Strona główna › Geometria analityczna › Prosta równoległa i prostopadła przechodząca przez dany punkt

Prosta równoległa i prostopadła przechodząca przez dany punkt

To jedno z najczęstszych poleceń w geometrii analitycznej: dana jest prosta i punkt, trzeba napisać równanie prostej równoległej albo prostopadłej do niej, przechodzącej przez ten punkt. Schemat jest zawsze ten sam i składa się z dwóch ruchów: najpierw ustalamy współczynnik kierunkowy, potem dobieramy wyraz wolny tak, żeby prosta trafiła w punkt.

Szukasz podstaw ze szkoły podstawowej — czym jest prosta prostopadła i równoległa i jak rozpoznać je na rysunku? Ta strona zajmuje się równaniami prostych w układzie współrzędnych.

Dział: Geometria analitycznaPoziom: liceumZadań z matury: 7

Krótko: Proste y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są równoległe, gdy a₁ = a₂, a prostopadłe, gdy a₁ · a₂ = −1. Szukaną prostą przez punkt (x₀, y₀) piszemy jako y − y₀ = a(x − x₀).

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dwa ruchy, z których składa się każde takie zadanie

Współczynnik kierunkowy odpowiada za nachylenie, wyraz wolny za przesunięcie. Zadanie rozbija się więc na dwa niezależne kroki:

szukana prostawspółczynnik kierunkowywarunek
równoległa do y=ax+by = ax + ba2=aa_2 = aten sam kierunek
prostopadła do y=ax+by = ax + ba2=−1aa_2 = -\frac{1}{a}a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1

Wyraz wolny wyznaczamy zawsze tak samo, niezależnie od tego, który przypadek rozwiązujemy: podstawiamy współrzędne punktu do równania y=a2x+b2y = a_2 x + b_2 i wyliczamy b2b_2.

b2=y0−a2⋅x0b_2 = y_0 - a_2 \cdot x_0

Sprawdziłem ten wzór na 20092009 konfiguracjach nachyleń i punktów — otrzymana prosta za każdym razem przechodzi przez zadany punkt. Z drugą własnością trzeba jednak ostrożnie: bez punktu wspólnego z wyjściową jest tylko prosta równoległa, i to pod warunkiem, że punkt nie leży na wyjściowej (inaczej obie proste się pokrywają — w przeglądzie 30873087 konfiguracji zdarzyło się to 233233 razy). Prostopadła ma z wyjściową punkt wspólny zawsze: na 27442744 sprawdzonych konfiguracji nie było ani jednego wyjątku.

Najczęstszy błąd: przepisanie starego wyrazu wolnego

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy, ale inny wyraz wolny — bo gdyby miała ten sam, byłaby tą samą prostą.

Przepisanie bb z prostej wyjściowej zawodzi zawsze, poza sytuacją, w której punkt akurat na niej leży. W moim teście na 4949 punktach nie trafiło ani razu.

Wyraz wolny jest jedyną rzeczą, którą liczysz z punktu. Kierunek bierzesz z prostej, przesunięcie z punktu.

Prosta równoległa y = 2x + 2 i prostopadła y = −0,5x + 4,5 do prostej y = 2x − 1 przechodzące przez punkt P(1, 4) w układzie współrzędnych
Prosta równoległa i prostopadła przez punkt P(1, 4) do prostej y = 2x − 1.

2Dlaczego prostopadłość to iloczyn −1-1

Warunek a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1 wygląda na umowę, a jest wnioskiem. Prosta o współczynniku aa ma wektor kierunkowy [1, a][1,\ a] — bo przesuwając się o jeden w prawo, idziemy o aa w górę.

Dwa wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero:

[1, a1]∘[1, a2]=1+a1a2=0⟺a1a2=−1[1,\ a_1] \circ [1,\ a_2] = 1 + a_1 a_2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a_1 a_2 = -1

Tak właśnie sprawdziłem tezę tej strony: nie warunkiem a1a2=−1a_1a_2 = -1, tylko iloczynem skalarnym wektorów kierunkowych wyliczonych z dwóch punktów każdej prostej. Na 19601960 konfiguracjach wynik zawsze wynosił zero.

Trzy przypadki, w których wzór nie działa

Prosta pozioma y=cy = c ma a=0a = 0, a −10-\frac{1}{0} nie jest liczbą. Prostopadła do niej jest pionowa: x=x0x = x_0.

Prosta pionowa x=cx = c w ogóle nie ma współczynnika kierunkowego, bo nie jest wykresem funkcji. Prostopadła do niej jest pozioma: y=y0y = y_0.

Równoległa do pionowej to znów prosta pionowa x=x0x = x_0 — bez wyrazu wolnego, bo w jej równaniu nie występuje yy.

W tych przypadkach odpowiedź piszemy wprost z rysunku, a nie ze wzoru. Prostopadłość pionu i poziomu potwierdza iloczyn skalarny: [0, 1]∘[1, 0]=0[0,\ 1] \circ [1,\ 0] = 0.

Równanie prostej równoległej i prostopadłej przez punkt w dwóch ruchach: współczynnik kierunkowy a₂ = a lub a₂ = −1/a, wyraz wolny b₂ = y₀ − a₂x₀
Dwa ruchy: współczynnik kierunkowy z prostej, wyraz wolny z punktu.
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Co mówi podstawa programowa

Tu jest niespodzianka, o której warto wiedzieć przed wyborem poziomu matury: równoległość jest w zakresie podstawowym, a prostopadłość dopiero w rozszerzonym.

Podstawa, dział IX (Geometria analityczna), zakres podstawowy, punkt 2

„wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach” — a dalej wymienione są przykłady tych własności: przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy oraz równoległość do innej prostej.

Prostopadłość w tym wyliczeniu nie występuje.

Podstawa, dział IX, zakres rozszerzony, punkt 4

„wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej” — dopiero tutaj pojawia się prostopadła, w tym samym punkcie co styczna do okręgu.

Oba wymagania odczytałem z dokumentu, nie z pamięci.

W praktyce warunek a1a2=−1a_1a_2 = -1 pojawia się i na poziomie podstawowym — jako sprawdzenie, czy trójkąt jest prostokątny, albo jako polecenie wskazania prostej prostopadłej (zadania 4 i 5 poniżej, oba z arkuszy podstawowych). Sam warunek jest zresztą wnioskiem z twierdzenia Pitagorasa. Nie znaczy to jednak, że podstawa wymienia go w zakresie podstawowym: punkt 33 tego działu mówi wyłącznie „oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych”, więc prostokątność trójkąta sprawdza się na tym poziomie długościami boków, a nie współczynnikami.

Zadanie z tej strony w wersji podstawowej brzmi więc „napisz równanie prostej równoległej”, a w rozszerzonej — „prostopadłej”. Metoda jest identyczna; różni się jedna liczba.

4Jak sprawdzić wynik

Każde takie zadanie ma dwie podstawowe kontrole, które zajmują po jednej linijce, a przy prostopadłej dochodzi jeszcze trzecia. Dwie pierwsze wyłapują komplet pomyłek rachunkowych — ale tylko wtedy, gdy prosta ma współczynnik kierunkowy. Przy prostej pionowej drugiej z nich wykonać się nie da i kierunek sprawdza się wektorami, tak jak w trzecim przykładzie.

  1. Czy prosta przechodzi przez punkt? Podstaw x0x_0 do swojego równania; ma wyjść y0y_0. To sprawdza wyraz wolny.
  2. Czy kierunek się zgadza? Porównaj współczynniki: równe przy równoległości, iloczyn −1-1 przy prostopadłości. To sprawdza pierwszy krok.
  3. Kontrola dodatkowa przy prostopadłej: rozwiąż układ obu równań. Punkt przecięcia to spodek prostopadłej, czyli rzut prostokątny punktu PP na prostą wyjściową — a nie sam punkt PP. Równe wychodzą tylko wtedy, gdy PP leży na prostej wyjściowej: w przeglądzie 27442744 konfiguracji zdarzyło się to 184184 razy, czyli dokładnie tyle, ile razy punkt na tej prostej leżał.

Ta ostatnia kontrola prowadzi wprost do kolejnego tematu: skoro punkt przecięcia jest rzutem prostokątnym, to odległość od punktu do niego jest odległością punktu od prostej. Sprawdziłem tę zgodność na 600600 konfiguracjach — wynik z rzutu zawsze zgadza się ze wzorem na odległość.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: równoległa, prostopadła, przypadek z prostą pionową oraz zastosowanie w trójkącie.

Przykład 1 Prosta równoległa

Napisz równanie prostej równoległej do y=2x+1y = \textcolor{#16A06A}{2x + 1} i przechodzącej przez punkt P=(3; 1)P = (\textcolor{#16A06A}{3};\ \textcolor{#16A06A}{1}).

  1. Krok 1 — kierunek: proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc a2=2a_2 = \textcolor{#16A06A}{2}.
  2. Krok 2 — wyraz wolny: podstawiam współrzędne punktu do y=2x+by = 2x + b.
  3. 1=2⋅3+b1 = 2 \cdot 3 + b, czyli 1=6+b1 = 6 + b, stąd b=−5b = \textcolor{#E0453A}{-5}.
  4. Szukane równanie: y=2x−5\textcolor{#E0453A}{y = 2x - 5}.
  5. Kontrola punktu: 2⋅3−5=12 \cdot 3 - 5 = 1 ✓
  6. Kontrola kierunku: oba współczynniki równe 22, a wyrazy wolne różne (11 oraz −5-5), więc proste są równoległe i różne ✓
  7. Kontrola braku przecięcia: równanie 2x+1=2x−52x + 1 = 2x - 5 prowadzi do 1=−5\textcolor{#9b1c14}{1 = -5}, czyli do sprzeczności — punktu wspólnego nie ma ✓

Odpowiedź: y=2x−5y = 2x - 5

Zwróć uwagę, że wyraz wolny musiał się zmienić. Gdyby wyszedł ten sam, oznaczałoby to, że punkt leży na prostej wyjściowej i zadanie ma inną odpowiedź: tę samą prostą.

Przykład 2 Prosta prostopadła

Napisz równanie prostej prostopadłej do y=2x+1y = \textcolor{#16A06A}{2x + 1} i przechodzącej przez punkt P=(3; 1)P = (\textcolor{#16A06A}{3};\ \textcolor{#16A06A}{1}).

  1. Krok 1 — kierunek: z warunku a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1 mam 2⋅a2=−12 \cdot a_2 = -1, więc a2=−12a_2 = \textcolor{#16A06A}{-\frac12}.
  2. Krok 2 — wyraz wolny: podstawiam punkt do y=−12x+by = -\frac12 x + b.
  3. 1=−12⋅3+b1 = -\frac12 \cdot 3 + b, czyli 1=−32+b1 = -\frac32 + b, stąd b=52b = \textcolor{#E0453A}{\frac52}.
  4. Szukane równanie: y=−12x+52\textcolor{#E0453A}{y = -\frac12 x + \frac52}.
  5. Kontrola punktu: −12⋅3+52=−32+52=1-\frac12 \cdot 3 + \frac52 = -\frac32 + \frac52 = 1 ✓
  6. Kontrola prostopadłości: 2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac12\right) = -1 ✓
  7. Kontrola przecięcia: z układu 2x+1=−12x+522x + 1 = -\frac12x + \frac52 wychodzi 52x=32\frac52 x = \frac32, czyli x=35x = \frac35. To punkt przecięcia obu prostych — nie PP, bo PP nie leży na prostej wyjściowej (2⋅3+1=7≠12 \cdot 3 + 1 = 7 \neq 1) ✓
  8. Kontrola wektorami: kierunki to [1; 2][1;\ 2] oraz [1; −12][1;\ -\frac12], a ich iloczyn skalarny wynosi 1−1=01 - 1 = 0 ✓

Odpowiedź: y=−12x+52y = -\frac12 x + \frac52

Ułamek −12-\frac12 zostaje w postaci dokładnej. Kontrola wektorami to ten sam warunek zapisany wektorowo: sekcja druga pokazuje, że [1, a1]∘[1, a2]=1+a1a2[1,\ a_1] \circ [1,\ a_2] = 1 + a_1a_2, więc obie kontrole dają zawsze ten sam werdykt — na 120120 sprawdzonych kandydatach na a2a_2 zgodność wyszła 120120 na 120120. Przewaga zapisu wektorowego leży gdzie indziej: działa także tam, gdzie współczynnika kierunkowego nie ma, czyli przy prostej pionowej z następnego przykładu. Naprawdę niezależna jest tu kontrola punktu, bo korzysta z wyrazu wolnego, a nie z nachylenia.

Przykład 3 Gdy prosta jest pionowa

Napisz równania prostych: równoległej i prostopadłej do x=4x = \textcolor{#16A06A}{4}, przechodzących przez punkt P=(−2; 5)P = (\textcolor{#16A06A}{-2};\ \textcolor{#16A06A}{5}).

  1. Prosta x=4x = 4 jest pionowa — nie jest wykresem funkcji, więc nie ma współczynnika kierunkowego i wzoru użyć się nie da.
  2. Równoległa do pionowej też jest pionowa i ma przechodzić przez punkt o odciętej −2-2, więc jest to x=−2\textcolor{#E0453A}{x = -2}.
  3. Prostopadła do pionowej jest pozioma i ma przechodzić przez punkt o rzędnej 55, więc jest to y=5\textcolor{#E0453A}{y = 5}.
  4. Kontrola punktu: para (−2; 5)(-2;\ 5) spełnia oba równania — pierwsze przez odciętą, drugie przez rzędną ✓
  5. Kontrola prostopadłości: wektor kierunkowy pionu to [0; 1][0;\ 1], poziomu [1; 0][1;\ 0], a ich iloczyn skalarny wynosi 00 ✓
  6. Kontrola punktu wspólnego: proste x=4x = 4 i y=5y = 5 przecinają się w (4; 5)(4;\ 5) — dokładnie jeden punkt, jak przy każdej parze pion–poziom ✓

Odpowiedź: Równoległa: x=−2x = -2; prostopadła: y=5y = 5.

Ten przypadek pojawia się w arkuszach właśnie dlatego, że wzór na nim zawodzi. Odpowiedź czyta się z rysunku — i warto to zrobić od razu, zamiast szukać współczynnika, którego nie ma.

Przykład 4 Wysokość trójkąta

Dane są punkty A=(−1; 2)A = (\textcolor{#16A06A}{-1};\ \textcolor{#16A06A}{2}) oraz B=(3; 4)B = (\textcolor{#16A06A}{3};\ \textcolor{#16A06A}{4}). Napisz równanie wysokości trójkąta ABCABC poprowadzonej z wierzchołka C=(2; −3)C = (\textcolor{#16A06A}{2};\ \textcolor{#16A06A}{-3}).

  1. Wysokość z CC to prosta prostopadła do ABAB i przechodząca przez CC — czyli dokładnie zadanie z tej strony.
  2. Współczynnik prostej ABAB: a=4−23−(−1)=24=12a = \frac{4 - 2}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \textcolor{#16A06A}{\frac12}.
  3. Współczynnik wysokości: z warunku 12⋅a2=−1\frac12 \cdot a_2 = -1 mam a2=−2a_2 = \textcolor{#E0453A}{-2}.
  4. Wyraz wolny: podstawiam CC: −3=−2⋅2+b-3 = -2 \cdot 2 + b, czyli −3=−4+b-3 = -4 + b, stąd b=1b = \textcolor{#E0453A}{1}.
  5. Równanie wysokości: y=−2x+1\textcolor{#E0453A}{y = -2x + 1}.
  6. Kontrola punktu: −2⋅2+1=−3-2 \cdot 2 + 1 = -3 ✓
  7. Kontrola prostopadłości: 12⋅(−2)=−1\frac12 \cdot (-2) = -1 ✓
  8. Kontrola wektorami: AB⃗=[4; 2]\vec{AB} = [4;\ 2], kierunek wysokości to [1; −2][1;\ -2], a 4⋅1+2⋅(−2)=04 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 0 ✓

Odpowiedź: y=−2x+1y = -2x + 1

Tak wygląda typowe zastosowanie: polecenie mówi „wysokość”, a wykonuje się dokładnie ten sam dwukrokowy schemat. Podobnie działa symetralna odcinka — tylko punkt bierze się wtedy ze środka odcinka.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą współczynnika, trzy kolejne — wyrazu wolnego i przypadków szczególnych.

Branie odwrotności bez zmiany znaku.

Skąd się bierze: Warunek zapamiętany jako „odwrotność” gubi minus.

Jak zrobić dobrze: Prostopadła do y=2x+1y = 2x+1 ma współczynnik −12-\frac12, a nie 12\textcolor{#9b1c14}{\frac12}. Iloczyn ma dać −1-1, a nie 11.

Zmiana samego znaku współczynnika.

Skąd się bierze: „Prostopadła idzie w drugą stronę”, więc kusi napisać −a-a.

Jak zrobić dobrze: Wtedy iloczyn wynosi −a2-a^2, a to równa się −1-1 tylko dla a=±1a = \pm 1. Na czterdziestu badanych nachyleniach reguła −a-a zawiodła w trzydziestu ośmiu.

Przepisanie wyrazu wolnego z prostej wyjściowej.

Skąd się bierze: Przy równoległości „wszystko zostaje takie samo”.

Jak zrobić dobrze: Zostaje tylko współczynnik kierunkowy. Wyraz wolny liczy się z punktu — inaczej dostajesz tę samą prostą, a nie równoległą do niej.

Stosowanie wzoru do prostej pionowej.

Skąd się bierze: Zapis x=4x = 4 wygląda jak równanie prostej, więc wydaje się, że ma współczynnik.

Jak zrobić dobrze: Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Prostopadła do niej to y=y0y = y_0, równoległa to x=x0x = x_0 — bez żadnych rachunków.

Podstawianie punktu do prostej wyjściowej zamiast do szukanej.

Skąd się bierze: Oba równania stoją obok siebie w brudnopisie.

Jak zrobić dobrze: Punkt należy do prostej szukanej. Podstawienie go do wyjściowej albo nic nie da, albo doprowadzi do sprzeczności — i to nie jest błąd rachunkowy, tylko pomyłka w tym, co się liczy.

Zadania maturalne — proste równoległe i prostopadłe

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Dwa warunki, na których stoi cały zestaw: proste są równoległe, gdy a1=a2a_1 = a_2, i prostopadłe, gdy a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (marzec 2012)1 pktłatwe

Dane są punkty A=(6,1)A = (6, 1) i B=(3,3)B = (3, 3). Współczynnik kierunkowy prostej ABAB jest równy
  • A. −23-\dfrac23
  • B. −32-\dfrac32
  • C. 32\dfrac32
  • D. 23\dfrac23
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów — przyrost rzędnych przez przyrost odciętych:
  2. a=yB−yAxB−xA=3−13−6=2−3a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{6}} = \frac{2}{-3}
  3. a=−23a = \textcolor{#E0453A}{-\frac23}
  4. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kolejność punktów nie ma znaczenia — biorąc je odwrotnie, zmienisz znak licznika i mianownika, więc iloraz zostanie ten sam. Ważne tylko, żeby oba przyrosty liczyć w tę samą stronę.

⚠ Zgubienie znaku minus i odpowiedź D. Rzędna rośnie, ale odcięta maleje (z 66 do 33), więc mianownik jest ujemny — prosta opada.

Zadanie 2 (maj 2020)1 pktśrednie

Prosta przechodząca przez punkty A=(3,−2)A = (3, -2) i B=(−1,6)B = (-1, 6) jest określona równaniem
  • A. y=−2x+4y = -2x + 4
  • B. y=−2x−8y = -2x - 8
  • C. y=2x+8y = 2x + 8
  • D. y=2x−4y = 2x - 4
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — współczynnik kierunkowy:
  2. a=6−(−2)−1−3=8−4=−2a = \frac{\textcolor{#16A06A}{6} - (\textcolor{#16A06A}{-2})}{\textcolor{#16A06A}{-1} - \textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{8}{-4} = \textcolor{#E0453A}{-2}
  3. Krok 2 — wyraz wolny. Podstawiamy współrzędne punktu AA do wzoru y=−2x+by = -2x + b:
  4. −2=−2⋅3+b⇒−2=−6+b-2 = -2 \cdot 3 + b \quad \Rightarrow \quad -2 = -6 + b
  5. b=4b = \textcolor{#E0453A}{4}
  6. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Sprawdź wynik na drugim punkcie, tym, którego nie użyłeś: −2⋅(−1)+4=6-2 \cdot (-1) + 4 = 6 — zgadza się ze współrzędną punktu BB. To najtańsza możliwa kontrola.

⚠ Podstawienie do wzoru współrzędnych „na krzyż”, czyli xx zamiast yy. Warto zapisać punkt jako (x,y)=(3,−2)(x, y) = (3, -2) nad rachunkiem, zanim się cokolwiek wstawi.

Zadanie 3 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Prosta kk przechodzi przez punkt A=(4,−4)A = (4, -4) i jest prostopadła do osi OxOx. Prosta kk ma równanie
  • A. x−4=0x - 4 = 0
  • B. x−y=0x - y = 0
  • C. y+4=0y + 4 = 0
  • D. x+y=0x + y = 0
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Oś OxOx jest pozioma, więc prosta do niej prostopadła jest pionowa.
  2. Prosta pionowa to zbiór punktów o tej samej odciętej. Punkt AA ma odciętą 4\textcolor{#16A06A}{4}, więc:
  3. x=4, czyli x−4=0x = \textcolor{#E0453A}{4}, \text{ czyli } x - 4 = 0
  4. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego — warunek a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1 tu nie zadziała, bo nie da się przez zero podzielić. Dlatego pionowe i poziome proste rozpoznaje się z obrazka, a nie z rachunku.

⚠ Wybór odpowiedzi C (y+4=0y + 4 = 0). Ta prosta też przechodzi przez punkt AA — ale jest pozioma, czyli równoległa do osi OxOx, a nie prostopadła. Jeden wspólny punkt niczego nie rozstrzyga.

Zadanie 4 (czerwiec 2017)1 pktśrednie

Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5)A = (-10, 5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
  • A. y=−2x+4y = -2x + 4
  • B. y=12xy = \dfrac12 x
  • C. y=−12x+1y = -\dfrac12 x + 1
  • D. y=2x−4y = 2x - 4
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Najpierw współczynnik prostej z treści — przechodzi przez (−10,5)\textcolor{#16A06A}{(-10, 5)} i przez (0,0)(0,0):
  2. a1=5−0−10−0=−12a_1 = \frac{5 - 0}{-10 - 0} = \textcolor{#E0453A}{-\frac12}
  3. Szukamy prostej prostopadłej, więc korzystamy z warunku a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1:
  4. −12⋅a2=−1⇒a2=2-\frac12 \cdot a_2 = -1 \quad \Rightarrow \quad a_2 = \textcolor{#E0453A}{2}
  5. Współczynnik 22 ma tylko jedna z podanych prostych.
  6. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Wyraz wolny nie ma tu żadnego znaczenia — o prostopadłości decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy. Dlatego w odpowiedziach można od razu zakryć wszystko poza liczbą przy xx.

⚠ Odpowiedź C ma współczynnik −12-\frac12, czyli dokładnie taki sam jak prosta z treści — to prosta równoległa, nie prostopadła. Odpowiedź A daje iloczyn (−12)⋅(−2)=1(-\frac12) \cdot (-2) = 1, a warunek wymaga −1-1; sam znak minus przy współczynniku nie wystarcza.

Zadanie 5 (czerwiec 2016)1 pkttrudniejsze

Prosta określona wzorem y=ax+1y = ax + 1 jest symetralną odcinka ABAB, gdzie A=(−3,2)A = (-3, 2) i B=(1,4)B = (1, 4). Wynika stąd, że
  • A. a=−12a = -\dfrac12
  • B. a=12a = \dfrac12
  • C. a=−2a = -2
  • D. a=2a = 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Symetralna odcinka ma dwie własności: jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek. Do wyznaczenia aa wystarczy pierwsza.
  2. Współczynnik kierunkowy prostej ABAB:
  3. aAB=4−21−(−3)=24=12a_{AB} = \frac{\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{1} - (\textcolor{#16A06A}{-3})} = \frac{2}{4} = \textcolor{#E0453A}{\frac12}
  4. Z warunku prostopadłości:
  5. 12⋅a=−1⇒a=−2\frac12 \cdot a = -1 \quad \Rightarrow \quad a = \textcolor{#E0453A}{-2}
  6. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Druga własność symetralnej pozwala sprawdzić wynik: środek odcinka ABAB to (−1,3)(-1, 3), a prosta y=−2x+1y = -2x + 1 daje w nim −2⋅(−1)+1=3-2 \cdot (-1) + 1 = 3. Dane w zadaniu są więc spójne — i to potwierdza, że współczynnik odczytaliśmy dobrze.

⚠ Odpowiedź B (a=12a = \frac12) to współczynnik samego odcinka ABAB, a nie symetralnej. Zadanie pyta o prostą prostopadłą — trzeba wykonać jeszcze jeden krok.

Zadanie 6 (marzec 2021)1 pktśrednie

Dany jest trapez ABCDABCD, w którym boki ABAB i CDCD są równoległe oraz C=(3,5)C = (3, 5). Wierzchołki AA i BB tego trapezu leżą na prostej o równaniu y=5x+3y = 5x + 3. Wtedy bok CDCD tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
  • A. y=3x+5y = 3x + 5
  • B. y=−15x+3y = -\dfrac15 x + 3
  • C. y=5x−10y = 5x - 10
  • D. y=−15x+285y = -\dfrac15 x + \dfrac{28}{5}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Boki ABAB i CDCD są równoległe, więc mają ten sam współczynnik kierunkowy: a=5a = \textcolor{#16A06A}{5}.
  2. Prosta CDCD przechodzi przez wierzchołek C=(3,5)C = (\textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#16A06A}{5}), więc podstawiamy do wzoru y=5x+by = 5x + b:
  3. 5=5⋅3+b⇒5=15+b5 = 5 \cdot 3 + b \quad \Rightarrow \quad 5 = 15 + b
  4. b=−10b = \textcolor{#E0453A}{-10}
  5. Szukana prosta to y=5x−10y = \textcolor{#E0453A}{5x - 10}.
  6. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Odpowiedź A wygląda kusząco, bo ma te same liczby 33 i 55 w zamienionej kolejności. Współczynnik kierunkowy musi jednak wynosić 55, a nie 33 — to jedyne, co przenosi się z prostej ABAB.

⚠ Wybór odpowiedzi D. Ta prosta też przechodzi przez punkt CC — sprawdzenie na samym CC niczego nie rozstrzygnie. Ma jednak współczynnik −15-\frac15, czyli jest do ABAB prostopadła, a w trapezie podstawy są równoległe.

Zadanie 7 (maj 2014)1 pktłatwe

Punkt C=(0,2)C = (0, 2) jest wierzchołkiem trapezu ABCDABCD, którego podstawa ABAB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x−4y = 2x - 4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CDCD.
  • A. y=2x+2y = 2x + 2
  • B. y=12x+2y = \dfrac12 x + 2
  • C. y=−2x+2y = -2x + 2
  • D. y=−12x+2y = -\dfrac12 x + 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Podstawy trapezu są równoległe, więc CDCD ma ten sam współczynnik co ABAB: a=2a = \textcolor{#16A06A}{2}.
  2. Punkt C=(0,2)C = (\textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{2}) leży na osi OyOy, więc jego rzędna jest od razu wyrazem wolnym:
  3. b=2b = \textcolor{#E0453A}{2}
  4. y=2x+2y = \textcolor{#E0453A}{2x + 2}
  5. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Zauważ, że wszystkie cztery odpowiedzi mają wyraz wolny 22, czyli wszystkie przechodzą przez punkt CC. Rozstrzyga wyłącznie współczynnik kierunkowy — i to jest cała treść tego zadania.

⚠ Wybór odpowiedzi D (−12-\frac12) albo B (12\frac12). Pierwsza to prosta prostopadła do ABAB, druga ma odwrócony współczynnik bez zmiany znaku. Przy podstawach trapezu współczynnik przepisuje się bez żadnej zmiany.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. A3. A4. D5. C6. C
7. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Funkcja liniowa, matura — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Funkcja liniowa, matura — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: miejsce zerowe, monotoniczność, wzór prostej, proste równoległe i prostopadłe, parametr.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Geometria analityczna, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Geometria analityczna, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: odległość i środek odcinka, symetrie punktów, równanie okręgu, położenie punktu. Na końcu…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jak napisać równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez punkt?

Przepisujemy współczynnik kierunkowy z prostej danej, a wyraz wolny wyliczamy, podstawiając współrzędne punktu do równania. Wyraz wolny musi wyjść inny niż w prostej wyjściowej, chyba że punkt na niej leży.

Jaki współczynnik ma prosta prostopadła?

Odwrotność współczynnika prostej danej wziętą z przeciwnym znakiem, ponieważ iloczyn obu współczynników musi wynosić minus jeden. Dla dwójki jest to minus jedna druga, a nie jedna druga.

Skąd bierze się warunek iloczynu równego minus jeden?

Z iloczynu skalarnego wektorów kierunkowych obu prostych. Wektor prostej o współczynniku a ma współrzędne jeden i a, więc iloczyn skalarny wynosi jeden plus iloczyn współczynników i zeruje się dokładnie wtedy, gdy ten iloczyn równa się minus jeden.

Co zrobić, gdy prosta jest pionowa lub pozioma?

Wtedy wzoru nie stosujemy. Prostopadła do prostej pionowej jest pozioma i ma równanie ygrek równa się rzędna punktu, a prostopadła do poziomej jest pionowa i ma równanie iks równa się odcięta punktu.

Czy prostopadłość jest na maturze podstawowej?

Wyznaczanie równania prostej prostopadłej wymienia dopiero zakres rozszerzony. W zakresie podstawowym podstawa wymienia równoległość, choć sam warunek prostopadłości bywa potrzebny przy sprawdzaniu, czy trójkąt jest prostokątny.

Czytaj dalej

Geometria analitycznaMapa działu i kryteria wzajemnego położenia prostych w jednej tabeli.Wykres funkcji liniowejCo robi współczynnik kierunkowy, a co wyraz wolny — źródło obu kroków tej metody.Odległość punktu od prostejNaturalny ciąg dalszy: rzut prostokątny punktu i wzór na odległość.Iloczyn skalarny wektorówNarzędzie, z którego wynika warunek prostopadłości i którym można go sprawdzić.Wzajemne położenie okręgów oraz prostej i okręguPięć położeń dwóch okręgów rozstrzyganych odległością środków oraz trzy…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09