Strona główna › Liczby i działania › Iloczyn kartezjański zbiorów

Iloczyn kartezjański zbiorów

Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów to zbiór wszystkich par, w których pierwszy element pochodzi z jednego zbioru, a drugi z drugiego. Brzmi abstrakcyjnie, ale każdy widział go setki razy: układ współrzędnych, tabela wyników rzutu dwiema kostkami i lista wszystkich możliwych zestawów „koszulka + spodnie” to dokładnie ta sama konstrukcja.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: poza podstawą programową — matura nie wymaga

1Czego wymaga podstawa, a czego nie

Zacznę od uczciwego postawienia sprawy, żeby nikt nie uczył się tego z poczuciem, że coś przeoczył wcześniej.

Iloczyn kartezjański nie występuje w podstawie programowej — ani w wersji dla szkoły podstawowej, ani w licealnej, ani w zakresie rozszerzonym. Nie pojawi się jako polecenie na maturze i nie trzeba znać jego nazwy do żadnego egzaminu.

Po co więc się tym zajmować

Bo sama konstrukcja jest w podstawie obecna wszędzie, tylko pod innymi nazwami. Układ współrzędnych to iloczyn kartezjański dwóch osi. Reguła mnożenia w kombinatoryce to wzór na liczbę elementów iloczynu kartezjańskiego. Zbiór zdarzeń elementarnych przy rzucie dwiema kostkami to iloczyn kartezjański zbioru wyników pierwszej kostki i drugiej.

Znajomość wspólnej nazwy dla tych trzech rzeczy nie jest wymagana, ale bardzo porządkuje. Uczeń, który raz zobaczył, że to jedna konstrukcja, przestaje uczyć się reguły mnożenia jako osobnej regułki do zapamiętania.

Ta strona jest więc materiałem wykraczającym poza podstawę — do czytania z ciekawości albo przy okazji olimpiad i kółek matematycznych, a nie do obowiązkowej powtórki przed egzaminem.

Należy do działu Zagadnienia dodatkowe, w którym zebrane są wszystkie tematy spoza podstawy programowej.

2Para uporządkowana — kolejność ma znaczenie

Zanim pojawi się sam iloczyn, potrzebne jest pojęcie pary uporządkowanej. Zapisujemy ją w nawiasach okrągłych: $(a, b)$ , gdzie $a$ to pierwsza współrzędna, a $b$ — druga.

Kluczowa własność brzmi: $(a, b) = (c, d)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = c$ oraz $b = d$ . Innymi słowy — dwie pary są równe, gdy zgadzają się na obu pozycjach.

obiekt	zapis	czy kolejność ma znaczenie
zbiór dwuelementowy	$\{1, 2\}$	nie — $\{1,2\} = \{2,1\}$
para uporządkowana	$(1, 2)$	tak — $(1,2) \neq (2,1)$

Różnica nawiasów nie jest ozdobą typograficzną. Punkt $(1,2)$ i punkt $(2,1)$ leżą w układzie współrzędnych w dwóch różnych miejscach — i to jest najprostszy dowód na to, że kolejność w parze musi być istotna.

Druga różnica: w zbiorze elementy się nie powtarzają, więc $\{5, 5\}$ to po prostu $\{5\}$ , zbiór jednoelementowy. W parze uporządkowanej powtórzenie jest w pełni dozwolone — $(5,5)$ to poprawna para, odpowiadająca punktowi na prostej $y = x$ .

3Definicja iloczynu kartezjańskiego

Iloczynem kartezjańskim zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych, w których pierwszy element należy do $A$ , a drugi do $B$ :

A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ oraz } b \in B\}

Czyta się to „ $A$ razy $B$ ” albo „iloczyn kartezjański $A$ i $B$ ”. Nazwa upamiętnia Kartezjusza, twórcę układu współrzędnych — i to nie przypadek, bo płaszczyzna współrzędnych to właśnie $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ , oznaczane krócej $\mathbb{R}^2$ .

Dla $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{a, b\}$ wypisanie wszystkich par daje:

A \times B = \{(1,a),\, (1,b),\, (2,a),\, (2,b),\, (3,a),\, (3,b)\}

Sześć par — po jednej dla każdego połączenia elementu z $A$ z elementem z $B$ . Najbezpieczniejszy sposób wypisywania to trzymać się porządku: bierzemy pierwszy element $A$ i doklejamy do niego kolejno wszystkie elementy $B$ , potem drugi element $A$ i tak dalej. Wtedy żadna para nie zginie i żadna się nie powtórzy.

Uwaga na słowo „iloczyn” — ma tu dwa różne znaczenia

W teorii zbiorów „iloczyn zbiorów” to tradycyjna nazwa części wspólnej $A \cap B$ — czyli tego, co należy do obu zbiorów naraz.

Iloczyn kartezjański $A \times B$ to coś zupełnie innego — zbiór par, a nie zbiór wspólnych elementów. Przymiotnik „kartezjański” jest tu jedyną rzeczą, która odróżnia jedno od drugiego, więc nie wolno go pomijać.

Dla $A = \{1,2\}$ i $B = \{2,3\}$ : część wspólna to $A \cap B = \{2\}$ — jeden element. Iloczyn kartezjański to $A \times B = \{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}$ — cztery pary. Nawet typ wyniku jest inny: tam liczby, tu pary.

4Ile elementów ma iloczyn kartezjański

Dla zbiorów skończonych obowiązuje prosty wzór:

|A \times B| = |A| \cdot |B|

Liczby elementów się mnożą, a nie dodają — bo każdy element $A$ tworzy parę z każdym elementem $B$ osobno. To dokładnie reguła mnożenia z kombinatoryki, zapisana w języku zbiorów.

Stąd wynika kilka rzeczy wartych zapamiętania:

$|A \times A| = |A|^2$ — dla zbioru pięcioelementowego daje to $25$ par, a nie $10$ .
Jeśli którykolwiek ze zbiorów jest pusty, to iloczyn też jest pusty: $A \times \varnothing = \varnothing$ . Nie da się utworzyć pary, gdy nie ma z czego wziąć drugiej współrzędnej.
Iloczyn trzech zbiorów daje trójki uporządkowane, a liczb elementów mnoży się trzy: $|A \times B \times C| = |A| \cdot |B| \cdot |C|$ .

Iloczyn kartezjański nie jest przemienny: zbiory $A \times B$ i $B \times A$ to zwykle dwa różne zbiory, bo składają się z par o odwróconych współrzędnych. Mają natomiast zawsze tyle samo elementów, bo mnożenie liczb jest przemienne. To dobre miejsce na ostrożność: równa liczność nie oznacza równości zbiorów.

Jedyny przypadek, w którym $A \times B = B \times A$ , to sytuacja, gdy $A = B$ albo gdy któryś ze zbiorów jest pusty — wtedy obie strony są zbiorem pustym.

5Gdzie to widać w szkolnej matematyce

Trzy miejsca, w których iloczyn kartezjański pracuje pod inną nazwą:

sytuacja	iloczyn kartezjański czego	co z tego wynika
układ współrzędnych	$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$	każdy punkt płaszczyzny to para $(x, y)$
rzut dwiema kostkami	$\{1,\ldots,6\} \times \{1,\ldots,6\}$	zdarzeń elementarnych jest $6 \cdot 6 = 36$
reguła mnożenia	zbiór wyborów w kolejnych krokach	liczby możliwości mnożą się przez siebie

Szczególnie ładnie widać to przy przedziałach. Iloczyn kartezjański $\langle 0; 2 \rangle \times \langle 0; 3 \rangle$ to zbiór wszystkich punktów $(x,y)$ , dla których $0 \leqslant x \leqslant 2$ i $0 \leqslant y \leqslant 3$ — czyli prostokąt o bokach $2$ i $3$ , narysowany w układzie współrzędnych. Jego pole wynosi $6$ , i to nie przypadek, że jest to iloczyn długości obu przedziałów: mnożenie boków prostokąta i mnożenie liczności zbiorów to ta sama idea w dwóch skalach.

Ta obserwacja tłumaczy też, dlaczego wykres nierówności z dwiema zmiennymi bywa prostokątem: warunek „ $x$ z jednego przedziału i $y$ z drugiego” opisuje dokładnie iloczyn kartezjański tych przedziałów.

6Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wypisanie obu iloczynów, liczenie liczności, zbiór zdarzeń przy dwóch kostkach oraz iloczyn przedziałów jako prostokąt.

Przykład 1 Wypisanie A × B oraz B × A

Dane są zbiory $A = \{1, 2, 3\}$ oraz $B = \{a, b\}$ . Wypisz $A \times B$ i $B \times A$ . Czy te zbiory są równe?

$A \times B$ — pierwsza współrzędna z $A$ , druga z $B$ . Biorę kolejno elementy $A$ i doklejam do każdego wszystkie elementy $B$ .
$A \times B = \textcolor{#E0453A}{\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}}$ — sześć par.
$B \times A$ — teraz pierwsza współrzędna z $B$ , druga z $A$ .
$B \times A = \textcolor{#E0453A}{\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}}$ — również sześć par.
Porównanie: para $(1,a)$ należy do $A \times B$ , ale nie należy do $B \times A$ , bo tam na pierwszym miejscu stoją litery. Zbiory są więc różne.
Kontrola liczności: $|A| \cdot |B| = 3 \cdot 2 = 6$ i $|B| \cdot |A| = 2 \cdot 3 = 6$ — oba mają po sześć elementów ✓
Kontrola kompletności: każdy z trzech elementów $A$ wystąpił dokładnie dwa razy jako pierwsza współrzędna, $3 \cdot 2 = 6$ ✓

Odpowiedź: $A \times B$ i $B \times A$ mają po $6$ elementów, ale nie są równe — iloczyn kartezjański nie jest przemienny.

Ten przykład pokazuje pułapkę: równa liczba elementów bywa mylona z równością zbiorów. Tu liczności są identyczne, a zbiory rozłączne — nie mają ani jednej wspólnej pary.

Przykład 2 Liczba elementów bez wypisywania

Zbiór $A$ ma $\textcolor{#16A06A}{4}$ elementy, a zbiór $B$ ma $\textcolor{#16A06A}{7}$ elementów. Ile elementów ma $A \times B$ ? Ile ma $A \times A$ ?

Ze wzoru na liczność iloczynu kartezjańskiego: $|A \times B| = |A| \cdot |B|$ .
$|A \times B| = 4 \cdot 7 = \textcolor{#E0453A}{28}$ .
Dla $A \times A$ oba czynniki to ten sam zbiór: $|A \times A| = 4 \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{16}$ .
Kontrola na mniejszym przypadku: dla $|A| = 2$ zbiór $A \times A$ to $\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ — cztery pary, czyli $2^2$ ✓
Kontrola, czego NIE robimy: liczby elementów się mnożą, nie dodają. Wynik $4 + 7 = 11$ dotyczyłby sumy rozłącznych zbiorów, a nie iloczynu kartezjańskiego ✓

Odpowiedź: $|A \times B| = 28$ , $|A \times A| = 16$ .

Wzór $|A \times A| = |A|^2$ warto zapamiętać osobno, bo tu najczęściej pojawia się pomyłka: zamiast kwadratu bywa liczone podwojenie.

Przykład 3 Rzut dwiema kostkami

Rzucamy dwiema rozróżnialnymi kostkami sześciennymi. Opisz zbiór zdarzeń elementarnych i oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $\textcolor{#16A06A}{7}$ .

Wynik pierwszej kostki to element zbioru $K = \{1,2,3,4,5,6\}$ , wynik drugiej — również. Cały wynik doświadczenia to para uporządkowana, bo kostki są rozróżnialne.
Zbiór zdarzeń elementarnych: $\Omega = K \times K$ .
$|\Omega| = 6 \cdot 6 = \textcolor{#E0453A}{36}$ .
Zdarzenie sprzyjające: pary o sumie $7$ . Wypisuję je po kolei według pierwszej współrzędnej: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — jest ich $\textcolor{#E0453A}{6}$ .
$P = \dfrac{6}{36} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}}$ .
Kontrola kompletności listy: dla każdej wartości pierwszej kostki druga jest wyznaczona jednoznacznie jako $7$ minus pierwsza, a wynik musi mieścić się w zakresie od $1$ do $6$ . Wszystkie sześć wartości pierwszej kostki daje dopuszczalną drugą ✓
Kontrola sensu: suma $7$ jest najczęstsza ze wszystkich sum, bo wypada dokładnie na środku zakresu od $2$ do $12$ — i faktycznie żadna inna suma nie ma sześciu par ✓

Odpowiedź: $\Omega = K \times K$ , $|\Omega| = 36$ , a szukane prawdopodobieństwo wynosi $\tfrac{1}{6}$ .

Rozróżnialność kostek jest tu istotna: pary $(2,5)$ i $(5,2)$ liczymy jako dwa różne zdarzenia elementarne. Gdyby kostki były nierozróżnialne, model byłby inny i zdarzenia nie byłyby jednakowo prawdopodobne.

Przykład 4 Iloczyn przedziałów jako prostokąt

Narysuj w układzie współrzędnych zbiór $\langle 0; \textcolor{#16A06A}{2} \rangle \times \langle 0; \textcolor{#16A06A}{3} \rangle$ i oblicz jego pole.

Do zbioru należą pary $(x, y)$ , w których $x$ pochodzi z pierwszego przedziału, a $y$ z drugiego.
Warunek na $x$ : $0 \leqslant x \leqslant 2$ . Warunek na $y$ : $0 \leqslant y \leqslant 3$ . Oba muszą zachodzić naraz.
Zbiór punktów spełniających oba warunki to prostokąt o wierzchołkach $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(2,3)$ i $(0,3)$ , wraz z brzegiem — bo oba przedziały są domknięte.
Pole: $P = 2 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Kontrola punktem wewnętrznym: $(1; 1{,}5)$ — pierwsza współrzędna mieści się w $\langle 0;2 \rangle$ ✓, druga w $\langle 0;3 \rangle$ ✓, więc punkt należy do zbioru ✓
Kontrola punktem zewnętrznym: $(1; 4)$ — pierwsza współrzędna pasuje, ale $4 \notin \langle 0;3 \rangle$ , więc punkt do zbioru nie należy ✓
Kontrola brzegiem: $(2;3)$ to wierzchołek; oba przedziały są domknięte, więc należy do zbioru i prostokąt rysujemy z ciągłym brzegiem ✓

Odpowiedź: Prostokąt o bokach $2$ i $3$ z domkniętym brzegiem; jego pole wynosi $6$ .

Gdyby przedziały były otwarte, zbiór byłby wnętrzem prostokąta — brzeg rysuje się wtedy linią przerywaną. Pole pozostaje takie samo, bo sam brzeg pola nie ma.

7Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą pary uporządkowanej, trzeci nazwy, dwa ostatnie — liczenia elementów.

Traktowanie pary uporządkowanej jak zbioru dwuelementowego.

Skąd się bierze: Oba zapisy zawierają dwa obiekty oddzielone przecinkiem, więc różnica nawiasów wygląda na drobiazg.

Jak zrobić dobrze: W zbiorze kolejność nie ma znaczenia, w parze ma. Zachodzi $\{1,2\} = \{2,1\}$ , ale $(1,2) \neq (2,1)$ — a zapis $\textcolor{#9b1c14}{(1,2) = (2,1)}$ oznaczałby, że punkty o tych współrzędnych leżą w tym samym miejscu układu.

Uznanie, że $A \times B = B \times A$ .

Skąd się bierze: Mnożenie liczb jest przemienne, a znak $\times$ sugeruje, że tu też tak będzie.

Jak zrobić dobrze: Iloczyn kartezjański przemienny nie jest. Dla $A = \{1,2,3\}$ i $B = \{a,b\}$ oba zbiory mają po sześć par, ale nie mają ani jednej wspólnej — bo w pierwszym na początku stoją liczby, a w drugim litery. Równa liczność to nie to samo co $\textcolor{#9b1c14}{\text{równość zbiorów}}$ .

Mylenie iloczynu kartezjańskiego z częścią wspólną.

Skąd się bierze: Część wspólną $A \cap B$ tradycyjnie nazywa się „iloczynem zbiorów”, więc obie nazwy zaczynają się tak samo.

Jak zrobić dobrze: To dwie różne operacje o różnych wynikach. Dla $A=\{1,2\}$ , $B=\{2,3\}$ część wspólna to $\{2\}$ , a iloczyn kartezjański to cztery pary $\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}$ — nie $\textcolor{#9b1c14}{\{2\}}$ .

Dodawanie liczności zamiast mnożenia.

Skąd się bierze: Przy sumie zbiorów rozłącznych liczby elementów się dodają, więc odruch przenosi się na iloczyn kartezjański.

Jak zrobić dobrze: Obowiązuje mnożenie: dla $|A| = 4$ i $|B| = 7$ wychodzi $|A \times B| = 28$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{11}$ . Każdy z czterech elementów tworzy siedem par, więc par jest cztery razy po siedem.

Liczenie $|A \times A|$ jako podwojonej liczby elementów.

Skąd się bierze: Zbiór występuje „dwa razy”, więc kusi, żeby liczbę elementów pomnożyć przez dwa.

Jak zrobić dobrze: Wychodzi kwadrat, nie podwojenie: $|A \times A| = |A|^2$ . Dla zbioru pięcioelementowego daje to $25$ par, a nie $\textcolor{#9b1c14}{10}$ — łatwo to sprawdzić na zbiorze dwuelementowym, gdzie par jest cztery.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest iloczyn kartezjański zbiorów?

To zbiór wszystkich par uporządkowanych, w których pierwszy element pochodzi z pierwszego zbioru, a drugi z drugiego. Oznaczamy go znakiem razy między nazwami zbiorów, a jego najbardziej znanym przykładem jest płaszczyzna układu współrzędnych.

Czy iloczyn kartezjański jest przemienny?

Nie jest, ponieważ pary w obu zbiorach mają odwrócone współrzędne. Oba iloczyny mają natomiast zawsze tyle samo elementów, bo mnożenie liczb jest przemienne — równa liczność nie oznacza tu jednak równości zbiorów.

Ile elementów ma iloczyn kartezjański dwóch zbiorów skończonych?

Tyle, ile wynosi iloczyn liczb elementów obu zbiorów. Każdy element pierwszego zbioru tworzy parę z każdym elementem drugiego, więc liczby możliwości mnożą się przez siebie, dokładnie jak w regule mnożenia z kombinatoryki.

Czym różni się iloczyn kartezjański od iloczynu zbiorów?

Iloczyn zbiorów to tradycyjna nazwa części wspólnej, czyli elementów należących do obu zbiorów naraz. Iloczyn kartezjański daje zupełnie inny wynik, bo jego elementami są pary, a nie pojedyncze obiekty ze zbiorów wyjściowych.

Czy iloczyn kartezjański jest wymagany na maturze?

Nie, w podstawie programowej to pojęcie nie występuje ani w wersji podstawowej, ani rozszerzonej. Sama konstrukcja pojawia się jednak stale pod innymi nazwami, na przykład jako reguła mnożenia albo jako zbiór zdarzeń elementarnych.

Czytaj dalej

ZbiorySuma, część wspólna i różnica — pozostałe działania na zbiorach, także spoza podstawy.Układ współrzędnychNajważniejszy iloczyn kartezjański w szkolnej matematyce, widziany od strony rysunku.Reguła mnożeniaTen sam wzór na liczbę par, zapisany w języku kombinatoryki.Prawdopodobieństwo klasyczneGdzie zbiór zdarzeń elementarnych okazuje się iloczynem kartezjańskim.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.