Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie 1/2 całej tabliczki, siostrze 5/12 całej tabliczki, a jemu 1/6 całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Strona główna › Ułamki › Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Q: Czym różni się NWW od NWD?

NWW, czyli najmniejsza wspólna wielokrotność, jest większa lub równa danym liczbom i służy do sprowadzania do wspólnego mianownika. NWD, czyli największy wspólny dzielnik, jest od nich mniejszy lub równy i służy do skracania ułamków. Jeśli przy sprowadzaniu wyszła liczba mniejsza od mianowników — pomyliłeś skróty.

Q: Jaki jest wspólny mianownik dla 9 i 12?

Trzydzieści sześć. 9 = 3 · 3, a 12 = 2 · 2 · 3, więc NWW = 2 · 2 · 3 · 3 = 36. Iloczyn 9 · 12 = 108 też by zadziałał, ale dałby trzy razy większe liczby.

Sprowadzanie do wspólnego mianownika to jedyny trudny krok w dodawaniu i odejmowaniu ułamków — reszta jest mechaniczna. Ta strona jest w całości o tym kroku: jak znaleźć wspólny mianownik trzema sposobami, który wybrać w danej sytuacji i co zrobić, gdy ułamków jest więcej niż dwa.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 5–6Zadań z E8: 5

Krótko: Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika to zamiana ich tak, by miały takie same mianowniki, bez zmiany wartości. Najwygodniej wziąć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, na przykład 1/2 i 1/3 zamieniamy na 3/6 i 2/6.

Krótko: żeby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, znajdź liczbę, która dzieli się przez oba mianowniki (najwygodniej najmniejszą — NWW), a potem rozszerz każdy ułamek: licznik i mianownik pomnóż przez tę samą liczbę. Na przykład $\dfrac{1}{2}$ i $\dfrac{2}{3}$ → wspólny mianownik 6: $\dfrac{3}{6}$ i $\dfrac{4}{6}$ .

Kalkulator wspólnego mianownika

Wpisz dwa albo trzy ułamki — kalkulator pokaże każdy krok, tak jak w zeszycie.

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Co to znaczy sprowadzić do wspólnego mianownika

Karta pracy do wydruku

Wspólny mianownik — 16 zadań, PDF na 2 strony

Szesnaście par ułamków do sprowadzenia do wspólnego mianownika, z kluczem odpowiedzi na drugiej stronie. Ułamki zapisane z kreską poziomą, tak jak w zeszycie.

To zapisanie dwóch ułamków tak, żeby miały ten sam mianownik, bez zmiany ich wartości. Robimy to przez rozszerzanie — mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę.

\frac{1}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \frac{3}{\textcolor{#16A06A}{6}} \qquad \frac{2}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{4}{\textcolor{#16A06A}{6}}

Po tej operacji obie liczby mierzymy w tych samych kawałkach — tu w szóstych częściach. Dopiero wtedy da się je dodać, odjąć albo uczciwie porównać, bo dodawanie ćwiartek do trzecich części idzie tak samo opornie jak dodawanie metrów do centymetrów: wynik istnieje, ale najpierw trzeba obie wielkości wyrazić w tej samej jednostce.

Rysunek 1. Ten sam pasek pocięty na drobniejsze, równe części. Pomalowana część się nie zmienia — zmienia się tylko to, w jakich kawałkach ją liczymy.

\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}

\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}

: po sprowadzeniu oba ułamki mierzymy w szóstych częściach.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika na przykładzie: jedna druga razy 3 to trzy szóste, dwie trzecie razy 2 to cztery szóste — wspólny mianownik 6; paski podzielone na szóste części pokazują, że wartość ułamków się nie zmienia — Jedna druga i dwie trzecie sprowadzone do wspólnego mianownika 6

Wspólny mianownik to każda wspólna wielokrotność obu mianowników — nie tylko ta najmniejsza. Dla $2$ i $3$ zadziała $6$ , ale też $12$ , $18$ czy $60$ . Najmniejsza jest tylko najwygodniejsza, bo daje najmniejsze liczby.

Warto od razu odróżnić dwie rzeczy, które brzmią podobnie: NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) to liczba większa lub równa obu mianownikom, a NWD (największy wspólny dzielnik) jest od nich mniejszy lub równy i służy do czegoś zupełnie innego — do skracania ułamków.

2Trzy sposoby na znalezienie wspólnego mianownika

Nie każdy przypadek wymaga tej samej pracy. Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, sprawdź, w której jesteś sytuacji.

sytuacja	co robić	przykład
jeden mianownik dzieli się przez drugi	weź ten większy	$3$ i $6$ → wspólny $6$
mianowniki nie mają wspólnych dzielników większych od 1	weź iloczyn	$4$ i $5$ → wspólny $20$
mianowniki mają wspólne dzielniki	policz NWW	$12$ i $18$ → wspólny $36$

Jak znaleźć wspólny mianownik — trzy sytuacje: gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi, weź większy (3 i 6 → 6); gdy mianowniki nie mają wspólnych dzielników, pomnóż je (4 i 5 → 20); gdy mają wspólne dzielniki, policz NWW (12 i 18 → 36) — Trzy sposoby na znalezienie wspólnego mianownika

Pierwszy przypadek jest najczęstszy w zadaniach szkolnych i najtańszy: nie ma tu nic do liczenia, wystarczy rozszerzyć jeden ułamek. Drugi też jest prosty — gdy mianowniki nie mają nic wspólnego, ich iloczyn od razu jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Dopiero trzeci przypadek wymaga rachunku, bo iloczyn dałby liczbę niepotrzebnie dużą: dla $12$ i $18$ wyszłoby $216$ zamiast $36$ . Wynik będzie poprawny, ale będziesz go potem skracać w dużych liczbach.

Iloczyn zawsze zadziała

Gdy zawodzi pamięć albo brakuje czasu — pomnóż mianowniki. To zawsze jest wspólna wielokrotność i wynik wyjdzie poprawny.

Cena to większe liczby po drodze i konieczność skrócenia wyniku na końcu. Ale lepszy poprawny wynik po dłuższej drodze niż utknięcie na szukaniu NWW.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ułamki zwykłe” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ułamki zwykłe — cały dział, klasa 5 (15 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ułamki zwykłe”15 arkuszy w jednym pliku22,90 zł~~58,50 zł~~−35,60 zł Cała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 22,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3NWW metodą rozkładu na czynniki pierwsze

To sposób, którego uczy podstawa programowa. Dla klas IV–VI wymaga ona wprost, żeby uczeń znajdował NWD i NWW dwóch liczb naturalnych co najwyżej trzycyfrowych metodą rozkładu na czynniki (dział II o działaniach na liczbach naturalnych, punkt 11), a w dziale IV o ułamkach — żeby sprowadzał ułamki zwykłe do wspólnego mianownika (punkt 4). Jest to też sposób, który najlepiej znosi duże liczby: wypisywanie wielokrotności, o którym piszę niżej, jest równie pewne, ale przy większych mianownikach robi się żmudne.

rozłóż oba mianowniki na czynniki pierwsze,
z każdego czynnika weź wyższą potęgę, czyli tyle jego wystąpień, ile jest w tej liczbie, gdzie występuje częściej,
pomnóż to, co zebrałeś.

Dla $12$ i $18$ : rozkład to $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ oraz $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ . Dwójka występuje najwięcej razy w dwunastce (dwa razy), trójka w osiemnastce (dwa razy). Biorę więc dwie dwójki i dwie trójki:

\text{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 36

Sprawdzenie jest natychmiastowe: $36 : 12 = 3$ i $36 : 18 = 2$ — obie liczby dzielą się bez reszty, więc $36$ naprawdę jest wspólną wielokrotnością.

Jeśli rozkład na czynniki sprawia kłopot, jest sposób bez niego: wypisuj wielokrotności większej liczby i sprawdzaj, która dzieli się przez mniejszą. Dla $12$ i $18$ : $18$ nie dzieli się przez $12$ , $36$ dzieli się ✓. Przy liczbach dwucyfrowych to zwykle kwestia dwóch–trzech prób.

Tabela wspólnych mianowników od 2 do 12

Najmniejszy wspólny mianownik (NWW) dla każdej pary mianowników od 2 do 12. Szukasz wiersza z jednym mianownikiem i kolumny z drugim — na przykład dla 2 i 3 wspólny mianownik to 6, dla 9 i 12 — 36, dla 4 i 6 — 12. Pomarańczowe pola to przypadki, gdy wystarczy pomnożyć mianowniki; niebieskie — gdy wystarczy wziąć większy.

Wspólny mianownik (NWW) dla mianowników 2–12
NWW	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	6	4	10	6	14	8	18	10	22	12
3	6	3	12	15	6	21	24	9	30	33	12
4	4	12	4	20	12	28	8	36	20	44	12
5	10	15	20	5	30	35	40	45	10	55	60
6	6	6	12	30	6	42	24	18	30	66	12
7	14	21	28	35	42	7	56	63	70	77	84
8	8	24	8	40	24	56	8	72	40	88	24
9	18	9	36	45	18	63	72	9	90	99	36
10	10	30	20	10	30	70	40	90	10	110	60
11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	11	132
12	12	12	12	60	12	84	24	36	60	132	12

NWW z rozkładu na czynniki pierwsze: 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3, więc NWW(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36 — każdy czynnik bierzemy tyle razy, ile występuje w rozkładzie, w którym jest go najwięcej — Najmniejsza wspólna wielokrotność z rozkładu na czynniki pierwsze

4Trzy ułamki i więcej

Zasada się nie zmienia — wspólny mianownik musi się dzielić przez wszystkie mianowniki naraz.

Dla $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{4}$ szukam liczby dzielącej się przez $2$ , $3$ i $4$ . Metodą rozkładu: $2 = 2$ , $3 = 3$ , $4 = 2 \cdot 2$ . Biorę dwie dwójki (bo tyle jest w czwórce) i jedną trójkę: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

\frac{1}{2} = \frac{6}{12} \qquad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}

Uwaga na częstą pułapkę: nie wystarczy pomnożyć wszystkich mianowników. Iloczyn $2 \cdot 3 \cdot 4$ to $24$ — liczba poprawna, ale dwa razy większa od potrzebnej. Przy trzech i więcej ułamkach iloczyn rośnie bardzo szybko i skracanie wyniku robi się żmudne.

Praktyczna wskazówka: zacznij od największego mianownika i sprawdź, czy dzieli się przez pozostałe. Jeśli tak — masz gotowy wspólny mianownik bez liczenia. Dla $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ i $\frac{5}{12}$ od razu widać, że $12$ dzieli się przez $3$ i przez $6$ .

5Nie tylko do dodawania

Wspólny mianownik kojarzy się z dodawaniem i odejmowaniem, ale przydaje się w trzech sytuacjach.

dodawanie i odejmowanie — bez wspólnego mianownika działanie jest niewykonalne,
porównywanie i porządkowanie — po sprowadzeniu wystarczy porównać liczniki, co jest najpewniejszą z metod porównywania,
sprawdzanie równości — czy $\frac{6}{8}$ i $\frac{9}{12}$ to ta sama liczba? Po sprowadzeniu do $24$ obie dają $\frac{18}{24}$ , więc tak.

Gdzie wspólny mianownik nie jest potrzebny: przy mnożeniu i dzieleniu ułamków. Tam mianowniki mnożą się same z siebie i szukanie wspólnego to zbędna praca — częsty odruch u kogoś, kto właśnie przerobił dodawanie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady w kolejności rosnącej trudności. W każdym iloczyn mianowników byłby większy, niż trzeba, więc w każdym liczymy NWW: najpierw $6$ i $8$ , potem większe $12$ i $18$ , na koniec trzy ułamki naraz.

Przykład $1$ Gdy trzeba policzyć NWW

Sprowadź $\frac{5}{6}$ i $\frac{3}{8}$ do wspólnego mianownika.

Sprawdzam najpierw najprostszy przypadek: czy $8$ dzieli się przez $6$ ? Nie. Czy $6$ przez $8$ ? Też nie. Więc nie wystarczy wziąć większego.
Sprawdzam, czy mają wspólne dzielniki: obie dzielą się przez $2$ , więc iloczyn $48$ byłby niepotrzebnie duży. Liczę NWW.
Rozkładam: $6 = 2 \cdot 3$ oraz $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Dwójka występuje najwięcej razy w ósemce (trzy razy), trójka tylko w szóstce.
NWW to $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ .
Rozszerzam pierwszy ułamek: $24 : 6 = 4$ , więc mnożę przez $4$ : $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$ .
Rozszerzam drugi: $24 : 8 = 3$ , więc mnożę przez $3$ : $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$ .
Kontrola: oba mianowniki są równe, a wartości się nie zmieniły — $\frac{20}{24}$ skraca się z powrotem do $\frac{5}{6}$ ✓

Odpowiedź: $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$ oraz $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$

Mnożnik dla każdego ułamka znajduje się przez podzielenie wspólnego mianownika przez mianownik tego ułamka. To pewniejsze niż zgadywanie.

Przykład $2$ Rozkład na czynniki przy większych liczbach

Sprowadź $\frac{5}{12}$ i $\frac{7}{18}$ do wspólnego mianownika.

Ani $18$ nie dzieli się przez $12$ , ani odwrotnie, a obie liczby mają wspólne dzielniki — liczę NWW.
Rozkładam na czynniki pierwsze: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ oraz $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ .
Dwójka: w dwunastce dwa razy, w osiemnastce raz — biorę dwie. Trójka: w dwunastce raz, w osiemnastce dwa razy — biorę dwie.
NWW to $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ .
Rozszerzam: $36 : 12 = 3$ , więc $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$ . Oraz $36 : 18 = 2$ , więc $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$ .
Kontrola sensu: oba ułamki są nieco mniejsze od połowy, a $\frac{15}{36}$ i $\frac{14}{36}$ rzeczywiście leżą tuż pod $\frac{18}{36}$ ✓
Kontrola mocniejsza — czy kolejność się zgadza. Który ułamek jest większy, sprawdzam mnożeniem na krzyż, czyli zupełnie inną drogą niż sprowadzanie: $5 \cdot 18 = 90$ , a $7 \cdot 12 = 84$ , więc $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$ . Po sprowadzeniu wyszło $\frac{15}{36} > \frac{14}{36}$ — ta sama odpowiedź ✓

Odpowiedź: $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$ oraz $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$

Iloczyn mianowników dałby $216$ — sześć razy więcej niż potrzeba. Wynik byłby poprawny, ale trzeba by go potem skracać przez $6$ .

Przykład $3$ Trzy ułamki naraz

Sprowadź $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{4}$ do wspólnego mianownika.

Zaczynam od największego mianownika: czy $4$ dzieli się przez $2$ i przez $3$ ? Przez $2$ tak, przez $3$ nie. Trzeba liczyć.
Rozkładam wszystkie trzy: $2 = 2$ , $3 = 3$ , $4 = 2 \cdot 2$ .
Dwójka występuje najwięcej razy w czwórce — dwa razy. Trójka raz.
NWW to $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .
Rozszerzam każdy ułamek osobno: $12 : 2 = 6$ , więc $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ . Dalej $12 : 3 = 4$ , więc $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ . I $12 : 4 = 3$ , więc $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ .
Kontrola: liczniki $6$ , $8$ i $9$ rosną tak samo jak wyjściowe ułamki, bo $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ ✓

Odpowiedź: $\frac{6}{12}$ , $\frac{8}{12}$ i $\frac{9}{12}$

Pomnożenie wszystkich mianowników dałoby $24$ — poprawnie, ale dwa razy więcej niż trzeba. Przy trzech ułamkach różnica zaczyna być odczuwalna.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy dotyczące samego szukania wspólnego mianownika — nie samego dodawania.

Wzięcie NWD zamiast NWW

Skąd się bierze: Obie nazwy są trzyliterowymi skrótami z tych samych słów i uczeń bierze tę, która pierwsza przyjdzie do głowy. Dla $12$ i $18$ zamiast $36$ wychodzi $\textcolor{#9b1c14}{6}$ — liczba mniejsza od obu mianowników, więc rozszerzenie do niej jest niewykonalne i zadanie staje w miejscu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź kierunek: wspólny mianownik musi być większy lub równy obu mianownikom, bo rozszerzanie powiększa mianownik. Jeśli wyszła liczba mniejsza — policzyłeś NWD, który służy do skracania, nie do sprowadzania.

Wybranie liczby, która nie dzieli się przez oba mianowniki

Skąd się bierze: Przy $\frac{5}{6}$ i $\frac{3}{8}$ uczeń bierze $12$ , bo „to wielokrotność szóstki i wygląda okrągło”. Dwunastka rzeczywiście dzieli się przez $6$ , ale nie przez $8$ — więc drugiego ułamka nie da się do niej rozszerzyć i połowa zadania zostaje niezrobiona.

Jak zrobić dobrze: Zanim ruszysz z rozszerzaniem, sprawdź oba dzielenia: wspólny mianownik podzielony przez każdy z mianowników musi dać liczbę całkowitą. To dwie sekundy i wyłapuje cały ten błąd.

Rozszerzenie tylko jednego ułamka

Skąd się bierze: Gdy jeden ułamek ma już docelowy mianownik — jak $\frac{3}{8}$ przy wspólnym mianowniku $8$ — uczeń uznaje go za „gotowy” i rozszerza tylko drugi. To akurat jest poprawne. Gorzej, gdy przenosi ten odruch na przypadek, w którym żaden ułamek nie ma docelowego mianownika, i rozszerza tylko ten, który wydaje mu się trudniejszy.

Jak zrobić dobrze: Po znalezieniu wspólnego mianownika przejdź po wszystkich ułamkach po kolei i przy każdym policz mnożnik jako wspólny mianownik podzielony przez ten mianownik. Gdy mnożnik wyjdzie $1$ — ułamek faktycznie jest gotowy.

Przekonanie, że wolno użyć wyłącznie NWW

Skąd się bierze: Uczeń, który nie potrafi szybko policzyć NWW, zatrzymuje się i nie robi zadania — bo wydaje mu się, że każdy inny wspólny mianownik będzie błędem. Tymczasem każda wspólna wielokrotność jest poprawna, a iloczyn mianowników zawsze nią jest.

Jak zrobić dobrze: Gdy NWW nie przychodzi w kilka sekund, pomnóż mianowniki i licz dalej. Wynik będzie poprawny, tylko trzeba go na końcu skrócić. Nauczyciel może odjąć punkt za brak skrócenia, ale nigdy za wybór większego wspólnego mianownika.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie

\left(2{,}4 - 5\dfrac{1}{3}\right) : (-2)

. Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa

A. $-1\dfrac{8}{15}$
B. $-1\dfrac{7}{15}$
C. $1\dfrac{7}{15}$
D. $1\dfrac{8}{15}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Sprowadzamy obie liczby do ułamków zwykłych: $2{,}4 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}}$ , a $5\dfrac13 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}}$ (bo $5 \cdot 3 + 1 = 16$ ).
Wspólny mianownik dla $5$ i $3$ to $15$ . Rozszerzamy: pierwszy ułamek razy $\boldsymbol{3}$ , drugi razy $\boldsymbol{5}$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}}$ .
Odejmujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}} = -\dfrac{44}{15}$ .
Dzielimy przez $(-2)$ : $-\dfrac{44}{15} : (-2) = \dfrac{44}{30} = \dfrac{22}{15}$ .
Zamieniamy na liczbę mieszaną: $\dfrac{22}{15} = 1\dfrac{7}{15}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola znaku bez rachunków: w nawiasie od mniejszej liczby $(2{,}4)$ odejmujemy większą ( $5\tfrac13$ ), więc wynik jest ujemny. Ujemna dzielona przez ujemną daje dodatnią — to od razu skreśla odpowiedzi A i B.

⚠ Dwa typowe błędy: $(1)$ zamiana $5\tfrac13$ na $\tfrac{15}{3}$ zamiast $\tfrac{16}{3}$ (zapomniana jedynka); $(2)$ zgubienie minusa przy dzieleniu i wybór odpowiedzi B.

Zadanie 2 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Z tasiemki o długości

\dfrac{2}{3}

m odcięto kawałek o długości pół metra. Dokończ zdanie.
Pozostała po odcięciu część tasiemki ma długość

A. mniejszą od $15\ \text{cm}$ .
B. większą od $15\ \text{cm}$ , ale mniejszą od $16\ \text{cm}$ .
C. równą $16\ \text{cm}$ .
D. większą od $16\ \text{cm}$ , ale mniejszą od $17\ \text{cm}$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odejmujemy ułamki — wspólny mianownik dla $3$ i $2$ to $6$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}}$ (razy $2$ ) oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ (razy $3$ ).
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = \dfrac{1}{6}$ metra.
Zamieniamy na centymetry: $\dfrac{1}{6}$ m $= \dfrac{100}{6}$ cm $= 16\dfrac{2}{3}$ cm $\approx 16{,}67$ cm.
To liczba większa od $\boldsymbol{16}$ , ale mniejsza od $\boldsymbol{17}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Nie zaokrąglaj za wcześnie. Gdyby ktoś przyjął $\tfrac23$ m $\approx 66$ cm, wyszłoby $16\ \text{cm}$ i błędna odpowiedź C. Licz na ułamkach do samego końca.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $\tfrac16$ m jako $16\ \text{cm}$ (bo „szóstka”). $\tfrac16$ metra to $100 : 6 \approx 16{,}67$ cm — właśnie te dwie trzecie centymetra decydują o odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Dostęp do pliku jest chroniony hasłem

{\ast}{\ast}\text{T}{\ast}{\ast}

złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby

4

, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków

\dfrac{1}{15}

\dfrac{1}{25}

. Jakie jest hasło do pliku?

A. $24\text{T}45$
B. $24\text{T}75$
C. $64\text{T}45$
D. $64\text{T}75$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Pierwsza liczba — sześcian liczby $4$ , czyli $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{64}$ .
Druga liczba — najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\tfrac{1}{15}$ i $\tfrac{1}{25}$ to po prostu $\mathrm{NWW}(15, 25)$ .
Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$ , $25 = 5^2$ . Bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze: $3 \cdot 5^2 = \textcolor{#E0453A}{75}$ .
Sprawdzamy: $75 : 15 = 5$ ✓ oraz $75 : 25 = 3$ ✓ — $75$ dzieli się przez oba mianowniki.
Hasło: $\textcolor{#16A06A}{64}\text{T}\textcolor{#E0453A}{75}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wspólny mianownik zawsze da się uzyskać, mnożąc mianowniki ( $15 \cdot 25 = 375$ ) — ale najmniejszy to zwykle mniej. Tu $75$ , czyli pięć razy mniej.

⚠ Dwa typowe błędy: $(1)$ policzenie $4^3$ jako $4 \cdot 3 = 12$ albo $4 \cdot 6 = 24$ (ten drugi błąd — skojarzenie „sześcian, czyli sześć” — prowadzi do kuszących odpowiedzi A i B); $(2)$ podanie $45$ jako wspólnego mianownika — $45$ nie dzieli się przez $25$ .

Zadanie 4 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5}

jest liczbą AB.

A. mniejszą od $1$
B. większą od $1$

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5}

jest liczbą CD.

C. ujemną
D. dodatnią

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Wspólny mianownik dla $7$ i $5$ to $35$ . Rozszerzamy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}}$ (razy $5$ ), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}}$ (razy $7$ ).
Suma: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1$ — odpowiedź B.
Różnica: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35}$ — liczba ujemna, odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: $\tfrac35 > \tfrac37$ . Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. Samo „ponad połowa” i „ponad jedna trzecia” do sumy nie wystarczy, bo $\tfrac12 + \tfrac13 = \tfrac56$ , czyli mniej niż $1$ . Trzeba porównać $\tfrac37$ z $\tfrac25$ , bo $\tfrac25 + \tfrac35 = 1$ . Na krzyż: $3 \cdot 5 > 2 \cdot 7$ , więc $\tfrac37 > \tfrac25$ i suma przekracza $1$ .

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” ( $\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}$ ). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (maj 2021)2 pktśrednie

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie

\dfrac{1}{2}

całej tabliczki, siostrze

\dfrac{5}{12}

całej tabliczki, a jemu

\dfrac{1}{6}

całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie — części sumują się do $\tfrac{13}{12}$ , czyli więcej niż cała tabliczka

Cała tabliczka to jedna całość, czyli $1$ . Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
Wspólny mianownik dla $2$ , $12$ i $6$ to $12$ . Rozszerzamy każdy ułamek:
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}}$ (razy $6$ ); $\dfrac{5}{12}$ zostaje bez zmian; $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}}$ (razy $2$ ).
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}$ .
Otrzymaliśmy $\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}$ , czyli więcej niż całą tabliczkę.
Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby $\dfrac{1}{12}$ tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie $\boldsymbol{1}$ . Mniej niż $1$ oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę $\tfrac{13}{12}$ i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C

2. D

3. D

4. B, C

5. Nie — części sumują się do

\tfrac{13}{12}

, czyli więcej niż cała tabliczka

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Dodawanie i odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Dodawanie i odejmowanie ułamków — kartkówka, klasa 5

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i liczby mieszane.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

14 kart o ułamkach zwykłych dla klasy 5: rozszerzanie i skracanie, wspólny mianownik, porównywanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie i…

12,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest wspólny mianownik?

To liczba, która dzieli się przez mianowniki wszystkich sprowadzanych ułamków — czyli ich wspólna wielokrotność. Po sprowadzeniu wszystkie ułamki mierzymy w tych samych kawałkach i dopiero wtedy można je dodać, odjąć albo porównać. Wartość ułamków się przy tym nie zmienia, zmienia się tylko zapis.

Jak znaleźć wspólny mianownik?

Najpierw sprawdź, czy większy mianownik nie dzieli się przez mniejszy — wtedy on sam jest wspólnym mianownikiem. Jeśli nie, a mianowniki nie mają wspólnych dzielników większych od 1, weź ich iloczyn. W pozostałych przypadkach policz NWW przez rozkład na czynniki pierwsze.

Czy wspólny mianownik musi być najmniejszy?

Nie. Każda wspólna wielokrotność mianowników zadziała i da poprawny wynik — dla $2$ i $3$ równie dobrze zadziała $6$ , $12$ czy $60$ . Najmniejsza jest tylko najwygodniejsza, bo liczby zostają małe i wynik częściej wychodzi od razu nieskracalny.

Czym różni się NWW od NWD?

NWW, czyli najmniejsza wspólna wielokrotność, jest większa lub równa danym liczbom i służy do sprowadzania do wspólnego mianownika. NWD, czyli największy wspólny dzielnik, jest od nich mniejszy lub równy i służy do skracania ułamków. Jeśli przy sprowadzaniu wyszła liczba mniejsza od mianowników — pomyliłeś skróty.

Jak sprowadzić do wspólnego mianownika trzy ułamki?

Tak samo jak dwa, tylko szukana liczba musi dzielić się przez wszystkie trzy mianowniki. Zacznij od największego z nich i sprawdź, czy dzieli się przez pozostałe — jeśli tak, masz gotowy wynik. Jeśli nie, rozłóż wszystkie na czynniki pierwsze i z każdego czynnika weź największą liczbę wystąpień.

Czy przy mnożeniu ułamków też trzeba sprowadzać do wspólnego mianownika?

Nie i to częsty zbędny odruch po przerobieniu dodawania. Przy mnożeniu mianowniki mnożą się przez siebie, a przy dzieleniu zamieniamy działanie na mnożenie przez odwrotność. Wspólny mianownik jest potrzebny wyłącznie przy dodawaniu, odejmowaniu i porównywaniu.

Jaki jest wspólny mianownik dla 2 i 3?

Sześć. Dwójka i trójka nie mają wspólnych dzielników poza jedynką, więc wspólny mianownik to ich iloczyn: $2 \cdot 3 = 6$ . Na przykład $\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{6}$ , a $\tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{6}$ .

Jaki jest wspólny mianownik dla 9 i 12?

Trzydzieści sześć. $9 = 3 \cdot 3$ , a $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ , więc NWW = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ . Iloczyn $9 \cdot 12 = 108$ też by zadziałał, ale dałby trzy razy większe liczby.

Jak najłatwiej znaleźć wspólny mianownik?

Sprawdź najpierw, czy większy mianownik dzieli się przez mniejszy — jeśli tak, to on jest wspólnym mianownikiem. Jeśli nie, wypisuj wielokrotności większego (×2, ×3…) i zatrzymaj się na pierwszej, która dzieli się przez mniejszy. Gdy nic nie przychodzi do głowy, pomnóż mianowniki — to zawsze działa.

Grafiki z powiązanych tematów

Ułamki

Porównywanie ułamków

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, mnożenie, dzielenie i skracanie Dodawanie i odejmowanie ułamkówDziałanie, do którego ten krok jest wstępem Skracanie i rozszerzanie ułamkówRozszerzanie to narzędzie sprowadzania; skracanie — operacja odwrotna Porównywanie ułamkówDrugie zastosowanie wspólnego mianownika

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

1Co to znaczy sprowadzić do wspólnego mianownika

2Trzy sposoby na znalezienie wspólnego mianownika