Strona główna › Liczby i działania › Oś liczbowa — liczby jako punkty

Oś liczbowa i ułamki na osi liczbowej

Q: Co to jest oś liczbowa?

Prosta z zaznaczonym zerem, kierunkiem i jednostką. Te trzy elementy wystarczą, żeby każdej liczbie przypisać dokładnie jeden punkt, a każdemu punktowi jedną liczbę. Dzięki temu porównywanie liczb staje się patrzeniem, gdzie która leży.

Q: Która liczba ujemna jest większa?

Ta leżąca bliżej zera. Minus trzy jest większe od minus siedmiu, bo na osi znajduje się bardziej w prawo. Przy porównywaniu liczb ujemnych porównaj odległości od zera i odwróć wynik — większa odległość oznacza mniejszą liczbę.

Q: Gdzie na osi leży siedem czwartych?

Między jedynką a dwójką, w trzech czwartych drogi od jedynki. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: część całkowita mówi, między którymi liczbami całkowitymi szukać, mianownik na ile części dzielić odcinek, a licznik którą kreskę zaznaczyć.

Q: Jak policzyć odległość między dwiema liczbami?

Odejmij mniejszą od większej — odległość jest zawsze nieujemna. Gdy liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległości od zera się dodają, co rachunkowo wychodzi tak samo, bo odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej.

Q: Co to jest wartość bezwzględna?

Odległość liczby od zera na osi. Dlatego wartość bezwzględna minus pięciu i pięciu jest taka sama i wynosi pięć — obie liczby leżą pięć jednostek od zera, tylko po przeciwnych stronach. Widziana jako odległość, przestaje być mylącym pojęciem.

Q: Ile liczb mieści się między zerem a jedynką?

Nieskończenie wiele. Między zerem a jedynką leży jedna druga, między zerem a jedną drugą — jedna czwarta, i tak bez końca. Dlatego nie istnieje „następna liczba” po ułamku, w odróżnieniu od liczb naturalnych, gdzie po dwójce jest trójka.

Q: Jak zaznaczyć ułamek na osi liczbowej?

Najpierw ustal, między którymi liczbami całkowitymi leży — ułamek niewłaściwy zamień na liczbę mieszaną. Potem podziel ten odcinek na tyle równych części, ile wynosi mianownik, i odlicz tyle kresek, ile mówi licznik. Na przykład 5/3 = 1 2/3: odcinek od 1 do 2 dzielę na 3 części i biorę drugą kreskę.

Q: Jak zaznaczyć na osi ułamki o różnych mianownikach?

Podziel jednostkę na tyle części, ile wynosi wspólny mianownik — najlepiej NWW mianowników. Dla 1/2, 2/3 i 5/6 NWW to 6: 1/2 = 3/6, 2/3 = 4/6, więc przy kreskach co 1/6 wszystkie trzy ułamki trafiają dokładnie na kreski.

Q: Jak odczytać ułamek zaznaczony na osi liczbowej?

Policz, na ile równych części podzielony jest odcinek między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi — to mianownik. Potem policz kreski od liczby całkowitej po lewej do punktu — to licznik części ułamkowej. Punkt trzy kreski za jedynką przy podziale na 4 części to 1 3/4 = 7/4.

Oś liczbowa to prosty pomysł o ogromnych konsekwencjach: każdej liczbie odpowiada jeden punkt, a każdemu punktowi jedna liczba. Dzięki temu porównywanie liczb staje się patrzeniem, a odejmowanie — mierzeniem odległości. Ta strona pokazuje, co z tego wynika i dlaczego między dwiema liczbami jest ich nieskończenie wiele.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasa 4 – maturaZadań z E8: 7

Krótko: Aby zaznaczyć ułamek na osi liczbowej, dzielimy odcinek jednostkowy na tyle równych części, ile wskazuje mianownik, i odliczamy tyle części, ile wskazuje licznik: 3/4 leży w trzech czwartych drogi od 0 do 1.

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

Zaznacz ułamki na osi liczbowej

Ćwiczenie: jaki ułamek zaznaczono?

1Co to jest oś liczbowa

To prosta, na której zaznaczono punkt zerowy, kierunek i jednostkę — czyli odcinek odpowiadający liczbie jeden.

Te trzy elementy wystarczą, żeby każdej liczbie przypisać dokładnie jedno miejsce. Dwójka leży dwie jednostki na prawo od zera, minus trzy — trzy jednostki na lewo.

Przypisanie działa w obie strony i jest jednoznaczne. To właśnie czyni oś tak użyteczną: pytania o liczby zamieniają się w pytania o położenie.

Kierunek jest umowny, ale przyjęty powszechnie: w prawo rosną. Wszystko, co dalej powiemy o porównywaniu, opiera się na tej umowie.

Oś liczbowa jest też pierwszym krokiem do układu współrzędnych — tam osie są dwie i opisują punkty na płaszczyźnie.

2Porządek: co znaczy „większa”

Na osi porównywanie przestaje być regułą do zapamiętania, a staje się obserwacją.

Liczba położona bardziej w prawo jest większa. Zawsze, po obu stronach zera, bez wyjątków.

Stąd wynika własność, która bez osi wygląda jak paradoks: $-7$ jest mniejsze od $-3$ , choć siódemka jest większa od trójki. Na osi minus siedem leży dalej w lewo.

Praktyczna wskazówka przy liczbach ujemnych: porównaj ich odległości od zera i odwróć wynik. Większa odległość od zera to mniejsza liczba.

Zero jest granicą — każda liczba ujemna jest mniejsza od każdej dodatniej i od samego zera.

To rozumienie porządku przydaje się później przy nierównościach: zapis $x > 3$ oznacza cały fragment osi na prawo od trójki.

Odczyt z osi opiera się na porównywaniu i odejmowaniu, więc wcześniej muszą być pewne cztery podstawowe działania.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ułamki zwykłe” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ułamki zwykłe — cały dział, klasa 5 (15 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ułamki zwykłe”15 arkuszy w jednym pliku22,90 zł~~58,50 zł~~−35,60 zł Cała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 22,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Ułamki na osi liczbowej — jak je zaznaczać

Zaznaczenie dodatniego ułamka właściwego to dwa kroki i warto je rozdzielić. Krok pierwszy: ustal, między którymi liczbami całkowitymi leży punkt. Krok drugi: podziel odcinek między nimi na tyle równych części, ile wynosi mianownik, i odlicz tyle kresek, ile mówi licznik. Mianownik mówi więc, jak gęsto dzielimy, a licznik — którą kreskę wybieramy. Narzędzie na górze strony robi to dla dowolnych czterech liczb i wypisuje kroki; poniżej ten sam sposób na rysunkach. Do wydruku są karty pracy z osią liczbową — sześć kart z kluczem, w tym ułamki, liczby mieszane i dziesiętne.

Ułamki właściwe — między zerem a jedynką

Ułamek właściwy (licznik mniejszy od mianownika) zawsze leży między $0$ a $1$ . Dzielę ten odcinek na tyle części, ile wynosi mianownik, i od zera odliczam tyle kresek, ile wynosi licznik:

\frac{1}{4}

\frac{2}{4}

\frac{3}{4}

Rysunek 1. Mianownik

4

mówi, na ile równych części dzielę odcinek od

0

1

, a licznik — którą kreskę biorę.

\frac{2}{4}

leży dokładnie w połowie, bo

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Ułamki niewłaściwe i liczby mieszane

Ułamek niewłaściwy najpierw zamieniam na liczbę mieszaną — wtedy od razu widać, między którymi liczbami całkowitymi leży. $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ , więc punkt jest między $1$ a $2$ : dzielę ten odcinek na $4$ części i od jedynki odliczam $3$ kreski. Liczbę mieszaną zaznacza się tak samo — część całkowita wskazuje odcinek, a ułamek miejsce na nim.

\frac{2}{3}

\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}

\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}

Rysunek 2.

\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}

: najpierw całość — punkt jest między

1

2

— potem dwie kreski za jedynką. Tak samo

\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}

leży jedną kreskę za dwójką. Kresek od zera jest zawsze tyle, ile wynosi licznik:

5

7

Można też nie zamieniać i odliczać od zera: przy kreskach co $\frac{1}{3}$ punkt $\frac{5}{3}$ to piąta kreska. Oba sposoby dają to samo miejsce, ale przy dużych licznikach ( $\frac{23}{4}$ ) liczba mieszana ( $5\frac{3}{4}$ ) oszczędza liczenia.

Ułamki o różnych mianownikach na jednej osi

Gdy na jednej osi mają stanąć ułamki o różnych mianownikach, dzielę jednostkę na tyle części, ile wynosi wspólny mianownik — najlepiej najmniejszy, czyli NWW mianowników. Wtedy każdy ułamek trafia dokładnie na kreskę, a kolejność widać od razu:

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{5}{6}

Rysunek 3. Mianowniki

3

2

6

mają NWW równe

6

, więc jednostkę dzielę na

6

części:

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

\frac{1}{2} = \frac{3}{6}

\frac{2}{3} = \frac{4}{6}

. Wszystkie cztery ułamki trafiają na kreski i od razu widać kolejność.

Z tego rysunku widać też, że $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}$ — na osi liczba mniejsza leży zawsze bardziej na lewo. Więcej sposobów porównywania ułamków jest na stronie o porównywaniu ułamków zwykłych.

Ułamki dziesiętne na osi

Przy ułamkach dziesiętnych jednostkę dzieli się na $10$ części — każda kreska to jedna dziesiąta. $2{,}3$ to trzecia kreska za dwójką. Setne leżą między kreskami dziesiątych: $2{,}75$ jest dokładnie w połowie między $2{,}7$ a $2{,}8$ , bo $2{,}75 = 2{,}70 + 0{,}05$ .

2{,}3

2{,}5

2{,}75

Rysunek 4. Między

2

3

jest

10

dziesiątych — tu każda dziesiąta jest jeszcze przepołowiona.

2{,}3

to trzecia dziesiąta za dwójką,

2{,}5

— środek, a

2{,}75

leży dokładnie w połowie między

2{,}7

2{,}8

Odczytywanie działa w drugą stronę: policz, na ile części podzielona jest jednostka (to mianownik — przy $10$ częściach dziesiąte), i ile kresek dzieli punkt od liczby całkowitej po lewej. Jak porównywać same ułamki dziesiętne, wyjaśnia strona o porównywaniu ułamków dziesiętnych.

Ułamki ujemne

Przy ułamkach ujemnych działa ta sama zasada, tylko w lewo od zera. Liczba $-\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4}$ leży między $-2$ a $-1$ , bliżej dwójki ujemnej:

-\frac{7}{4}

-\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

Rysunek 5.

-\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4}

leży między

-2

-1

: od

-1

odliczam trzy kreski w lewo. Dlatego jest bliżej

-2

niż

-1

Kontrola sensowności

Dodatni ułamek właściwy zawsze leży między zerem a jedynką, a ułamek większy od jedynki — na prawo od niej. Dla ułamków ujemnych ta sama kontrola działa po lewej stronie zera. Jeśli punkt wyszedł po złej stronie jedynki albo zera, błąd jest w pierwszym kroku, nie w odliczaniu kresek.

Jak zaznaczyć ułamek na osi liczbowej: jednostka podzielona na 4 części — 3/4 i 1 1/2; jednostka podzielona na 3 części — 2/3 i 4/3 — Ułamki na osi liczbowej — ćwiartki i trzecie

4Odległość i wartość bezwzględna

Oś nadaje sens pojęciu odległości między liczbami — i to jest jej druga wielka zaleta.

Odległość między dwiema liczbami to różnica większej i mniejszej. Jest zawsze nieujemna, bo odległość ujemna nie istnieje.

Gdy obie liczby są dodatnie, to zwykłe odejmowanie. Gdy jedna jest ujemna, odległości od zera się dodają: od $-3$ do $2$ jest trzy plus dwa, czyli pięć jednostek.

Rachunek daje to samo: $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$ . Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej — i na osi widać dlaczego.

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera. Dlatego $|-5| = 5$ i $|5| = 5$ — obie liczby leżą pięć jednostek od zera, tylko po przeciwnych stronach.

To pojęcie wchodzi już w klasie szóstej, razem z liczbami całkowitymi — podstawa programowa wymienia je w dziale „Liczby całkowite” dla klas IV–VI: „oblicza wartość bezwzględną”. Bywa mylące, dopóki nie zobaczy się go właśnie jako odległości.

Ułamki ujemne na osi liczbowej od −2 do 2: −3/2, −1/2, 1/4, 5/4; im dalej w prawo, tym liczba większa: −3/2 < −1/2 < 0 < 1/4 — Ułamki ujemne na osi i porównywanie liczb

5Między dwiema liczbami jest ich nieskończenie wiele

Własność, która na osi staje się oczywista, a bez niej brzmi abstrakcyjnie.

Między $0$ a $1$ leży $\tfrac{1}{2}$ . Między $0$ a $\tfrac{1}{2}$ leży $\tfrac{1}{4}$ . Między $0$ a $\tfrac{1}{4}$ — $\tfrac{1}{8}$ . Ten podział można powtarzać bez końca.

Stąd wniosek: między dowolnymi dwiema różnymi liczbami mieści się nieskończenie wiele innych. Nie istnieje coś takiego jak „następna liczba po jednej drugiej”.

To odróżnia liczby wymierne od liczb naturalnych, gdzie po dwójce jest trójka i nic pomiędzy.

Co więcej, oś nie składa się z samych ułamków. Punkty takie jak pierwiastek z dwóch czy liczba $\pi$ też mają na niej swoje miejsca, choć nie da się ich zapisać ułamkiem.

Liczby, które wypełniają oś bez luk, nazywa się rzeczywistymi. Nazwa jest myląca — nie chodzi o realność, tylko o to, że pokrywają całą prostą.

6W której klasie się to pojawia

Oś liczbowa wchodzi w klasie 4 i wraca za każdym razem, gdy program poszerza zbiór liczb. W roku szkolnym 2026/2027 obowiązują dwie podstawy programowe naraz — klasa 4 uczy się według nowej, starsze klasy według podstawy z 2017 r. (po zmianach z 2024 r.) — ale w sprawie osi mówią to samo:

Klasy 4–6, liczby naturalne i całkowite. Nowa podstawa, dział „Liczby”: uczeń „porównuje i zaokrągla liczby naturalne oraz interpretuje je na osi liczbowej” (pkt 1), a przy liczbach całkowitych „interpretuje liczby całkowite na osi liczbowej oraz oblicza odległość dwóch liczb całkowitych na osi liczbowej” (pkt 16). W podstawie z 2017 r. to dział I pkt 2 i dział III pkt 2.
Klasy 4–6, ułamki. Oba dokumenty mają to samo zdanie: uczeń „zaznacza ułamki zwykłe i dziesiętne na osi liczbowej oraz odczytuje ułamki zwykłe i dziesiętne zaznaczone na osi liczbowej” — w nowej podstawie pkt 21 działu „Liczby”, w podstawie z 2017 r. dział IV „Ułamki zwykłe i dziesiętne”, pkt 7. Podstawa nie przypisuje tego do jednej klasy; w podręcznikach ułamki na osi pojawiają się zwykle już w klasie 4, razem z liczbami mieszanymi.
Klasy 7–8. Podstawa z 2017 r. ma osobny dział „Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie”, w którym uczeń „zaznacza na osi liczbowej zbiory liczb spełniających warunek taki jak $x \geq 1{,}5$ lub taki jak $x < -\frac{4}{7}$ ” (pkt 1).
Liceum — przedziały liczbowe i nierówności: oś jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

To jedno z niewielu narzędzi używanych nieprzerwanie od czwartej klasy do matury i za każdym razem w tej samej postaci. Zmienia się tylko to, co się na niej zaznacza.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — 7 zadań z arkuszy CKE z rysunkami i rozwiązaniami,
Matura — przedziały liczbowe i nierówności,
Karta pracy PDF — zestaw do wydruku, z kluczem.

Test gotowości: między którymi liczbami całkowitymi leży $-\tfrac{11}{4}$ i bliżej której z nich? Jeśli odpowiadasz „między $-3$ a $-2$ , bliżej $-3$ ”, materiał tej strony jest opanowany — bo trzeba było naraz zamienić ułamek na liczbę mieszaną, odbić kierunek na ujemną stronę osi i porównać odległości.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: zaznaczenie ułamka, porównanie ułamków ujemnych i odległość między liczbami po obu stronach zera.

Przykład 1 Zaznaczanie ułamka na osi

Gdzie na osi liczbowej leży $\dfrac{7}{4}$ ?

Zamieniam ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: $\dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}$ .
Część całkowita to $1$ , więc punkt leży między $1$ a $2$ .
Mianownik $4$ mówi, że odcinek od $1$ do $2$ dzielę na cztery równe części.
Licznik części ułamkowej to $3$ , więc odliczam trzy kreski od jedynki.
Kontrola: $\tfrac{3}{4}$ to więcej niż połowa, więc punkt musi leżeć bliżej dwójki ✓
Mianownik powiedział, jak gęsto dzielić, licznik — którą kreskę wybrać.

Odpowiedź: Punkt leży między $1$ a $2$ , w trzech czwartych drogi od jedynki.

Przykład 2 Porównanie ułamków ujemnych

Która liczba jest większa: $-\dfrac{1}{2}$ czy $-\dfrac{1}{3}$ ?

Porównuję odległości od zera: $\tfrac{1}{2}$ i $\tfrac{1}{3}$ . Połowa jest większa niż jedna trzecia.
Przy liczbach ujemnych ten wynik odwracam — większa odległość od zera oznacza mniejszą liczbę.
Zatem $-\tfrac{1}{2}$ leży dalej w lewo, czyli jest mniejsze.
Większa jest liczba $-\dfrac{1}{3}$ .
Kontrola na osi: idąc od $-\tfrac{1}{2}$ w prawo, dochodzimy do $-\tfrac{1}{3}$ , a w prawo znaczy w stronę liczb większych ✓
Bez osi ten wynik wygląda na paradoks — z osią jest oczywisty.

Odpowiedź: Większa jest liczba $-\dfrac{1}{3}$ .

Przykład 3 Odległość po obu stronach zera

Jaka jest odległość między liczbami $-4$ a $3$ na osi liczbowej?

Liczby leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległości od zera się dodają.
Od $-4$ do $0$ są cztery jednostki, od $0$ do $3$ — trzy jednostki.
Razem: $4 + 3 = 7$ jednostek.
Rachunkowo to samo: $3 - (-4) = 3 + 4 = 7$ ✓
Odległość wyszła dodatnia — i tak musi być, bo odległość ujemna nie istnieje.
Zwróć uwagę, że wartość bezwzględna każdej z tych liczb to jej odległość od zera: $|-4| = 4$ , $|3| = 3$ .

Odpowiedź: Odległość wynosi $7$ jednostek.

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy związane z osią liczbową. Pierwszy wraca aż do liceum.

Porównywanie liczb ujemnych po samych cyfrach

Skąd się bierze: Odruch podpowiada, że minus siedem jest większe od minus trzech, bo siedem jest większe od trzech. Na osi minus siedem leży jednak dalej w lewo, a w lewo znaczy w stronę liczb mniejszych.

Jak zrobić dobrze: Porównaj odległości od zera i odwróć wynik. Jeszcze prościej: wyobraź sobie oś i sprawdź, która liczba leży bardziej w prawo — ta jest większa, po obu stronach zera.

Dzielenie odcinka na złą liczbę części

Skąd się bierze: Przy zaznaczaniu ułamka mianownik mówi, na ile części dzielimy odcinek jednostkowy. Podzielenie go na tyle części, ile wynosi licznik, umieszcza punkt w zupełnie innym miejscu.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj role: mianownik dzieli, licznik odlicza. Przy trzech czwartych odcinek dzieli się na cztery części i bierze trzecią kreskę, nie odwrotnie.

Podawanie odległości jako liczby ujemnej

Skąd się bierze: Odejmowanie w niewłaściwej kolejności daje wynik ujemny, który zostaje zapisany jako odpowiedź. Odległość jest jednak zawsze nieujemna — nie ma minus pięciu jednostek między dwoma punktami.

Jak zrobić dobrze: Odejmuj mniejszą liczbę od większej albo policz odległości od zera i dodaj, jeśli liczby leżą po przeciwnych stronach. Wynik ujemny to zawsze sygnał odwróconej kolejności.

Szukanie „następnej liczby” po ułamku

Skąd się bierze: Wśród liczb naturalnych po dwójce jest trójka, więc odruch przenosi się na ułamki. Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami mieści się jednak nieskończenie wiele innych, więc następnej po jednej drugiej po prostu nie ma.

Jak zrobić dobrze: Przy pytaniach o liczby leżące między dwiema podanymi szukaj przykładów, a nie następnika. Zawsze da się wskazać choćby ich średnią arytmetyczną, a potem powtarzać ten krok bez końca.

Karta pracy: oś liczbowa i ułamki na osi

Zestaw na wydruk: zaznaczanie ułamków zwykłych i dziesiętnych, porównywanie liczb ujemnych i odległość między liczbami po obu stronach zera. Klucz odpowiedzi na ostatniej stronie, żeby dziecko najpierw spróbowało samo.

Przejdź do kart pracy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

P

R

S

. Odcinek

PS

jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów

P

R

podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu

S

jest równa

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	P	R	S
Kreska od początku	0	5	8
Współrzędna	−3	7	?

A. $10$
B. $11$
C. $13$
D. $15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
Od $P$ do $R$ jest $\textcolor{#E0453A}{5}$ działek, a wartość rośnie z $-3$ do $7$ , czyli o $7 - (-3) = 10$ .
Jedna działka: $10 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Teraz punkt $S$ — dzieli go od $P$ aż $\textcolor{#E0453A}{8}$ działek: $S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13$ .
Odpowiedź C.
Można też krócej, licząc od $R$ : od $R$ do $S$ zostają $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, więc $S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między $P$ a $R$ jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Na osi liczbowej oznaczono cztery punkty:

R

S

T

W

. Odcinek

RW

jest podzielony na pięć równych części. Współrzędne punktów

S

W

podano na rysunku. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	R	S	T	W
Kreska od początku	0	2	3	5
Współrzędna	?	287	?	311

Współrzędne punktów $R$ i $T$ różnią się o 24.	P	F
Współrzędna punktu $R$ jest równa 271.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zaczynamy od wartości jednej działki. Między $S$ (druga kreska) a $W$ (piąta kreska) są $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
Jedna działka: $24 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}$ .
Teraz odczytujemy pozostałe punkty. $R$ leży $\textcolor{#E0453A}{2}$ działki przed $S$ : $R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271$ .
$T$ leży $\textcolor{#E0453A}{1}$ działkę za $S$ : $T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295$ .
Zdanie 1: $T - R = 295 - 271 = 24$ ✓ — prawda. (Widać to też od razu: $R$ i $T$ dzielą $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, czyli $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24$ .)
Zdanie 2: $R = 271$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro $S$ i $W$ różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między $S$ a $W$ są trzy, tak samo jak między $R$ a $T$ (stąd akurat ta sama wartość).

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami

\left(-\dfrac{2}{6}\right)

oraz

\left(-\dfrac{1}{6}\right)

znajduje się liczba

A. $-\dfrac{1}{4}$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $-\dfrac{5}{12}$
D. $-\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
Granice przedziału: $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}$
A. $-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ — leży między $\textcolor{#16A06A}{-0{,}33}$ a $\textcolor{#16A06A}{-0{,}17}$ ✓
B. $-\dfrac13 = -0{,}33\ldots$ — to dokładnie granica (bo $\tfrac13 = \tfrac26$ ), więc nie leży *między* ✗
C. $-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42$ — za daleko w lewo ✗ · D. $-\dfrac12 = -0{,}5$ — jeszcze dalej ✗
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to $\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right)$ , a odpowiedzi to $-\tfrac{3}{12}$ , $-\tfrac{4}{12}$ , $-\tfrac{5}{12}$ , $-\tfrac{6}{12}$ . Od razu widać, że pasuje tylko $-\tfrac{3}{12}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $-\tfrac13$ , bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu $-\tfrac26 = -\tfrac13$ — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom

-2{,}3

\dfrac{1}{3}

, jest równa

A. $-2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
B. $2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{3} - 2{,}3$
D. $\dfrac{1}{3} + 2{,}3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
Większa jest $\textcolor{#16A06A}{\dfrac13}$ (dodatnia), mniejsza $\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}$ (ujemna).
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3})$ , a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3$ — odpowiedź D.
Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: $2{,}3$ w lewo i $\tfrac13$ w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie $-2{,}3$ jako $2{,}3$ i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia

\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5

znajduje się między

A. $-1$ i $-0{,}5$
B. $-0{,}5$ i $0$
C. $0$ i $0{,}5$
D. $0{,}5$ i $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw liczymy nawias: $1 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}$ .
Teraz odejmujemy $0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ .
Zamieniamy na ułamek dziesiętny: $-\dfrac13 \approx -0{,}33$ .
Ta liczba leży między $-0{,}5$ a $0$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią ( $\tfrac16$ ), a odejmujemy od niej $0{,}5$ — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako $\tfrac56$ (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba

\sqrt{120}

znajduje się na osi liczbowej między

A. $10$ i $11$
B. $11$ i $12$
C. $12$ i $20$
D. $30$ i $40$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
$\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}$ .
Skoro $\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}$ , to po spierwiastkowaniu: $\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}$ .
Odpowiedź A.
Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż $\textcolor{#E0453A}{121}$ , więc $\sqrt{120} \approx 10{,}95$ .

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $15^2 = 225$ . Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb

\;0

\;\dfrac{3}{4}

\;-\dfrac{5}{2}

\;-2\;

jest równa

A. $1\dfrac{3}{4}$
B. $3\dfrac{1}{4}$
C. $2\dfrac{3}{4}$
D. $1\dfrac{1}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: $0$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ , $-\tfrac52 = -2{,}5$ , $-2$ .
Rosnąco: $-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75$ .
Największa to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}$ , najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}$ .
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25$ .
Zamieniamy na liczbę mieszaną: $3{,}25 = 3\dfrac{1}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: $-\tfrac52 = -2{,}5$ jest mniejsze od $-2$ , mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie $-2$ za najmniejszą (bo $2 < 2{,}5$ „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby $2\tfrac34$ — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. P, P	3. A	4. D	5. B	6. A
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Liczby naturalne i ułamki — sprawdzian, klasa 6

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną, ułamek liczby — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Liczby mieszane i ułamki niewłaściwe — kartkówka, klasa 4

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

14 kart o ułamkach zwykłych dla klasy 5: rozszerzanie i skracanie, wspólny mianownik, porównywanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie i…

12,90 zł

Zobacz w sklepie →

10Pytania i odpowiedzi

Co to jest oś liczbowa?

Prosta z zaznaczonym zerem, kierunkiem i jednostką. Te trzy elementy wystarczą, żeby każdej liczbie przypisać dokładnie jeden punkt, a każdemu punktowi jedną liczbę. Dzięki temu porównywanie liczb staje się patrzeniem, gdzie która leży.

Która liczba ujemna jest większa?

Ta leżąca bliżej zera. Minus trzy jest większe od minus siedmiu, bo na osi znajduje się bardziej w prawo. Przy porównywaniu liczb ujemnych porównaj odległości od zera i odwróć wynik — większa odległość oznacza mniejszą liczbę.

Gdzie na osi leży siedem czwartych?

Między jedynką a dwójką, w trzech czwartych drogi od jedynki. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: część całkowita mówi, między którymi liczbami całkowitymi szukać, mianownik na ile części dzielić odcinek, a licznik którą kreskę zaznaczyć.

Jak policzyć odległość między dwiema liczbami?

Odejmij mniejszą od większej — odległość jest zawsze nieujemna. Gdy liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległości od zera się dodają, co rachunkowo wychodzi tak samo, bo odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej.

Co to jest wartość bezwzględna?

Odległość liczby od zera na osi. Dlatego wartość bezwzględna minus pięciu i pięciu jest taka sama i wynosi pięć — obie liczby leżą pięć jednostek od zera, tylko po przeciwnych stronach. Widziana jako odległość, przestaje być mylącym pojęciem.

Ile liczb mieści się między zerem a jedynką?

Nieskończenie wiele. Między zerem a jedynką leży jedna druga, między zerem a jedną drugą — jedna czwarta, i tak bez końca. Dlatego nie istnieje „następna liczba” po ułamku, w odróżnieniu od liczb naturalnych, gdzie po dwójce jest trójka.

Jak zaznaczyć ułamek na osi liczbowej?

Najpierw ustal, między którymi liczbami całkowitymi leży — ułamek niewłaściwy zamień na liczbę mieszaną. Potem podziel ten odcinek na tyle równych części, ile wynosi mianownik, i odlicz tyle kresek, ile mówi licznik. Na przykład $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ : odcinek od $1$ do $2$ dzielę na $3$ części i biorę drugą kreskę.

Jak zaznaczyć na osi ułamki o różnych mianownikach?

Podziel jednostkę na tyle części, ile wynosi wspólny mianownik — najlepiej NWW mianowników. Dla $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ i $\frac{5}{6}$ NWW to $6$ : $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ , $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , więc przy kreskach co $\frac{1}{6}$ wszystkie trzy ułamki trafiają dokładnie na kreski.

Jak odczytać ułamek zaznaczony na osi liczbowej?

Policz, na ile równych części podzielony jest odcinek między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi — to mianownik. Potem policz kreski od liczby całkowitej po lewej do punktu — to licznik części ułamkowej. Punkt trzy kreski za jedynką przy podziale na $4$ części to $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ .

Czytaj dalej

Oś liczbowa — zadania z egzaminu ósmoklasistySiedem zadań z arkuszy CKE z rysunkami i rozwiązaniami Ułamki — teoriaTrzy znaczenia ułamka, w tym punkt na osi Układ współrzędnych — teoriaDwie osie zamiast jednej i punkty na płaszczyźnie Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Oś liczbowa i ułamki na osi liczbowej

1Co to jest oś liczbowa

2Porządek: co znaczy „większa”

3Ułamki na osi liczbowej — jak je zaznaczać

Ułamki właściwe — między zerem a jedynką

Ułamki niewłaściwe i liczby mieszane

Ułamki o różnych mianownikach na jednej osi

Ułamki dziesiętne na osi

Ułamki ujemne

4Odległość i wartość bezwzględna

5Między dwiema liczbami jest ich nieskończenie wiele

6W której klasie się to pojawia

7Ćwicz dalej

8Przykłady krok po kroku

9Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Liczby naturalne i ułamki — sprawdzian, klasa 6

Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną, ułamek liczby — kartkówka, klasa 5

Liczby mieszane i ułamki niewłaściwe — kartkówka, klasa 4

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

10Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku