Strona główna › Liczby i działania › Jednostki długości — zamiana krok po kroku

Jednostki długości — zamiana krok po kroku

Q: Ile centymetrów ma metr?

Sto. Metr to także 10 decymetrów i 1000 milimetrów. Zamieniając metry na centymetry, mnożysz przez 100, czyli przesuwasz przecinek o dwa miejsca w prawo: 3,5 m to 350 cm.

Q: Ile milimetrów ma metr?

Tysiąc: 1 m = 1000 mm. Metr ma 100 centymetrów, a każdy centymetr — 10 milimetrów, więc 100 · 10 = 1000.

Q: Ile centymetrów ma kilometr?

Sto tysięcy: 1 km = 1000 m, a 1 m = 100 cm, więc 1 km = 1000 · 100 = 100 000 cm.

Q: Ile centymetrów ma cal?

Dokładnie 2,54 cm — tak cal jest zdefiniowany. Stopa to 30,48 cm (12 cali), jard 91,44 cm, a mila 1609,344 m.

Przy zamianie jednostek uczeń ma tak naprawdę jedno pytanie: mnożyć czy dzielić. Cała reszta to tabela przeliczników. Ta strona odpowiada najpierw na to pytanie, potem pokazuje, dlaczego przy jednostkach długości wystarcza przesunięcie przecinka — i gdzie w drabince czai się jedyny nieregularny skok.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 5

Krótko: $1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}$ , $1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}$ , $1\ \text{m} = 100\ \text{cm} = 1000\ \text{mm}$ , $1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$ . Z większej jednostki na mniejszą — mnożysz $(5\ \text{km} = 5000\ \text{m})$ , z mniejszej na większą — dzielisz $(350\ \text{cm} = 3{,}5\ \text{m})$ . Przy mm, cm, dm, m i km wystarczy przesunąć przecinek o tyle miejsc, ile zer ma przelicznik.

Przelicznik jednostek długości

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Drabinka jednostek

Karta pracy do wydruku

Zamiana jednostek długości — 20 zadań, PDF na 2 strony

Dwadzieścia przeliczeń między kilometrem, metrem, decymetrem, centymetrem i milimetrem. Druga strona to klucz.

Podstawa programowa szkoły podstawowej (wersja obowiązująca od 2025) wymienia je z nazwy — dział XII. Obliczenia praktyczne, punkt 6: „zamienia i prawidłowo stosuje jednostki długości: milimetr, centymetr, decymetr, metr, kilometr”. Pięć nazw i wszystkie warto znać razem z przelicznikami.

jednostka	skrót	ile w niej mniejszej	ile to metrów
milimetr	mm	—	$0{,}001$ m
centymetr	cm	$10\ \text{mm}$	$0{,}01$ m
decymetr	dm	$10\ \text{cm}$	$0{,}1$ m
metr	m	$10\ \text{dm}$	$1\ \text{m}$
kilometr	km	$\boldsymbol{1000\ \text{m}}$	$1000\ \text{m}$

Trzy pierwsze szczeble — z milimetra na centymetr, dalej na decymetr i na metr — dzieli dziesiątka. To wygodne, bo daje się zapamiętać jako jeden rytm; czwarty szczebel z tego rytmu wypada.

Jedyny nieregularny skok w drabince

Między metrem a kilometrem NIE ma dziesiątki — jest tysiąc.

To najczęstsze źródło błędu w całym temacie. Uczeń przyzwyczaja się do „każdy szczebel razy dziesięć” i przy kilometrze mnoży przez $10$ zamiast przez $1000$ — wynik wychodzi sto razy za mały.

Powód jest historyczny: między metrem a kilometrem istnieją wprawdzie dekametr i hektometr, ale w szkole (i w praktyce) się ich nie używa. Zostaje więc skok o trzy zera.

Najużyteczniejsze przeliczniki warto mieć w pamięci gotowe:

1\text{ cm} = 10\text{ mm} \qquad 1\text{ m} = 100\text{ cm} = 1000\text{ mm} \qquad 1\text{ km} = 1000\text{ m}

Dla wyobraźni: milimetr to grubość monety, centymetr — szerokość paznokcia, decymetr to mniej więcej długość dłoni, metr to duży krok, a kilometr — dziesięć minut spaceru.

Tabela zamiany jednostek długości

Wiersz to jednostka, z której zamieniasz, kolumna — ta, na którą. Pomarańczowe pola to mnożenie (z większej na mniejszą), niebieskie — dzielenie (z mniejszej na większą). Na przykład z km na cm: · 100 000, bo $1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$ , a $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ .

z ↓ na →	mm	cm	dm	m	km
mm	—	: 10	: 100	: 1000	: 1 000 000
cm	· 10	—	: 10	: 100	: 100 000
dm	· 100	· 10	—	: 10	: 10 000
m	· 1000	· 100	· 10	—	: 1000
km	· 1 000 000	· 100 000	· 10 000	· 1000	—

2Mnożę czy dzielę

To jedyne pytanie, które naprawdę trzeba rozstrzygnąć, a odpowiedź mieści się w jednym zdaniu.

Reguła w jednym zdaniu

Z większej jednostki na mniejszą — MNOŻĘ. Bo małych jednostek mieści się w tej samej długości więcej.

Z mniejszej na większą — DZIELĘ. Bo dużych mieści się mniej.

Metr jest większy od centymetra, więc zamieniając metry na centymetry, mnożymy: $\textcolor{#16A06A}{3}$ m $= 3 \cdot 100\text{ cm} = \textcolor{#16A06A}{300}$ cm. Odwrotnie: $\textcolor{#E0453A}{500}$ cm $= (500 : 100)\text{ m} = \textcolor{#E0453A}{5}$ m.

Kontrola sensu jest natychmiastowa i nie wymaga rachunku. Zamieniasz na jednostkę mniejszą — liczba musi urosnąć. Zamieniasz na większą — musi zmaleć. Jeśli wyszło odwrotnie, pomyliłeś działanie.

zamiana	kierunek	działanie	przykład
m → cm	na mniejszą	· 100	$3{,}5$ m $= 350$ cm
km → m	na mniejszą	· 1000	$0{,}75$ km $= 750$ m
mm → m	na większą	: 1000	$2400\ \text{mm}$ $= 2{,}4$ m
cm → m	na większą	: 100	$460\ \text{cm}$ $= 4{,}6$ m

Zwróć uwagę na trzeci wiersz: liczba $2400$ zmieniła się w $2{,}4$ — zmalała, bo metr jest większy od milimetra. Sama wielkość liczby nic nie znaczy; znaczenie ma kierunek zamiany.

Cała zamiana jednostek sprowadza się do mnożenia i dzielenia przez 10, 100 i 1000 — tych samych rachunków, od których zaczyna się szkolna nauka liczenia.

3Przecinek zamiast rachunku

Skoro wszystkie przeliczniki to potęgi dziesiątki ( $10$ , $100$ , $1000$ itd.), to mnożenie i dzielenie sprowadza się do przesunięcia przecinka.

· 10 — przecinek o jedno miejsce w prawo,
· 100 — o dwa miejsca w prawo,
· 1000 — o trzy miejsca w prawo,
przy dzieleniu — tyle samo miejsc w lewo.

3{,}5\text{ m} \to \textcolor{#16A06A}{350}\text{ cm} \qquad 45\text{ mm} \to \textcolor{#E0453A}{4{,}5}\text{ cm} \to \textcolor{#2F80D8}{0{,}045}\text{ m}

Liczbę zer w przeliczniku warto czytać wprost jako liczbę miejsc: z metrów na milimetry to trzy zera, czyli trzy miejsca. Z kilometrów na centymetry — pięć.

Jeśli przesuwanie przecinka jest jeszcze niepewne, opisuję je osobno przy ułamkach dziesiętnych i przy mnożeniu ułamków dziesiętnych.

Dlaczego z czasem tak nie wolno

Jednostki długości są dziesiętne — każdy szczebel to potęga dziesiątki, więc przecinek działa.

Jednostki czasu nie są: godzina ma $60$ minut, nie $100$ . Dlatego $1{,}5$ godziny to $1$ h $30\ \text{min}$ , a zapis „ $1{,}30$ h” nie znaczy godziny i trzydziestu minut. Piszę o tym przy jednostkach czasu.

To najważniejszy powód, żeby nie przenosić nawyków z jednego tematu na drugi.

4Skąd biorą się nazwy

Przedrostki nie są przypadkowe i znajomość czterech z nich zwalnia z zapamiętywania połowy tabeli.

przedrostek	znaczenie	z języka	przykład
mili-	tysięczna część	łac. mille — tysiąc	milimetr $= \frac{1}{1000}$ m
centy-	setna część	łac. centum — sto	centymetr $= \frac{1}{100}$ m
decy-	dziesiąta część	łac. decem — dziesięć	decymetr $= \frac{1}{10}$ m
kilo-	tysiąc razy więcej	gr. chilioi — tysiąc	kilometr $= 1000$ m

Te same przedrostki działają przy innych wielkościach, i to jest ich największa zaleta. Skoro „kilo-” znaczy tysiąc, to kilogram to tysiąc gramów, a kilobajt — tysiąc bajtów. Skoro „mili-” to tysięczna, to mililitr jest tysięczną częścią litra.

Warto zauważyć powiązanie, które porządkuje jeszcze więcej: litr to dokładnie objętość sześcianu o krawędzi $\boldsymbol{1\ \text{dm}}$ . Dlatego mililitr równa się centymetrowi sześciennemu — to nie zbieg okoliczności, tylko konstrukcja układu metrycznego.

Ten sam mechanizm rozpoznasz w słowie „centymetr” i „cent” (setna część dolara) albo w „milenium” (tysiąc lat). Nazwy jednostek są zbudowane z klocków, nie wymyślone osobno.

5Jednostki w zadaniach z treścią

W zadaniach największy kłopot sprawia nie sama zamiana, tylko moment, w którym trzeba ją wykonać.

Zasada jest jedna: najpierw sprowadź wszystko do tej samej jednostki, dopiero potem licz. Dodawanie $120\ \text{cm}$ i $3{,}4$ m bez zamiany daje bezsensowną liczbę.

120\text{ cm} + 3{,}4\text{ m} = 120\text{ cm} + \textcolor{#16A06A}{340}\text{ cm} = 460\text{ cm} = 4{,}6\text{ m}

Którą jednostkę wybrać? Zwykle tę mniejszą, bo wtedy unika się ułamków. Ale jeśli zadanie pyta o wynik w metrach, na końcu i tak trzeba wrócić — warto to zaplanować, zanim się zacznie.

przeczytaj, w czym ma być odpowiedź — to często inna jednostka niż dane,
zamień wszystkie dane na jedną jednostkę przed pierwszym działaniem,
licz,
wróć do jednostki, o którą pytano, i dopisz ją przy wyniku.

Zamiana jednostek wraca potem w niemal każdym dziale — przy obwodach figur, polach, w zadaniach o skali i o prędkości. Warto ją mieć opanowaną wcześnie, bo później jest tylko narzędziem, a nie tematem.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: zamiana w obie strony, przejście przez kilka szczebli i zadanie z treścią.

Przykład $1$ W obie strony

Zamień: $3{,}5$ m na centymetry oraz $2400\ \text{mm}$ na metry.

Pierwsza zamiana: z metrów na centymetry, czyli na jednostkę mniejszą — mnożę.
Przelicznik to $100$ , więc przesuwam przecinek o dwa miejsca w prawo: $3{,}5$ m $= 350$ cm.
Kontrola: liczba urosła z $3{,}5$ do $350$ , a tak być powinno przy przejściu na mniejszą jednostkę ✓
Druga zamiana: z milimetrów na metry, czyli na jednostkę większą — dzielę.
Przelicznik to $1000$ , więc przesuwam przecinek o trzy miejsca w lewo: $2400\ \text{mm}$ $= 2{,}4$ m.
Kontrola: liczba zmalała z $2400$ do $2{,}4$ ✓
Kontrola sensu: $2{,}4$ m to mniej więcej wysokość pokoju, a $2400\ \text{mm}$ to ta sama długość — zgadza się ✓

Odpowiedź: $3{,}5$ m $= 350$ cm, $\boldsymbol{2400\ \text{mm}}$ $= 2{,}4$ m

Obie kontrole zajmują sekundę i wyłapują najczęstszy błąd — pomylenie kierunku. Nie trzeba do nich niczego liczyć, wystarczy spojrzeć, czy liczba urosła, czy zmalała.

Przykład $2$ Przez kilka szczebli naraz

Zamień $45\ \text{mm}$ na centymetry, decymetry i metry.

Na centymetry: przelicznik $10$ , jednostka większa, więc dzielę — przecinek o jedno miejsce w lewo: $45\ \text{mm}$ $= 4{,}5$ cm.
Na decymetry: od milimetra do decymetra są dwa szczeble po dziesięć, czyli przelicznik $100$ . Przecinek o dwa miejsca: $45\ \text{mm}$ $= 0{,}45$ dm.
Na metry: przelicznik $1000$ , przecinek o trzy miejsca: $45\ \text{mm}$ $= 0{,}045$ m.
Kontrola kierunku: przy każdym kroku w górę drabinki liczba maleje — $45$ , potem $4{,}5$ , potem $0{,}45$ , potem $0{,}045$ ✓
Kontrola przez powrót: $0{,}045$ m $= 0{,}045 \cdot 1000\text{ mm} = 45$ mm ✓
Kontrola sensu: $45\ \text{mm}$ to około szerokości dwóch palców, więc ułamek metra — zgadza się ✓

Odpowiedź: $\boldsymbol{45\ \text{mm}}$ $= 4{,}5$ cm $= 0{,}45$ dm $= 0{,}045$ m

Zamiast przeskakiwać po jednym szczeblu, lepiej od razu policzyć przelicznik między jednostką wyjściową a docelową — liczba zer mówi wprost, o ile miejsc przesunąć przecinek.

Przykład $3$ Zadanie z treścią

Jedna deska ma $120\ \text{cm}$ , druga $3{,}4$ m. Ile mają razem? Podaj wynik w metrach.

Dane są w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicam — bez tego dodawanie nie ma sensu.
Wybieram centymetry, bo unikam wtedy ułamków: $3{,}4$ m $= 340$ cm.
Dodaję: $120 + 340 = 460$ cm.
Zadanie pyta o metry, więc wracam: $460\ \text{cm}$ $= 4{,}6$ m.
Kontrola: $1{,}2$ m $+ 3{,}4$ m $= 4{,}6$ m — ten sam wynik drogą przez metry ✓
Kontrola sensu: wynik musi być większy od dłuższej deski ( $3{,}4$ m) i mniejszy od podwojonej ( $6{,}8$ m) ✓

Odpowiedź: $4{,}6$ m

Ostatnie dwa kroki są najczęściej pomijane. Uczeń liczy poprawnie $460$ , po czym zapisuje „ $460\ \text{m}$ ” albo zostawia centymetry, choć pytano o metry. Przeczytanie polecenia jeszcze raz na koniec kosztuje pięć sekund.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy kilometra i jest najczęstszy w całym temacie.

Mnożenie przez 10 zamiast przez 1000 przy kilometrze

Skąd się bierze: Drabinka mm–cm–dm–m ma równe szczeble po dziesięć, więc uczeń przenosi ten rytm dalej i liczy $2\ \text{km}$ $= 20$ m. Tymczasem między metrem a kilometrem jest skok tysiąckrotny — wynik wychodzi sto razy za mały.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj kilometr osobno od reszty drabinki: $1\ \text{km}$ $= 1000$ m, zawsze trzy zera. Kontrola z życia: $1\ \text{km}$ to około dziesięciu minut spaceru, więc $20\ \text{m}$ to na pewno nie dwa kilometry.

Pomylenie kierunku — mnożenie zamiast dzielenia

Skąd się bierze: Uczeń zamienia $500\ \text{cm}$ na metry i mnoży, dostając $50000\ \text{m}$ . Kierunek został odwrócony: centymetr jest mniejszy od metra, więc liczba powinna zmaleć, a nie urosnąć.

Jak zrobić dobrze: Przed rachunkiem zdecyduj, czy idziesz na jednostkę mniejszą, czy większą, i sprawdź wynik: na mniejszą — liczba rośnie, na większą — maleje. Ta kontrola nie wymaga liczenia.

Dodawanie liczb w różnych jednostkach

Skąd się bierze: Do $120\ \text{cm}$ dodaje się $3{,}4$ m i wychodzi $123{,}4$ — liczba, która nie znaczy nic. Dodawać wolno tylko wielkości wyrażone w tej samej jednostce.

Jak zrobić dobrze: Ujednolicaj przed pierwszym działaniem, nie po. Wybierz zwykle jednostkę mniejszą, żeby uniknąć ułamków, i dopiero na końcu wróć do tej, o którą pytano.

Podanie wyniku w niewłaściwej jednostce

Skąd się bierze: Rachunek jest poprawny, ale odpowiedź brzmi „ $460\ \text{m}$ ” zamiast „ $4{,}6$ m” albo zostaje w centymetrach, choć zadanie prosiło o metry. Punkt przepada mimo dobrego rozumowania.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w poleceniu, w czym ma być odpowiedź. Na koniec przeczytaj polecenie jeszcze raz i sprawdź, czy jednostka przy wyniku się zgadza.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Prawie każde zadanie z tego działu to jedno mnożenie — trzeba tylko wiedzieć, co przez co. Dlatego w zadaniach ze skalą zielony jest wymiar na planie albo na rysunku (to, co mierzymy linijką), a czerwony — przelicznik skali, czyli liczba mówiąca, ile razy rzeczywistość jest większa. Wynik w terenie zostaje czarny, bo to on jest odpowiedzią.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Jurek narysował na kratce położenia trzech obiektów: muzeum (

M

), wieży widokowej (

W

) i schroniska (

S

). Wieża widokowa znajduje się

3\ \text{km}

na północ i

4\ \text{km}

na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się

5\ \text{km}

na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.	P	F
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż $10\ \text{km}$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Najwygodniej ustawić schronisko $S$ w początku układu: kierunek wschodni to „w prawo”, północny — „w górę”.
$S = (0,\ 0)$ • $W = (\textcolor{#16A06A}{-4},\ \textcolor{#16A06A}{3})$ • $M = (\textcolor{#16A06A}{5},\ 0)$
Zdanie $\boldsymbol{1}$ . Odległość $S$ od $M$ mierzymy wzdłuż linii wschód–zachód: $\textcolor{#16A06A}{5}$ km.
Odległość $S$ od $W$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa (przesunięcie $\textcolor{#16A06A}{4}$ km w bok i $\textcolor{#16A06A}{3}$ km w górę):
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ km
Obie odległości wynoszą $5\ \text{km}$ ✓ — prawda. (To znajomy trójkąt $3$ – $4$ – $5$ .)
Zdanie $\boldsymbol{2}$ . Z $W$ do $M$ przesuwamy się o $\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9}$ km na wschód i $\textcolor{#16A06A}{3}$ km na południe:
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}5}$ km
$\textcolor{#E0453A}{9{,}5} < 10$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z $10\ \text{km}$ można zrobić bez pierwiastkowania: $\sqrt{90}$ wobec $10$ to to samo co $90$ wobec $100$ . Mniejsza liczba pod pierwiastkiem — mniejsza odległość.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie przesunięć zamiast użycia Pitagorasa ( $9 + 3 = 12$ km). Odległość „w linii prostej” to przeciwprostokątna, a nie suma drogi na wschód i na południe.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na planie miasta wykonanym w skali $\boldsymbol{1 : 5000}$ odległość w linii prostej między wejściem do papugarni a wejściem do muzeum zabawek jest równa $\boldsymbol{8{,}4\ \text{cm}}$ . Dokończ zdanie.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa

A. $4{,}2$ m
B. $42\ \text{m}$
C. $420\ \text{m}$
D. $4200\ \text{m}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Skala $1 : \textcolor{#E0453A}{5000}$ znaczy: $\boldsymbol{1\ \text{cm}}$ na planie to $\boldsymbol{5000\ \text{cm}}$ w terenie.
Krok $\boldsymbol{1}$ — mnożymy przez przelicznik.
$\textcolor{#16A06A}{8{,}4} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{5000} = 42\,000$ cm
Krok $\boldsymbol{2}$ — zamieniamy na metry. W metrze jest $100\ \text{cm}$ :
$42\,000 : 100 = 420$ m.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Skrót wart zapamiętania: przy skali $1:5000$ $\boldsymbol{1\ \text{cm}}$ na planie to $\boldsymbol{50\ \text{m}}$ w terenie (bo $5000\ \text{cm}$ $= 50$ m). Wtedy $8{,}4 \cdot 50 = 420$ m — jednym mnożeniem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na centymetrach albo podzielenie przez $1000$ zamiast przez $100$ (wychodzi wtedy $42\ \text{m}$ — odpowiedź B). Warto pilnować, w jakiej jednostce są odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek Galeria jest równa $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$ . Plan miasta został wykonany w skali $\boldsymbol{1 : 4000}$ . Dokończ zdanie.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa

A. $320\ \text{m}$
B. $500\ \text{m}$
C. $3200\ \text{m}$
D. $5000\ \text{m}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Skala $1 : \textcolor{#E0453A}{4000}$ znaczy, że $1\ \text{cm}$ na planie odpowiada $\textcolor{#E0453A}{4000}$ cm w terenie.
Krok $\boldsymbol{1}$ — odległość w centymetrach.
$\textcolor{#16A06A}{8} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{4000} = 32\,000$ cm
Krok $\boldsymbol{2}$ — zamiana na metry.
$32\,000 : 100 = 320$ m.
Odpowiedź A.
Szybciej: $\textcolor{#E0453A}{4000}$ cm $= 40$ m, więc $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 40 = 320$ m ✓

💡 Wskazówka: Odpowiedź $3200\ \text{m}$ (czyli ponad $3\ \text{km}$ między dwoma przystankami w centrum miasta) powinna od razu wydać się podejrzana. Sprawdzanie, czy wynik ma sens, wyłapuje większość błędów jednostkowych.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby centymetrów przez $10$ zamiast przez $100$ — stąd bierze się kusząca odpowiedź C.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Listewkę o długości $\boldsymbol{50\ \text{cm}}$ planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po $\boldsymbol{5\ \text{cm}}$ i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po $\boldsymbol{2\ \text{cm}}$ i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?

A. $5$
B. $4$
C. $3$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku listewki jest jednocześnie wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{5}$ i wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{2}$ — czyli wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności:
$\text{NWW}(\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#E0453A}{10}$ cm
Wypisujemy wielokrotności $\textcolor{#E0453A}{10}$ mieszczące się na listewce:
$\textcolor{#E0453A}{10}$ , $\textcolor{#E0453A}{20}$ , $\textcolor{#E0453A}{30}$ , $\textcolor{#E0453A}{40}$ — to cztery miejsca.
Uwaga na koniec listewki: $50\ \text{cm}$ to nie linia cięcia, tylko koniec deski — nikt tam nie tnie.
Odpowiedź B — linie pokryły się $4$ razy.

💡 Wskazówka: Kontrola: Iwona zaznaczyła $9$ linii ( $5, 10, \ldots, 45$ ), a Agata $24$ ( $2, 4, \ldots, 48$ ) — w obu przypadkach o jedną mniej, niż wychodzi z dzielenia, bo koniec listewki się nie liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie $50\ \text{cm}$ i podanie odpowiedzi $5$ . Cięcie na $n$ równych części wymaga $n-1$ nacięć — skrajny punkt to już brzeg materiału.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Agata przygotowuje kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta o wymiarach $\boldsymbol{15\ \text{cm} \times 18\ \text{cm}}$ , ozdobioną wzorem z jednakowych kwadratów. Kwadraty są obrócone o

45°

i stykają się wierzchołkami, tworząc łańcuszek wzdłuż krawędzi kartki: wzdłuż krótszego boku

(15\ \text{cm})

mieszczą się trzy takie kwadraty jeden za drugim, a wzdłuż dłuższego boku

(18\ \text{cm})

— cztery. Bok kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie

\sqrt{2} \approx 1{,}4

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $3\ \text{cm}$

Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
Krok $\boldsymbol{1}$ — przekątna kwadratu o boku $a$ .
$d = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}$
Krok $\boldsymbol{2}$ — warunek dla krótszego boku $\boldsymbol{(15\ \text{cm})}$ . Trzy przekątne muszą się zmieścić:
$3 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$ → $4{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$ → $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots$
Krok $\boldsymbol{3}$ — warunek dla dłuższego boku $\boldsymbol{(18\ \text{cm})}$ . Tu przekątnych jest cztery:
$4 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$ → $5{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$ → $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots$
Krok $\boldsymbol{4}$ — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21$ .
Największa taka liczba całkowita to $\textcolor{#16A06A}{a} = 3$ cm.
Sprawdzenie: dla $a = 3$ przekątna wynosi $4{,}2$ cm, więc trzy przekątne to $12{,}6 \le 15$ ✓, a cztery — $16{,}8 \le 18$ ✓
Dla $a = 4$ : przekątna $5{,}6$ cm, trzy przekątne to już $16{,}8 > 15$ ✗ — nie mieści się.
Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi $\boldsymbol{3\ \text{cm}}$ .

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej ( $3a \le 15$ daje $a \le 5$ ). Skoro kwadraty są obrócone o $45°$ , wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około $40\%$ dłuższy od boku.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P

2. C

3. A

4. B

3\ \text{cm}

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Ile centymetrów ma metr?

Sto. Metr to także $10$ decymetrów i $1000$ milimetrów. Zamieniając metry na centymetry, mnożysz przez $100$ , czyli przesuwasz przecinek o dwa miejsca w prawo: $3{,}5$ m to $350\ \text{cm}$ .

Kiedy mnożyć, a kiedy dzielić przy zamianie jednostek?

Z większej jednostki na mniejszą — mnożysz, bo małych mieści się więcej. Z mniejszej na większą — dzielisz. Kontrola bez rachunku: przy zamianie na mniejszą jednostkę liczba musi urosnąć, przy zamianie na większą — zmaleć.

Ile metrów ma kilometr?

Tysiąc — i to jedyny nieregularny skok w drabince jednostek długości. Wszystkie pozostałe szczeble (mm, cm, dm, m) dzieli dziesiątka, dlatego uczniowie często mnożą tu przez $10$ i otrzymują wynik sto razy za mały.

Co oznaczają przedrostki mili-, centy-, decy- i kilo-?

Mili- to tysięczna część, centy- setna, decy- dziesiąta, a kilo- tysiąc razy więcej. Działają tak samo przy innych wielkościach: kilogram to tysiąc gramów, a mililitr — tysięczna część litra.

Jak zamieniać jednostki, przesuwając przecinek?

Liczba zer w przeliczniku mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek: przy $\cdot 10$ o jedno, przy $\cdot 100$ o dwa, przy $\cdot 1000$ o trzy — w prawo przy mnożeniu, w lewo przy dzieleniu. Działa to, bo jednostki długości są dziesiętne.

Czy tak samo zamienia się jednostki czasu?

Nie. Jednostki długości są dziesiętne, więc przecinek działa, ale godzina ma $60$ minut, nie $100$ . Dlatego $1{,}5$ godziny to $1$ h $30\ \text{min}$ , a zapisu „ $1{,}30$ h” nie należy czytać jako godziny i trzydziestu minut.

Jaka jest podstawowa jednostka długości?

Podstawową jednostką długości w układzie SI jest metr. Pozostałe — milimetr, centymetr, decymetr i kilometr — są jego wielokrotnościami albo częściami, a przeliczniki między sąsiednimi jednostkami wynoszą dziesięć albo tysiąc.

Ile milimetrów ma metr?

Tysiąc: $1\ \text{m} = 1000\ \text{mm}$ . Metr ma 100 centymetrów, a każdy centymetr — 10 milimetrów, więc $100 \cdot 10 = 1000$ .

Ile centymetrów ma kilometr?

Sto tysięcy: $1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$ , a $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ , więc $1\ \text{km} = 1000 \cdot 100 = 100\,000\ \text{cm}$ .

Ile centymetrów ma cal?

Dokładnie $2{,}54\ \text{cm}$ — tak cal jest zdefiniowany. Stopa to $30{,}48\ \text{cm}$ (12 cali), jard $91{,}44\ \text{cm}$ , a mila $1609{,}344\ \text{m}$ .

Czytaj dalej

Jednostki czasuUkład niedziesiętny — tu przesuwanie przecinka nie zadziała Ułamki dziesiętnePrzesuwanie przecinka opisane od podstaw Obwody figurPierwsze miejsce, gdzie zamiana jednostek jest potrzebna Pola figurTam jednostki są kwadratowe i przeliczniki inne Wyrażenia dwumianowaneJak zapisać 2 m 35 cm jako 2,35 m i odwrotnie. Przelicznik 100, 1000 i…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Jednostki długości — zamiana krok po kroku

1Drabinka jednostek

Tabela zamiany jednostek długości

2Mnożę czy dzielę

3Przecinek zamiast rachunku

4Skąd biorą się nazwy

5Jednostki w zadaniach z treścią

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku

Jednostki długości — zamiana krok po kroku

1Drabinka jednostek

Tabela zamiany jednostek długości

2Mnożę czy dzielę

3Przecinek zamiast rachunku

4Skąd biorą się nazwy

5Jednostki w zadaniach z treścią

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Nowe karty pracy prosto na maila