienia w dziale o trygonometrii wyłącznie sinus, cosinus i tangens. Cotangens jest odwrotnością tangensa i bywa omawiany w podręcznikach, ale nie jest wymagany.

Q: Jak obliczyć cosinus, znając sinus kąta ostrego?

Wystarczy przekształcić jedynkę trygonometryczną i wyciągnąć pierwiastek z różnicy jeden minus kwadrat sinusa. Dla kąta ostrego bierzemy wartość dodatnią, bo obie funkcje są tam dodatnie.

Jedynka trygonometryczna jest w zadaniach maturalnych używana nie do liczenia, tylko do upraszczania. Wyrażenie z kilkoma sinusami i cosinusami zwija się po niej do jednego symbolu — bez znajomości kąta i bez tablic. Skąd ten wzór się bierze, wyprowadzam przy trygonometrii; tutaj chodzi o technikę jego stosowania, bo to ona daje punkty.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 11

Przejdź od razu do zadań (11) ↓

1Dwa wzory, które podstawa wymienia razem

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział VII. Trygonometria, zakres podstawowy, punkt 2 brzmi dosłownie: „korzysta z wzorów $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ , $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ”.

Oba wzory z tytułu tej strony stoją więc w podstawie obok siebie, w jednym punkcie — i rzeczywiście używa się ich razem.

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$ — kwadrat wartości, a nie sinus kwadratu kąta. To rozróżnienie decyduje o wszystkim, co dalej.

Kluczowa obserwacja praktyczna: jedynkę czyta się w obie strony.

kierunek	zamiana	kiedy przydatny
→	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \;\to\; 1$	gdy w wyrażeniu widać oba kwadraty
←	$1 \;\to\; \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$	gdy trzeba coś rozbić
→	$1 - \sin^2\alpha \;\to\; \cos^2\alpha$	najczęstszy w zadaniach
→	$1 - \cos^2\alpha \;\to\; \sin^2\alpha$	to samo w drugą stronę

Trzeci i czwarty wiersz to w praktyce najważniejsze. Wyrażenie $1 - \sin^2\alpha$ prawie nigdy nie zostaje w tej postaci — natychmiast zamienia się je na $\cos^2\alpha$ i wtedy zwykle coś się skraca.

Dlaczego to działa dla każdego kąta

Jedynka wynika z twierdzenia Pitagorasa i zachodzi dla każdego kąta, nie tylko ostrego.

Dlatego w zadaniach można jej użyć bez sprawdzania, w której ćwiartce leży kąt. Znaki poszczególnych funkcji od ćwiartki zależą, ale sama tożsamość nie.

To odróżnia ją od wzorów redukcyjnych, gdzie ćwiartkę trzeba śledzić — piszę o nich przy wzorach trygonometrycznych.

2Trzy chwyty, które wyczerpują większość zadań

Zadania maturalne z jedynką wyglądają groźnie, a rozwiązują się jednym z trzech ruchów. Warto je rozpoznawać po wyglądzie wyrażenia.

Chwyt pierwszy — wyłącz wspólny czynnik. Gdy w obu składnikach powtarza się ten sam sinus albo cosinus:

\sin^3\alpha + \cos^2\alpha \sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{\sin\alpha}\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right) = \textcolor{#16A06A}{\sin\alpha} \cdot 1 = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}

Po wyłączeniu $\textcolor{#16A06A}{\sin\alpha}$ w nawiasie została dokładnie jedynka trygonometryczna — i całe wyrażenie zwinęło się do jednego symbolu.

Chwyt drugi — rozpoznaj różnicę kwadratów. Gdy widzisz iloczyn sumy przez różnicę:

(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1 - \cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}

Najpierw wzór skróconego mnożenia, dopiero potem jedynka. Kolejność jest istotna — bez wymnożenia nie widać, że da się coś uprościć.

Chwyt trzeci — zamień jedynkę na sumę kwadratów. Gdy w wyrażeniu stoi samotna $1$ , a wokół są kwadraty funkcji:

\cos\alpha - \cos\alpha\sin^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{\cos\alpha}(1 - \sin^2\alpha) = \textcolor{#E0453A}{\cos^3\alpha}

W tym przykładzie połączyły się dwa chwyty: najpierw wyłączenie czynnika, potem zamiana $1-\sin^2\alpha$ na $\cos^2\alpha$ .

Jak rozpoznać, który chwyt zastosować

Powtarzający się czynnik w składnikach → wyłącz go przed nawias i sprawdź, co zostało w środku.

Iloczyn postaci $(a-b)(a+b)$ → wymnóż wzorem skróconego mnożenia, potem patrz na jedynkę.

Samotna jedynka obok kwadratów → zamień ją albo odczytaj $1 - \sin^2$ jako $\cos^2$ .

Jeśli żaden nie pasuje od razu, sprowadź wszystko do jednej funkcji — zwykle do sinusa — i dopiero wtedy szukaj uproszczenia.

3Tangens i cotangens

Drugi wzór z punktu 2 podstawy wiąże tangens z pozostałymi funkcjami.

\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Warunek: $\cos\alpha \neq 0$ . Dla $\alpha = 90°$ cosinus wynosi zero, więc tangens nie istnieje — to nie jest wyjątek do zapamiętania, tylko zakaz dzielenia przez zero.

Wzór działa też w drugą stronę: znając tangens i jedną z pozostałych funkcji, można wyznaczyć trzecią.

mam	chcę	jak
$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	z jedynki: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ dla kąta ostrego
$\sin\alpha$ i $\cos\alpha$	$\tg\alpha$	podzielić jedno przez drugie
$\tg\alpha$ i $\cos\alpha$	$\sin\alpha$	pomnożyć: $\sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha$

Z jednej wartości wynikają więc dwie pozostałe — pod warunkiem, że wiadomo, w której ćwiartce leży kąt, bo pierwiastek sam z siebie nie rozstrzyga znaku.

Cotangens — poza zakresem podstawowym

Podstawa dla liceum wymienia w dziale VII wyłącznie sinus, cosinus i tangens. Cotangensa tam nie ma, mimo że pojawia się w części podręczników i w tytułach zadań.

Jeśli go spotkasz, to po prostu odwrotność tangensa: $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ , a stąd $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$ .

Do matury podstawowej nie jest potrzebny. Warto jednak wiedzieć, co oznacza zapis, żeby nie zgubić się w treści zadania.

Tożsamość z tangensem — do wyprowadzenia, nie do pamiętania

Z jedynki wyprowadza się jeszcze jedną tożsamość — po podzieleniu obu jej stron przez $\cos^2\alpha$ (przy $\cos\alpha \neq 0$ ):

$1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Podstawa nie wymienia jej w żadnym zakresie — ani w punkcie 2 dla podstawowego, ani wśród ośmiu punktów rozszerzonego. Nie ma jej też w karcie wzorów CKE, której rozdział o trygonometrii kończy się na okresowości funkcji. Nie trzeba jej jednak pamiętać: to jedynka podzielona przez $\cos^2\alpha$ i odtwarza się ją w jednej linijce, gdy akurat jest potrzebna.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wyłączanie czynnika, różnica kwadratów i wyrażenie z ułamkami.

Przykład 1 Wyłączanie wspólnego czynnika

Uprość wyrażenie $3\sin^3\alpha\cos\alpha + 3\sin\alpha\cos^3\alpha$ .

Patrzę, co powtarza się w obu składnikach: trójka, $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ .
Wyłączam wszystko trzy naraz: $\textcolor{#16A06A}{3\sin\alpha\cos\alpha}\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right)$ .
W nawiasie została jedynka trygonometryczna, czyli $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
$3\sin^3\alpha\cos\alpha + 3\sin\alpha\cos^3\alpha = \textcolor{#16A06A}{3\sin\alpha\cos\alpha}$
Kontrola dla $\alpha = 45°$ : $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}7071$ .
Lewa strona: $3 \cdot 0{,}7071^3 \cdot 0{,}7071 + 3 \cdot 0{,}7071 \cdot 0{,}7071^3 \approx 0{,}75 + 0{,}75 \approx 1{,}5$
Prawa strona: $3 \cdot 0{,}7071 \cdot 0{,}7071 \approx 1{,}5$ ✓ — obie strony dają tę samą liczbę
Znak $\approx$ jest tu konieczny, bo $0{,}7071$ to zaokrąglenie $\frac{\sqrt2}{2}$ . Dokładnie wychodzi $\frac{3}{2}$ , ale po drodze rachunek daje $1{,}49997\ldots$
Kontrola dla $\alpha = 30°$ : $\sin 30° = 0{,}5$ , $\cos 30° \approx 0{,}8660$ . Lewa $\approx 1{,}299$ , prawa $\approx 1{,}299$ ✓

Odpowiedź: $3\sin\alpha\cos\alpha$

Sprawdzenie na dwóch różnych kątach jest tu istotne. Tożsamość ma zachodzić dla każdego kąta, więc zgodność przy jednej wartości mogłaby być przypadkiem — przy dwóch już nie.

Przykład 2 Różnica kwadratów przed jedynką

Oblicz wartość wyrażenia $(1 - \cos 20°)(1 + \cos 20°) - \sin^2 20°$ .

Pierwszy nawias razy drugi to różnica kwadratów: $(1-\cos 20°)(1+\cos 20°) = 1^2 - \cos^2 20° = \textcolor{#16A06A}{1 - \cos^2 20°}$ .
Z jedynki: $\textcolor{#16A06A}{1 - \cos^2 20°} = \textcolor{#E0453A}{\sin^2 20°}$ .
Wstawiam z powrotem: $\textcolor{#E0453A}{\sin^2 20°} - \sin^2 20° = \textcolor{#2F80D8}{0}$ .
Wartość wyrażenia wynosi $\textcolor{#2F80D8}{0}$ — niezależnie od kąta, bo nigdzie nie skorzystałem z tego, że jest to akurat $20°$ .
Kontrola liczbowa: $\cos 20° \approx 0{,}9397$ , więc $(1-0{,}9397)(1+0{,}9397) \approx 0{,}0603 \cdot 1{,}9397 \approx 0{,}11698$ .
$\sin 20° \approx 0{,}3420$ , więc $\sin^2 20° \approx 0{,}11698$ .
Różnica: $0{,}11698 - 0{,}11698 = \textcolor{#2F80D8}{0}$ ✓

Odpowiedź: Wyrażenie jest równe $0$ .

Stopnie w treści są kamuflażem. Kto sięgnie po tablice albo kalkulator, straci czas i narazi się na błąd zaokrągleń; kto zobaczy różnicę kwadratów, kończy w dwóch linijkach.

Przykład 3 Wyrażenie z dwoma ułamkami

Dla kąta ostrego $\alpha$ oblicz wartość iloczynu $\dfrac{\cos\alpha}{1 - \sin^2\alpha} \cdot \dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha}$ .

Zamieniam mianownik pierwszego ułamka: $1 - \sin^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{\cos^2\alpha}$ .
Zamieniam licznik drugiego: $1 - \cos^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha}$ .
Iloczyn przyjmuje postać $\dfrac{\cos\alpha}{\textcolor{#16A06A}{\cos^2\alpha}} \cdot \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}$ .
Skracam każdy ułamek osobno: pierwszy daje $\dfrac{1}{\cos\alpha}$ , drugi daje $\sin\alpha$ .
$\dfrac{1}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\tg\alpha}$
Kontrola dla $\alpha = 60°$ : $\sin 60° \approx 0{,}8660$ , $\cos 60° = 0{,}5$ .
Pierwszy ułamek: $\frac{0{,}5}{1 - 0{,}75} = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2$ . Drugi: $\frac{1 - 0{,}25}{0{,}8660} = \frac{0{,}75}{0{,}8660} \approx 0{,}8660$ .
Iloczyn: $2 \cdot 0{,}8660 \approx 1{,}732$ , a $\tg 60° = \sqrt3 \approx 1{,}732$ ✓

Odpowiedź: Iloczyn jest równy $\tg\alpha$ .

Zadanie łączy oba wzory z punktu 2 podstawy: najpierw jedynka zamienia mianowniki i liczniki, potem definicja tangensa rozpoznaje wynik. Zastrzeżenie „kąt ostry” gwarantuje, że sinus i cosinus są dodatnie i nie trzeba pilnować znaków.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy samego zapisu.

Odczytanie $\sin^2\alpha$ jako sinusa kwadratu kąta

Skąd się bierze: Zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$ , czyli najpierw liczymy sinus, a potem podnosimy do kwadratu. Odczytanie go jako $\sin(\alpha^2)$ prowadzi do zupełnie innej liczby i do wyniku, w którym jedynka nigdy się nie pojawi.

Jak zrobić dobrze: Czytaj wykładnik przy nazwie funkcji jako potęgę wartości. Kontrola dla $\alpha = 30°$ : $\sin^2 30° = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , a $\sin(900°)$ to coś zupełnie innego.

Sięganie po tablice, gdy w treści stoją konkretne stopnie

Skąd się bierze: Zadania typu „oblicz $(1-\cos 20°)(1+\cos 20°) - \sin^2 20°$ ” wyglądają na rachunkowe, a są tożsamościowe. Wartości $20°$ nie ma w tablicach dokładnych, więc rachunek daje przybliżenie i traci się czas.

Jak zrobić dobrze: Zanim policzysz cokolwiek, sprawdź, czy wyrażenie nie zwija się jedynką. Jeśli kąt jest „dziwny” — na przykład $20°$ albo $27°$ — to niemal pewny sygnał, że nie trzeba go liczyć.

Pomijanie warunku $\cos\alpha \neq 0$ przy tangensie

Skąd się bierze: Wzór $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ jest ułamkiem, więc dla $\alpha = 90°$ traci sens — mianownik się zeruje. Zapisanie „ $\tg 90° =$ coś” jest błędem merytorycznym, a nie usterką rachunku.

Jak zrobić dobrze: Przy każdym użyciu tangensa sprawdź, czy cosinus nie zeruje się dla rozważanego kąta. W zadaniach z kątem ostrym problem nie występuje, ale przy kątach do $180°$ już tak.

Traktowanie tożsamości z tangensem jako materiału podstawowego

Skąd się bierze: Wzór $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ nie jest wymieniony w punkcie 2 podstawy dla zakresu podstawowego. Uczenie się go na pamięć zamiast dwóch wzorów wymaganych to zmarnowany wysiłek przed maturą podstawową.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj dwa wzory z podstawy. Tożsamość z tangensem umiesz wtedy wyprowadzić w jednej linijce — dzieląc jedynkę przez $\cos^2\alpha$ — więc nie musisz jej pamiętać osobno.

Zadania maturalne — jedynka trygonometryczna i upraszczanie wyrażeń

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cała ta strona stoi na jednym wzorze, zwanym jedynką trygonometryczną:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

. Warto go pamiętać w trzech postaciach, bo w zadaniach pojawia się najczęściej w drugiej albo trzeciej:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha

1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha

. Do tego jedna definicja:

\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

. Praktyczna wskazówka do całej strony: szukaj wspólnego czynnika — po jego wyciągnięciu w nawiasie prawie zawsze zostaje

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha

, czyli jedynka, i całe wyrażenie się zapada.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 10 zadań, więc dostaniesz wszystkie — tylko w losowej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Wartość wyrażenia

\left(1 - \cos 20^\circ\right) \cdot \left(1 + \cos 20^\circ\right) - \sin^2 20^\circ

jest równa

A. $(-1)$
B. $0$
C. $1$
D. $20$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Iloczyn dwóch nawiasów różniących się tylko znakiem to wzór na różnicę kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
$\left(1 - \textcolor{#16A06A}{\cos 20^\circ}\right)\left(1 + \textcolor{#16A06A}{\cos 20^\circ}\right) = 1^2 - \textcolor{#E0453A}{\cos^2 20^\circ} = \textcolor{#E0453A}{1 - \cos^2 20^\circ}$
Teraz jedynka trygonometryczna w trzeciej postaci: $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ , więc
$\textcolor{#E0453A}{1 - \cos^2 20^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\sin^2 20^\circ}$
Wracamy do całego wyrażenia:
$\textcolor{#E0453A}{\sin^2 20^\circ} - \textcolor{#16A06A}{\sin^2 20^\circ} = 0$
Odpowiedź: $0$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\cos 20^\circ \approx 0{,}9397$ , więc $(1 - 0{,}9397)(1 + 0{,}9397) \approx 0{,}0603 \cdot 1{,}9397 \approx 0{,}1170$ . Z drugiej strony $\sin 20^\circ \approx 0{,}3420$ , więc $\sin^2 20^\circ \approx 0{,}1170$ ✓ Różnica wynosi zero.
Zwróć uwagę, że miara kąta w ogóle nie miała znaczenia — wyrażenie jest równe zero dla dowolnego kąta. Dwadzieścia stopni jest tu tylko po to, żeby nie było widać, że wynik jest stały.

💡 Wskazówka: Gdy widzisz dwa nawiasy różniące się wyłącznie znakiem, nie mnóż ich „na krzyż” — od razu użyj wzoru na różnicę kwadratów. Zostanie $1 - \cos^2 20^\circ$ , a to jest jedynka trygonometryczna przestawiona na drugą stronę. Jedynka jest w tych zadaniach niemal zawsze schowana właśnie w takiej postaci: jako $1$ minus kwadrat jednej z funkcji.

⚠ Wybór odpowiedzi $1$ (C) przez pomylenie znaków przy wzorze skróconego mnożenia i wyjście na $1 + \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ$ . Drugi błąd: uznanie, że $1 - \cos^2 20^\circ$ to $\cos^2 20^\circ$ (zamiast $\sin^2$ ) i podanie $-1$ (A) — jedynka minus kwadrat cosinusa daje kwadrat sinusa, funkcje się wymieniają. Odpowiedź $20$ (D) jest wstawiona dla kogoś, kto potraktuje liczbę stopni jako wartość liczbową do rachunku; miara kąta nie wchodzi tu do wyniku w żaden sposób.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Liczba

1 + \cos^2 27^\circ

jest równa

A. $2 - \sin^2 27^\circ$
B. $\sin^2 27^\circ$
C. $2 + \sin^2 27^\circ$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Odpowiedzi są zapisane przez sinus, a w treści jest cosinus — więc zadanie polega na zamianie jednej funkcji na drugą. Robi to jedynka trygonometryczna.
Z $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ wynika, że
$\textcolor{#16A06A}{\cos^2 27^\circ} = 1 - \textcolor{#E0453A}{\sin^2 27^\circ}$
Podstawiamy:
$1 + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 27^\circ} = 1 + \left(1 - \textcolor{#E0453A}{\sin^2 27^\circ}\right) = 2 - \textcolor{#E0453A}{\sin^2 27^\circ}$
Odpowiedź: $2 - \sin^2 27^\circ$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $\cos 27^\circ \approx 0{,}8910$ , więc lewa strona to $1 + 0{,}7939 = \textcolor{#E0453A}{1{,}7939}$ . Prawa: $\sin 27^\circ \approx 0{,}4540$ , więc $2 - 0{,}2061 = \textcolor{#E0453A}{1{,}7939}$ ✓
Warto zapamiętać ten schemat: żeby wymienić $\cos^2$ na $\sin^2$ , odejmujesz od jedynki — i przy okazji zmienia się znak przed kwadratem. Dlatego z plusa w treści zrobił się minus w odpowiedzi.

💡 Wskazówka: Popatrz na odpowiedzi przed rachunkiem: jeśli są zapisane przez inną funkcję niż treść, całe zadanie jest tylko podstawieniem jedynki trygonometrycznej. Nie ma tu nic do liczenia — trzeba tylko poprawnie wymienić $\cos^2$ na $1 - \sin^2$ i uporządkować.

⚠ Podstawienie $\cos^2 27^\circ = \sin^2 27^\circ - 1$ , czyli odwrócenie kolejności odejmowania, i wyjście na $\sin^2 27^\circ$ (odpowiedź B). Kontrola: kwadrat sinusa i kwadrat cosinusa są nieujemne i nie większe od $1$ , więc $\sin^2 - 1$ byłoby liczbą niedodatnią, a $\cos^2 27^\circ$ jest wyraźnie dodatnie. Drugi błąd: zapomnienie o znaku i wybór $2 + \sin^2 27^\circ$ (C) — liczba większa od $2$ , podczas gdy $1 + \cos^2$ nie może przekroczyć $2$ .

Zadanie 3 (maj 2024)1 pktśrednie

Liczba

\sin^3 20^\circ + \cos^2 20^\circ \cdot \sin 20^\circ

jest równa

A. $\cos 20^\circ$
B. $\sin 20^\circ$
C. $\operatorname{tg} 20^\circ$
D. $\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy wspólnego czynnika. W obu składnikach jest $\sin 20^\circ$ — w pierwszym w trzeciej potędze, w drugim w pierwszej. Wyciągamy najniższą potęgę:
$\textcolor{#16A06A}{\sin^3 20^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 20^\circ} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sin 20^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\sin 20^\circ}\left(\textcolor{#E0453A}{\sin^2 20^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 20^\circ}\right)$
(bo $\sin^3 = \sin \cdot \sin^2$ )
W nawiasie stoi jedynka trygonometryczna:
$\textcolor{#E0453A}{\sin^2 20^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 20^\circ} = \textcolor{#E0453A}{1}$
$\textcolor{#E0453A}{\sin 20^\circ} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \sin 20^\circ$
Odpowiedź: $\sin 20^\circ$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\sin 20^\circ \approx 0{,}3420$ , $\cos 20^\circ \approx 0{,}9397$ .
Lewa strona: $0{,}3420^3 + 0{,}9397^2 \cdot 0{,}3420 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}0400} + \textcolor{#E0453A}{0{,}3020} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}3420}$ ✓ — dokładnie $\sin 20^\circ$ .
To jest wzorzec całej tej strony: wyciągnij wspólny czynnik i sprawdź, czy w nawiasie nie zostaje jedynka. Jeśli zostaje, wyrażenie upraszcza się do samego czynnika.

💡 Wskazówka: Nie licz potęg — rozkładaj na czynniki. Zapisz $\sin^3 20^\circ$ jako $\sin 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ$ i od razu widać, co jest wspólne. Zadania na tej stronie prawie nigdy nie wymagają kalkulatora; wymagają zauważenia, że po wyciągnięciu czynnika w nawiasie zostaje suma kwadratów sinusa i cosinusa.

⚠ Wyciągnięcie przed nawias $\sin^2 20^\circ$ zamiast $\sin 20^\circ$ — wtedy w nawiasie zostaje $\sin 20^\circ + \tfrac{\cos^2 20^\circ}{\sin 20^\circ}$ , czyli nic się nie upraszcza. Wyciąga się najniższą występującą potęgę. Drugi błąd: wybór odpowiedzi D ( $\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ$ ) przez wyciągnięcie iloczynu $\sin \cdot \cos$ , którego w pierwszym składniku w ogóle nie ma — $\sin^3$ nie zawiera cosinusa.

Zadanie 4 (maj 2023)1 pktśrednie

Dla każdego kąta ostrego

\alpha

wyrażenie

\sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha

jest równe

A. $\sin^2\alpha$
B. $\sin^6\alpha \cdot \cos^2\alpha$
C. $\sin^4\alpha + 1$
D. $\sin^2\alpha \cdot \left(\sin\alpha + \cos\alpha\right) \cdot \left(\sin\alpha - \cos\alpha\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wspólnym czynnikiem jest $\sin^2\alpha$ — najniższa potęga sinusa występująca w obu składnikach.
$\textcolor{#16A06A}{\sin^4\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} \cdot \textcolor{#16A06A}{\cos^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}\left(\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}\right)$
(bo $\sin^4\alpha = \sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$ )
$= \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \sin^2\alpha$
Odpowiedź: $\sin^2\alpha$ , czyli A.
Kontrola na konkretnym kącie — weźmy $\alpha = 30^\circ$ , gdzie $\sin\alpha = \tfrac12$ i $\cos\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}$ :
Lewa strona: $\left(\tfrac12\right)^4 + \left(\tfrac12\right)^2 \cdot \left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{16}} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac34} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{16}} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{4}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14}$
Prawa strona: $\sin^2 30^\circ = \left(\tfrac12\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14}$ ✓
Uwaga na odpowiedź D. Wygląda uczenie, ale jest to $\sin^2\alpha\left(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha\right)$ , czyli różnica w nawiasie, nie suma. Różnica kwadratów sinusa i cosinusa nie jest jedynką i niczego nie upraszcza — to celowo podstawiona pułapka na kogoś, kto pamięta wzór na różnicę kwadratów, ale nie sprawdza znaku.

💡 Wskazówka: Sprawdzenie na konkretnym kącie jest tu szybsze niż jakiekolwiek przekształcanie odpowiedzi. Weź $\alpha = 30^\circ$ albo $45^\circ$ (gdzie $\sin = \cos = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ), policz lewą stronę i porównaj z czterema opcjami. Jeśli zadanie mówi „dla każdego kąta ostrego”, to jeden kontrprzykład wystarczy, żeby odrzucić odpowiedź.

⚠ Wybór odpowiedzi D, bo zawiera wzór na różnicę kwadratów. Rozwinięcie D daje $\sin^2\alpha\left(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha\right)$ , czyli minus tam, gdzie w naszym rozkładzie jest plus — a tylko suma daje jedynkę. Drugi błąd: pomnożenie potęg zamiast dodania składników i wybór $\sin^6\alpha \cos^2\alpha$ (B); $\sin^4 + \sin^2\cos^2$ to suma, nie iloczyn. Odpowiedź C ( $\sin^4\alpha + 1$ ) to potraktowanie drugiego składnika jako jedynki — ale jedynka wychodzi tylko wtedy, gdy $\sin^2$ i $\cos^2$ stoją obok siebie jako suma, a nie iloczyn.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Dla każdego kąta ostrego

\alpha

wyrażenie

\cos\alpha - \cos\alpha \cdot \sin^2\alpha

jest równe

A. $\cos^3\alpha$
B. $\sin^2\alpha$
C. $1 - \sin^2\alpha$
D. $\cos\alpha$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tym razem między składnikami jest minus, więc po wyciągnięciu czynnika w nawiasie zostanie różnica — i to jest jedynka w drugiej postaci.
$\textcolor{#16A06A}{\cos\alpha} - \textcolor{#16A06A}{\cos\alpha} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\cos\alpha}\left(1 - \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}\right)$
Jedynka trygonometryczna: $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ , więc
$\textcolor{#E0453A}{\cos\alpha} \cdot \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha} = \cos^3\alpha$
Odpowiedź: $\cos^3\alpha$ , czyli A.
Kontrola dla $\alpha = 60^\circ$ , gdzie $\cos\alpha = \tfrac12$ i $\sin\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}$ :
Lewa strona: $\tfrac12 - \tfrac12 \cdot \tfrac34 = \tfrac12 - \textcolor{#E0453A}{\tfrac38} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac18}$
Prawa strona: $\cos^3 60^\circ = \left(\tfrac12\right)^3 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac18}$ ✓
Skąd biorą się dystraktory. Odpowiedź C to sam nawias, czyli zatrzymanie się o jeden krok za wcześnie — $1 - \sin^2\alpha$ jest prawidłowym etapem, ale nie odpowiedzią, bo pominięto czynnik przed nawiasem. Odpowiedź D ( $\cos\alpha$ ) powstaje, gdy ktoś zamieni nawias na jedynkę zamiast na $\cos^2\alpha$ — jedynka wychodzi z sumy kwadratów, a tu jest różnica jedynki i kwadratu.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na to, czego nawias dotyczy. Po wyciągnięciu $\cos\alpha$ w nawiasie zostaje $1 - \sin^2\alpha$ , czyli $\cos^2\alpha$ — a nie jedynka. Dwa czynniki $\cos\alpha \cdot \cos^2\alpha$ mnożą się do trzeciej potęgi. Najczęstsza pomyłka na tej stronie to mieszanie „ $\sin^2 + \cos^2 = 1$ ” z „ $1 - \sin^2 = \cos^2$ ”; to ten sam wzór, ale wstawia się go w różnych miejscach.

⚠ Zatrzymanie się na nawiasie i wybór $1 - \sin^2\alpha$ (odpowiedź C) — trzeba jeszcze pomnożyć przez wyciągnięty $\cos\alpha$ . Odpowiedź C jest zresztą równa $\cos^2\alpha$ , więc różni się od poprawnej dokładnie jednym czynnikiem. Drugi błąd: uznanie nawiasu za jedynkę i wybór $\cos\alpha$ (D). Kontrola dla $\alpha = 60^\circ$ rozstrzyga to natychmiast: wyrażenie ma wartość $\tfrac18$ , a $\cos 60^\circ = \tfrac12$ i $1 - \sin^2 60^\circ = \tfrac14$ — żadna z tych liczb nie jest równa $\tfrac18$ .

Zadanie 6 (czerwiec 2015)1 pktśrednie

Wyrażenie

3\sin^3\alpha \cos\alpha + 3\sin\alpha \cos^3\alpha

może być przekształcone do postaci

A. $3$
B. $3\sin\alpha \cos\alpha$
C. $3\sin^3\alpha \cos^3\alpha$
D. $6\sin^4\alpha \cos^4\alpha$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tutaj wspólny czynnik jest złożony — składa się z trójki, sinusa i cosinusa. Wypiszmy oba składniki w rozłożonej postaci:
$\textcolor{#16A06A}{3}\textcolor{#16A06A}{\sin^3\alpha}\textcolor{#16A06A}{\cos\alpha} = \textcolor{#E0453A}{3}\cdot\textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}\cdot\textcolor{#E0453A}{\cos\alpha}\cdot\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}$
$\textcolor{#16A06A}{3}\textcolor{#16A06A}{\sin\alpha}\textcolor{#16A06A}{\cos^3\alpha} = \textcolor{#E0453A}{3}\cdot\textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}\cdot\textcolor{#E0453A}{\cos\alpha}\cdot\textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}$
Wspólne jest $\textcolor{#E0453A}{3\sin\alpha\cos\alpha}$ , a różni się to, co zostaje na końcu:
$\textcolor{#E0453A}{3\sin\alpha\cos\alpha}\left(\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}\right) = \textcolor{#E0453A}{3\sin\alpha\cos\alpha} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = 3\sin\alpha\cos\alpha$
Odpowiedź: $3\sin\alpha\cos\alpha$ , czyli B.
Kontrola dla $\alpha = 45^\circ$ , gdzie $\sin\alpha = \cos\alpha = \tfrac{\sqrt2}{2}$ , a więc każda z tych liczb podniesiona do kwadratu daje $\tfrac12$ :
Lewa strona: $3 \cdot \left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} + 3 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} \cdot \left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} + 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac32}$
Prawa strona: $3 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac32}$ ✓
Zwróć uwagę, że trójka nie zmienia się w niczym — stała przed wyrażeniem przechodzi przez cały rachunek nietknięta. Odpowiedź A ( $3$ ) powstaje, gdy ktoś uprości wszystko poza nią, czyli uzna cały iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha$ za część jedynki.

💡 Wskazówka: Przy złożonym wspólnym czynniku wypisz oba składniki jako iloczyny pojedynczych czynników — dopiero wtedy widać, co jest wspólne. Reguła: z każdej funkcji bierzesz najniższą potęgę, jaka występuje w obu składnikach. Tu sinus występuje w potęgach $3$ i $1$ , więc bierzesz $\sin^1$ ; cosinus w potęgach $1$ i $3$ , więc bierzesz $\cos^1$ .

⚠ Wybór odpowiedzi $3$ (A) przez uznanie, że upraszcza się cały iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha$ . Jedynka pochłania tylko to, co stoi w nawiasie — czynnik wyciągnięty przed nawias zostaje. Drugi błąd: pomnożenie składników zamiast dodania i wybór C albo D; wyrażenie jest sumą dwóch iloczynów, a nie iloczynem. Kontrola dla $\alpha = 45^\circ$ odrzuca wszystkie trzy dystraktory naraz: wartość to $\tfrac32$ , a $3$ , $3 \cdot \tfrac18 = \tfrac38$ i $6 \cdot \tfrac{1}{16} = \tfrac38$ to zupełnie inne liczby.

Zadanie 7 (czerwiec 2013)1 pkttrudniejsze

Dla każdego kąta ostrego

\alpha

wyrażenie

\sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^4\alpha

jest równe

A. $2\sin^2\alpha$
B. $2\cos^2\alpha$
C. $1$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trzy składniki i żaden wspólny czynnik dla wszystkich trzech — trzeba więc grupować. Kluczowe jest to, że jedynkę użyjemy tu dwa razy.
Grupujemy dwa ostatnie składniki, bo w nich wspólny jest $\cos^2\alpha$ :
$\textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} + \underbrace{\textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha}\textcolor{#16A06A}{\cos^2\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\cos^4\alpha}}_{\text{wspólny czynnik } \cos^2\alpha}$
$= \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}\left(\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}\right)$
Pierwsze użycie jedynki — nawias zwija się do $\textcolor{#E0453A}{1}$ :
$= \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}$
Drugie użycie jedynki — a to, co zostało, samo jest jedynką:
$\textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha} = 1$
Odpowiedź: $1$ , czyli C.
Kontrola dla $\alpha = 30^\circ$ ( $\sin^2\alpha = \tfrac14$ , $\cos^2\alpha = \tfrac34$ ):
$\textcolor{#E0453A}{\tfrac14} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac34} + \left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac34}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3}{16}} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac{9}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{4}{16}} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3}{16}} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac{9}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{16}{16}} = 1$ ✓
Druga kontrola, dla $\alpha = 45^\circ$ ( $\sin^2\alpha = \cos^2\alpha = \tfrac12$ ): $\tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac14 = \tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac14 = 1$ ✓ Dwa różne kąty dają tę samą wartość, co potwierdza, że wynik jest stały.

💡 Wskazówka: Gdy składników jest trzy, sprawdź, czy dwa z nich nie mają wspólnego czynnika. Tu $\cos^2\alpha$ jest wspólny dla drugiego i trzeciego, i po jego wyciągnięciu zostaje jedynka. To zwykle nie koniec — po pierwszym uproszczeniu warto od razu spojrzeć, czy nie powstała kolejna jedynka. Tutaj powstała.

⚠ Zatrzymanie się po pierwszym uproszczeniu na $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ i zapisanie tego jako odpowiedzi — ale to jest po prostu $1$ , więc taki „niedokończony” wynik nie ma odpowiednika na liście i zmusza do powrotu. Drugi błąd: wyciągnięcie $\sin^2\alpha$ z dwóch pierwszych składników; zostaje wtedy $\sin^2\alpha\left(1 + \cos^2\alpha\right) + \cos^4\alpha$ , co jest poprawne, ale nawias nie jest jedynką i nic się nie zapada. Wybór grupowania decyduje o tym, czy zadanie się rozwiąże w dwóch krokach czy w ogóle.

Zadanie 8 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Liczba

\dfrac{\sin^3 25^\circ + \sin 25^\circ \cdot \cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}

jest równa

A. $\sin 25^\circ$
B. $\cos 25^\circ$
C. $\operatorname{tg} 25^\circ$
D. $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zaczynamy od licznika — mianownik zostawiamy w spokoju, dopóki licznik się nie uprości.
$\textcolor{#16A06A}{\sin^3 25^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\sin 25^\circ} \cdot \textcolor{#16A06A}{\cos^2 25^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\sin 25^\circ}\left(\textcolor{#E0453A}{\sin^2 25^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 25^\circ}\right) = \textcolor{#E0453A}{\sin 25^\circ} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{\sin 25^\circ}$
Teraz cały ułamek:
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin 25^\circ}}{\textcolor{#16A06A}{\cos 25^\circ}} = \operatorname{tg} 25^\circ$
— bo z definicji $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .
Odpowiedź: $\operatorname{tg} 25^\circ$ , czyli C.
Kontrola liczbowa: $\sin 25^\circ \approx 0{,}4226$ , $\cos 25^\circ \approx 0{,}9063$ .
Licznik: $0{,}4226^3 + 0{,}4226 \cdot 0{,}9063^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}0755} + \textcolor{#E0453A}{0{,}3471} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4226}$ — czyli faktycznie $\sin 25^\circ$ ✓
Cały ułamek: $\tfrac{0{,}4226}{0{,}9063} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4663}$ , a $\operatorname{tg} 25^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4663}$ ✓
To zadanie łączy dwie rzeczy z tej strony: jedynkę w liczniku i definicję tangensa na końcu. Rozpoznanie ułamka $\tfrac{\sin}{\cos}$ jako tangensa jest tu równie ważne jak samo uproszczenie.

💡 Wskazówka: Przy ułamku upraszczaj licznik i mianownik osobno, a dopiero na końcu patrz na całość. Kiedy po uproszczeniu zostaje $\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , odpowiedzią jest tangens — ten ułamek to jego definicja, nie wynik do dalszego liczenia. Odwrotnie też warto pamiętać: $\tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ to cotangens.

⚠ Uproszczenie licznika do $\sin 25^\circ$ i podanie tego jako odpowiedzi (A) — czyli zapomnienie o mianowniku. Drugi błąd: skrócenie $\cos^2 25^\circ$ z mianownika $\cos 25^\circ$ przed wyciągnięciem wspólnego czynnika. Nie wolno tak skracać, bo mianownik dotyczy całego licznika, a nie jego drugiego składnika — skracać można tylko czynniki, a licznik jest w tym momencie sumą. Trzeci błąd: wybór $1$ (D) przez uznanie, że wszystko się zwija do jedynki.

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Dla każdego kąta ostrego

\alpha

iloczyn

\dfrac{\cos\alpha}{1 - \sin^2\alpha} \cdot \dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha}

jest równy

A. $\sin\alpha$
B. $\operatorname{tg}\alpha$
C. $\cos\alpha$
D. $\sin^2\alpha$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

W obu mianownikach i licznikach siedzi jedynka trygonometryczna — tylko w dwóch różnych postaciach. Zamieniamy je i wszystko się skraca.
Pierwszy ułamek. W mianowniku $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ :
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\cos\alpha}}{\textcolor{#16A06A}{1 - \sin^2\alpha}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\cos\alpha}}{\textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{\cos\alpha}}$
Drugi ułamek. W liczniku $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ :
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{1 - \cos^2\alpha}}{\textcolor{#16A06A}{\sin\alpha}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}}{\textcolor{#16A06A}{\sin\alpha}} = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}$
Mnożymy oba wyniki:
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{\cos\alpha}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}}{\textcolor{#E0453A}{\cos\alpha}} = \operatorname{tg}\alpha$
Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$ , czyli B.
Kontrola dla $\alpha = 60^\circ$ ( $\sin\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}$ , $\cos\alpha = \tfrac12$ , $\sin^2\alpha = \tfrac34$ , $\cos^2\alpha = \tfrac14$ ):
Pierwszy ułamek: $\dfrac{1/2}{1 - 3/4} = \dfrac{1/2}{1/4} = \textcolor{#E0453A}{2}$ . Drugi: $\dfrac{1 - 1/4}{\sqrt3/2} = \dfrac{3/4}{\sqrt3/2} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{2\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{2}}$ .
Iloczyn: $2 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ , a $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt3$ ✓
Zwróć uwagę na symetrię tego zadania: pierwszy ułamek zamienia się w odwrotność cosinusa, drugi w sinus — i dopiero ich iloczyn daje tangens. Żaden z ułamków osobno nie jest funkcją trygonometryczną z listy odpowiedzi.

💡 Wskazówka: Rozpoznaj obie postacie jedynki, zanim zaczniesz mnożyć: $1 - \sin^2\alpha$ to $\cos^2\alpha$ , a $1 - \cos^2\alpha$ to $\sin^2\alpha$ . Łatwo je pomylić, bo wyglądają podobnie — zapamiętaj, że funkcja się wymienia: odejmując od jedynki kwadrat sinusa, dostajesz cosinus, i odwrotnie. Po zamianie każdy ułamek skraca się do jednego czynnika.

⚠ Zamiana $1 - \sin^2\alpha$ na $\sin^2\alpha$ (albo $1 - \cos^2\alpha$ na $\cos^2\alpha$ ), czyli niezamienienie funkcji. Wtedy pierwszy ułamek daje $\tfrac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$ , drugi $\tfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$ , a iloczyn wychodzi $\tfrac{\cos^3\alpha}{\sin^3\alpha}$ — czyli cotangens do trzeciej, czego nie ma wśród odpowiedzi. Drugi błąd: skrócenie $\cos\alpha$ z $\cos^2\alpha$ jako „zostaje $\cos\alpha$ ” zamiast $\tfrac{1}{\cos\alpha}$ ; przy skracaniu potęg zostaje ta o większym wykładniku, a stała ona w mianowniku, więc wynik też jest w mianowniku.

Zadanie 10 (czerwiec 2014)1 pkttrudniejsze

Miara kąta

\alpha

spełnia warunek:

0^\circ < \alpha < 90^\circ

. Wyrażenie

\dfrac{\cos^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} + \dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}

jest równe

A. $1$
B. $2\cos^2\alpha$
C. $2$
D. $2\sin^2\alpha$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowa obserwacja: w każdym z dwóch ułamków licznik i mianownik są sobie równe — trzeba to tylko zobaczyć przez jedynkę trygonometryczną.
Pierwszy ułamek. Mianownik $1 - \sin^2\alpha$ to $\cos^2\alpha$ , czyli dokładnie to samo co licznik:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\cos^2\alpha}}{\textcolor{#16A06A}{1 - \sin^2\alpha}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}}{\textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Drugi ułamek. Licznik $1 - \cos^2\alpha$ to $\sin^2\alpha$ , czyli to samo co mianownik:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{1 - \cos^2\alpha}}{\textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}}{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Dodajemy:
$\textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{1} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli C.
Kontrola dla $\alpha = 30^\circ$ ( $\sin^2\alpha = \tfrac14$ , $\cos^2\alpha = \tfrac34$ ):
$\dfrac{3/4}{1 - 1/4} + \dfrac{1 - 3/4}{1/4} = \dfrac{3/4}{3/4} + \dfrac{1/4}{1/4} = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{1} = 2$ ✓
Po co jest warunek $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ? Nie do rachunku — do tego, żeby oba mianowniki były różne od zera. Dla $\alpha = 0^\circ$ mielibyśmy $\sin\alpha = 0$ i drugi ułamek byłby nieokreślony; dla $\alpha = 90^\circ$ zerowałby się mianownik pierwszego. Warunek gwarantuje więc, że wyrażenie ma sens, a nie zmienia jego wartości.
Podobnie jak w pierwszym zadaniu tej strony, wynik nie zależy od kąta — jest równy $2$ dla każdego kąta ostrego.

💡 Wskazówka: Przed dodawaniem ułamków sprawdź, czy każdy z nich nie upraszcza się osobno. Tu nie ma po co szukać wspólnego mianownika — po zamianie jedynek każdy ułamek ma licznik równy mianownikowi, więc jest równy $1$ . Zabranie się do sprowadzania do wspólnego mianownika prowadzi do znacznie dłuższego, choć poprawnego rachunku.

⚠ Wybór odpowiedzi $1$ (A) przez uproszczenie tylko jednego ułamka i zapomnienie o drugim, albo przez odruch „skoro wyrażenie trygonometryczne się upraszcza, to na pewno do jedynki”. Tu upraszczają się dwa ułamki, każdy do jedynki, a jedynka plus jedynka to dwa. Drugi błąd: zamiana $1 - \sin^2\alpha$ na $\sin^2\alpha$ , czyli niezamienienie funkcji; pierwszy ułamek daje wtedy $\tfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ , drugi $\tfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ , a suma $2\ctg^2\alpha$ — wyrażenie zależne od kąta, którego nie ma wśród odpowiedzi. To dobry sygnał ostrzegawczy: skoro wszystkie odpowiedzi poza jedną są stałe, wynik prawdopodobnie też jest stały.

Zadania otwarte

Zadanie 11 (informator CKE)3 pktśrednie

Oblicz

a - b

, gdy

a = \sin^4\alpha - \cos^4\alpha

b = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha

dla

\alpha = 60^\circ

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a - b = -\dfrac18$

Krok 1 — upraszczamy $a$ różnicą kwadratów. Wyrażenie $\textcolor{#16A06A}{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}$ to różnica kwadratów: $\left(\sin^2\alpha\right)^2 - \left(\cos^2\alpha\right)^2$ . Rozkładamy ją i korzystamy z jedynki:
$a = \left(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right) = \left(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha\right) \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$
Krok 2 — rozpoznajemy, czym jest $b$ . Tu warto zauważyć gotową tożsamość. Podnieśmy jedynkę do kwadratu:
$1 = \left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right)^2 = \sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$
Przenosimy środkowy składnik na lewą stronę:
$b = \textcolor{#16A06A}{1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha}$
Krok 3 — odejmujemy. Teraz $a$ i $b$ są zbudowane z tych samych składników, więc odejmowanie skraca się samo:
$a - b = \left(\sin^4\alpha - \cos^4\alpha\right) - \left(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha\right) = \textcolor{#E0453A}{-2\cos^4\alpha}$
Krok 4 — podstawiamy $\alpha = 60^\circ$ . Dopiero teraz wchodzi liczba, i to tylko jedna:
$\cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12} \qquad \Longrightarrow \qquad a - b = -2 \cdot \left(\textcolor{#E0453A}{\dfrac12}\right)^4 = -2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{16}} = -\dfrac18$
Odpowiedź: $a - b = -\dfrac18$ .
Kontrola drogą zupełnie inną — bez żadnego upraszczania, przez podstawienie od razu. Dla $\alpha = 60^\circ$ mamy $\sin^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac34}$ i $\cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14}$ , więc
$a = \left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac34}\right)^2 - \left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac14}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{9}{16}} - \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}, \qquad b = 1 - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac34} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} = 1 - \textcolor{#E0453A}{\tfrac38} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac58}$
$a - b = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} - \textcolor{#E0453A}{\tfrac58} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac48} - \textcolor{#E0453A}{\tfrac58} = -\dfrac18$ ✓ zgadza się
Uwaga o kluczu w arkuszu źródłowym. Zbiór, z którego wzięte jest to zadanie, podaje w kluczu odpowiedź $\tfrac14$ . To pomyłka i warto wiedzieć dlaczego, bo ta sama liczba krąży po zbiorach zadań. Wartość $\tfrac14$ wychodzi tylko wtedy, gdy w wyrażeniu na $b$ przeczytać $\cos\alpha$ zamiast $\cos^2\alpha$ : wtedy $b = 1 - 2 \cdot \tfrac34 \cdot \tfrac12 = \tfrac14$ , a $a - b = \tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14$ . Ale przy takim odczycie $b$ przestaje być czymkolwiek sensownym — całe zadanie jest zbudowane na tym, że $b = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$ , a ta tożsamość wymaga kwadratu cosinusa. Sprawdziłem wynik dwiema niezależnymi drogami (tożsamością i podstawieniem wprost) i obie dają $-\tfrac18$ .

💡 Wskazówka: Zadanie wygląda na rachunkowe, a jest tożsamościowe: najpierw upraszczaj, liczby podstawiaj na końcu. Po uproszczeniu zostaje $-2\cos^4\alpha$ , czyli jedno podstawienie zamiast czterech potęgowań. Dwie tożsamości warto mieć w pamięci, bo obie wracają w zadaniach z tej rodziny: $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ (różnica kwadratów plus jedynka) oraz $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ (kwadrat jedynki). Druga z nich jest tu podana wprost w treści — tylko w przebraniu, jako $b$ .

⚠ Podanie wyniku dodatniego, na przykład $\tfrac18$ — czyli odjęcie w odwrotnej kolejności. Pytanie brzmi $a - b$ , a $b = \tfrac58$ jest większe od $a = \tfrac12$ , więc wynik musi być ujemny. To dobra kontrola do zrobienia przed rachunkiem: skoro $a - b = -2\cos^4\alpha$ , a czwarta potęga jest zawsze nieujemna, to dla kąta ostrego wynik jest zawsze ujemny, niezależnie od miary kąta. Drugi błąd: liczenie $\sin^4 60^\circ$ jako $\left(\sin 60^\circ\right)^4 = \left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^4$ i gubienie się w pierwiastkach — prościej jest zapisać $\sin^4\alpha = \left(\sin^2\alpha\right)^2$ i podstawić $\sin^2 60^\circ = \tfrac34$ , bo wtedy pierwiastek nie pojawia się ani raz. Trzeci błąd: przyjęcie, że $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1$ — jedynka trygonometryczna dotyczy kwadratów, a nie czwartych potęg; dla $\alpha = 60^\circ$ ta suma wynosi $\tfrac58$ , nie $1$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. B	4. A	5. A	6. B
7. C	8. C	9. B	10. C	11. $a - b = -\dfrac18$

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

6Pytania i odpowiedzi

Co to jest jedynka trygonometryczna?

To tożsamość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ , prawdziwa dla każdego kąta. Wynika z twierdzenia Pitagorasa i służy głównie do upraszczania wyrażeń bez znajomości miary kąta.

Jak uprościć wyrażenie z sinusami i cosinusami?

Najpierw sprawdź, czy da się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, bo w nawiasie zwykle zostaje wtedy jedynka trygonometryczna. Potem szukaj różnicy kwadratów oraz wyrażeń postaci jeden minus kwadrat funkcji.

Czemu równa się

1 - \sin^2\alpha

Wyrażeniu $\cos^2\alpha$ . To jedynka trygonometryczna przekształcona przez przeniesienie sinusa na drugą stronę — najczęściej używana postać tego wzoru w zadaniach.

Jaki jest wzór na tangens?

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus tego samego kąta. Wzór wymaga, żeby cosinus był różny od zera, więc dla kąta prostego tangens nie istnieje.

Czy cotangens jest potrzebny do matury podstawowej?

Nie. Podstawa programowa wymienia w dziale o trygonometrii wyłącznie sinus, cosinus i tangens. Cotangens jest odwrotnością tangensa i bywa omawiany w podręcznikach, ale nie jest wymagany.

Jak obliczyć cosinus, znając sinus kąta ostrego?

Wystarczy przekształcić jedynkę trygonometryczną i wyciągnąć pierwiastek z różnicy jeden minus kwadrat sinusa. Dla kąta ostrego bierzemy wartość dodatnią, bo obie funkcje są tam dodatnie.

Czytaj dalej

TrygonometriaDefinicje funkcji i wyprowadzenie jedynki Wzory trygonometryczneWzory redukcyjne, suma kątów i kąt podwojony Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów — drugi chwyt z tej strony Tablice wartościKiedy tablice są potrzebne, a kiedy nie Twierdzenie PitagorasaŹródło jedynki trygonometrycznej Wzory spoza tablic — czego nie ma w karcie maturalnejCzego nie znajdziesz w karcie „Wybrane wzory matematyczne”: cotangensa,…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens

1Dwa wzory, które podstawa wymienia razem

2Trzy chwyty, które wyczerpują większość zadań

3Tangens i cotangens

4Przykłady krok po kroku

5Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — jedynka trygonometryczna i upraszczanie wyrażeń

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Zadanie 3 (maj 2024)1 pktśrednie

Zadanie 4 (maj 2023)1 pktśrednie

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Zadanie 6 (czerwiec 2015)1 pktśrednie

Zadanie 7 (czerwiec 2013)1 pkttrudniejsze

Zadanie 8 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 10 (czerwiec 2014)1 pkttrudniejsze

Zadania otwarte

Zadanie 11 (informator CKE)3 pktśrednie

Odpowiedzi

6Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku