Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów

Q: Jak dzielić wielomiany?

Sposobem pisemnym, tak jak liczby: dzielimy najstarszy wyraz dzielnej przez najstarszy wyraz dzielnika, mnożymy wynik przez cały dzielnik, odejmujemy i znosimy następny wyraz. Cykl powtarzamy, aż stopień reszty spadnie poniżej stopnia dzielnika.

Q: Jak obliczyć resztę z dzielenia przez dwumian?

Wystarczy podstawić do wielomianu liczbę zerującą dzielnik. Dla dzielnika x-a resztą jest wartość W(a), więc całe zadanie sprowadza się do jednego obliczenia.

Q: Kiedy dwumian dzieli wielomian bez reszty?

Wtedy, gdy podstawiona liczba jest pierwiastkiem wielomianu, czyli gdy wartość wielomianu w tym punkcie wynosi zero. Dzielenie ma wtedy sens i prowadzi do rozkładu na czynniki.

Q: Co zrobić, gdy w wielomianie brakuje jakiejś potęgi?

Trzeba wpisać w jej miejsce zero, na przykład traktując wyrażenie jako x^3 + 0x^2 + 0x - 8. Bez tego kolumny w dzieleniu pisemnym przesuwają się i wynik jest błędny.

Q: Czy dzielenie wielomianów jest na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym, w punkcie o dzieleniu wielomianu przez dwumian. Zakres podstawowy wymaga tylko równań już rozłożonych na czynniki.

Q: Po co dzieli się wielomiany?

Żeby obniżyć stopień i rozłożyć wielomian na czynniki. Po podzieleniu przez znany dwumian zostaje trójmian kwadratowy, który rozwiązuje się już zwykłym wyróżnikiem.

Dzielenie wielomianów wygląda jak dzielenie pisemne liczb i działa na tej samej zasadzie: dzielimy najstarszy wyraz przez najstarszy, mnożymy, odejmujemy, znosimy następny. Służy do jednego głównego celu — rozłożenia wielomianu na czynniki, gdy zna się już jeden jego pierwiastek. Do tego dochodzi twierdzenie, dzięki któremu resztę można podać bez dzielenia, jednym podstawieniem.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: liceum — zakres rozszerzonyZadań z matury: 7

Krótko: Dzielenie wielomianów pisemnie przebiega jak dzielenie liczb: dzielimy najstarszy wyraz dzielnej przez najstarszy wyraz dzielnika, mnożymy, odejmujemy i znosimy kolejny wyraz. Wynik zapisujemy jako P(x) = Q(x) · D(x) + R(x).

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Cztery kroki powtarzane w kółko

⚠️ To jest materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum umieszcza w zakresie rozszerzonym, dział II. Wyrażenia algebraiczne: „dzieli wielomian jednej zmiennej $W(x)$ przez dwumian postaci $x-a$ ”.

Zakres podstawowy wymaga jedynie rozwiązywania równań wielomianowych już doprowadzonych do postaci iloczynowej — czyli takich, gdzie rozkładu nikt od ucznia nie oczekuje.

Samo dzielenie pisemne do matury podstawowej nie jest potrzebne — ale twierdzenie o reszcie z drugiej sekcji już bywa. W podpiętym niżej zestawie CKE wszystkie siedem zadań pochodzi z poziomu podstawowego, a trzy z nich sprowadzają się dokładnie do sprawdzenia, że $W(a) = 0$ . Przy rozszerzeniu dzielenie jest natomiast narzędziem podstawowym, bo bez niego nie da się rozłożyć wielomianu stopnia trzeciego.

Zasada. Dzielenie wielomianu przez dwumian $x-a$ przebiega tak samo jak dzielenie pisemne liczb, tylko zamiast cyfr operujemy jednomianami.

Podzielmy $x^3 - 2x^2 - x + 2$ przez $x - 1$ .

Dzielę najstarsze wyrazy: $x^3 : x = \textcolor{#16A06A}{x^2}$ . To pierwszy wyraz wyniku.
Mnożę go przez cały dzielnik: $\textcolor{#16A06A}{x^2}(x-1) = x^3 - x^2$ .
Odejmuję od dzielnej: $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = \textcolor{#E0453A}{-x^2}$ .
Znoszę następny wyraz i powtarzam: teraz dzielę $\textcolor{#E0453A}{-x^2}$ przez $x$ , co daje $\textcolor{#16A06A}{-x}$ .

Powtarzając cykl jeszcze raz, otrzymuję trzeci wyraz $\textcolor{#16A06A}{-2}$ i resztę $\textcolor{#2F80D8}{0}$ .

\left(x^3 - 2x^2 - x + 2\right) : (x-1) = x^2 - x - 2

Kontrola przez wymnożenie — zawsze warta wykonania:

(x-1)\left(x^2-x-2\right) = x^3 - x^2 - 2x - x^2 + x + 2 = x^3 - 2x^2 - x + 2 \;\checkmark

Skąd wiadomo, przez co dzielić

Dzielenie ma sens wtedy, gdy znamy już jeden pierwiastek wielomianu — bo jeśli $W(a) = 0$ , to $(x-a)$ jest jego czynnikiem.

Jeśli wielomian ma współczynniki całkowite, jego pierwiastków całkowitych szuka się wśród dzielników wyrazu wolnego. Dla $x^3-2x^2-x+2$ wyraz wolny to $2$ , więc kandydatami są $\pm1$ i $\pm2$ — piszę o tym przy wielomianach.

Sprawdzenie $W(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ pokazuje, że jedynka jest pierwiastkiem — i dopiero wtedy dzielenie przez $(x-1)$ ma sens.

Uwaga na brakujące potęgi. Jeśli w wielomianie nie ma któregoś wyrazu, trzeba wstawić w jego miejsce zero. Dzieląc $x^3 - 8$ , traktuje się go jako $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ — inaczej kolumny się rozjadą i wynik będzie błędny.

Dzielenie pisemne wielomianu (x³ − 2x² − x + 2) przez (x − 1) krok po kroku: wynik x² − x − 2, reszta 0 — Dzielenie pisemne wielomianów: dziel, mnóż, odejmij, znieś następny wyraz.

2Twierdzenie o reszcie — dzielenie bez dzielenia

Reszta z dzielenia przez dwumian $x-a$ ma zaskakująco prostą postać. Nie trzeba jej liczyć — wystarczy podstawić $a$ do wielomianu.

r = W(a)

Dlaczego tak jest. Każde dzielenie da się zapisać jako:

W(x) = (x-a) \cdot Q(x) + r

Podstawiając $x = \textcolor{#16A06A}{a}$ , pierwszy składnik znika, bo zawiera czynnik $(\textcolor{#16A06A}{a}-\textcolor{#16A06A}{a}) = 0$ . Zostaje samo $r$ , czyli $W(\textcolor{#16A06A}{a}) = r$ .

Przykład. Jaka jest reszta z dzielenia $x^3 + 2x^2 - 5$ przez $x - 2$ ?

Zamiast dzielić, podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ :

W(\textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#16A06A}{2}^3 + 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^2 - 5 = 8 + 8 - 5 = \textcolor{#E0453A}{11}

Reszta wynosi $\textcolor{#E0453A}{11}$ — policzone w jednej linijce, bez całej procedury dzielenia.

wartość $W(a)$	co to znaczy	wniosek
$W(a) = 0$	reszta zerowa	$(x-a)$ dzieli wielomian; $a$ jest pierwiastkiem
$W(a) \neq 0$	reszta niezerowa	dzielenie nie wychodzi równo

Pierwszy wiersz to najczęstsze zastosowanie. Zamiast wykonywać dzielenie „na próbę”, sprawdza się jednym podstawieniem, czy w ogóle wyjdzie równo.

Ten pierwszy wiersz ma własną nazwę: twierdzenie Bézouta. Mówi ono dokładnie tyle: wielomian $W(x)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty wtedy i tylko wtedy, gdy $W(a) = 0$ , czyli gdy $a$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. To szczególny przypadek twierdzenia o reszcie — ten, w którym reszta wynosi zero. Nazwiska nie trzeba pamiętać do matury, ale warto je znać, bo pod nim ten fakt bywa cytowany w zadaniach i podręcznikach.

Uwaga na znak przy podstawianiu

Dzielnik $x - 2$ oznacza $a = 2$ , ale dzielnik $x + 3$ oznacza $a = -3$ , bo $x+3 = x-(-3)$ .

To dokładnie ta sama pułapka co przy postaci kanonicznej i przy równaniach z wartością bezwzględną: plus w nawiasie oznacza liczbę ujemną.

Kontrola: podstawiona liczba musi zerować dzielnik. Dla $x+3$ sprawdź, czy $-3+3 = 0$ ✓

Twierdzenie o reszcie r = W(a): reszta z dzielenia x³ + 2x² − 5 przez x − 2 to W(2) = 11; reszta 0 oznacza czynnik (x − a) — Twierdzenie o reszcie: reszta z dzielenia przez x − a równa się W(a).

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Wielomiany” (liceum, klasa 2), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Wielomiany — cały dział, liceum, klasa 2 (3 pakiety)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Wielomiany”3 arkusze w jednym pliku6,90 zł~~11,70 zł~~−4,80 zł Liceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 6,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Po co to wszystko — rozkład na czynniki

Dzielenie rzadko jest celem samym w sobie. Służy do obniżenia stopnia wielomianu, żeby dało się go rozłożyć i rozwiązać równanie. Gdy dzielisz przez dwumian liniowy, szybciej idzie to schematem Hornera — liczysz wtedy na samych współczynnikach.

Schemat postępowania przy równaniu stopnia trzeciego:

Znajdź jeden pierwiastek całkowity, sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego.
Podziel wielomian przez odpowiedni dwumian $(x-a)$ .
Zostaje trójmian kwadratowy — rozwiąż go wyróżnikiem.
Zapisz całość w postaci iloczynowej i odczytaj wszystkie pierwiastki.

Przykład. Rozwiążmy $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ .

Z poprzedniej sekcji wiemy, że $W(1) = 0$ i że iloraz to $x^2 - x - 2$ . Zatem:

x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)\left(x^2 - x - 2\right) = (x-1)(x-2)(x+1)

Trójmian $x^2 - x - 2$ rozłożyłem ze wzorów Viète'a: szukam pierwiastków o sumie $-\frac{b}{a} = \textcolor{#16A06A}{1}$ i iloczynie $\frac{c}{a} = \textcolor{#16A06A}{-2}$ — to $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{-1}$ . Pierwiastek $p$ daje w rozkładzie czynnik $(x - p)$ , więc dwójka daje $(x-2)$ , a minus jedynka $(x+1)$ .

Pierwiastki: $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ , $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ — trzy, zgodnie ze stopniem wielomianu.

Ile pierwiastków może mieć wielomian

Co najwyżej tyle, ile wynosi jego stopień. Wielomian stopnia trzeciego ma najwyżej trzy pierwiastki, ale może mieć ich mniej.

Gdyby po podzieleniu trójmian miał ujemny wyróżnik, zostałby tylko jeden pierwiastek — ten znaleziony na początku.

Warto to sprawdzać jako kontrolę: liczba pierwiastków większa od stopnia oznacza błąd w rachunku.

Cała metoda opiera się na jednym fakcie: iloczyn równa się zeru tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. Dlatego doprowadzenie do postaci iloczynowej rozwiązuje równanie — opisuję to szerzej przy wielomianach.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dzielenie z resztą, reszta bez dzielenia i pełny rozkład równania.

Przykład 1 Dzielenie z resztą niezerową

Podziel $x^3 + 2x^2 - 5$ przez $x - 2$ i podaj iloraz oraz resztę.

Uzupełniam brakującą potęgę: $x^3 + 2x^2 + \textcolor{#16A06A}{0}x - 5$ — bez tego kolumny by się rozjechały.
Krok 1: $x^3 : x = \textcolor{#E0453A}{x^2}$ . Mnożę: $\textcolor{#E0453A}{x^2}(x-2) = x^3 - 2x^2$ . Odejmuję: $2x^2 - (-2x^2) = \textcolor{#2F80D8}{4x^2}$ .
Krok 2: $\textcolor{#2F80D8}{4x^2} : x = \textcolor{#E0453A}{4x}$ . Mnożę: $\textcolor{#E0453A}{4x}(x-2) = 4x^2 - 8x$ . Odejmuję: $\textcolor{#16A06A}{0}x - (-8x) = \textcolor{#2F80D8}{8x}$ .
Krok 3: $\textcolor{#2F80D8}{8x} : x = \textcolor{#E0453A}{8}$ . Mnożę: $\textcolor{#E0453A}{8}(x-2) = 8x - 16$ . Odejmuję: $-5 - (-16) = \textcolor{#8B5CF6}{11}$ .
Stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, więc kończę. Iloraz: $x^2 + 4x + 8$ , reszta: $\textcolor{#8B5CF6}{11}$ .
Kontrola twierdzeniem o reszcie: $W(2) = 8 + 8 - 5 = \textcolor{#8B5CF6}{11}$ ✓ — zgadza się
Kontrola przez wymnożenie: $(x-2)(x^2+4x+8) + 11 = x^3+4x^2+8x-2x^2-8x-16+11 = x^3+2x^2-5$ ✓

Odpowiedź: Iloraz to $x^2 + 4x + 8$ , a reszta wynosi $11$ .

Dwie niezależne kontrole na końcu są tu wzorcowe: twierdzenie o reszcie sprawdza samą resztę jednym podstawieniem, a wymnożenie sprawdza cały wynik. Zgodność obu praktycznie wyklucza pomyłkę.

Przykład 2 Reszta bez wykonywania dzielenia

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 - 3x^2 + x + 5$ przez dwumian $x + 1$ .

Dzielnik to $x + 1$ , czyli $x - (\textcolor{#16A06A}{-1})$ — podstawiam więc $a = \textcolor{#16A06A}{-1}$ , nie $1$ .
Kontrola dzielnika: $\textcolor{#16A06A}{-1} + 1 = 0$ ✓ — liczba faktycznie go zeruje.
$W(\textcolor{#16A06A}{-1}) = 2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-1})^4 - 3 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-1})^2 + (\textcolor{#16A06A}{-1}) + 5$
Potęgi parzyste dają liczby dodatnie: $(\textcolor{#16A06A}{-1})^4 = 1$ oraz $(\textcolor{#16A06A}{-1})^2 = 1$ .
$W(-1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 1 + 5 = 2 - 3 - 1 + 5 = \textcolor{#E0453A}{3}$
Kontrola znaku: gdyby ktoś podstawił $a = 1$ , wyszłoby $2 - 3 + 1 + 5 = \textcolor{#9b1c14}{5}$ — inna liczba, więc pomyłka znaku jest wykrywalna
Kontrola sensu: reszta jest różna od zera, więc $(x+1)$ nie dzieli tego wielomianu ✓

Odpowiedź: Reszta wynosi $3$ .

Całe zadanie to jedno podstawienie. Gdyby wykonywać dzielenie pisemne wielomianu czwartego stopnia, byłyby to cztery cykle po trzy działania — twierdzenie o reszcie oszczędza tu praktycznie całą pracę.

Przykład 3 Pełny rozkład równania trzeciego stopnia

Rozwiąż równanie $x^3 - 7x + 6 = 0$ .

Szukam pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego $6$ : kandydaci to $\pm1$ , $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm6$ .
$W(1) = 1 - 7 + 6 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓ — jedynka jest pierwiastkiem, więc $(x-1)$ jest czynnikiem.
Dzielę $x^3 + \textcolor{#16A06A}{0}x^2 - 7x + 6$ przez $(x-1)$ — pamiętam o brakującym wyrazie z $x^2$ .
Iloraz wychodzi $x^2 + x - 6$ , reszta zerowa.
Rozkładam trójmian $x^2 + x - 6$ ze wzorów Viète'a: pierwiastki mają sumę $-\frac{b}{a} = \textcolor{#16A06A}{-1}$ i iloczyn $\frac{c}{a} = \textcolor{#16A06A}{-6}$ — to $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{-3}$ .
Uwaga na znak sumy: to $-1$ , a nie $1$ . Sumą pierwiastków jest współczynnik przy $x$ wzięty z przeciwnym znakiem, więc trójmian $x^2 \mathbf{+} x - 6$ daje sumę ujemną, a trójmian $x^2 \mathbf{-} x - 2$ z poprzedniej sekcji — dodatnią.
$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x-2)(x+3)$
Pierwiastki: $x = \textcolor{#2F80D8}{1}$ , $x = \textcolor{#2F80D8}{2}$ , $x = \textcolor{#2F80D8}{-3}$ .
Kontrola dla $x = 2$ : $8 - 14 + 6 = 0$ ✓
Kontrola dla $x = -3$ : $-27 + 21 + 6 = 0$ ✓
Kontrola liczby pierwiastków: trzy, a stopień też trzy ✓ — więcej być nie może

Odpowiedź: $x \in \{-3, 1, 2\}$

Suma pierwiastków wynosi tu $0$ , a wielomian nie ma wyrazu z $x^2$ — to nie przypadek. W wielomianie ze współczynnikiem $1$ przy najwyższej potędze współczynnik przy $x^2$ jest przeciwny do sumy pierwiastków, więc jego brak od razu zapowiada, że suma się wyzeruje. Gdy przy $x^3$ stoi inna liczba, trzeba ją najpierw wyłączyć: wielomian $2(x-1)(x-2)(x-3)$ ma sumę pierwiastków $6$ , a współczynnik przy $x^2$ równy $-12$ .

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy psuje cały rachunek już na starcie.

Pominięcie brakującej potęgi

Skąd się bierze: W wielomianie $x^3 - 8$ brakuje wyrazów z $x^2$ i $x$ . Bez wpisania zer kolumny w dzieleniu pisemnym przesuwają się o jedno miejsce i wynik jest błędny, choć rachunek wygląda poprawnie.

Jak zrobić dobrze: Przed rozpoczęciem dzielenia zapisz wielomian z wszystkimi potęgami po kolei, wstawiając zera tam, gdzie wyrazu nie ma. Kontrola: liczba wyrazów musi być o jeden większa od stopnia.

Mylenie znaku przy twierdzeniu o reszcie

Skąd się bierze: Dzielnik $x + 3$ oznacza $a = -3$ , a nie $3$ . Podstawienie dodatniej liczby daje inną resztę i błędną odpowiedź, mimo poprawnego rachunku.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy podstawiana liczba zeruje dzielnik. Dla $x+3$ musi zachodzić $-3+3 = 0$ . Jeśli wychodzi coś innego, znak jest odwrotny.

Dzielenie bez sprawdzenia, czy pierwiastek istnieje

Skąd się bierze: Dzielenie przez losowo wybrany dwumian daje niezerową resztę i nie prowadzi do rozkładu. To zmarnowana praca, bo cała metoda opiera się na tym, że reszta ma wyjść zero.

Jak zrobić dobrze: Najpierw sprawdź kandydatów jednym podstawieniem — twierdzenie o reszcie robi to natychmiast. Dziel dopiero wtedy, gdy $W(a) = 0$ .

Zatrzymanie się na ilorazie

Skąd się bierze: Po podzieleniu zostaje trójmian kwadratowy, który zwykle też się rozkłada. Podanie odpowiedzi w postaci $(x-1)(x^2-x-2)$ pomija dwa dalsze pierwiastki.

Jak zrobić dobrze: Po dzieleniu zawsze sprawdź, czy iloraz da się rozłożyć dalej — wyróżnikiem albo przez rozkład na czynniki. Kontrola: jeśli pierwiastków wyszło mniej, niż wynosi stopień, upewnij się, że to ujemny wyróżnik ilorazu, a nie Twoje przeoczenie.

Zadania maturalne — pierwiastki wielomianu i rozkład na czynniki

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści — współczynniki i podany pierwiastek. Czerwone to wielkości wyliczone po drodze, a wynik końcowy stoi na czarno.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Dany jest wielomian

W(x) = 3x^3 + 6x^2 + 9x

.

Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.

Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x) = 3x$ i $G(x) = x^2 + 2x + 3$ .	P	F
Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x) = 0$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie pierwsze — sprawdzam przez wymnożenie, bo to szybsze niż rozkładanie.
$\textcolor{#16A06A}{3x} \cdot (x^2 + 2x + 3) = 3x^3 + 6x^2 + 9x$ — dokładnie zadany wielomian. Zdanie prawdziwe.
Można też pójść drugą drogą: w każdym wyrazie $W$ siedzi czynnik $\textcolor{#16A06A}{3x}$ , więc wyłączenie go przed nawias daje ten sam rozkład.
Zdanie drugie — podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ , bo pierwiastek to liczba, która zeruje wielomian.
$W(\textcolor{#16A06A}{-1}) = 3 \cdot (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) = -3 + 6 - 9 = \textcolor{#E0453A}{-6}$ .
Skoro $\textcolor{#E0453A}{-6} \neq 0$ , liczba $\textcolor{#16A06A}{-1}$ nie jest pierwiastkiem. Zdanie fałszywe.
Kontrola przez rozkład. Z pierwszego zdania $W(x) = 3x(x^2+2x+3)$ . Czynnik $3x$ zeruje się dla $x=0$ , a trójmian $x^2+2x+3$ ma wyróżnik $4 - 12 = \textcolor{#2F80D8}{-8} < 0$ , więc nie ma pierwiastków.
Zatem jedynym pierwiastkiem $W$ jest $\textcolor{#E0453A}{0}$ — co potwierdza, że $-1$ nim nie jest ✓
Odpowiedź: P, F.

💡 Wskazówka: Gdy wielomian ma już postać iloczynową, wszystkie jego pierwiastki odczytuje się z czynników. Trójmian o ujemnym wyróżniku nie wnosi żadnego pierwiastka i można go pominąć.

⚠ Uznanie, że skoro w rozkładzie stoi $x^2+2x+3$ , to wielomian ma trzy pierwiastki, bo jest stopnia trzeciego. Stopień daje tylko górne ograniczenie — rzeczywistych pierwiastków może być mniej.

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Dany jest wielomian

W(x) = -3x^3 - x^2 + kx + 1

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian

W

można zapisać w postaci

W(x) = (x + 1) \cdot Q(x)

dla pewnego wielomianu

Q

.

Liczba

k

jest równa

A. $29$
B. $(-3)$
C. $0$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Tłumaczę treść na warunek liczbowy. Zapis $W(x) = (x+1) \cdot Q(x)$ znaczy, że $W$ dzieli się przez $x+1$ bez reszty.
A to, na mocy twierdzenia o reszcie, zachodzi dokładnie wtedy, gdy $W(\textcolor{#16A06A}{-1}) = 0$ — bo dwumian $x+1$ zeruje się właśnie dla $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ .
Nie wykonuję żadnego dzielenia — wystarczy jedno podstawienie.
$W(\textcolor{#16A06A}{-1}) = -3 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + k \cdot (-1) + 1$ .
Liczę potęgi: $(-1)^3 = -1$ oraz $(-1)^2 = 1$ , więc $W(-1) = 3 - 1 - k + 1 = \textcolor{#E0453A}{3 - k}$ .
Przyrównuję do zera: $\textcolor{#E0453A}{3-k} = 0$ , stąd $k = 3$ .
Sprawdzenie. Dla $k=3$ mamy $W(x) = -3x^3 - x^2 + 3x + 1$ , a $W(-1) = 3 - 1 - 3 + 1 = 0$ ✓ — dwumian $x+1$ faktycznie dzieli ten wielomian.
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Zapis „ $W$ da się przedstawić jako $(x-a) \cdot Q(x)$ ” to zawsze to samo co „ $a$ jest pierwiastkiem $W$ ”. Zamiast dzielić, podstaw $a$ i przyrównaj do zera.

⚠ Zgubienie znaku przy nieparzystej potędze: policzenie $-3 \cdot (-1)^3$ jako $\textcolor{#9b1c14}{-3}$ zamiast $+3$ . Wychodzi wtedy $-3 - k = 0$ , czyli $k = -3$ — dokładnie wariant B, który po to w zadaniu stoi. Warto potęgi liczb ujemnych liczyć osobno, przed podstawieniem.

Zadanie 4 (pokazowy 2023)1 pktśrednie

Dany jest wielomian

W(x) = 3x^3 + kx^2 - 12x - 7k + 12

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba

(-2)

jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Liczba

k

jest równa

A. $2$
B. $4$
C. $6$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pierwiastek to liczba zerująca wielomian, więc warunek brzmi $W(\textcolor{#16A06A}{-2}) = 0$ . Tu parametr $k$ stoi w dwóch miejscach — trzeba uważać, żeby nie pominąć drugiego.
Podstawiam: $W(\textcolor{#16A06A}{-2}) = 3 \cdot (-2)^3 + k \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) - 7k + 12$ .
Liczę potęgi osobno: $(-2)^3 = \textcolor{#E0453A}{-8}$ oraz $(-2)^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Wstawiam: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{-8} + 4k + 24 - 7k + 12 = -24 + 4k + 24 - 7k + 12$ .
Redukuję: liczby dają $-24 + 24 + 12 = \textcolor{#2F80D8}{12}$ , a wyrazy z $k$ : $4k - 7k = \textcolor{#2F80D8}{-3k}$ .
Zostaje równanie $\textcolor{#2F80D8}{-3k} + \textcolor{#2F80D8}{12} = 0$ , czyli $3k = 12$ , więc $k = 4$ .
Sprawdzenie. Dla $k=4$ : $W(x) = 3x^3 + 4x^2 - 12x - 16$ , a $W(-2) = -24 + 16 + 24 - 16 = 0$ ✓
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Gdy parametr występuje w kilku miejscach wzoru, po podstawieniu zbierz osobno wszystkie wyrazy z parametrem i osobno same liczby. Wtedy nic nie przepadnie w redukcji.

⚠ Pominięcie wyrazu $-7k$ , bo nie stoi przy żadnej potędze $x$ i łatwo go przeoczyć. Bez niego wychodzi $4k + 12 = 0$ , czyli $k = -3$ — odpowiedź, której w wariantach nawet nie ma.

Zadanie 5 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Dany jest wielomian

W

określony wzorem

W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.

Wielomian

W

przy rozkładzie na czynniki ma postać

A. $W(x) = (x + 2)(x^2 - 3)$
B. $W(x) = (x - 2)(x^2 - 3)$
C. $W(x) = (x + 2)(x^2 + 3)$
D. $W(x) = (x - 2)(x^2 + 3)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Cztery wyrazy i brak wspólnego czynnika dla wszystkich — to sygnał do grupowania. Dzielę wielomian na dwie pary.
$W(x) = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$ .
Z pierwszej pary wyłączam $\textcolor{#16A06A}{x^2}$ : $\;x^2(x - 2)$ .
Z drugiej wyłączam $\textcolor{#16A06A}{-3}$ : $\;-3(x - 2)$ . Znak jest tu kluczowy — wyłączenie $+3$ dałoby nawias $(-x+2)$ , czyli inny niż w pierwszej parze.
W obu parach został ten sam nawias $(x-2)$ , więc grupowanie się udało. Wyłączam go przed całość:
$W(x) = \textcolor{#E0453A}{(x-2)(x^2 - 3)}$ .
Sprawdzenie przez wymnożenie. $(x-2)(x^2-3) = x^3 - 3x - 2x^2 + 6 = x^3 - 2x^2 - 3x + 6$ ✓ — zgadza się co do wyrazu.
Kontrola drugą drogą. Liczba $2$ powinna być pierwiastkiem: $W(2) = 8 - 8 - 6 + 6 = 0$ ✓, a $(-2)$ nie: $W(-2) = -8 - 8 + 6 + 6 = -4 \neq 0$ — co od razu odrzuca warianty A i C.
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: W zadaniu zamkniętym z gotowymi rozkładami najszybciej sprawdzić, która liczba jest pierwiastkiem. Warianty z $(x+2)$ wymagają, by $W(-2)=0$ , a to jedno podstawienie rozstrzyga połowę odpowiedzi.

⚠ Wyłączenie z drugiej pary czynnika $+3$ zamiast $-3$ . Powstaje wtedy nawias $(-x+2)$ , który nie zgadza się z pierwszym, i grupowanie wygląda na nieudane — choć rozkład istnieje.

Zadanie 6 (sierpień 2022)1 pktłatwe

Jednym z rozwiązań równania

5(x + 1) - x^2(x + 1) = 0

jest liczba

A. $1$
B. $(-1)$
C. $5$
D. $(-5)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Nawias $(x+1)$ powtarza się w obu składnikach — to zaproszenie do wyłączenia go przed całość, bez żadnego wymnażania.
$5(x+1) - x^2(x+1) = \textcolor{#16A06A}{(x+1)}\left(5 - x^2\right) = 0$ .
Iloczyn równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. Rozbijam na dwa proste równania.
Pierwszy czynnik: $\textcolor{#16A06A}{x+1} = 0$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Drugi czynnik: $5 - x^2 = 0$ , czyli $x^2 = 5$ , a stąd $x = \textcolor{#2F80D8}{\sqrt5}$ albo $x = \textcolor{#2F80D8}{-\sqrt5}$ .
Wśród wariantów odpowiedzi jest tylko $\textcolor{#E0453A}{-1}$ — pozostałe dwa pierwiastki są niewymierne.
Sprawdzenie. Dla $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ : $\;5 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0$ ✓ — oba składniki znikają, bo każdy zawiera nawias $(x+1)$ .
Kontrola wariantu C. Dla $x = 5$ : $\;5 \cdot 6 - 25 \cdot 6 = 30 - 150 = -120 \neq 0$ — piątka rozwiązaniem nie jest, mimo że występuje we wzorze.
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Zanim cokolwiek wymnożysz, sprawdź, czy w obu składnikach nie powtarza się ten sam nawias. Jeśli tak, wyłączenie go zamienia równanie stopnia trzeciego w dwa równania, które umiesz rozwiązać.

⚠ Wymnożenie wszystkiego i próba rozwiązywania równania $-x^3 - x^2 + 5x + 5 = 0$ od zera. Rozwiązanie istnieje, ale droga jest wielokrotnie dłuższa, a rozkład i tak trzeba na końcu odtworzyć.

Zadanie 7 (listopad 2010)1 pktłatwe

Liczba

2

jest pierwiastkiem wielomianu

W(x) = x^3 + ax^2 + 6x - 4

.

Współczynnik

a

jest równy

A. $2$
B. $-2$
C. $4$
D. $-4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Pierwiastek zeruje wielomian, więc podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ i przyrównuję wynik do zera.
$W(\textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#16A06A}{2}^3 + a \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^2 + 6 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} - 4$ .
Liczę potęgi: $\textcolor{#16A06A}{2}^3 = \textcolor{#E0453A}{8}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{2}^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Wstawiam: $\textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{4}a + 12 - 4 = 4a + \textcolor{#2F80D8}{16}$ .
Równanie $4a + \textcolor{#2F80D8}{16} = 0$ daje $4a = -16$ , czyli $a = -4$ .
Sprawdzenie. Dla $a = -4$ : $\;W(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4$ , a $W(2) = 8 - 16 + 12 - 4 = 0$ ✓
Wniosek dodatkowy. Skoro $2$ jest pierwiastkiem, to $W$ dzieli się przez $x-2$ bez reszty — i tak właśnie zaczyna się rozkład wielomianu stopnia trzeciego na czynniki.
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: To najprostszy typ zadania w całym dziale: jedno podstawienie i jedno równanie liniowe. Warto rozpoznawać go po sformułowaniu „liczba … jest pierwiastkiem”.

⚠ Pomylenie znaku przy przenoszeniu: z $4a + 16 = 0$ wychodzi $a = -4$ , a nie $a = 4$ . Wariant C jest w zadaniu właśnie po to, żeby wyłapać ten błąd.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pkttrudniejsze

Wielomian

W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

jest iloczynem wielomianów

F(x) = (2 - 3x)^2

oraz

G(x) = 3x - 2

.

Suma

a + b + c + d

współczynników wielomianu

W

jest równa …

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $1$

Kusi, żeby wymnożyć wszystko i dodać cztery liczby. Da się szybciej — i warto ten skrót znać, bo wraca w wielu zadaniach.
Obserwacja. Podstawmy $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ do wzoru ogólnego: $W(\textcolor{#16A06A}{1}) = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 + d = a+b+c+d$ .
Czyli suma współczynników to po prostu wartość wielomianu w jedynce. Zamiast mnożyć wielomiany, wystarczy policzyć jedną liczbę.
Liczę $F(\textcolor{#16A06A}{1})$ : $(2 - 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{1})^2 = (2-3)^2 = (-1)^2 = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Liczę $G(\textcolor{#16A06A}{1})$ : $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} - 2 = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Skoro $W = F \cdot G$ , to $W(\textcolor{#16A06A}{1}) = \textcolor{#E0453A}{1} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = 1$ .
Sprawdzenie przez wymnożenie. $(2-3x)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ , a po pomnożeniu przez $3x-2$ wychodzi $W(x) = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$ .
Suma współczynników: $27 - 54 + 36 - 8 = 1$ ✓ — ten sam wynik, tylko dłuższą drogą.
Odpowiedź: $1$ .

💡 Wskazówka: Zapamiętaj równoważność: suma wszystkich współczynników wielomianu to jego wartość dla $x=1$ . Działa dla dowolnego stopnia i pozwala pominąć całe mnożenie.

⚠ Wymnożenie nawiasów z pomyłką w znaku przy wyrazie środkowym. Zapis $(2-3x)^2$ daje $9x^2 - 12x + 4$ , a nie $9x^2 + 12x + 4$ — podwojony iloczyn ma znak minus.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. $1$	2. P, F	3. D	4. B	5. B	6. B
7. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Wielomiany — stopień i działania — kartkówka, liceum klasa 2

Stopień wielomianu, wartość, pierwiastek, mnożenie i odejmowanie.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Wielomiany i funkcje wymierne — test, liceum klasa 2

Stopień, pierwiastki, dziedzina, hiperbola, równania wymierne.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

6Pytania i odpowiedzi

Jak dzielić wielomiany?

Sposobem pisemnym, tak jak liczby: dzielimy najstarszy wyraz dzielnej przez najstarszy wyraz dzielnika, mnożymy wynik przez cały dzielnik, odejmujemy i znosimy następny wyraz. Cykl powtarzamy, aż stopień reszty spadnie poniżej stopnia dzielnika.

Jak obliczyć resztę z dzielenia przez dwumian?

Wystarczy podstawić do wielomianu liczbę zerującą dzielnik. Dla dzielnika $x-a$ resztą jest wartość $W(a)$ , więc całe zadanie sprowadza się do jednego obliczenia.

Kiedy dwumian dzieli wielomian bez reszty?

Wtedy, gdy podstawiona liczba jest pierwiastkiem wielomianu, czyli gdy wartość wielomianu w tym punkcie wynosi zero. Dzielenie ma wtedy sens i prowadzi do rozkładu na czynniki.

Co zrobić, gdy w wielomianie brakuje jakiejś potęgi?

Trzeba wpisać w jej miejsce zero, na przykład traktując wyrażenie jako $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ . Bez tego kolumny w dzieleniu pisemnym przesuwają się i wynik jest błędny.

Czy dzielenie wielomianów jest na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym, w punkcie o dzieleniu wielomianu przez dwumian. Zakres podstawowy wymaga tylko równań już rozłożonych na czynniki.

Po co dzieli się wielomiany?

Żeby obniżyć stopień i rozłożyć wielomian na czynniki. Po podzieleniu przez znany dwumian zostaje trójmian kwadratowy, który rozwiązuje się już zwykłym wyróżnikiem.

Czytaj dalej

WielomianyStopień, działania i szukanie pierwiastków całkowitych Równania kwadratoweCo zrobić z ilorazem po podzieleniu Dzielenie pisemne liczbTen sam algorytm na liczbach Wzory skróconego mnożeniaSzybszy rozkład, gdy wielomian pasuje do wzoru Wyrażenia algebraiczneMapa działu Równość wielomianów i kształt ich wykresuDwa wielomiany są równe dokładnie wtedy, gdy mają te same współczynniki. Skąd…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Dzielenie wielomianów

1Cztery kroki powtarzane w kółko

2Twierdzenie o reszcie — dzielenie bez dzielenia

3Po co to wszystko — rozkład na czynniki

4Przykłady krok po kroku

5Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — pierwiastki wielomianu i rozkład na czynniki

Zadania zamknięte

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 4 (pokazowy 2023)1 pktśrednie

Zadanie 5 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Zadanie 6 (sierpień 2022)1 pktłatwe

Zadanie 7 (listopad 2010)1 pktłatwe

Zadania otwarte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Wielomiany — stopień i działania — kartkówka, liceum klasa 2

Wielomiany i funkcje wymierne — test, liceum klasa 2

6Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku