Strona główna › Liczby i działania › Liczby doskonałe

Liczby doskonałe

Q: Co to jest liczba doskonała?

To liczba naturalna równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Najmniejszym przykładem jest sześć, ponieważ jej dzielnikami właściwymi są jeden, dwa i trzy, a ich suma daje dokładnie sześć.

Q: Ile jest liczb doskonałych?

Nie wiadomo, czy jest ich skończenie, czy nieskończenie wiele — to problem otwarty. Znanych jest kilkadziesiąt, a cztery najmniejsze to sześć, dwadzieścia osiem, czterysta dziewięćdziesiąt sześć i osiem tysięcy sto dwadzieścia osiem.

Q: Czy istnieje nieparzysta liczba doskonała?

Tego nikt nie wie i jest to jeden z najstarszych nierozstrzygniętych problemów matematyki. Obliczenia komputerowe pokazały jedynie, że gdyby taka liczba istniała, musiałaby być większa niż dziesięć do potęgi tysiąc pięćset.

Q: Jak sprawdzić, czy liczba jest doskonała?

Trzeba wypisać wszystkie jej dzielniki mniejsze od niej samej, a następnie je dodać. Jeżeli suma wyjdzie równa liczbie, jest ona doskonała, jeśli mniejsza — deficytowa, a jeśli większa — nadmiarowa.

Q: Czy liczby doskonałe są potrzebne w szkole?

Nie występują w podstawie programowej i nie pojawiają się na egzaminach. Bywają natomiast tematem kółek matematycznych i konkursów, ponieważ ćwiczą wyznaczanie dzielników oraz rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Liczba doskonała to taka, która równa się sumie swoich dzielników właściwych — czyli wszystkich dzielników poza nią samą. Najmniejsza z nich to $6$ , bo $1 + 2 + 3 = 6$ . Brzmi jak ciekawostka i nią jest, ale prowadzi prosto do jednego z najstarszych nierozwiązanych problemów matematyki — pytania, którego nie umiemy rozstrzygnąć od ponad dwóch tysięcy lat.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: poza podstawą programową — ciekawostka

1Definicja i cztery pierwsze przykłady

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową

Liczb doskonałych nie ma w podstawie programowej — ani w szkole podstawowej, ani w liceum, w żadnym zakresie. Na żadnym egzaminie nie zostaną sprawdzone.

To ciekawostka, ale ciekawostka wyjątkowo pożyteczna: cały temat stoi na wyznaczaniu dzielników i rozkładzie na czynniki pierwsze, czyli na umiejętnościach jak najbardziej programowych, a kończy się przy pytaniu, którego nikt nie umie rozstrzygnąć od dwóch tysięcy lat.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe, w którym zebrane są tematy spoza podstawy programowej.

Dzielnik właściwy liczby $n$ to każdy jej dzielnik naturalny mniejszy od $n$ . Dla liczby $6$ dzielnikami są $1, 2, 3, 6$ , a właściwymi — $1, 2, 3$ .

Liczbę nazywamy doskonałą, gdy suma jej dzielników właściwych daje dokładnie ją samą. Znanych jest ich zaskakująco mało — oto cztery najmniejsze, znane już w starożytności:

liczba	dzielniki właściwe	ich suma
$6$	$1, 2, 3$	$6$ ✓
$28$	$1, 2, 4, 7, 14$	$28$ ✓
$496$	$1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248$	$496$ ✓
$8128$	$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064$	$8128$ ✓

Warto zauważyć, jak rzadkie to liczby. Między $6$ a $28$ nie ma żadnej innej, między $28$ a $496$ też nie, a piąta liczba doskonała to dopiero $33\,550\,336$ — przeskok o cztery rzędy wielkości.

Dlaczego „właściwych”, a nie „wszystkich”

Gdyby do sumy wliczać samą liczbę, żadna liczba nie byłaby doskonała: suma zawierałaby $n$ plus jeszcze coś dodatniego, więc zawsze przekraczałaby $n$ .

Dla $28$ suma wszystkich dzielników wynosi $1+2+4+7+14+28 = 56$ , czyli dokładnie dwa razy $28$ . To zresztą inny, równoważny sposób zapisania definicji: liczba jest doskonała, gdy suma wszystkich jej dzielników równa się jej podwojeniu.

Pominięcie samej liczby to najczęstsza pomyłka przy sprawdzaniu — druga najczęstsza to pominięcie jedynki, która dzielnikiem właściwym jest.

2Wzór Euklidesa

Euklides zauważył ponad dwa tysiące lat temu, że liczby doskonałe da się produkować wzorem. Jeżeli liczba $2^p - 1$ jest pierwsza, to liczba

N = 2^{p-1} \cdot (2^p - 1)

jest doskonała. Liczby pierwsze postaci $2^p - 1$ nazywamy liczbami Mersenne'a. Wzór odtwarza wszystkie cztery liczby z tabeli wyżej:

$p$	$2^p - 1$	czy pierwsza	$N = 2^{p-1}(2^p-1)$
$2$	$3$	tak	$2 \cdot 3 = 6$
$3$	$7$	tak	$4 \cdot 7 = 28$
$5$	$31$	tak	$16 \cdot 31 = 496$
$7$	$127$	tak	$64 \cdot 127 = 8128$
$11$	$2047$	nie ( $= 23 \cdot 89$ )	wzoru nie stosujemy
$13$	$8191$	tak	$4096 \cdot 8191 = 33\,550\,336$

Wiersz dla $p = 11$ jest tu najważniejszy. Pokazuje, że nie wystarczy podstawić kolejną liczbę pierwszą — warunek dotyczy pierwszości samego $2^p - 1$ , a nie $p$ . Liczba $11$ jest pierwsza, ale $2^{11} - 1 = 2047$ już nie, bo rozkłada się na $23 \cdot 89$ . Dlatego czwarta liczba doskonała to $8128$ , a piąta przeskakuje od razu do trzydziestu trzech milionów.

Dwa tysiące lat po Euklidesie Euler udowodnił twierdzenie odwrotne: każda parzysta liczba doskonała ma dokładnie tę postać. Razem oba wyniki opisują komplet parzystych liczb doskonałych — jest ich dokładnie tyle, ile liczb pierwszych Mersenne'a.

3Liczby nadmiarowe i deficytowe

Doskonałość to jeden z trzech możliwych przypadków. Porównując sumę dzielników właściwych z samą liczbą, dostajemy pełną klasyfikację:

nazwa	warunek	przykład
deficytowa	suma mniejsza od liczby	$8$ : $1+2+4 = 7 < 8$
doskonała	suma równa liczbie	$6$ : $1+2+3 = 6$
nadmiarowa	suma większa od liczby	$12$ : $1+2+3+4+6 = 16 > 12$

Zdecydowana większość liczb jest deficytowa — w szczególności każda liczba pierwsza, bo jej jedynym dzielnikiem właściwym jest $1$ , a $1 < p$ dla każdej liczby pierwszej. To samo dotyczy każdej potęgi liczby pierwszej.

Liczby zaprzyjaźnione — bliski kuzyn

Dwie liczby nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich równa się sumie dzielników właściwych tej drugiej. Najmniejsza taka para to $220$ i $284$ .

Dzielniki właściwe $220$ to $1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110$ — ich suma wynosi $284$ .

Dzielniki właściwe $284$ to $1, 2, 4, 71, 142$ — ich suma wynosi $220$ .

Liczbę doskonałą można więc opisać jako zaprzyjaźnioną sama ze sobą. To nie gra słów, tylko dokładnie ta sama definicja z $a = b$ .

4Czego wciąż nie wiadomo

To najciekawsza część tematu, bo pokazuje, że matematyka nie jest dziedziną zamkniętą. Dwa pytania o liczby doskonałe pozostają otwarte — nikt nie zna na nie odpowiedzi:

Czy istnieje nieparzysta liczba doskonała? Wszystkie znane są parzyste. Sprawdzono komputerowo, że jeśli nieparzysta istnieje, to jest większa niż $10^{1500}$ — ale sprawdzenie nie jest dowodem.
Czy liczb doskonałych jest nieskończenie wiele? To pytanie jest równoważne pytaniu, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne'a. Też nie wiadomo.

Warto się przy tym pierwszym zatrzymać, bo uczy ono rzeczy ważniejszej niż same liczby doskonałe: brak kontrprzykładu to nie dowód. To, że przeszukano liczby do $10^{1500}$ i nie znaleziono nieparzystej liczby doskonałej, nie dowodzi, że jej nie ma — dowodzi tylko, że jeśli jest, to jest bardzo duża.

Dla porównania: liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, więc żadne przeszukiwanie nie wyczerpie ich wszystkich. Dlatego zdanie „sprawdziłem tysiąc przypadków i wszystkie działają” nie kończy dowodu — ani tutaj, ani w szkolnym zadaniu na wykazanie. To ta sama różnica, która w podstawie programowej oddziela sprawdzenie od uzasadnienia.

5Skąd ta nazwa i po co to komu

Nazwa pochodzi od pitagorejczyków, którzy przypisywali takim liczbom znaczenie symboliczne. Współcześnie nazwa jest już tylko historyczną etykietą — nie ma w tych liczbach nic „lepszego” niż w innych.

Praktycznego zastosowania liczby doskonałe nie mają i nie warto tego ukrywać. Mają natomiast wartość dydaktyczną, bo w jednym krótkim temacie łączą kilka rzeczy z programu:

wyznaczanie wszystkich dzielników liczby — umiejętność ze szkoły podstawowej, tu użyta do czegoś nieoczywistego,
rozkład na czynniki pierwsze — bez niego nie da się szybko wypisać dzielników liczby $8128$ ,
potęgi dwójki — wzór Euklidesa jest w całości o nich,
różnica między sprawdzeniem a dowodem — najlepsza lekcja z całego tematu.

Temat nie występuje w podstawie programowej na żadnym poziomie i nie pojawi się na egzaminie ósmoklasisty ani na maturze. Bywa natomiast materiałem na kółka matematyczne i konkursy — właśnie dlatego, że rachunki są proste, a pytania trudne.

6Przykłady krok po kroku

Pięć zadań: sprawdzenie liczby doskonałej, liczba nadmiarowa, wzór Euklidesa, przypadek, w którym wzór nie działa, oraz liczby zaprzyjaźnione.

Przykład 1 Sprawdzenie, czy 28 jest doskonała

Sprawdź, czy liczba $\textcolor{#16A06A}{28}$ jest doskonała.

Wypisuję wszystkie dzielniki liczby $28$ , szukając ich parami: $1 \cdot 28$ , $2 \cdot 14$ , $4 \cdot 7$ .
Wszystkie dzielniki: $1, 2, 4, 7, 14, 28$ . Dzielniki właściwe to te bez samej liczby: $1, 2, 4, 7, 14$ .
Suma: $1 + 2 = 3$ ; $3 + 4 = 7$ ; $7 + 7 = 14$ ; $14 + 14 = \textcolor{#E0453A}{28}$ .
Suma dzielników właściwych równa się liczbie, więc $28$ jest doskonała ✓
Kontrola drugą definicją: suma wszystkich dzielników to $28 + 28 = 56$ , czyli dokładnie podwojona liczba ✓
Kontrola kompletności listy dzielników: szukałem par aż do $\sqrt{28} \approx 5{,}3$ , więc sprawdziłem dzielniki $1, 2, 3, 4, 5$ . Liczby $3$ i $5$ nie dzielą $28$ , pozostałe dały pary — lista jest pełna ✓

Odpowiedź: Tak, $28$ jest liczbą doskonałą.

Szukanie dzielników parami i zatrzymanie się na pierwiastku z liczby to standardowa technika. Gwarantuje, że żaden dzielnik nie zginie, a roboty jest znacznie mniej.

Przykład 2 Liczba nadmiarowa

Sprawdź, czy liczba $\textcolor{#16A06A}{12}$ jest doskonała. Jeśli nie, ustal, czy jest nadmiarowa, czy deficytowa.

Dzielniki liczby $12$ szukam parami: $1 \cdot 12$ , $2 \cdot 6$ , $3 \cdot 4$ .
Wszystkie dzielniki: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Właściwe: $1, 2, 3, 4, 6$ .
Suma: $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = \textcolor{#E0453A}{16}$ .
Porównanie: $16 > 12$ , więc suma przekracza samą liczbę.
Liczba $12$ nie jest doskonała — jest nadmiarowa ✓
Kontrola: gdyby suma wyszła mniejsza od $12$ , liczba byłaby deficytowa; równa — doskonała. Trzeci przypadek nie istnieje, więc klasyfikacja jest pełna ✓
Kontrola sensu: $12$ ma aż pięć dzielników właściwych, w tym dwa duże ( $4$ i $6$ ), więc nadmiar nie dziwi — liczby o wielu dzielnikach są zwykle nadmiarowe ✓

Odpowiedź: Nie, $12$ nie jest doskonała — jest liczbą nadmiarową, bo $16 > 12$ .

Liczba $12$ jest najmniejszą liczbą nadmiarową. Wszystkie liczby mniejsze od niej, poza doskonałą szóstką, są deficytowe.

Przykład 3 Wzór Euklidesa dla p = 5

Korzystając ze wzoru Euklidesa, wyznacz liczbę doskonałą dla $p = \textcolor{#16A06A}{5}$ i sprawdź wynik wprost z definicji.

Sprawdzam założenie wzoru: $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ . Liczba $31$ jest pierwsza ✓ (nie dzieli się przez $2$ , $3$ ani $5$ , a $\sqrt{31} < 6$ ).
Stosuję wzór: $N = 2^{p-1}(2^p - 1) = 2^4 \cdot 31 = 16 \cdot 31 = \textcolor{#E0453A}{496}$ .
Teraz sprawdzenie wprost. Rozkład: $496 = 2^4 \cdot 31$ , więc dzielnikami są potęgi dwójki do czwartej oraz te same potęgi pomnożone przez $31$ .
Dzielniki właściwe: $1, 2, 4, 8, 16$ oraz $31, 62, 124, 248$ .
Suma potęg dwójki: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ .
Suma pozostałych: $31 + 62 + 124 + 248 = 31 \cdot (1 + 2 + 4 + 8) = 31 \cdot 15 = 465$ .
Razem: $31 + 465 = \textcolor{#E0453A}{496}$ ✓ — zgadza się z liczbą.
Kontrola, że nie pominąłem dzielnika: $496 = 2^4 \cdot 31$ , więc dzielników jest $(4+1) \cdot (1+1) = 10$ , a właściwych $9$ . Wypisałem dokładnie $9$ ✓

Odpowiedź: $N = 496$ , i sprawdzenie wprost z definicji potwierdza, że jest to liczba doskonała.

Zwróć uwagę na wzór na liczbę dzielników z ostatniego kroku: dla rozkładu $2^4 \cdot 31^1$ wykładniki powiększone o jeden mnoży się przez siebie. To najtańsza kontrola, czy lista dzielników jest kompletna.

Przykład 4 Kiedy wzór nie działa

Sprawdź, czy dla $p = \textcolor{#16A06A}{11}$ wzór Euklidesa daje liczbę doskonałą.

Liczba $11$ jest pierwsza, więc na pierwszy rzut oka wygląda na dobrego kandydata.
Ale warunek wzoru dotyczy nie $p$ , tylko liczby $2^p - 1$ . Liczę: $2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$ .
Sprawdzam pierwszość $2047$ . Nie dzieli się przez $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ . Ale $2047 : 23 = 89$ .
Zatem $2047 = \textcolor{#E0453A}{23 \cdot 89}$ — liczba nie jest pierwsza, więc założenie wzoru nie jest spełnione i wzoru nie wolno zastosować.
Kontrola rozkładu: $23 \cdot 89 = 23 \cdot 90 - 23 = 2070 - 23 = 2047$ ✓
Wniosek: po $p = 7$ następnym działającym wykładnikiem jest dopiero $p = 13$ , dla którego $2^{13} - 1 = 8191$ jest pierwsza.
Stąd piąta liczba doskonała: $2^{12} \cdot 8191 = 4096 \cdot 8191 = \textcolor{#E0453A}{33\,550\,336}$ .
Kontrola tego mnożenia: $4096 \cdot 8191 = 4096 \cdot 8192 - 4096 = 33\,554\,432 - 4096 = 33\,550\,336$ ✓

Odpowiedź: Nie — $2^{11} - 1 = 2047 = 23 \cdot 89$ nie jest liczbą pierwszą, więc wzór dla $p = 11$ nie ma zastosowania.

To jest cała odpowiedź na pytanie, dlaczego liczb doskonałych jest tak mało. Warunek pierwszości $2^p - 1$ spełnia niewiele wykładników, a im większe $p$ , tym rzadziej.

Przykład 5 Liczby zaprzyjaźnione 220 i 284

Wykaż, że liczby $\textcolor{#16A06A}{220}$ i $\textcolor{#16A06A}{284}$ są zaprzyjaźnione.

Trzeba pokazać dwie rzeczy: że suma dzielników właściwych $220$ daje $284$ oraz że suma dzielników właściwych $284$ daje $220$ .
Rozkład: $220 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$ . Dzielniki właściwe: $1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110$ .
Sumuję po kolei: $1+2=3$ ; $+4=7$ ; $+5=12$ ; $+10=22$ ; $+11=33$ ; $+20=53$ ; $+22=75$ ; $+44=119$ ; $+55=174$ ; $+110=\textcolor{#E0453A}{284}$ ✓
Rozkład: $284 = 2^2 \cdot 71$ . Dzielniki właściwe: $1, 2, 4, 71, 142$ .
Sumuję: $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = \textcolor{#E0453A}{220}$ ✓
Oba warunki spełnione, więc liczby są zaprzyjaźnione.
Kontrola kompletności pierwszej listy: $220 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1$ , więc dzielników jest $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ , a właściwych $11$ . Wypisałem $11$ ✓
Kontrola kompletności drugiej listy: $284 = 2^2 \cdot 71^1$ , więc dzielników jest $3 \cdot 2 = 6$ , właściwych $5$ . Wypisałem $5$ ✓

Odpowiedź: Tak — suma dzielników właściwych $220$ wynosi $284$ , a suma dzielników właściwych $284$ wynosi $220$ .

Gdyby w tym zadaniu obie liczby były takie same, warunek zaprzyjaźnienia stałby się definicją liczby doskonałej. Liczby doskonałe to więc szczególny przypadek liczb zaprzyjaźnionych.

7Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą listy dzielników, trzy kolejne — wzoru Euklidesa i wnioskowania.

Wliczanie samej liczby do sumy dzielników.

Skąd się bierze: Liczba jest swoim dzielnikiem, więc trafia na listę razem z pozostałymi.

Jak zrobić dobrze: Sumujemy wyłącznie dzielniki właściwe, czyli mniejsze od samej liczby. Dla $28$ jest to $1+2+4+7+14 = 28$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{56}$ — przy wliczeniu liczby żadna liczba nie byłaby doskonała.

Pominięcie jedynki na liście dzielników.

Skąd się bierze: Jedynka bywa uznawana za dzielnik „nieistotny”, bo dzieli wszystko.

Jak zrobić dobrze: Jedynka jest pełnoprawnym dzielnikiem właściwym każdej liczby większej od $1$ . Bez niej suma dla $6$ wynosi $\textcolor{#9b1c14}{5}$ zamiast $6$ i szóstka przestaje być doskonała.

Stosowanie wzoru Euklidesa dla każdej liczby pierwszej $p$ .

Skąd się bierze: Wzór zawiera literę $p$ , która kojarzy się z liczbą pierwszą — i tą liczbą pierwszą faktycznie jest, tylko warunek dotyczy czego innego.

Jak zrobić dobrze: Pierwsza musi być liczba $2^p - 1$ , a nie $p$ . Dla $p = 11$ mamy $2047 = 23 \cdot 89$ , więc wzoru nie stosujemy — a użyty mimo to dałby $\textcolor{#9b1c14}{2096128}$ , liczbę, która doskonała nie jest.

Mylenie liczb doskonałych z zaprzyjaźnionymi.

Skąd się bierze: Obie definicje mówią o sumie dzielników właściwych, więc łatwo je skleić.

Jak zrobić dobrze: Liczba doskonała odsyła sumę do siebie, para zaprzyjaźniona — do drugiej liczby. Liczby $220$ i $284$ są zaprzyjaźnione, ale żadna z nich nie jest $\textcolor{#9b1c14}{\text{doskonała}}$ : suma dzielników $220$ to $284$ , a nie $220$ .

Uznanie, że nieparzyste liczby doskonałe nie istnieją.

Skąd się bierze: Wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste, a komputery przeszukały ogromne zakresy.

Jak zrobić dobrze: To pytanie jest otwarte — nikt tego nie udowodnił ani nie obalił. Wiadomo tylko, że taka liczba musiałaby przekraczać $10^{1500}$ . Zdanie „nie znaleziono, więc nie ma” to $\textcolor{#9b1c14}{\text{brak dowodu}}$ , a nie dowód.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest liczba doskonała?

To liczba naturalna równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Najmniejszym przykładem jest sześć, ponieważ jej dzielnikami właściwymi są jeden, dwa i trzy, a ich suma daje dokładnie sześć.

Ile jest liczb doskonałych?

Nie wiadomo, czy jest ich skończenie, czy nieskończenie wiele — to problem otwarty. Znanych jest kilkadziesiąt, a cztery najmniejsze to sześć, dwadzieścia osiem, czterysta dziewięćdziesiąt sześć i osiem tysięcy sto dwadzieścia osiem.

Czy istnieje nieparzysta liczba doskonała?

Tego nikt nie wie i jest to jeden z najstarszych nierozstrzygniętych problemów matematyki. Obliczenia komputerowe pokazały jedynie, że gdyby taka liczba istniała, musiałaby być większa niż dziesięć do potęgi tysiąc pięćset.

Jak sprawdzić, czy liczba jest doskonała?

Trzeba wypisać wszystkie jej dzielniki mniejsze od niej samej, a następnie je dodać. Jeżeli suma wyjdzie równa liczbie, jest ona doskonała, jeśli mniejsza — deficytowa, a jeśli większa — nadmiarowa.

Czy liczby doskonałe są potrzebne w szkole?

Nie występują w podstawie programowej i nie pojawiają się na egzaminach. Bywają natomiast tematem kółek matematycznych i konkursów, ponieważ ćwiczą wyznaczanie dzielników oraz rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Czytaj dalej

Liczby pierwszeBez nich nie ma wzoru Euklidesa — i to one decydują, ile liczb doskonałych istnieje.Rozkład na czynniki pierwszeNajszybszy sposób wypisania wszystkich dzielników dużej liczby.Cechy podzielnościJak sprawdzać dzielniki bez dzielenia — przydaje się przy każdym z tych zadań.PotęgiWzór Euklidesa jest w całości o potęgach dwójki.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.