Strona główna › Ciągi › Suma ciągu geometrycznego

Suma ciągu geometrycznego

Sumowanie wyrazów ciągu geometrycznego po kolei jest wykonalne dla pięciu wyrazów, ale nie dla dwudziestu. Dlatego istnieje wzór, który robi to jednym rachunkiem — z jednym zastrzeżeniem: nie działa, gdy iloraz równa się jedynce. Ta strona pokazuje, skąd wzór się bierze, dlaczego akurat wtedy zawodzi i co wtedy zrobić — a osobno bierze pod lupę drugie źródło pomyłek, czyli znaki przy ujemnym ilorazie.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 4

Krótko: Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie q ≠ 1 to Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) : (1 − q). Dla q = 1 suma wynosi n · a₁.

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

Kalkulator: suma ciągu geometrycznego

1Wzór i skąd się bierze

Sumę nn początkowych wyrazów oznaczamy SnS_n. Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1a_1 i ilorazie qq:

Sn=a1⋅1−q n1−qdla q≠1S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^{\,n}}{1 - q} \qquad \text{dla } q \neq 1

Podstawa programowa wymienia ten wzór wprost — dział VI. Ciągi, zakres podstawowy, punkt 6: „stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego”. Punkt 5 tego samego działu mówi to samo o ciągu arytmetycznym — oba wzory są więc wymagane na równi.

Wyprowadzenie jest krótkie i warto je raz zobaczyć, bo tłumaczy zarazem, skąd bierze się zastrzeżenie przy q=1q = 1.

Sztuczka z odejmowaniem

Zapisujemy sumę: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n−1S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{\,n-1}.

Mnożymy całość przez qq: qSn=a1q+a1q2+…+a1q n−1+a1q nqS_n = a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{\,n-1} + a_1q^{\,n}.

Odejmujemy stronami. Wszystkie środkowe składniki się kasują — zostaje tylko pierwszy z góry i ostatni z dołu:

Sn−qSn=a1−a1q nS_n - qS_n = a_1 - a_1q^{\,n}, czyli Sn(1−q)=a1(1−q n)S_n(1 - q) = a_1(1 - q^{\,n}).

Dzielimy przez (1−q)(1 - q) i wzór gotowy. I tu widać, gdzie jest problem: dla q=1q = 1 dzielilibyśmy przez zero.

Wzór zapisuje się też w równoważnej postaci z odwróconymi znakami — bywa wygodniejsza, gdy q>1q > 1, bo unika ujemnych liczb w liczniku i mianowniku:

Sn=a1⋅q n−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}

Obie dają ten sam wynik, bo licznik i mianownik zmieniły znak jednocześnie. Wybierz tę, przy której mniej minusów.

Sam wzór na pojedynczy wyraz an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} opisuję osobno — tutaj chodzi wyłącznie o sumę.

Wyprowadzenie wzoru na sumę ciągu geometrycznego na przykładzie 3, 6, 12, 24: S − 2S = 3 − 48, środkowe wyrazy się kasują, S = 45
Skąd wzór na sumę ciągu geometrycznego — sztuczka z odejmowaniem.

2Przypadek q = 1 — osobny wzór, nie wyjątek do zapamiętania

Gdy iloraz wynosi 11, każdy wyraz jest taki sam jak poprzedni. Ciąg wygląda tak: 7,7,7,7,…7, 7, 7, 7, \ldots

Suma jest wtedy trywialna — to po prostu ten sam wyraz dodany nn razy:

Sn=n⋅a1dla q=1S_n = n \cdot a_1 \qquad \text{dla } q = 1

Nie trzeba tego pamiętać jako osobnej reguły. Wystarczy zauważyć, że przy q=1q = 1 ciąg jest stały, a suma nn jednakowych składników to mnożenie.

Dlaczego główny wzór nie da się „naprawić”

Podstawiając q=1q = 1 do wzoru dostajemy 1−11−1=00\frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} — wyrażenie nieoznaczone.

To nie jest usterka wzoru, tylko konsekwencja wyprowadzenia: mnożyliśmy przez qq i odejmowali, a przy q=1q = 1 obie strony byłyby identyczne i po odjęciu zostałoby 0=00 = 0. Sztuczka po prostu nic nie daje.

Dlatego q=1q = 1 nie jest „wyjątkiem do zapamiętania”, tylko innym przypadkiem, który liczy się innym, prostszym sposobem.

W zadaniach maturalnych ten przypadek pojawia się rzadko, ale bywa użyty jako pułapka: treść podaje ciąg, w którym po obliczeniu okazuje się, że q=1q = 1, a uczeń mechanicznie wstawia go do głównego wzoru.

Gdy wyrazów jest nieskończenie wiele, ta sama suma prowadzi już do szeregu — tym zajmuje się dalsza część działu.

Wzory na sumę ciągu geometrycznego: dla q ≠ 1 Sn = a1 · (1 − qⁿ)/(1 − q), dla q = 1 Sn = n · a1
Dwa wzory na sumę ciągu geometrycznego — dla q ≠ 1 i dla q = 1.
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ciągi” (liceum, klasa 3), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ciągi — cały dział, liceum, klasa 3 (8 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ciągi”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł31,20 zł−16,30 złLiceum, klasa 3, na cały rok24 arkuszy, 1,66 zł za arkusz39,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 14,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Ujemny iloraz — kiedy suma nie rośnie

Przy q<0q < 0 wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, więc suma nie rośnie miarowo — skacze.

Wzór działa bez zmian, ale trzeba uważnie policzyć potęgę. Kluczowa jest parzystość wykładnika:

wykładnik nnznak q nq^{\,n} przy q<0q < 0przykład dla q=−2q = -2
parzystydodatni(−2)10=1024(-2)^{10} = 1024
nieparzystyujemny(−2)9=−512(-2)^{9} = -512

Najczęstszy błąd w tym miejscu to policzenie (−2)10(-2)^{10} jako −1024-1024. Nawias obejmuje minus, więc podnosimy do potęgi całą liczbę ujemną — a parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia.

Warto też zauważyć, co się dzieje z samą sumą. Przy q=−2q = -2 kolejne sumy częściowe ciągu 5,−10,20,−40,…5, -10, 20, -40, \ldots to 55, −5-5, 1515, −25-25 — na przemian dodatnie i ujemne, a od drugiego kroku rosnące co do wartości bezwzględnej (dwie pierwsze mają ten sam moduł 55). Suma nie dąży do żadnej liczby.

Inaczej jest, gdy ∣q∣<1|q| < 1: kolejne wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej — przy ujemnym qq same wyrazy nadal skaczą — więc suma stabilizuje się. To wstęp do szeregu geometrycznego, który należy już do zakresu rozszerzonego (dział VI. Ciągi, zakres rozszerzony, punkt 2: „rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę”) — tutaj wystarczy wiedzieć, że taka różnica istnieje.

4Jak rozpoznać, czego wymaga zadanie

Zadania z tego tematu dzielą się na trzy typy i różnią się tym, czego szukamy.

daneszukaneco robisz
a1a_1, qq, nnSnS_npodstawiasz wprost
wzór ogólny ana_nSnS_nnajpierw odczytujesz a1a_1 i qq ze wzoru
SnS_n, a1a_1, qqnnprzekształcasz — wychodzi równanie z qnq^n

Drugi wiersz bywa mylący. Gdy ciąg zadano wzorem an=2na_n = 2^n, pierwszym wyrazem nie jest 22 w potędze zero, tylko a1=21=2a_1 = 2^1 = 2. Iloraz odczytujemy jako q=a2a1=42=2q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{2} = 2.

Ogólna reguła dla wzoru postaci an=c⋅q na_n = c \cdot q^{\,n}: iloraz to podstawa potęgi, a pierwszy wyraz dostajemy, podstawiając n=1n = 1. Nie trzeba nic wyprowadzać.

Kontrola przedziałem — i kiedy ona działa

Kontrola działa wprost, gdy wszystkie wyrazy są dodatnie, czyli przy a1>0a_1 > 0 i q>0q > 0. Po policzeniu SnS_n sprawdź wtedy, czy wynik jest sensownie większy od pierwszego wyrazu.

Przy q>1q > 1 i dodatnim a1a_1 suma musi być większa od ana_n (ostatniego, a zarazem największego składnika), ale mniejsza od n⋅ann \cdot a_n. Przy ujemnym a1a_1 ostatni wyraz jest najmniejszy i nierówności odwracają się.

Przy ujemnym ilorazie ta kontrola milknie: suma bywa mniejsza od pierwszego wyrazu, a nawet ujemna — jak w przykładzie 3 niżej, gdzie S10=−1705S_{10} = -1705 przy a1=5a_1 = 5. Zostaje wtedy porównanie modułów. Przy małym nn najprościej dodać wyrazy ręcznie i porównać. Dla czterech czy pięciu składników to kwestia dziesięciu sekund, a wyłapuje pomyłkę w potędze.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, ciąg zadany wzorem ogólnym i ujemny iloraz.

Przykład 1 Suma z danych a₁ i q

W ciągu geometrycznym a1=3a_1 = 3 oraz q=4q = 4. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów.

  1. Podstawiam do wzoru w postaci wygodnej dla q>1q > 1: S6=3⋅46−14−1S_6 = 3 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1}.
  2. Liczę potęgę: 46=40964^6 = 4096.
  3. Licznik: 4096−1=40954096 - 1 = 4095. Mianownik: 4−1=34 - 1 = 3.
  4. S6=3⋅40953=4095S_6 = 3 \cdot \frac{4095}{3} = 4095.
  5. Kontrola przez dodanie: wyrazy to 3,12,48,192,768,30723, 12, 48, 192, 768, 3072. Suma: 3+12+48+192+768+3072=40953 + 12 + 48 + 192 + 768 + 3072 = 4095 ✓
  6. Kontrola przedziałem: ostatni wyraz to 30723072, więc suma musi być większa od niego, ale mniejsza od 6⋅3072=184326 \cdot 3072 = 18432 — i 40954095 mieści się w tym przedziale ✓

Odpowiedź: S6=4095S_6 = 4095

Zwróć uwagę, że trójka z a1a_1 skróciła się z mianownikiem — to nie przypadek, tylko skutek tego, że q−1=3q - 1 = 3. Przy dobranych liczbach takie skrócenie zdarza się często i warto go wypatrywać, zanim zacznie się mnożyć.

Przykład 2 Ciąg zadany wzorem ogólnym

Ciąg geometryczny określony jest wzorem an=2na_n = 2^n dla n⩾1n \geqslant 1. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

  1. Odczytuję pierwszy wyraz, podstawiając n=1n = 1: a1=21=2a_1 = 2^1 = 2.
  2. Iloraz to podstawa potęgi, czyli q=2q = 2. Sprawdzam: a2=22=4a_2 = 2^2 = 4, a 42=2\frac{4}{2} = 2 ✓
  3. Podstawiam: S10=2⋅210−12−1S_{10} = 2 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1}.
  4. 210=10242^{10} = 1024, więc licznik to 10231023, a mianownik 11.
  5. S10=2⋅1023=2046S_{10} = 2 \cdot 1023 = 2046.
  6. Kontrola: wyrazy to 2,4,8,…,10242, 4, 8, \ldots, 1024, a ich suma to 20462046. Sprawdzam inaczej — suma potęg dwójki od 212^1 do 2102^{10} jest o 22 mniejsza od 211=20482^{11} = 2048 ✓
  7. Kontrola pułapki: gdyby ktoś przyjął a1=20=1a_1 = 2^0 = 1, dostałby S10=1023S_{10} = 1023 — dokładnie połowę. To najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Odpowiedź: S10=2046S_{10} = 2046

Ostatni krok pokazuje, dlaczego warto zawsze podstawić n=1n = 1, zamiast zakładać, że ciąg zaczyna się od potęgi zerowej. Wzór an=2na_n = 2^n z warunkiem n⩾1n \geqslant 1 daje pierwszy wyraz równy 22, a nie 11.

Przykład 3 Ujemny iloraz

W ciągu geometrycznym a1=5a_1 = 5, a iloraz q=−2q = -2. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

  1. Podstawiam do wzoru: S10=5⋅1−(−2)101−(−2)S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)}.
  2. Potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia: (−2)10=1024(-2)^{10} = 1024, a nie −1024-1024.
  3. Licznik: 1−1024=−10231 - 1024 = -1023.
  4. Mianownik: 1−(−2)=1+2=31 - (-2) = 1 + 2 = 3.
  5. S10=5⋅−10233=5⋅(−341)=−1705S_{10} = 5 \cdot \frac{-1023}{3} = 5 \cdot (-341) = -1705.
  6. Kontrola sensu: suma wyszła ujemna, choć pierwszy wyraz jest dodatni — to normalne przy ujemnym ilorazie, bo składniki skaczą, a ostatni (a10=5⋅(−2)9=−2560a_{10} = 5 \cdot (-2)^9 = -2560) jest ujemny i największy co do wartości bezwzględnej ✓
  7. Kontrola częściowa: pierwsze cztery wyrazy to 5,−10,20,−405, -10, 20, -40, a ich suma to −25-25 — już ujemna, więc kierunek się zgadza ✓

Odpowiedź: S10=−1705S_{10} = -1705

Dwa miejsca decydują o wyniku: znak potęgi w liczniku i podwójny minus w mianowniku. Oba warto wypisać osobno, zamiast liczyć w pamięci — 1−(−2)1 - (-2) czyta się szybko jako −1-1, a to jest 33.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze biorą się ze znaków, dwa kolejne z odczytu danych.

Parzysta potęga liczby ujemnej ze znakiem minus

Skąd się bierze: Zapis (−2)10=−1024\textcolor{#9b1c14}{(-2)^{10} = -1024} jest błędny — mnożymy dziesięć liczb ujemnych, a parzysta liczba minusów daje plus. Poprawnie 10241024. Błąd zmienia znak całego licznika i wynik wychodzi z przeciwnym znakiem.

Jak zrobić dobrze: Policz najpierw parzystość wykładnika, a dopiero potem wartość. Parzysty — wynik dodatni, nieparzysty — ujemny. Nawias wokół liczby ujemnej znaczy, że do potęgi idzie także minus.

Zgubienie podwójnego minusa w mianowniku

Skąd się bierze: Przy q=−2q = -2 mianownik 1−q1 - q to 1−(−2)=31 - (-2) = 3, a nie −1-1. Uczeń odejmuje dwójkę zamiast dodać. Wynik wychodzi wtedy trzykrotnie za duży i z przeciwnym znakiem.

Jak zrobić dobrze: Wypisz podstawienie w nawiasach, zanim policzysz: 1−(−2)1 - (-2). Zapisany nawias praktycznie eliminuje ten błąd, bo podwójny minus staje się widoczny.

Przyjęcie a1=q0a_1 = q^0 przy ciągu zadanym wzorem

Skąd się bierze: Dla an=2na_n = 2^n z warunkiem n⩾1n \geqslant 1 pierwszym wyrazem jest 21=22^1 = 2, a nie 20=12^0 = 1. Przyjęcie jedynki daje sumę 10231023 zamiast 20462046 — dokładnie połowę poprawnego wyniku.

Jak zrobić dobrze: Zawsze podstaw n=1n = 1 do podanego wzoru i przeczytaj, co wyszło. Zajmuje to sekundę i usuwa całą klasę pomyłek z indeksowaniem.

Użycie głównego wzoru przy q=1q = 1

Skąd się bierze: Podstawienie q=1q = 1 daje 00\frac{0}{0} — wyrażenie nieoznaczone, więc rachunek się załamuje albo kalkulator zwraca błąd. Dla ciągu stałego suma to po prostu n⋅a1n \cdot a_1.

Jak zrobić dobrze: Przed podstawieniem sprawdź, czy iloraz nie jest jedynką. Jeśli jest, ciąg jest stały i suma to mnożenie — bez żadnego wzoru.

Zadania maturalne — suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Przy trzech–pięciu wyrazach nie warto sięgać po wzór Sn=a1⋅1−qn1−qS_n = a_1 \cdot \tfrac{1 - q^n}{1 - q} — szybciej i pewniej jest wypisać wyrazy i je dodać. Wzór opłaca się dopiero przy kilkunastu wyrazach albo gdy liczba wyrazów jest literą.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Ciąg geometryczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. W tym ciągu a1=3,75a_1 = 3{,}75 oraz a2=−7,5a_2 = -7{,}5. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an)(a_n) jest równa
  • A. 11,2511{,}25
  • B. (−18,75)(-18{,}75)
  • C. 1515
  • D. (−15)(-15)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — iloraz. Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy:
  2. q=−7,53,75=−2q = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-7{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{3{,}75}} = \textcolor{#E0453A}{-2}
  3. Krok 2 — trzeci wyraz. Mnożymy drugi przez iloraz; dwa minusy dają plus:
  4. a3=−7,5⋅(−2)=15a_3 = \textcolor{#16A06A}{-7{,}5} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-2)} = \textcolor{#E0453A}{15}
  5. Krok 3 — dodajemy trzy wyrazy.
  6. 3,75+(−7,5)+15=3,75−7,5+15\textcolor{#16A06A}{3{,}75} + \textcolor{#16A06A}{(-7{,}5)} + \textcolor{#E0453A}{15} = 3{,}75 - 7{,}5 + 15
  7. Licząc od lewej: 3,75−7,5=−3,753{,}75 - 7{,}5 = -3{,}75, a potem −3,75+15=11,25-3{,}75 + 15 = 11{,}25
  8. Odpowiedź: 11,2511{,}25, czyli A.
  9. Ciąg to 3,75,  −7,5,  15,  −30,  …3{,}75,\; -7{,}5,\; 15,\; -30,\; \ldots — wartości rosną, ale znaki się zmieniają, bo iloraz jest ujemny.

💡 Wskazówka: Przy ujemnym ilorazie warto wypisać wyrazy z ich znakami, zanim zaczniesz dodawać. Suma trzech wyrazów wychodzi tu dodatnia, mimo że drugi jest ujemny — bo trzeci przewyższa go wartością.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D (−15-15), czyli policzenie trzeciego wyrazu jako −15-15 — z pominięcia tego, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Odpowiedź C (1515) to sam trzeci wyraz, podany zamiast sumy.

Zadanie 2 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Dany jest ciąg geometryczny (an)(a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (an)(a_n) są równe 22. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
  • A. 11
  • B. 1111
  • C. 2121
  • D. 3131
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Uwaga: dany jest drugi wyraz, a suma liczy się od pierwszego. Trzeba więc najpierw cofnąć się o jeden krok.
  2. Krok 1 — cofamy się do pierwszego wyrazu. Mnożenie przez qq idzie w przód, więc dzielenie przez qq cofa:
  3. a1=a2q=22=1a_1 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a_2}}{\textcolor{#16A06A}{q}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{1}
  4. Krok 2 — wypisujemy pięć wyrazów. Każdy to poprzedni razy 2\textcolor{#16A06A}{2}:
  5. 1,  2,  4,  8,  16\textcolor{#E0453A}{1},\; \textcolor{#16A06A}{2},\; \textcolor{#E0453A}{4},\; \textcolor{#E0453A}{8},\; \textcolor{#E0453A}{16}
  6. Krok 3 — dodajemy.
  7. 1+2+4+8+16=31\textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{16} = 31
  8. Odpowiedź: 3131, czyli D.
  9. Warto zapamiętać ten wzorzec: suma kolejnych potęg dwójki od 11 jest zawsze o jeden mniejsza od następnej potęgi. Tu 31=32−1=25−131 = 32 - 1 = 2^5 - 1.

💡 Wskazówka: Najczęstsza pułapka w tym zadaniu to zacząć sumowanie od dwójki, bo to ona jest podana. Przeczytaj dokładnie: suma dotyczy pięciu początkowych wyrazów, czyli od a1a_1 — a a1a_1 trzeba dopiero policzyć.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie pierwszego wyrazu i zsumowanie 2+4+8+16=302 + 4 + 8 + 16 = 30 — czyli policzenie czterech wyrazów zamiast pięciu, bo dwójka z treści wygląda na początek ciągu. Drugi błąd: odpowiedź A (11), czyli podanie samego a1a_1 zamiast sumy. Warto wypisać wyrazy z numerami a1a_1–a5a_5, zanim się je doda.

Zadanie 3 (czerwiec 2015)1 pkttrudniejsze

Ciąg geometryczny (an)(a_n) jest określony wzorem an=2na_n = 2^n dla n⩾1n \geqslant 1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
  • A. 2(1−210)2\left(1 - 2^{10}\right)
  • B. −2(1−210)-2\left(1 - 2^{10}\right)
  • C. 2(1+210)2\left(1 + 2^{10}\right)
  • D. −2(1+210)-2\left(1 + 2^{10}\right)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Dziesięć wyrazów to już za dużo, żeby wypisywać — tu wzór na sumę się opłaca. Odpowiedzi są zresztą podane w jego postaci, więc nawet nie trzeba nic upraszczać.
  2. Krok 1 — pierwszy wyraz i iloraz ze wzoru ogólnego.
  3. a1=2 1=2,a2=2 2=4⟹q=42=2a_1 = \textcolor{#16A06A}{2}^{\,1} = \textcolor{#E0453A}{2}, \qquad a_2 = \textcolor{#16A06A}{2}^{\,2} = \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad q = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2}
  4. (iloraz można też odczytać wprost: we wzorze an=2na_n = 2^n podstawą potęgi jest 2\textcolor{#16A06A}{2}, więc q=2q = 2)
  5. Krok 2 — wzór na sumę. Dla q≠1q \ne 1:
  6. Sn=a1⋅1−q n1−qS_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}
  7. S10=2⋅1−2 101−2=2⋅1−2 10−1=−2(1−2 10)S_{10} = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{#E0453A}{2}^{\,10}}{1 - \textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{#E0453A}{2}^{\,10}}{\textcolor{#E0453A}{-1}} = -\textcolor{#E0453A}{2}\left(1 - \textcolor{#E0453A}{2}^{\,10}\right)
  8. Odpowiedź: −2(1−210)-2\left(1 - 2^{10}\right), czyli B.
  9. Dlaczego to musi być dodatnie. Wszystkie wyrazy ciągu 2,4,8,…2, 4, 8, \ldots są dodatnie, więc suma też. Sprawdźmy znak każdej odpowiedzi, pamiętając, że 210=10242^{10} = \textcolor{#E0453A}{1024}, czyli 1−210=−10231 - 2^{10} = \textcolor{#E0453A}{-1023}:
  10. A: 2⋅(−1023)=−20462 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1023}) = \textcolor{#E0453A}{-2046} — ujemne, odpada.
  11. B: −2⋅(−1023)=2046-2 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1023}) = \textcolor{#E0453A}{2046} — dodatnie ✓
  12. C: 2⋅1025=20502 \cdot \textcolor{#E0453A}{1025} = \textcolor{#E0453A}{2050} — dodatnie, ale za duże o 44.
  13. D: −2⋅1025=−2050-2 \cdot \textcolor{#E0453A}{1025} = \textcolor{#E0453A}{-2050} — ujemne, odpada.
  14. Zostają B i C, a rozstrzyga rachunek: 2+4+8+…+1024=20462 + 4 + 8 + \ldots + 1024 = 2046 ✓ — czyli B.
  15. Warto znać ten wzorzec: suma kolejnych potęg dwójki od 212^1 do 2102^{10} równa się 211−2=2048−2=20462^{11} - 2 = 2048 - 2 = 2046.

💡 Wskazówka: Kontrola znaku odrzuca tu połowę odpowiedzi w jednej sekundzie: wszystkie wyrazy są dodatnie, więc suma musi być dodatnia, a 1−2101 - 2^{10} jest liczbą ujemną. Zwróć też uwagę, że mianownik 1−q=1−2=−11 - q = 1 - 2 = -1 zamienia znak całego wyrażenia — to dokładnie ten minus, który odróżnia odpowiedź B od A.

⚠ Zgubienie minusa z mianownika i wybór odpowiedzi A. Przy q>1q > 1 mianownik 1−q1 - q jest ujemny, więc wynik zmienia znak — i dlatego wygodniej jest wtedy używać równoważnej postaci Sn=a1⋅q n−1q−1S_n = a_1 \cdot \tfrac{q^{\,n} - 1}{q - 1}, w której oba nawiasy są dodatnie. Drugi błąd: pomylenie znaku wewnątrz nawiasu i wybór C zamiast B — różnica między 1−2101 - 2^{10} i 1+2101 + 2^{10} to w wyniku tylko 44, więc na oko tego nie widać; trzeba policzyć.

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pkttrudniejsze

W ciągu geometrycznym (an)(a_n), określonym dla n⩾1n \geqslant 1, wyraz a1=5a_1 = 5, natomiast iloraz q=−2q = -2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
  • A. (−1705)(-1705)
  • B. (−1023)(-1023)
  • C. 17051705
  • D. 51155115
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Dziesięć wyrazów i ujemny iloraz — wzór na sumę jest tu jedyną rozsądną drogą, ale trzeba uważać na znaki w obu nawiasach.
  2. S10=a1⋅1−q 101−q=5⋅1−(−2) 101−(−2)S_{10} = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^{\,10}}{1 - q} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \dfrac{1 - (\textcolor{#16A06A}{-2})^{\,10}}{1 - (\textcolor{#16A06A}{-2})}
  3. Licznik. Wykładnik 1010 jest parzysty, więc potęga liczby ujemnej wychodzi dodatnia:
  4. (−2) 10=1024⟹1−1024=−1023(\textcolor{#16A06A}{-2})^{\,10} = \textcolor{#E0453A}{1024} \qquad \Longrightarrow \qquad 1 - \textcolor{#E0453A}{1024} = \textcolor{#E0453A}{-1023}
  5. Mianownik. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  6. 1−(−2)=1+2=31 - (\textcolor{#16A06A}{-2}) = 1 + \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}
  7. Składamy:
  8. S10=5⋅−10233=5⋅(−341)=−1705S_{10} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-1023}}{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-341}) = -1705
  9. Odpowiedź: −1705-1705, czyli A.
  10. Sprawdzenie — wypiszmy ciąg i dodajmy parami. Wyrazy: 5,  −10,  20,  −40,  80,  −160,  320,  −640,  1280,  −25605,\; -10,\; 20,\; -40,\; 80,\; -160,\; 320,\; -640,\; 1280,\; -2560.
  11. Każda kolejna para daje ujemną liczbę: 5−10=−55 - 10 = \textcolor{#E0453A}{-5},   20−40=−2020 - 40 = \textcolor{#E0453A}{-20},   80−160=−8080 - 160 = \textcolor{#E0453A}{-80},   320−640=−320320 - 640 = \textcolor{#E0453A}{-320},   1280−2560=−12801280 - 2560 = \textcolor{#E0453A}{-1280}.
  12. Suma tych pięciu liczb: −5−20−80−320−1280=−1705-5 - 20 - 80 - 320 - 1280 = -1705 ✓ Wynik potwierdzony drogą całkowicie niezależną od wzoru.
  13. Zwróć uwagę, że ten podział na pary wyjaśnia też znak wyniku: ostatni wyraz jest ujemny i największy co do wartości bezwzględnej, więc przeważa nad wszystkimi wcześniejszymi dodatnimi.

💡 Wskazówka: Przy ujemnym ilorazie policz licznik i mianownik osobno i zapisz je, zanim podzielisz. Dwa najczęstsze miejsca pomyłki to parzystość wykładnika w liczniku ((−2)10(-2)^{10} jest dodatnie) i podwójny minus w mianowniku (1−(−2)=31 - (-2) = 3, nie −1-1). Jeśli chcesz kontroli, dodaj wyrazy parami — pięć par to pięć prostych odejmowań.

⚠ Przyjęcie (−2)10=−1024(-2)^{10} = -1024, czyli zignorowanie parzystości wykładnika. Wtedy licznik wychodzi 10251025, a suma 5⋅10253≈1708\tfrac{5 \cdot 1025}{3} \approx 1708 — liczba bliska poprawnej, ale nie występująca wśród odpowiedzi. Drugi błąd: mianownik policzony jako 1−2=−11 - 2 = -1 zamiast 1+2=31 + 2 = 3; wtedy wychodzi 51155115, czyli odpowiedź D, dokładnie trzy razy za duża. Trzeci: odpowiedź −1023-1023 (B) to sam licznik, czyli zapomnienie o pomnożeniu przez a1a_1 i podzieleniu przez mianownik.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. D3. B4. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Ciągi arytmetyczne i geometryczne, matura — 10 kart PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Ciągi arytmetyczne i geometryczne, matura — 10 kart PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: wzór ogólny, ciąg arytmetyczny i geometryczny, n-ty wyraz, sumy, zadania z treścią. Na…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?

Sn=a1⋅1−q n1−qS_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^{\,n}}{1 - q} dla q≠1q \neq 1. Równoważnie Sn=a1⋅q n−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1} — obie postacie dają ten sam wynik, bo licznik i mianownik zmieniają znak jednocześnie.

Dlaczego wzór nie działa dla q=1q = 1?

Bo mianownik 1−q1 - q byłby zerem. Widać to w wyprowadzeniu: mnożymy sumę przez qq i odejmujemy, a przy q=1q = 1 obie strony są identyczne i po odjęciu zostaje 0=00 = 0. Dla ciągu stałego suma to po prostu Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1.

Jak policzyć sumę przy ujemnym ilorazie?

Tym samym wzorem — trzeba tylko uważać na dwa znaki. Parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia, więc (−2)10=1024(-2)^{10} = 1024. W mianowniku wychodzi podwójny minus: 1−(−2)=31 - (-2) = 3.

Jak odczytać a1a_1 i qq, gdy ciąg zadano wzorem an=2na_n = 2^n?

Podstaw n=1n = 1: pierwszy wyraz to 21=22^1 = 2. Iloraz jest podstawą potęgi, czyli 22 — można to sprawdzić, dzieląc a2a_2 przez a1a_1. Przyjęcie a1=20=1a_1 = 2^0 = 1 to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Czy suma ciągu geometrycznego zawsze rośnie?

Nie. Przy ilorazie ujemnym wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, więc sumy częściowe skaczą — dla a1=5a_1 = 5 i q=−2q = -2 kolejne wynoszą 55, −5-5, 1515, −25-25. Przy ∣q∣<1|q| < 1 sumy częściowe nie rosną nieograniczenie — zbliżają się do pewnej liczby.

Jak sprawdzić, czy policzona suma jest poprawna?

Przy małym nn najprościej dodać wyrazy ręcznie. Przy większym sprawdź przedział: dla q>1q > 1 i dodatniego a1a_1 suma musi być większa od ostatniego wyrazu, ale mniejsza od nn razy ten wyraz. Przy ujemnym ilorazie ta kontrola nie działa — suma bywa wtedy mniejsza od pierwszego wyrazu, a nawet ujemna.

Czytaj dalej

n-ty wyraz ciągu geometrycznegoSkąd biorą się a₁ i q — punkt wyjścia do sumyPotęgiZnak potęgi liczby ujemnej decyduje o wynikuProcentyProcent składany i sumowanie wpłat
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09