Naszkicuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = cases 2x + 1 & dla x ≤ 0 \ x + 2 & dla x > 0 cases

dwie półproste: y = 2x + 1 dla x ≤ 0 z końcem zamkniętym w (0, 1) oraz y = x + 2 dla x > 0 z końcem otwartym w (0, 2)

Strona główna › Funkcje › Wykres funkcji liniowej

Wykres funkcji liniowej

Q: Co oznacza a = 0?

Funkcja jest stała, a jej wykresem jest prosta pozioma y = b. Formalnie nadal jest to funkcja liniowa, ale bywa nazywana stałą. Nie ma wtedy miejsca zerowego, chyba że b = 0 — wówczas cała prosta leży na osi Ox.

Q: Czym różni się współczynnik kierunkowy od kąta nachylenia?

Współczynnik a jest tangensem kąta nachylenia, więc oba opisują to samo, ale w innych jednostkach. Kąt 45° odpowiada a = 1, a kąt rozwarty — ujemnemu a.

Q: Dlaczego wykres funkcji kwadratowej wygląda zupełnie inaczej?

Bo obecność x^2 sprawia, że nachylenie zmienia się z punktu na punkt — nie da się go opisać jedną liczbą. Dlatego parabolę czyta się przez wierzchołek i kierunek ramion, co opisuję na stronie o funkcji kwadratowej.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta — i cały ten wykres opisują dwie liczby: współczynnik kierunkowy i wyraz wolny. Parabola potrzebuje trzech, okrąg też trzech (dwie współrzędne środka i promień); mniej niż dwóch wystarcza w przypadkach szczególnych: gdy prosta przechodzi przez początek układu i zostaje samo $y = ax$ , albo gdy jest pozioma i zostaje samo $y = b$ . Jedną z tych dwóch liczb odczytuje się z rysunku bez żadnego rachunku, drugą jednym dzieleniem. Ta strona jest o czytaniu wykresu, nie o rysowaniu go: na maturze prawie zawsze prosta już jest narysowana albo dane są dwa jej punkty, a pytanie brzmi „jaki to wzór” lub „który z tych czterech rysunków to on”.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 22

Krótko: Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta; a to współczynnik kierunkowy (funkcja rośnie dla a > 0 i maleje dla a < 0), a b wyznacza punkt przecięcia z osią y: (0, b).

Przejdź od razu do zadań (22) ↓

1Dwie liczby, które opisują całą prostą

Wzór funkcji liniowej zapisujemy jako:

y = ax + b

Litery $a$ i $b$ mają nazwy i — co ważniejsze — mają widoczne znaczenie na rysunku:

$b$ — wyraz wolny. To wysokość, na której prosta przecina oś $Oy$ . Czyta się ją z rysunku wprost, bez liczenia: patrzysz, w którym miejscu prosta przechodzi przez pionową oś.
$a$ — współczynnik kierunkowy. Mówi, o ile prosta idzie w górę, gdy przesuniemy się o jednostkę w prawo. To jedyna liczba, którą trzeba policzyć.

Skąd bierze się rola $b$ , widać po podstawieniu $x = 0$ : zostaje $y = b$ . A punkt o pierwszej współrzędnej $0$ leży dokładnie na osi $Oy$ . Dlatego wyraz wolny nie wymaga rachunku — jest wpisany w rysunek.

Współczynnik kierunkowy liczymy z dowolnych dwóch punktów prostej $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ :

a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

To iloraz przyrostu w pionie przez przyrost w poziomie. Kolejność punktów nie ma znaczenia, bo zamiana $A$ z $B$ zmienia znak licznika i mianownika naraz. Ma natomiast znaczenie, żeby w liczniku i mianowniku były te same punkty w tej samej kolejności — to najczęstsze miejsce pomyłki.

Znak $a$ widać, zanim się cokolwiek policzy

$a > 0$ — prosta rośnie, idzie w prawo do góry.

$a < 0$ — prosta maleje, idzie w prawo w dół.

$a = 0$ — prosta jest pozioma, funkcja jest stała i ma wzór $y = b$ .

W zadaniach zamkniętych z czterema rysunkami sam znak $a$ i sam znak $b$ zwykle odsiewają dwie odpowiedzi, a często trzy. Zanim policzysz, popatrz.

Prosta pionowa, na przykład $x = 3$ , nie jest wykresem żadnej funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałoby nieskończenie wiele wartości. Dlatego w zbiorze możliwych odpowiedzi taki rysunek bywa dorzucany jako dystraktor.

Prosta pionowa odpada właśnie przez warunek z definicji — jednemu argumentowi jedna wartość — a rozkładam go na części tam, gdzie tłumaczę czym w ogóle jest funkcja.

Znak współczynnika kierunkowego na wykresie funkcji liniowej: a > 0 prosta rośnie, a < 0 maleje, a = 0 pozioma — Znak a odczytasz z wykresu bez liczenia: rośnie, maleje albo pozioma.

2Odczyt z rysunku — kolejność, która nie zawodzi

Przy zadaniu z gotowym wykresem opłaca się mieć stałą kolejność ruchów. Każdy kolejny krok korzysta z poprzedniego, więc pomyłka od razu się ujawnia.

Znajdź punkt przecięcia z osią $Oy$ — masz $b$ .
Znajdź drugi punkt o całkowitych współrzędnych, najlepiej daleko od pierwszego. Im dalej, tym mniejszy błąd odczytu.
Policz przyrosty między tymi punktami i podziel — masz $a$ .
Sprawdź znak: jeśli prosta wyraźnie maleje, a wyszło $a > 0$ , gdzieś odwróciłeś odejmowanie.

Krok drugi jest tym, o którym uczniowie zapominają najczęściej. Punkt „gdzieś pomiędzy kratkami” daje ułamek zamiast liczby całkowitej i psuje cały rachunek. Rysunki maturalne są zwykle przygotowane tak, żeby taki punkt kratowy dało się znaleźć — warto go poszukać, zanim odczyta się cokolwiek „na oko”.

Jeżeli rysunku nie ma, a treść podaje dwa punkty, to kroki są te same, tylko bez patrzenia: liczysz $a$ ze wzoru, a $b$ wyznaczasz, wstawiając do $y = ax + b$ współrzędne któregokolwiek z punktów. Warto potem podstawić ten drugi punkt jako kontrolę — jeżeli równość się zgadza, wzór jest na pewno dobry.

Do odczytywania samych współrzędnych punktów wracam na stronie o układzie współrzędnych; tutaj zakładam, że kolejność liczb w nawiasie jest już oczywista.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcja liniowa” (liceum, klasa 1), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcja liniowa — cały dział, liceum, klasa 1 (5 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcja liniowa”5 arkuszy w jednym pliku9,90 zł~~19,50 zł~~−9,60 zł Liceum, klasa 1, na cały rok30 arkuszy, 1,66 zł za arkusz49,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 9,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Miejsce zerowe, czyli przecięcie z osią X

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ — na rysunku punkt, w którym prosta przecina oś poziomą. Wyznacza się je jednym równaniem:

ax + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{b}{a} \qquad \text{dla } a \neq 0

Na rysunku widać to od razu: prosta ukośna tnie oś poziomą dokładnie raz, a prosta pozioma albo nie tnie jej wcale, albo leży na niej w całości. Przypadki szczególne i zadania z parametrem omawiam osobno — tutaj miejsce zerowe interesuje nas jako punkt na rysunku, nie jako rachunek.

Warto zauważyć, że miejsce zerowe i wyraz wolny to dwa różne przecięcia: $b$ dotyczy osi pionowej, miejsce zerowe — poziomej. Mylenie ich jest jedną z najczęstszych usterek w tym dziale, bo obie liczby „coś przecinają” i obie widać na rysunku.

co czytamy	z której osi	jak wyznaczyć
wyraz wolny $b$	$Oy$ (pionowa)	odczyt z rysunku, bez rachunku
miejsce zerowe	$Ox$ (pozioma)	$x = -\frac{b}{a}$
współczynnik $a$	z dwóch punktów	$\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

4Proste równoległe i prostopadłe — cała różnica siedzi w $a$

Dwie różne proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. Wyrazy wolne mogą się różnić dowolnie — to one decydują, o ile jedna prosta jest przesunięta względem drugiej.

\text{równoległe} \iff a_1 = a_2 \qquad \text{prostopadłe} \iff a_1 \cdot a_2 = -1

Warunek prostopadłości bywa zapamiętywany błędnie jako „przeciwne znaki”. To za mało: $a_1 = 2$ i $a_2 = -3$ dają iloczyn $-6$ , a nie $-1$ , więc te proste nie są prostopadłe. Drugi współczynnik musi być odwrotnością pierwszego ze zmienionym znakiem — dla $a_1 = 2$ jest to $a_2 = -\frac{1}{2}$ .

Jeżeli dwie proste mają ten sam współczynnik $a$ i ten sam wyraz wolny $b$ , to nie są dwiema prostymi równoległymi, tylko jedną prostą zapisaną dwa razy. W zadaniach o liczbie rozwiązań układu równań to właśnie ten przypadek daje „nieskończenie wiele rozwiązań”.

Skąd bierze się nazwa „współczynnik kierunkowy”

$a$ jest tangensem kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią $Ox$ : $a = \operatorname{tg}\alpha$ .

Stąd bezpośrednio wynikają dwie rzeczy, które i tak trzeba znać: dla $\alpha = 45°$ mamy $a = 1$ , a dla kąta rozwartego tangens jest ujemny — więc prosta maleje.

Same funkcje trygonometryczne opisuję w osobnym dziale; tutaj wystarczy sam fakt, że $a$ mierzy nachylenie, a nie położenie.

Proste y = 2x + 1, równoległa y = 2x − 3 i prostopadła y = −0,5x + 1; warunki a₁ = a₂ oraz a₁ · a₂ = −1 — Proste równoległe mają to samo a, prostopadłe — a₁ · a₂ = −1.

5Punkt przecięcia dwóch prostych

Punkt wspólny dwóch prostych to jedyne miejsce, w którym obie funkcje przyjmują tę samą wartość dla tego samego argumentu. Przyrównujemy więc prawe strony wzorów:

a_1x + b_1 = a_2x + b_2

Z tego równania wychodzi $x_0$ , a $y_0$ dostajemy, wstawiając $x_0$ do któregokolwiek z dwóch wzorów. Jeśli obliczenia są poprawne, oba dadzą tę samą liczbę — i to jest darmowa kontrola, z której warto korzystać.

Zadania maturalne z tej grupy często nie pytają o same współrzędne, tylko o ich znaki — czy punkt leży w pierwszej ćwiartce, czy $x_0$ i $y_0$ są dodatnie. Wtedy pełny rachunek bywa niepotrzebny: wystarczy zauważyć, gdzie każda z prostych przecina osie i w którą stronę biegnie.

Gdy $a_1 = a_2$ , ale $b_1 \neq b_2$ , zmienna $x$ redukuje się obustronnie i zostaje równość dwóch różnych liczb — po jednej stronie $3$ , po drugiej $-5$ . To nie pomyłka rachunkowa, tylko poprawny wynik: proste równoległe nie mają punktu wspólnego.

6Przykłady krok po kroku

Cztery typy zadań, które wracają w arkuszach najczęściej: odczyt wzoru z rysunku, wyznaczenie wzoru z dwóch punktów, prosta równoległa przechodząca przez zadany punkt i znaki współrzędnych punktu przecięcia.

Przykład 1 Wzór z rysunku

Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4)$ i przechodzi przez punkt $(3, 2)$ . Wyznacz jej wzór i miejsce zerowe.

Wyraz wolny czytamy wprost z pierwszego punktu: $b = -4$ .
Przyrost w pionie: $2 - (-4) = 6$ . Przyrost w poziomie: $3 - 0 = 3$ .
$a = \frac{6}{3} = 2$ , więc wzór to $y = 2x - 4$ .
Miejsce zerowe: $2x - 4 = 0$ , czyli $x = 2$ .
Kontrola: podstawiamy $x = 3$ do wzoru — $2 \cdot 3 - 4 = 2$ , zgadza się z drugim punktem.

Odpowiedź: $y = 2x - 4$ , miejsce zerowe $x = 2$

Zwróć uwagę, że $b = -4$ , a miejsce zerowe to $2$ — dwie zupełnie różne liczby, obie „widoczne na rysunku”. To dokładnie ta para, którą najłatwiej pomylić.

Przykład 2 Wzór z dwóch punktów, oba poza osiami

Prosta przechodzi przez punkty $A = (-2, 7)$ i $B = (4, -5)$ . Wyznacz jej wzór.

$a = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2$ .
Wstawiamy punkt $A$ do wzoru $y = -2x + b$ : $7 = -2 \cdot (-2) + b$ , czyli $7 = 4 + b$ .
Stąd $b = 3$ , więc wzór to $y = -2x + 3$ .
Kontrola punktem $B$ : $-2 \cdot 4 + 3 = -8 + 3 = -5$ . Zgadza się.

Odpowiedź: $y = -2x + 3$

Tutaj żaden z danych punktów nie leży na osi, więc $b$ nie da się odczytać — trzeba je wyliczyć. Podwójny minus w mianowniku, $4 - (-2) = 6$ , jest miejscem, w którym najczęściej wychodzi błędne $2$ .

Przykład 3 Prosta równoległa przez dany punkt

Wyznacz wzór prostej równoległej do $y = -2x + 3$ , przechodzącej przez punkt $P = (5, 1)$ .

Równoległość oznacza ten sam współczynnik kierunkowy: $a = -2$ .
Szukany wzór ma postać $y = -2x + b$ ; wstawiamy współrzędne punktu $P$ .
$1 = -2 \cdot 5 + b$ , czyli $1 = -10 + b$ .
$b = 11$ , więc wzór to $y = -2x + 11$ .

Odpowiedź: $y = -2x + 11$

Nowa prosta jest przesunięta w górę o $11 - 3 = 8$ jednostek względem danej. Współczynnik $a$ przepisujemy bez zmian — liczy się tylko punkt, przez który prosta ma przejść.

Przykład 4 Znaki współrzędnych punktu przecięcia

Proste $y = 2x - 4$ oraz $y = -2x + 3$ przecinają się w punkcie $P = (x_0, y_0)$ . Ustal znaki obu współrzędnych.

Przyrównujemy: $2x - 4 = -2x + 3$ .
$4x = 7$ , czyli $x_0 = \frac{7}{4}$ — liczba dodatnia.
Wstawiamy do pierwszego wzoru: $y_0 = 2 \cdot \frac{7}{4} - 4 = \frac{7}{2} - 4 = -\frac{1}{2}$ .
Kontrola drugim wzorem: $-2 \cdot \frac{7}{4} + 3 = -\frac{7}{2} + 3 = -\frac{1}{2}$ . Zgadza się.

Odpowiedź: $x_0 > 0$ oraz $y_0 < 0$ — punkt leży w czwartej ćwiartce

Odpowiedź dało się przewidzieć bez rachunku: obie proste przecinają się na prawo od osi $Oy$ i poniżej osi $Ox$ . Rachunek potwierdza to, co widać, a nie zastępuje patrzenia.

7Najczęstsze błędy

Większość poniższych pomyłek ma wspólną cechę: nie są pomyłkami rachunkowymi, tylko odczytu — rachunek bywa wykonany bezbłędnie, na złych liczbach. Wyjątkiem jest druga, która psuje sam znak wyniku.

Mylenie wyrazu wolnego z miejscem zerowym.

Skąd się bierze: Obie liczby dotyczą przecięcia z osią, obie widać na rysunku, więc pamięć je skleja.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez litery: $b$ jest przy $y$ -ku, bo $b$ czytamy z osi $Oy$ . Miejsce zerowe to argument, czyli liczba z osi $Ox$ .

Odwrotne odejmowanie w liczniku i mianowniku, np. $\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B}$ .

Skąd się bierze: Punkty zapisuje się osobno i łatwo zgubić, który był pierwszy — a wynik wychodzi z poprawnym co do wartości, lecz przeciwnym znakiem.

Jak zrobić dobrze: Zapisz oba odejmowania w tej samej kolejności, a na końcu porównaj znak $a$ z wyglądem prostej: rośnie czy maleje.

Odczytywanie drugiego punktu „na oko”, między kratkami.

Skąd się bierze: Wtedy przyrosty nie są liczbami całkowitymi i cały rachunek opiera się na zgadniętym ułamku.

Jak zrobić dobrze: Szukaj punktu, w którym prosta trafia dokładnie w przecięcie kratek — na rysunkach maturalnych zwykle taki się znajdzie.

Uznawanie prostych za prostopadłe, bo współczynniki mają przeciwne znaki.

Skąd się bierze: Warunek $a_1 \cdot a_2 = -1$ redukuje się w pamięci do „jeden dodatni, drugi ujemny”.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź iloczyn. Dla $a_1 = 2$ prostopadła ma $a_2 = -\frac{1}{2}$ , a nie $-2$ .

Traktowanie prostej pionowej jako wykresu funkcji liniowej.

Skąd się bierze: Wygląda jak prosta, a w zadaniach o prostych występuje na równi z pozostałymi.

Jak zrobić dobrze: Prosta $x = 3$ nie jest wykresem funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałoby wiele wartości. Funkcja liniowa może być pozioma, ale nigdy pionowa.

Szukanie punktu wspólnego prostych o tym samym $a$ .

Skąd się bierze: Rachunek prowadzi do fałszywej równości i wygląda na pomyłkę, więc uczeń zaczyna liczyć od nowa.

Jak zrobić dobrze: Sprzeczność jest tu poprawną odpowiedzią: proste równoległe nie mają punktu wspólnego. Wystarczy porównać współczynniki, zanim zacznie się liczyć.

Zadania maturalne — prosta w układzie współrzędnych, wykres funkcji liniowej

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści albo widać na rysunku. Czerwone — to, co z tego wynika. Cała ta grupa zadań stoi na dwóch odczytach: wyraz wolny $b$ to miejsce, w którym prosta przecina oś $Oy$ — czyta się je z rysunku bez rachunku; współczynnik kierunkowy $a$ to iloraz przyrostów,

a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

— o ile prosta idzie w górę na jednostkę w prawo. Reszta to konsekwencje.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 17 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Proste o równaniach

y = -3x + \dfrac{1}{3}

oraz

y = \dfrac{1}{3}x - 3

przecinają się w punkcie

P = (x_0, y_0)

. Wynika stąd, że

A. $x_0 > 0$ i $y_0 > 0$
B. $x_0 > 0$ i $y_0 < 0$
C. $x_0 < 0$ i $y_0 > 0$
D. $x_0 < 0$ i $y_0 < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Punkt przecięcia to jedyny punkt, który leży na obu prostych — jego współrzędne spełniają oba równania naraz. Skoro obie proste są zapisane jako $y = \ldots$ , wystarczy przyrównać prawe strony:
$-\textcolor{#16A06A}{3}x + \textcolor{#16A06A}{\tfrac13} = \textcolor{#16A06A}{\tfrac13}x - \textcolor{#16A06A}{3}$
Zbieramy iksy po jednej stronie, liczby po drugiej:
$\textcolor{#16A06A}{\tfrac13} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{\tfrac13}x + \textcolor{#16A06A}{3}x$
$\textcolor{#E0453A}{\tfrac{10}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{10}{3}}x \quad \Longrightarrow \quad x_0 = \textcolor{#E0453A}{1}$
Drugą współrzędną liczymy, wstawiając $x_0$ do dowolnego z równań. Wybieram drugie, bo rachunek jest krótszy:
$y_0 = \textcolor{#16A06A}{\tfrac13} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac83}$
Odpowiedź: $x_0 = 1$ jest dodatnie, $y_0 = -\tfrac83$ jest ujemne, czyli B.
Kontrola w pierwszym równaniu, którego do wyznaczenia $y_0$ nie użyłem: $-3 \cdot 1 + \tfrac13 = -3 + \tfrac13 = -\tfrac83$ ✓

💡 Wskazówka: Zadanie pyta wyłącznie o znaki, nie o wartości — ale i tak najszybciej jest policzyć punkt. Szukanie skrótu „na oko” wymaga wyobrażenia sobie dwóch prostych, a to trwa dłużej niż jedno równanie z jedną niewiadomą.

⚠ Poprzestanie na pierwszej współrzędnej. Po wyliczeniu $x_0 = 1$ łatwo spojrzeć na $+\tfrac13$ we wzorze pierwszej prostej i uznać, że $y_0$ też jest dodatnie — to prowadzi do odpowiedzi A. Drugi dystraktor to znak przy przenoszeniu: kto zapisze $\tfrac13 - 3 = \tfrac13 x + 3x$ , dostanie $x_0 = -\tfrac{4}{5}$ , czyli liczbę ujemną, i wybierze C albo D.

Zadanie 2 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Boki trójkąta

ABC

są zawarte w prostych o równaniach

y = \dfrac{2}{3}x + 2

y = -x + 2

oraz w osi

Ox

układu współrzędnych (zobacz rysunek). Pole trójkąta

ABC

jest równe

A. $10$
B. $\dfrac{5}{2}$
C. $5$
D. $\dfrac{3}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Jeden bok trójkąta leży na osi $Ox$ — to go weźmiemy za podstawę, bo jego długość i wysokość na niego opuszczoną odczyta się najprościej. Najpierw trzeba jednak znaleźć trzy wierzchołki.
Wierzchołki $A$ i $B$ leżą na osi $Ox$ , czyli mają drugą współrzędną równą zero. Podstawiamy $y = 0$ do każdego z równań.
Pierwsza prosta: $\textcolor{#16A06A}{\tfrac23}x + \textcolor{#16A06A}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ \textcolor{#16A06A}{\tfrac23}x = \textcolor{#16A06A}{-2} \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{-3}$ , czyli $A = (\textcolor{#E0453A}{-3},\, 0)$
Druga prosta: $-x + \textcolor{#16A06A}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{2}$ , czyli $B = (\textcolor{#E0453A}{2},\, 0)$
Wierzchołek $C$ to punkt wspólny obu prostych — przyrównujemy prawe strony:
$\textcolor{#16A06A}{\tfrac23}x + \textcolor{#16A06A}{2} = -x + \textcolor{#16A06A}{2} \ \Longrightarrow \ \textcolor{#16A06A}{\tfrac23}x + x = 0 \ \Longrightarrow \ \textcolor{#E0453A}{\tfrac53}x = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{0}$
Dla $x = 0$ obie proste dają $y = \textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $C = (0,\, \textcolor{#E0453A}{2})$ .
Podstawa $AB$ leży na osi $Ox$ , więc jej długość to odległość między $-3$ i $2$ na tej osi:
$|AB| = \textcolor{#E0453A}{2} - (\textcolor{#E0453A}{-3}) = \textcolor{#E0453A}{5}$
Wysokość opuszczona na $AB$ to odległość punktu $C$ od osi $Ox$ , czyli druga współrzędna $C$ : $h = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
$P = \tfrac12 \cdot |AB| \cdot h = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 5$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Oba równania mają ten sam wyraz wolny $2$ — i to nie przypadek, tylko konstrukcja zadania. Znaczy, że obie proste przecinają oś $Oy$ w tym samym punkcie, więc wierzchołek $C$ leży na osi $Oy$ , a jego druga współrzędna to od razu wysokość trójkąta. Wysokości nie trzeba liczyć — wystarczy zobaczyć te dwie dwójki.

⚠ Odpowiedź $10$ to $5 \cdot 2$ , czyli pole prostokąta o tej podstawie i tej wysokości — brakuje dzielenia przez $2$ . Odpowiedź $\tfrac52$ to poprawny wynik podzielony przez $2$ jeszcze raz. We wzorze $P = \tfrac12 a h$ jest dokładnie jedna połówka: nie zero i nie dwie.

Zadanie 3 (maj 2016)1 pktśrednie

Proste o równaniach

2x - 3y = 4

5x - 6y = 7

przecinają się w punkcie

P

. Stąd wynika, że

A. $P = (1,\, 2)$
B. $P = (-1,\, 2)$
C. $P = (-1,\, -2)$
D. $P = (1,\, -2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Równania są w postaci ogólnej, więc nie ma czego przyrównywać — szukamy punktu wspólnego, czyli rozwiązujemy układ. Przy współczynnikach $-3$ i $-6$ przy $y$ najkrótsza jest metoda przeciwnych współczynników.
Mnożymy pierwsze równanie przez $2$ , żeby przy $y$ było w obu to samo:
$2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{2}x - \textcolor{#16A06A}{3}y) = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#E0453A}{4}x - \textcolor{#E0453A}{6}y = \textcolor{#E0453A}{8}$
Odejmujemy od tego drugie równanie — składniki z $y$ się skracają:
$(\textcolor{#E0453A}{4}x - \textcolor{#E0453A}{6}y) - (\textcolor{#16A06A}{5}x - \textcolor{#16A06A}{6}y) = \textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#16A06A}{7}$
$-x = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Wstawiamy do pierwszego równania:
$\textcolor{#16A06A}{2} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1}) - \textcolor{#16A06A}{3}y = \textcolor{#16A06A}{4} \ \Longrightarrow \ -\textcolor{#16A06A}{3}y = \textcolor{#E0453A}{6} \ \Longrightarrow \ y = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Odpowiedź: $P = (-1, -2)$ , czyli C.
Kontrola w drugim równaniu, którego do wyznaczenia $y$ nie użyłem: $5 \cdot (-1) - 6 \cdot (-2) = -5 + 12 = 7$ ✓

💡 Wskazówka: Tu opłaca się pójść od tyłu. Cztery odpowiedzi to cztery konkretne punkty, więc zamiast rozwiązywać układ, można sprawdzać, który z nich spełnia oba równania. Punkt $(1, 2)$ w pierwszym: $2 - 6 = -4 \ne 4$ — odpada natychmiast. Dwa–trzy takie podstawienia i zostaje jedna odpowiedź.

⚠ Znaki na końcu rachunku. Z $-x = 1$ wynika $x = -1$ , a nie $x = 1$ ; z $-3y = 6$ wynika $y = -2$ , a nie $y = 2$ . Wszystkie trzy błędne odpowiedzi to ten sam punkt z przekręconym jednym albo dwoma znakami — na tym całe zadanie jest zbudowane, więc po wyliczeniu warto zrobić kontrolę podstawieniem.

Zadanie 4 (sierpień 2015)1 pktłatwe

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty

A = (-4,\, 3)

oraz

B = (8,\, 7)

, jest równy

A. $a = 3$
B. $a = -1$
C. $a = \dfrac{5}{6}$
D. $a = \dfrac{1}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Współczynnik kierunkowy mówi, o ile zmienia się $y$ , gdy $x$ rośnie o jeden. Liczy się go jako iloraz przyrostów:
$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Podstawiamy współrzędne z treści:
$a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} - \textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8} - (\textcolor{#16A06A}{-4})} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13}$
Odpowiedź: D.
Wynik zgadza się z rysunkiem: prosta rośnie, więc $a > 0$ , i rośnie łagodnie — na $12$ kratek w prawo idzie tylko $4$ w górę, czyli znacznie mniej niż jedną kratkę na jedną.

💡 Wskazówka: Kolejność punktów w tym wzorze nie ma znaczenia, byle w liczniku i w mianowniku była ta sama. Licząc „od $A$ do $B$ ” dostaniemy $\tfrac{4}{12}$ , licząc „od $B$ do $A$ ” — $\tfrac{-4}{-12}$ . To ta sama liczba.

⚠ Odejmowanie liczby ujemnej. W mianowniku jest $8 - (-4) = 12$ , a nie $8 - 4 = 4$ ; ten drugi rachunek daje $\tfrac44 = 1$ . Pozostałe dystraktory są policzone równie precyzyjnie pod konkretne pomyłki: $\tfrac{7 + 3}{8 + 4} = \tfrac{10}{12} = \tfrac56$ to dodawanie zamiast odejmowania w liczniku (odpowiedź C), a $\tfrac{12}{4} = 3$ to przyrosty podzielone odwrotnie (odpowiedź A).

Zadanie 5 (czerwiec 2015)1 pktłatwe

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu

y = ax + b

przechodzącej przez punkty

(0,\, -2)

(6,\, 2)

. Wtedy

A. $a = \dfrac{2}{3}$ , $b = -2$
B. $a = 3$ , $b = -2$
C. $a = \dfrac{3}{2}$ , $b = 2$
D. $a = -3$ , $b = 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wyraz wolny $b$ odczytuje się bez rachunku. To druga współrzędna punktu, w którym prosta przecina oś $Oy$ — a ten punkt jest podany w treści: $(\textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{-2})$ . Zatem $b = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Współczynnik kierunkowy $a$ to iloraz przyrostów między dwoma punktami prostej:
$a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2} - (\textcolor{#16A06A}{-2})}{\textcolor{#16A06A}{6} - \textcolor{#16A06A}{0}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac23}$
Odpowiedź: A.
Kontrola na rysunku: prosta rośnie, więc $a > 0$ — to wyklucza D. Przecina oś $Oy$ poniżej zera, więc $b < 0$ — to wyklucza C i D.

💡 Wskazówka: Znaki obu współczynników widać na rysunku, zanim cokolwiek policzymy: prosta rośnie ( $a > 0$ ) i przecina oś $Oy$ pod zerem ( $b < 0$ ). Zostają A i B, a te różnią się już tylko wartością $a$ — wystarczy zauważyć, że na $6$ kratek w prawo prosta idzie $4$ w górę, czyli mniej niż jedną na jedną. To wyklucza $a = 3$ .

⚠ Podzielenie przyrostów odwrotnie: $\tfrac{6}{4} = \tfrac32$ — dokładnie tę wartość podstawiono w odpowiedzi C. Tam też $b$ zostało przepisane bez minusa. Punkt $(0, -2)$ leży poniżej początku układu, więc wyraz wolny musi być ujemny; jeśli w odpowiedzi jest $b = 2$ , można ją odrzucić bez liczenia $a$ .

Zadanie 6 (maj 2015)1 pktśrednie

Układ równań

\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + 0{,}5y = 4 \end{cases}

opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Każde z tych równań opisuje prostą, a układ — ich część wspólną. Dwie proste na płaszczyźnie mogą leżeć tylko na trzy sposoby: przecinać się w jednym punkcie, być równoległe i rozłączne (brak punktów wspólnych), albo pokrywać się (nieskończenie wiele punktów).
Rozstrzyga o tym porównanie współczynników kierunkowych, więc przekształcamy oba równania do postaci $y = ax + b$ .
Pierwsze: $\textcolor{#16A06A}{x} - y = \textcolor{#16A06A}{3} \ \Longrightarrow \ y = \textcolor{#E0453A}{x - 3}$ , czyli $a_1 = \textcolor{#E0453A}{1}$
Drugie: $\textcolor{#16A06A}{2}x + \textcolor{#16A06A}{0{,}5}y = \textcolor{#16A06A}{4} \ \Longrightarrow \ \textcolor{#16A06A}{0{,}5}y = \textcolor{#16A06A}{-2}x + \textcolor{#16A06A}{4}$
Dzielimy przez $0{,}5$ , czyli mnożymy przez $2$ :
$y = \textcolor{#E0453A}{-4x + 8}$ , czyli $a_2 = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Współczynniki kierunkowe są różne ( $\textcolor{#E0453A}{1} \ne \textcolor{#E0453A}{-4}$ ), więc proste nie są równoległe — przecinają się, i to dokładnie w jednym punkcie.
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Tego układu nie trzeba rozwiązywać. Pytanie nie brzmi „jaki to punkt”, tylko „ile ich jest”, a o tym decyduje wyłącznie porównanie $a_1$ i $a_2$ : różne współczynniki kierunkowe to zawsze dokładnie jeden punkt wspólny. Wyrazy wolne trzeba porównywać dopiero wtedy, gdy $a_1 = a_2$ — wówczas równe $b$ znaczy „proste się pokrywają”, a różne „nie mają punktów wspólnych”.

⚠ Odpowiedź „dokładnie dwa różne punkty” jest niemożliwa dla dwóch prostych — dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Warto to wiedzieć, bo skreśla jedną odpowiedź przed jakimkolwiek rachunkiem. Pułapka rachunkowa siedzi w $0{,}5y$ : dzielenie przez $0{,}5$ to mnożenie przez $2$ , więc z $0{,}5y = -2x + 4$ wychodzi $y = -4x + 8$ , a nie $y = -x + 2$ . W tym zadaniu pomyłka nie zmienia odpowiedzi (oba warianty dają $a_2 \ne 1$ ), ale w zadaniu o współrzędne punktu przecięcia zmieniłaby wszystko.

Zadanie 7 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie.

A. $x - 2y - 4 = 0$
B. $x + 2y + 4 = 0$
C. $x - 2y + 4 = 0$
D. $x + 2y - 4 = 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Z wykresu odczytujemy dwa punkty prostej — najwygodniej te leżące na osiach, bo mają zero na jednym miejscu: $(\textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{2})$ i $(\textcolor{#16A06A}{4}, \textcolor{#16A06A}{0})$ .
Wyraz wolny to druga współrzędna punktu na osi $Oy$ : $b = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Współczynnik kierunkowy — iloraz przyrostów:
$a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{0} - \textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{0}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-2}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}$
Prosta ma więc równanie $y = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}x + \textcolor{#16A06A}{2}$ . Odpowiedzi są jednak podane w postaci ogólnej, więc trzeba je przekształcić: mnożymy obie strony przez $2$ i przenosimy wszystko na jedną stronę.
$2y = \textcolor{#E0453A}{-x} + \textcolor{#E0453A}{4} \quad \Longrightarrow \quad x + 2y - 4 = 0$
Odpowiedź: D.
Kontrola przez podstawienie oba odczytane punkty: dla $(0, 2)$ mamy $0 + 4 - 4 = 0$ ✓, dla $(4, 0)$ mamy $4 + 0 - 4 = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedzi są w postaci ogólnej, najszybsza jest metoda podstawiania — bez wyznaczania wzoru. Punkt $(0, 2)$ wstawiony do wszystkich czterech: A daje $-8$ , B daje $8$ , C daje $0$ ✓, D daje $0$ ✓. Zostają dwie, a punkt $(4, 0)$ rozstrzyga: C daje $8$ , D daje $0$ ✓.

⚠ Przepisanie znaków wprost z postaci kierunkowej. Prosta maleje, więc kusi odpowiedź z minusem przy jednej ze zmiennych — a w poprawnej postaci ogólnej $x + 2y - 4 = 0$ przy $x$ i przy $y$ stoi ten sam znak. Bierze się to stąd, że przy przejściu z $y = -\tfrac12 x + 2$ do postaci ogólnej składnik $-\tfrac12 x$ przechodzi na drugą stronę i minus znika. Drugi dystraktor pilnuje wyrazu wolnego: prosta przecina oś $Oy$ nad zerem, więc po przekształceniu liczba na końcu musi być ujemna — odpowiedź B z $+4$ opisuje prostą przechodzącą przez $(0, -2)$ .

Zadanie 8 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba

2

, a punkt przecięcia wykresu funkcji

f

z osią

Oy

kartezjańskiego układu współrzędnych

(x, y)

ma współrzędne

(0, 4)

(zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji $f$ , jest równy $(-2)$ .	P	F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ oraz wykresem funkcji $f$ jest równe $8$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Treść daje dwa punkty prostej, choć nie mówi tego wprost: miejsce zerowe $2$ to punkt $(\textcolor{#16A06A}{2}, 0)$ , a przecięcie z osią $Oy$ to punkt $(0, \textcolor{#16A06A}{4})$ . Dwa punkty wystarczą do obu zdań.
Zdanie 1 — współczynnik kierunkowy. Iloraz przyrostów między tymi punktami:
$a = \dfrac{0 - \textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#16A06A}{2} - 0} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-4}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ ✓ P
Zdanie 2 — pole trójkąta. Trójkąt ograniczony obiema osiami i wykresem jest prostokątny, bo osie są do siebie prostopadłe. Jego przyprostokątne leżą na osiach, a ich długości to odległości punktów przecięcia od początku układu: $\textcolor{#16A06A}{2}$ na osi $Ox$ i $\textcolor{#16A06A}{4}$ na osi $Oy$ .
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Pole jest równe $4$ , a nie $8$ ✗ F
Odpowiedź: P, F.

💡 Wskazówka: Warto zapamiętać osobno wzór na ten trójkąt: prosta $y = ax + b$ odcina z narożnika układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu $\tfrac12 \cdot |x_0| \cdot |b|$ , gdzie $x_0$ jest miejscem zerowym. Nic więcej nie trzeba liczyć — obie liczby są w treści.

⚠ Liczba $8$ w drugim zdaniu jest podana tak, żeby wyglądała na gotowy wynik: to iloczyn $2 \cdot 4$ , czyli pole prostokąta o tych samych przyprostokątnych. Trójkąt jest jego połową. Drugi typowy błąd dotyczy zdania pierwszego: przyrosty policzone odwrotnie dają $\tfrac{2}{-4} = -\tfrac12$ — liczbę o poprawnym znaku, ale złej wartości, więc sam znak nie jest wystarczającą kontrolą.

Zadanie 9 (maj 2023)1 pktłatwe

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x) = ax + b

, gdzie

a

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

. Liczba

a

oraz liczba

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki:

A. $a > 0$ i $b > 0$
B. $a > 0$ i $b < 0$
C. $a < 0$ i $b > 0$
D. $a < 0$ i $b < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Nie ma tu czego liczyć — oba znaki czyta się wprost z rysunku i każdy z innego jego elementu.
Znak $a$ to kierunek. Prosta idąc w prawo schodzi w dół, czyli jest malejąca. Zatem $\textcolor{#E0453A}{a < 0}$ .
Znak $b$ to wysokość przebicia osi $Oy$ . Prosta przecina ją powyżej zera, czyli $\textcolor{#E0453A}{b > 0}$ .
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Te dwa odczyty są od siebie zupełnie niezależne i nie da się ich pomylić, jeśli zadać sobie dwa osobne pytania: „w którą stronę prosta idzie?” — to $a$ , i „w którym miejscu przebija oś pionową?” — to $b$ . Nachylenie nie mówi nic o $b$ , a wysokość przebicia nic o $a$ .

⚠ Odczytanie wyrazu wolnego z osi poziomej. Wyraz wolny $b$ to zawsze $f(0)$ , czyli przecięcie z osią $Oy$ . Ta prosta przecina oś $Ox$ na prawo od zera, więc w tym konkretnym zadaniu pomyłka daje przypadkiem poprawny znak — ale przy prostej malejącej przecinającej oś $Ox$ po lewej stronie ten sam błąd prowadzi już do złej odpowiedzi.

Zadanie 10 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

Dana jest funkcja liniowa

f

określona wzorem

f(x) = ax + b

, gdzie

a

b

są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji

f

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku. Współczynniki

a

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki

A. $a > 0$ i $b > 0$
B. $a > 0$ i $b < 0$
C. $a < 0$ i $b > 0$
D. $a < 0$ i $b < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Prosta idąc w prawo wznosi się, czyli jest rosnąca: $\textcolor{#E0453A}{a > 0}$ .
Oś $Oy$ przecina poniżej zera: $\textcolor{#E0453A}{b < 0}$ .
Odpowiedź: B.
Ten rysunek nie ma ani siatki, ani podziałki — i nie musi mieć. Zadanie pyta wyłącznie o znaki, a znak nie zależy od skali.

💡 Wskazówka: Brak podziałki na rysunku to nie brak danych, tylko wskazówka: zadanie nie wymaga żadnego rachunku. Gdyby trzeba było podać wartość $a$ , arkusz musiałby dać kratki albo współrzędne dwóch punktów.

⚠ Pomieszanie nachylenia z położeniem. Rozumowanie „prosta leży nisko, więc $a < 0$ ” jest błędne: nachylenie mówi wyłącznie o kierunku (w górę czy w dół), a nie o tym, w której części układu prosta się znajduje. Ta sama rosnąca prosta może przechodzić dowolnie wysoko albo nisko — o tym decyduje $b$ , nie $a$ .

Zadanie 11 (sierpień 2018)1 pkttrudniejsze

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi

x

y

. Wskaż ten układ.

A. $\begin{cases} y = -2x + 8 \\ y = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2} \end{cases}$
B. $\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \end{cases}$
C. $\begin{cases} y = x - 1 \\ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{cases}$
D. $\begin{cases} y = 3x - 7 \\ y = -\frac{2}{3}x + 4 \end{cases}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — znaki współczynników kierunkowych. Na rysunku jedna prosta stromo rośnie, druga łagodnie maleje. W poprawnym układzie jedno $a$ musi więc być dodatnie, a drugie ujemne.
A: $-2$ i $-\tfrac32$ — obie proste malejące, odpada. C: $1$ i $\tfrac12$ — obie rosnące, odpada.
Zostają B ( $2$ i $-\tfrac12$ ) oraz D ( $3$ i $-\tfrac23$ ).
Krok 2 — nachylenie prostej malejącej, odczytane z kratek. Prosta schodzi o $\textcolor{#16A06A}{1}$ kratkę w dół na każde $\textcolor{#16A06A}{2}$ kratki w prawo, czyli $a = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}$ . W układzie D byłoby to $-\tfrac23$ , czyli spadek o $2$ na $3$ kratki w prawo — wyraźnie stromiej.
Odpowiedź: B.
Potwierdzenie na osi $Ox$ : prosta malejąca przechodzi przez punkt $(7, 0)$ . Dla $y = -\tfrac12x + \tfrac72$ miejscem zerowym jest $\textcolor{#E0453A}{7}$ , a dla $y = -\tfrac23x + 4$ byłoby $\textcolor{#E0453A}{6}$ .

💡 Wskazówka: Zacznij od samych znaków $a$ — jedna prosta rośnie, druga maleje, więc dwa układy odpadają w kilka sekund, bez patrzenia na wyrazy wolne. Dopiero potem odczytuj wartości, i to z kratek, a nie z przecięć: nachylenie widać na całej długości prostej, a punkt przecięcia z osią może wypaść poza rysunek.

⚠ Szukanie punktu przecięcia prostych. Układy B i D mają ten sam punkt wspólny $(3, 2)$ — to nie przypadek, tylko konstrukcja zadania. Kto odczyta z rysunku punkt przecięcia i na tym poprzestanie, nie rozstrzygnie niczego. Druga pułapka: prosta rosnąca przecina oś $Oy$ w $-4$ , czyli poniżej dolnej krawędzi rysunku — tej wartości po prostu nie da się odczytać i trzeba pracować na nachyleniu.

Zadanie 12 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Prosta

l

jest nachylona do osi

Ox

pod kątem

30°

i przecina oś

Oy

w punkcie

\left(0,\, -\sqrt{3}\right)

(zobacz rysunek). Prosta

l

ma równanie

A. $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x - \sqrt{3}$
B. $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}$
C. $y = \dfrac{1}{2}x - \sqrt{3}$
D. $y = \dfrac{1}{2}x + \sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wyraz wolny bez rachunku. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0, \textcolor{#16A06A}{-\sqrt3}\right)$ , więc $b = \textcolor{#16A06A}{-\sqrt3}$ . To od razu skreśla odpowiedzi B i D, w których $b$ jest dodatnie.
Współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia prostej do osi $Ox$ :
$a = \text{tg}\,\textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}$
Dlaczego tangens? Bo idąc od dowolnego punktu prostej o $1$ w prawo i o $a$ w górę, otrzymujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $1$ i $a$ , w którym kąt przy podstawie jest właśnie kątem nachylenia. Tangens tego kąta to $\tfrac{a}{1} = a$ .
Zatem $l: \ y = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}x \textcolor{#16A06A}{- \sqrt3}$ .
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Do rozwiązania wystarczy jedna wartość z tablic: $\text{tg}\,30° = \tfrac{\sqrt3}{3}$ . Warto ją znać na pamięć razem z jej dwiema sąsiadkami, $\text{tg}\,45° = 1$ i $\text{tg}\,60° = \sqrt3$ — kąt nachylenia w zadaniach maturalnych to prawie zawsze jeden z tych trzech.

⚠ Wstawienie $\sin 30° = \tfrac12$ zamiast $\text{tg}\,30°$ — odpowiedzi C i D mają dokładnie tę wartość, więc pomyłka jest przewidziana. Współczynnik kierunkowy jest tangensem, bo powstaje jako iloraz przyrostu pionowego przez poziomy, czyli jako stosunek dwóch przyprostokątnych. Przeciwprostokątna, a więc i sinus, nie występuje w tym rachunku wcale.

Zadanie 13 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej

f

, przy czym

f(0) = -2

f(1) = 0

. Wykres funkcji

g

jest symetryczny do wykresu funkcji

f

względem początku układu współrzędnych. Funkcja

g

jest określona wzorem

A. $g(x) = 2x + 2$
B. $g(x) = 2x - 2$
C. $g(x) = -2x + 2$
D. $g(x) = -2x - 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw wzór funkcji $f$ . Treść podaje dwa jej punkty: $(0, \textcolor{#16A06A}{-2})$ i $(\textcolor{#16A06A}{1}, 0)$ .
Wyraz wolny to $f(0)$ , czyli $b = \textcolor{#16A06A}{-2}$ . Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów:
$a = \dfrac{0 - (\textcolor{#16A06A}{-2})}{\textcolor{#16A06A}{1} - 0} = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) = \textcolor{#E0453A}{2x - 2}$
Teraz symetria względem początku układu. Przekształca ona punkt $(x, y)$ na punkt $(-x, -y)$ . Punkt $(x, g(x))$ leży zatem na wykresie $g$ dokładnie wtedy, gdy punkt $(-x, -g(x))$ leży na wykresie $f$ :
$-g(x) = f(-x) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot (-x) - \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{-2x - 2}$
$g(x) = \textcolor{#E0453A}{2x + 2}$
Odpowiedź: A.
Kontrola na dwóch punktach. Punkt $(0, -2)$ z wykresu $f$ przechodzi na $(0, 2)$ — i faktycznie $g(0) = 2$ ✓. Punkt $(1, 0)$ przechodzi na $(-1, 0)$ — i faktycznie $g(-1) = -2 + 2 = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Symetria względem początku układu nie zmienia nachylenia prostej: obraz prostej jest do niej równoległy, więc $a$ zostaje takie samo, a zmienia się tylko znak wyrazu wolnego. To skraca całe zadanie do jednego spojrzenia — $f(x) = 2x - 2$ , więc $g(x) = 2x + 2$ .

⚠ Pomylenie symetrii względem punktu z symetriami względem osi. Wszystkie trzy przekształcenia są tu podstawione jako osobne odpowiedzi: odbicie w osi $Ox$ dałoby $-f(x) = -2x + 2$ (odpowiedź C), odbicie w osi $Oy$ dałoby $f(-x) = -2x - 2$ (odpowiedź D), a odpowiedź B to po prostu sama funkcja $f$ . Symetria względem początku układu to złożenie dwóch odbić w osiach — i tylko ona zachowuje znak współczynnika kierunkowego.

Zadanie 14 (maj 2014)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ.

A. $\begin{cases} y = x - 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}$
B. $\begin{cases} y = x - 1 \\ y = 2x + 4 \end{cases}$
C. $\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}$
D. $\begin{cases} y = x + 1 \\ y = 2x + 4 \end{cases}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — znaki. Na rysunku jedna prosta rośnie łagodnie, druga maleje stromo. Malejąca ma ujemny współczynnik kierunkowy, więc odpadają układy B i D, w których oba współczynniki są dodatnie ( $1$ i $2$ ).
Zostają A i C. Różnią się tylko wyrazem wolnym prostej rosnącej: $-1$ albo $+1$ .
Krok 2 — przecięcie z osią $Oy$ . Prosta rosnąca przebija oś $Oy$ powyżej zera, więc jej wyraz wolny jest dodatni: $y = x \textcolor{#16A06A}{+ 1}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola przez punkt przecięcia: $x + 1 = -2x + 4 \ \Longrightarrow \ \textcolor{#E0453A}{3}x = \textcolor{#E0453A}{3} \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{1}$ , więc $y = \textcolor{#E0453A}{2}$ . Punkt $(1, 2)$ zgadza się z tym, co widać na rysunku.

💡 Wskazówka: Na całe zadanie wystarczą trzy odczyty z rysunku i każdy zabiera sekundę: czy prosta rośnie (znak $a$ ), jak stromo (wartość $a$ ), gdzie przebija oś pionową (wartość $b$ ). Liczenie punktu przecięcia zostawia się na koniec — i tylko wtedy, gdy dwa układy wyjdą nierozróżnialne.

⚠ Sprawdzenie samych nachyleń. Układy A i C mają identyczną prostą malejącą i takie samo nachylenie prostej rosnącej — różnią się wyłącznie tym, czy rosnąca przecina oś $Oy$ w $1$ , czy w $-1$ . Kto porówna tylko współczynniki kierunkowe, zostanie z dwiema odpowiedziami i wybierze na chybił trafił.

Zadanie 15 (maj 2013)1 pktłatwe

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej

y = ax + b

. Jakie znaki mają współczynniki

a

b

A. $a < 0$ i $b < 0$
B. $a < 0$ i $b > 0$
C. $a > 0$ i $b < 0$
D. $a > 0$ i $b > 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Prosta idąc w prawo schodzi w dół, czyli maleje: $\textcolor{#E0453A}{a < 0}$ .
Oś $Oy$ przecina poniżej zera: $\textcolor{#E0453A}{b < 0}$ .
Odpowiedź: A.
To dokładnie to samo pytanie co w zadaniach 9 i 10 tego zestawu, tylko z inną parą znaków. Warto rozwiązać wszystkie trzy jedno po drugim — wtedy widać, że schemat jest zawsze ten sam i że różni je wyłącznie rysunek.

💡 Wskazówka: Wszystkie cztery odpowiedzi to cztery możliwe kombinacje dwóch znaków, więc zadanie sprawdza wyłącznie dwa niezależne odczyty. Nie ma tu żadnego rachunku ani pułapki poza pomyleniem osi.

⚠ Odczytanie $b$ z osi poziomej. Ta prosta przecina oś $Ox$ na lewo od zera, więc wzięcie tej wartości za $b$ też daje liczbę ujemną i odpowiedź wyjdzie przypadkiem poprawna. Dlatego to zadanie błędu nie wykryje — ale wykryje go pierwsze zadanie, w którym oba przecięcia mają różne znaki. Wyraz wolny $b$ to zawsze $f(0)$ , czyli przecięcie z osią pionową.

Zadanie 16 (sierpień 2010)1 pktśrednie

Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej

y = ax + b

takiej, że

a > 0

b < 0

A. rysunek A
B. rysunek B
C. rysunek C
D. rysunek D

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

To zadanie odwrotne do dwóch poprzednich: tam ze rysunku czytaliśmy znaki, tu ze znaków wybieramy rysunek. Warunki tłumaczymy na dwie cechy obrazka.
$\textcolor{#16A06A}{a > 0}$ znaczy: prosta rośnie. To odrzuca panele B i D, w których prosta maleje.
$\textcolor{#16A06A}{b < 0}$ znaczy: prosta przecina oś $Oy$ poniżej zera. Zostały panele A i C — w A prosta przebija oś $Oy$ nad zerem, w C pod zerem.
Odpowiedź: C.
Wygodna kontrola bez patrzenia na oś $Oy$ : przy $a > 0$ i $b < 0$ miejsce zerowe $x_0 = -\tfrac{b}{a}$ jest dodatnie, czyli prosta musi przecinać oś $Ox$ na prawo od zera. W panelu C tak jest, w panelu A — nie.

💡 Wskazówka: Cztery panele to cztery możliwe kombinacje znaków, każda dokładnie raz — więc każdy z dwóch warunków odrzuca dokładnie połowę odpowiedzi. Sprawdzaj je po kolei, a nie oba naraz: najpierw „które rosną?”, potem „która z tych dwóch schodzi pod zero na osi $Oy$ ?”.

⚠ Wybór panelu, w którym prosta przecina oś $Ox$ po lewej stronie, bo „ $b$ jest ujemne, więc coś musi być na lewo”. Przy $a > 0$ jest dokładnie odwrotnie: ujemny wyraz wolny przesuwa prostą w dół, a rosnąca prosta przesunięta w dół przecina oś $Ox$ dalej w prawo. Kto myli te dwa przecięcia, w tym zadaniu wybierze panel A.

Zadanie 17 (maj 2011)1 pkttrudniejsze

Układ równań

\begin{cases} 4x + 2y = 10 \\ 6x + ay = 15 \end{cases}

ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

A. $a = -1$
B. $a = 0$
C. $a = 2$
D. $a = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Każde z równań opisuje prostą. Rozwiązań jest nieskończenie wiele dokładnie wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą — bo wtedy każdy punkt tej prostej spełnia oba naraz.
Zamiast przekształcać oba równania do postaci $y = ax + b$ , wystarczy zauważyć, że drugie równanie ma po prawej stronie $\textcolor{#16A06A}{15}$ , czyli półtora raza więcej niż pierwsze:
$\textcolor{#16A06A}{15} : \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac32}$
Jeśli równania mają opisywać tę samą prostą, to całe pierwsze równanie pomnożone przez $\tfrac32$ musi dać drugie. Mnożymy:
$\tfrac32 \cdot (\textcolor{#16A06A}{4}x + \textcolor{#16A06A}{2}y = \textcolor{#16A06A}{10}) \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{6}x + \textcolor{#E0453A}{3}y = \textcolor{#E0453A}{15}$
Porównujemy z drugim równaniem $\textcolor{#16A06A}{6}x + a y = \textcolor{#16A06A}{15}$ . Współczynniki przy $x$ i liczby po prawej stronie już się zgadzają, więc zostaje:
$a = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: D.
Kontrola: dla $a = 3$ drugie równanie to $6x + 3y = 15$ , a po podzieleniu przez $\tfrac32$ wraca dokładnie $4x + 2y = 10$ ✓ — to jedno i to samo równanie zapisane inaczej.

💡 Wskazówka: Przy tego typu pytaniu najszybsza droga to poszukać mnożnika. Sprawdź, ile razy większa jest jedna prawa strona od drugiej ( $15 : 10 = \tfrac32$ ), a potem tym samym mnożnikiem przelicz współczynniki. Jeśli wszystkie trzy liczby zgodzą się przy jednym mnożniku — proste się pokrywają. Jeśli zgodzą się dwie, a trzecia nie — proste są równoległe i rozłączne, czyli układ nie ma rozwiązań.

⚠ Przepisanie współczynnika $2$ z pierwszego równania wprost do drugiego, czyli $a = 2$ — odpowiedź C. To pominięcie mnożnika: skoro całe drugie równanie jest $\tfrac32$ raza większe, to przy $y$ musi stać $\tfrac32 \cdot 2 = 3$ , a nie $2$ . Sprawdźmy, co daje $a = 2$ : drugie równanie to wtedy $6x + 2y = 15$ , czyli $y = -3x + 7{,}5$ , podczas gdy pierwsze to $y = -2x + 5$ . Nachylenia są różne, więc proste przecinają się w jednym punkcie — układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a nie nieskończenie wiele. Warto przy okazji sprawdzić samemu rzecz, o którą zadanie nie pyta: w tym układzie żadna wartość $a$ nie daje braku rozwiązań. Równe nachylenia wymagają $a = 3$ , a wtedy wyrazy wolne też się zgadzają i proste od razu się pokrywają — wariant „równoległe i rozłączne” jest tu niedostępny. Czyli dla każdego $a \neq 3$ ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 22 (sierpień 2015)1 pktśrednie

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań

\begin{cases} x + 3y = -5 \\ 3x - 2y = -4 \end{cases}

Wskaż ten rysunek.

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — przepisujemy oba równania do postaci kierunkowej. Rysunek pokazuje proste, a nie równania w postaci ogólnej, więc trzeba je najpierw doprowadzić do postaci $y = ax + b$ . Dopiero wtedy widać nachylenie i miejsce przecięcia z osią $Oy$ .
Pierwsze równanie:
$\textcolor{#16A06A}{x + 3y = -5} \qquad \Longrightarrow \qquad 3y = -x - 5 \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac13} x \textcolor{#E0453A}{- \tfrac53}$
Drugie równanie:
$\textcolor{#16A06A}{3x - 2y = -4} \qquad \Longrightarrow \qquad -2y = -3x - 4 \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{\tfrac32} x + \textcolor{#E0453A}{2}$
Krok 2 — co odczytujemy z tych dwóch wzorów. Mamy cztery liczby i każda jest widoczna na rysunku:
• prosta pierwsza opada (współczynnik $\textcolor{#E0453A}{-\tfrac13}$ jest ujemny) i przecina oś $Oy$ poniżej zera, w punkcie $\textcolor{#E0453A}{-\tfrac53} \approx \textcolor{#E0453A}{-1{,}67}$ ,
• prosta druga rośnie stromo (współczynnik $\textcolor{#E0453A}{\tfrac32}$ ) i przecina oś $Oy$ w punkcie $\textcolor{#E0453A}{2}$ .
Krok 3 — eliminujemy rysunki jednym warunkiem naraz. Nie trzeba porównywać wszystkiego ze wszystkim; wystarczy iść po jednej cesze.
Zacznijmy od znaku nachylenia prostej łagodnej. Ma ona opadać. Na rysunkach $B$ i $C$ prosta łagodna rośnie — odpadają obie.
Zostają $A$ i $D$ , na których obu prosta łagodna opada tak samo. Różnią się prostą stromą: na rysunku $A$ przecina ona oś $Oy$ w punkcie $\textcolor{#E0453A}{2}$ , a na rysunku $D$ w punkcie $\textcolor{#E0453A}{-3}$ . Z naszego wzoru wyraz wolny to $\textcolor{#E0453A}{2}$ , więc zostaje A.
Odpowiedź: rysunek A.
Kontrola przez punkt przecięcia. Rozwiążmy układ i sprawdźmy, czy proste na rysunku $A$ przecinają się właśnie tam. Z pierwszego równania $x = -3y - 5$ ; podstawiamy do drugiego:
$3(-3y - 5) - 2y = -4 \qquad \Longrightarrow \qquad -9y - 15 - 2y = -4 \qquad \Longrightarrow \qquad -11y = \textcolor{#E0453A}{11} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{-1}$
$x = -3 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1}) - 5 = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Punkt przecięcia to $(\textcolor{#E0453A}{-2}, \textcolor{#E0453A}{-1})$ — leży w trzeciej ćwiartce, blisko początku układu. Na rysunku $A$ proste przecinają się dokładnie tam ✓
Kontrola dodatkowa, tania i skuteczna: sprawdźmy miejsca zerowe. Prosta łagodna przecina oś $Ox$ tam, gdzie $-\tfrac13 x - \tfrac53 = 0$ , czyli w $x = \textcolor{#E0453A}{-5}$ ; prosta stroma tam, gdzie $\tfrac32 x + 2 = 0$ , czyli w $x = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac43} \approx \textcolor{#E0453A}{-1{,}33}$ . Obie przecinają oś $Ox$ po lewej stronie — i tak jest tylko na rysunku $A$ .

💡 Wskazówka: W zadaniach „wskaż rysunek” prawie nigdy nie trzeba analizować wszystkich czterech obrazków. Znacznie szybciej idzie eliminacja po jednej cesze naraz, a najtańszą cechą jest znak współczynnika kierunkowego: prosta rośnie czy opada. Tutaj jedno spojrzenie na znak $-\tfrac13$ wyrzuca połowę odpowiedzi. Dopiero potem porównuje się wyraz wolny, czyli punkt przecięcia z osią $Oy$ — i to zwykle wystarcza. Warunek konieczny na start: zamień oba równania na postać kierunkową; w postaci ogólnej $Ax + By = C$ nachylenia nie widać, a próba czytania go wprost („przy $x$ stoi $1$ , więc prosta rośnie”) prowadzi na manowce.

⚠ Odczytanie nachylenia wprost ze współczynników postaci ogólnej. W równaniu $x + 3y = -5$ przy $x$ stoi $+1$ , co kusi, by uznać prostą za rosnącą — a ona opada, bo po przeniesieniu na drugą stronę współczynnik zmienia znak i dzieli się przez $3$ . To właśnie ten błąd prowadzi do rysunków $B$ i $C$ . Drugi błąd: pomylenie znaku przy dzieleniu przez $-2$ w drugim równaniu i otrzymanie $y = -\tfrac32 x - 2$ — wtedy obie proste opadają i żaden rysunek nie pasuje, co bywa mylące, bo sugeruje błąd w odczycie rysunku zamiast w rachunku. Trzeci błąd: wybór rysunku $D$ , czyli sprawdzenie samego nachylenia obu prostych bez porównania wyrazów wolnych; na $D$ nachylenia są poprawne, ale prosta stroma przecina oś $Oy$ w $-3$ zamiast w $2$ . Czwarty: policzenie punktu przecięcia $(-2, -1)$ i szukanie rysunku, na którym proste przecinają się „gdzieś w trzeciej ćwiartce” — na $A$ i $D$ wygląda to podobnie, więc sam punkt przecięcia nie rozstrzyga i trzeba wrócić do wyrazu wolnego.

Zadania otwarte

Zadanie 18 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x - 3

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

y = f(x)

jest prostą nachyloną do osi

Ox

pod kątem ostrym

\alpha

. Uzupełnij zdanie: sinus kąta

\alpha

jest równy ……… .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$

Współczynnik kierunkowy prostej to tangens jej kąta nachylenia do osi $Ox$ . Odczytujemy go wprost ze wzoru:
$\text{tg}\,\alpha = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}$
Kąt ostry o takim tangensie to $\textcolor{#E0453A}{30°}$ — jedna z trzech wartości, które warto znać na pamięć.
$\sin \textcolor{#E0453A}{30°} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$
Odpowiedź: $\sin\alpha = \tfrac12$ .
Wyraz wolny $-3$ nie ma z kątem nachylenia nic wspólnego. Przesunięcie prostej w dół nie zmienia jej kierunku, a tylko to, którędy przechodzi.

💡 Wskazówka: Jeśli nie pamiętasz, że $\text{tg}\,30° = \tfrac{\sqrt3}{3}$ , można pójść przez trójkąt i nie znać kąta wcale. Zapisz $\text{tg}\,\alpha = \tfrac{\sqrt3}{3} = \tfrac{1}{\sqrt3}$ — to znaczy, że przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $1$ i $\sqrt3$ . Przeciwprostokątna to $\sqrt{1 + 3} = 2$ , a sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną, czyli $\tfrac12$ .

⚠ Przepisanie tangensa jako odpowiedzi. Liczba $\tfrac{\sqrt3}{3}$ jest we wzorze i kusi, ale to $\text{tg}\,\alpha$ , a pytanie dotyczy $\sin\alpha$ . Drugi częsty błąd: pomylenie $\tfrac{\sqrt3}{3}$ z $\tfrac{\sqrt3}{2}$ — pierwsza liczba to tangens $30°$ , druga to sinus $60°$ . Obie mają w sobie $\sqrt3$ , więc przy pośpiechu łatwo wziąć jedną za drugą.

Zadanie 19 (czerwiec 2020)2 pkttrudniejsze

Prosta

k

jest nachylona do osi

Ox

pod kątem ostrym

\alpha

takim, że

\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}

. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej

k

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a = \sqrt{2}$

Współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia, a w treści dostajemy cosinus. Trzeba więc przejść od cosinusa do tangensa — przez sinus.
Na początek warto przepisać daną w wygodniejszej postaci:
$\cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{\sqrt3}}$
Sinus z tożsamości $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ :
$\sin^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{\sqrt3}}\right)^2 = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
Kąt $\alpha$ jest ostry, więc jego sinus jest dodatni i bierzemy tylko pierwiastek dodatni:
$\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}}$
Tangens jako iloraz:
$a = \text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}} : \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = \sqrt2$
Odpowiedź: $a = \sqrt2$ .
Kontrola przybliżeniami: $\cos\alpha \approx 0{,}577$ , więc $\alpha \approx 54{,}7°$ , a $\text{tg}\,54{,}7° \approx 1{,}41 \approx \sqrt2$ ✓ Zwróć uwagę, że kąt nie jest żadną z „ładnych” wartości — dlatego droga przez tożsamość jest tu konieczna, tablic nie wystarczy.

💡 Wskazówka: Zamień $\tfrac{\sqrt3}{3}$ na $\tfrac{1}{\sqrt3}$ od razu, w pierwszym kroku. W tej postaci od razu widać dwie rzeczy: podniesienie do kwadratu daje czyste $\tfrac13$ , a dzielenie przez cosinus to zwykłe mnożenie przez $\sqrt3$ . Bez tej zamiany ten sam rachunek wymaga usuwania niewymierności z mianownika trzy razy.

⚠ Podanie $\tfrac{\sqrt3}{3}$ jako odpowiedzi, czyli wzięcie cosinusa za współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy jest tangensem — dlatego zadanie w ogóle wymaga tożsamości, a nie tylko przepisania danej. Drugi błąd jest rachunkowy: pierwiastkowanie $\tfrac23$ „bez pierwiastka”, czyli przyjęcie $\sin\alpha = \tfrac23$ . Wtedy tangens wychodzi $\tfrac23 \cdot \sqrt3 = \tfrac{2\sqrt3}{3} \approx 1{,}15$ , podczas gdy poprawnie $\sqrt2 \approx 1{,}41$ — różnicę widać już w przybliżeniu.

Zadanie 20 (informator CKE)2 pktśrednie

Naszkicuj wykres funkcji

f

określonej wzorem

f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{dla } x \leqslant 0 \\ x + 2 & \text{dla } x > 0 \end{cases}

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dwie półproste: $y = 2x + 1$ dla $x \leqslant 0$ z końcem zamkniętym w $(0,\, 1)$ oraz $y = x + 2$ dla $x > 0$ z końcem otwartym w $(0,\, 2)$

Wykres składa się z dwóch części i każdą rysujemy osobno — tylko na swoim przedziale, nie na całej osi.
Lewa część: $y = \textcolor{#16A06A}{2x + 1}$ dla $x \textcolor{#16A06A}{\leqslant 0}$ . Prosta, więc wystarczą dwa punkty. Dla $x = 0$ mamy $y = \textcolor{#E0453A}{1}$ , dla $x = -1$ mamy $y = \textcolor{#E0453A}{-1}$ . Rysujemy półprostą wychodzącą z $(0, \textcolor{#E0453A}{1})$ i biegnącą w lewo.
Warunek to $x \leqslant 0$ , czyli zero należy do przedziału — koniec zaznaczamy kropką zamalowaną.
Prawa część: $y = \textcolor{#16A06A}{x + 2}$ dla $x \textcolor{#16A06A}{> 0}$ . Dla $x = 1$ mamy $y = \textcolor{#E0453A}{3}$ , dla $x = 2$ mamy $y = \textcolor{#E0453A}{4}$ . Półprosta biegnie w prawo.
Gdyby wolno było podstawić $x = 0$ , wyszłoby $y = \textcolor{#E0453A}{2}$ — ale nie wolno, bo warunek to $x > 0$ . Punkt $(0, \textcolor{#E0453A}{2})$ nie należy do wykresu i zaznaczamy go kropką niezamalowaną.
W punkcie $x = 0$ wykres ma zatem skok: lewa część dochodzi do wysokości $1$ , prawa startuje z wysokości $2$ .
Odpowiedź: wykres poniżej.

💡 Wskazówka: Najważniejsze w tym zadaniu nie jest samo narysowanie dwóch prostych, a poprawne oznaczenie końców. Znak $\leqslant$ przy pierwszym wzorze to kropka zamalowana, znak $>$ przy drugim to kropka pusta. Za to przyznaje się punkt — sam kształt bez oznaczonych końców jest rozwiązaniem niepełnym.

⚠ Narysowanie obu prostych w całości, na całej osi. Wtedy na rysunku są dwie proste, a nie wykres funkcji — bo nad jednym argumentem znalazłyby się dwa punkty. Drugi błąd, popełniany z dobrych intencji: połączenie obu części pionowym odcinkiem w $x = 0$ , żeby wykres „był ciągły”. Nie wolno. Dla $x = 0$ funkcja ma dokładnie jedną wartość, $f(0) = 1$ , a pionowy odcinek przypisywałby jej wszystkie wartości od $1$ do $2$ naraz.

Zadanie 21 (informator CKE)2 pktłatwe

Rozwiąż układ równań

\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x - y = 3 \end{cases}

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 1$

Z drugiego równania niewiadomą $y$ wyznaczymy bez ułamków, więc od niego zaczynamy — metoda podstawiania będzie najkrótsza.
$\textcolor{#16A06A}{2}x - y = \textcolor{#16A06A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{2x - 3}$
Podstawiamy do pierwszego równania. Nawias jest tu konieczny, bo cała wyznaczona wartość jest mnożona przez $3$ :
$x + \textcolor{#16A06A}{3} \cdot (\textcolor{#E0453A}{2x - 3}) = \textcolor{#16A06A}{5}$
$x + \textcolor{#E0453A}{6}x - \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#16A06A}{5}$
$\textcolor{#E0453A}{7}x = \textcolor{#E0453A}{14} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{2}$
Wracamy do wyznaczonego $y$ :
$y = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 1$ .
Sprawdzenie w obu równaniach: $2 + 3 \cdot 1 = 5$ ✓ oraz $2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓
Geometrycznie: to dwie proste, $y = -\tfrac13 x + \tfrac53$ oraz $y = 2x - 3$ . Mają różne współczynniki kierunkowe, więc przecinają się w dokładnie jednym punkcie — i tym punktem jest $(2, 1)$ .

💡 Wskazówka: Wybieraj to równanie, z którego niewiadomą wyznaczysz bez ułamków. Tu $2x - y = 3$ daje $y = 2x - 3$ , same liczby całkowite. Wyznaczanie $y$ z pierwszego równania dałoby $y = \tfrac{5-x}{3}$ i cały dalszy rachunek na ułamkach.

⚠ Pominięcie nawiasu przy podstawianiu: $x + 3 \cdot 2x - 3 = 5$ zamiast $x + 3(2x - 3) = 5$ . Pierwsza wersja daje $7x = 8$ , czyli $x = \tfrac87$ — liczbę, która nie spełnia drugiego równania. W zadaniach otwartych nie ma odpowiedzi do porównania, więc jedyną kontrolą jest podstawienie wyniku do obu równań. Zajmuje piętnaście sekund i wyłapuje dokładnie ten błąd.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. C	4. D	5. A	6. B
7. D	8. P, F	9. C	10. B	11. B	12. A
13. A	14. C	15. A	16. C	17. D	18. $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$
19. $a = \sqrt{2}$	20. dwie półproste: $y = 2x + 1$ dla $x \leqslant 0$ z końcem zamkniętym w $(0,\, 1)$ oraz $y = x + 2$ dla $x > 0$ z końcem otwartym w $(0,\, 2)$	21. $x = 2$ , $y = 1$	22. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Funkcja liniowa — sprawdzian, liceum, klasa 1

Miejsce zerowe ze wzoru, parametr z warunku, funkcja liniowa w kontekście.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Funkcje i funkcja liniowa — test, liceum, klasa 1

Dziedzina, miejsce zerowe, monotoniczność, równanie prostej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Funkcja liniowa — kartkówka, liceum, klasa 1

Monotoniczność, miejsce zerowe, współczynnik kierunkowy.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Funkcja liniowa, matura — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: miejsce zerowe, monotoniczność, wzór prostej, proste równoległe i prostopadłe, parametr.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Ile punktów trzeba, żeby narysować wykres funkcji liniowej?

Dwa. Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. W praktyce warto wyznaczyć trzeci i sprawdzić, czy leży na tej samej linii — jeśli nie, gdzieś jest błąd rachunkowy.

Co oznacza

a = 0

Funkcja jest stała, a jej wykresem jest prosta pozioma $y = b$ . Formalnie nadal jest to funkcja liniowa, ale bywa nazywana stałą. Nie ma wtedy miejsca zerowego, chyba że $b = 0$ — wówczas cała prosta leży na osi $Ox$ .

Jak sprawdzić, czy punkt leży na prostej?

Wstawić jego współrzędne do wzoru. Jeśli po podstawieniu otrzymamy prawdziwą równość, punkt leży na prostej; jeśli fałszywą — leży poza nią. To ta sama czynność co kontrola wzoru drugim punktem.

Czym różni się współczynnik kierunkowy od kąta nachylenia?

Współczynnik $a$ jest tangensem kąta nachylenia, więc oba opisują to samo, ale w innych jednostkach. Kąt $45°$ odpowiada $a = 1$ , a kąt rozwarty — ujemnemu $a$ .

Dlaczego wykres funkcji kwadratowej wygląda zupełnie inaczej?

Bo obecność $x^2$ sprawia, że nachylenie zmienia się z punktu na punkt — nie da się go opisać jedną liczbą. Dlatego parabolę czyta się przez wierzchołek i kierunek ramion, co opisuję na stronie o funkcji kwadratowej.

Czytaj dalej

Układ współrzędnychWspółrzędne punktu, osie i ćwiartki — od tego zaczyna się każdy odczyt z wykresu.Funkcja kwadratowaDruga funkcja z tego działu: tam nachylenie zmienia się w każdym punkcie, więc czyta się ją inaczej.TrygonometriaTangens, czyli to, czym w istocie jest współczynnik kierunkowy prostej.Wykres funkcji — jak go czytać i rozpoznawaćCzym jest wykres funkcji, jak sprawdzić czy punkt do niego należy, jak…Styczna do wykresu funkcjiRównanie stycznej z pochodnej, styczna równoległa do danej prostej i…Prosta równoległa i prostopadła przechodząca przez dany punktJak wyznaczyć równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej i…Wzór funkcji liniowejWyznaczanie wzoru z punktów.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Wykres funkcji liniowej

1Dwie liczby, które opisują całą prostą

2Odczyt z rysunku — kolejność, która nie zawodzi

3Miejsce zerowe, czyli przecięcie z osią X

4Proste równoległe i prostopadłe — cała różnica siedzi w aaa

5Punkt przecięcia dwóch prostych

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — prosta w układzie współrzędnych, wykres funkcji liniowej

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Zadanie 2 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 3 (maj 2016)1 pktśrednie

Zadanie 4 (sierpień 2015)1 pktłatwe

Zadanie 5 (czerwiec 2015)1 pktłatwe

Zadanie 6 (maj 2015)1 pktśrednie

Zadanie 7 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Zadanie 8 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Zadanie 9 (maj 2023)1 pktłatwe

Zadanie 10 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

Zadanie 11 (sierpień 2018)1 pkttrudniejsze

Zadanie 12 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Zadanie 13 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze

Zadanie 14 (maj 2014)1 pktśrednie

Zadanie 15 (maj 2013)1 pktłatwe

Zadanie 16 (sierpień 2010)1 pktśrednie

Zadanie 17 (maj 2011)1 pkttrudniejsze

Zadanie 22 (sierpień 2015)1 pktśrednie

Zadania otwarte

Zadanie 18 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Zadanie 19 (czerwiec 2020)2 pkttrudniejsze

Zadanie 20 (informator CKE)2 pktśrednie

Zadanie 21 (informator CKE)2 pktłatwe

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Funkcja liniowa — sprawdzian, liceum, klasa 1

Funkcje i funkcja liniowa — test, liceum, klasa 1

Funkcja liniowa — kartkówka, liceum, klasa 1

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Funkcja liniowa, matura — 11 kart pracy PDF z kluczem

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

4Proste równoległe i prostopadłe — cała różnica siedzi w $a$