Strona główna › Funkcje › Funkcja logarytmiczna i jej własności

Funkcja logarytmiczna i jej własności

Logarytm opisuję zwykle jako działanie — wynik pewnego pytania o wykładnik. Ta strona patrzy na niego inaczej: jako na funkcję, która każdej liczbie dodatniej przypisuje jej logarytm. Zmiana punktu widzenia daje trzy rzeczy, których z samego działania nie widać: kształt wykresu, kierunek wzrostu i sposób porównywania logarytmów bez liczenia ich wartości.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 5

Krótko: Funkcja logarytmiczna to f(x) = logₐ x dla a > 0, a ≠ 1 i x > 0. Jej wykres przechodzi przez punkt (1, 0) i jest rosnący dla a > 1, a malejący dla 0 < a < 1.

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Dziedzina, zbiór wartości i jeden pewny punkt

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział V. Funkcje, zakres podstawowy, punkt 14 brzmi dosłownie: „posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi”.

Wykresy są więc wymienione wprost, a cała ta strona mieści się w zakresie podstawowym. Same wzory na logarytmy stoją osobno w dziale I, punkt 9.

Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci $f(x) = \log_a x$ , gdzie podstawa $a$ jest liczbą dodatnią różną od jedynki.

własność	wartość	skąd wynika
dziedzina	$(0, +\infty)$	logarytmować można tylko liczby dodatnie
zbiór wartości	$\mathbb{R}$ — wszystkie liczby	wykładnik może być dowolny
miejsce zerowe	$x = 1$	bo $a^0 = 1$ dla każdej podstawy
punkt wspólny wszystkich wykresów	$(1, 0)$	to samo miejsce zerowe

Pierwszy wiersz to najczęstsze pytanie w zadaniach: dziedziną nigdy nie jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zero i liczby ujemne odpadają, bo potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia — piszę o tym szerzej przy dziedzinie funkcji.

Drugi wiersz bywa zaskoczeniem: zbiorem wartości jest cała oś. Logarytm może być ujemny, i to dowolnie duży co do wartości bezwzględnej — wystarczy wziąć argument bliski zeru.

\log_2 \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{3}, \qquad \log_2 \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{0}, \qquad \log_2 \textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{8}} = \textcolor{#E0453A}{-3}

Widać tu obie strony: dla argumentów większych od jedynki logarytm o podstawie $2$ jest dodatni, dla mniejszych od jedynki — ujemny.

Dlaczego wszystkie wykresy przechodzą przez ten sam punkt

Dla każdej dopuszczalnej podstawy zachodzi $a^0 = 1$ , czyli $\log_a 1 = 0$ .

Punkt $(1, 0)$ leży więc na wykresie funkcji logarytmicznej niezależnie od podstawy. To wygodna kontrola: jeśli szkicowany wykres nie przechodzi przez jedynkę na osi poziomej, coś jest nie tak.

Drugi łatwy punkt to $(a, 1)$ , bo $\log_a a = 1$ . Dwa punkty wystarczą, żeby ustawić szkic.

Własności funkcji logarytmicznej f(x) = logₐ x: dziedzina (0, +∞), zbiór wartości R, miejsce zerowe x = 1, asymptota pionowa x = 0; przykłady log₂ 8 = 3, log₂ 1 = 0, log₂ (1/8) = −3 — Własności funkcji logarytmicznej

2Monotoniczność zależy od podstawy

To jest własność, która rozstrzyga większość zadań — i jednocześnie ta, o której najłatwiej zapomnieć.

podstawa	funkcja jest	co to znaczy
$a > 1$	rosnąca	większy argument → większy logarytm
$0 < a < 1$	malejąca	większy argument → mniejszy logarytm

Skąd ta różnica? Logarytm pyta o wykładnik. Przy podstawie większej od jedynki potęgi rosną wraz z wykładnikiem, więc żeby otrzymać większą liczbę, trzeba wziąć większy wykładnik.

Przy podstawie mniejszej od jedynki jest odwrotnie — potęgowanie takiej liczby ją zmniejsza. Sprawdźmy na $a = \frac{1}{2}$ :

\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1}} = 0{,}5, \qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{2}} = 0{,}25, \qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{3}} = 0{,}125

Im większy wykładnik, tym mniejsza wartość. Logarytm odwraca to pytanie, więc i on maleje.

Praktyczna konsekwencja. Porównując dwa logarytmy o tej samej podstawie, nie trzeba ich liczyć — wystarczy porównać argumenty i sprawdzić, czy podstawa jest większa, czy mniejsza od jedynki.

$\log_3 5$ i $\log_3 7$ : podstawa $3 > 1$ , więc funkcja rośnie i $\log_3 5 < \log_3 7$ ✓
$\log_{0{,}5} 5$ i $\log_{0{,}5} 7$ : podstawa mniejsza od jedynki, więc funkcja maleje i $\log_{0{,}5} 5 > \log_{0{,}5} 7$ ✓

Kontrola znaku bez rachunku

Dla podstawy $a > 1$ : logarytm jest dodatni, gdy argument przekracza jedynkę, i ujemny, gdy jest od niej mniejszy.

Dla podstawy $0 < a < 1$ obie reguły się odwracają.

Sam znak wystarcza często do rozstrzygnięcia zadania zamkniętego. Jeśli jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia, nie ma czego liczyć.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcja wykładnicza i logarytmiczna” (liceum, klasa 3), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — cały dział, liceum 3 (4 pakiety)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcja wykładnicza i logarytmiczna”4 arkusze w jednym pliku8,90 zł~~15,60 zł~~−6,70 zł Liceum, klasa 3, na cały rok24 arkuszy, 1,66 zł za arkusz39,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 8,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Wykres i jego kształt

Wykres funkcji logarytmicznej ma charakterystyczny kształt, który warto umieć naszkicować z pamięci.

Dla podstawy $a > 1$ krzywa wchodzi z dołu wzdłuż osi pionowej, przecina oś poziomą w punkcie $(1,0)$ i dalej rośnie — ale coraz wolniej.

$x$	$\log_2 x$	obserwacja
$0{,}25$	$-2$	blisko zera wartości lecą w dół
$1$	$0$	miejsce zerowe
$2$	$1$	podwojenie argumentu…
$4$	$2$	…dokłada zawsze tyle samo
$1024$	$10$	tysiąckrotny wzrost daje tylko $10$

Ostatni wiersz pokazuje najważniejszą cechę: logarytm rośnie bardzo wolno. Żeby zwiększyć go o jeden, trzeba pomnożyć argument przez podstawę — nie dodać do niego czegokolwiek.

Oś pionowa jest asymptotą. Wykres zbliża się do niej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie dotyka — bo zero nie należy do dziedziny.

Dla podstawy mniejszej od jedynki wykres jest lustrzanym odbiciem tamtego względem osi poziomej: schodzi w dół, przechodząc przez ten sam punkt $(1,0)$ .

Związek z funkcją wykładniczą

Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej o tej samej podstawie. Jedna pyta „jaka jest potęga”, druga „jaki jest wykładnik”.

Na wykresie widać to jako symetrię względem prostej $y = x$ . Punkt $(3, 8)$ na wykresie funkcji $y = 2^x$ odpowiada punktowi $(8, 3)$ na wykresie $y = \log_2 x$ .

Stąd też bierze się zamiana dziedziny ze zbiorem wartości: funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie, a logarytmiczna ma dodatnie argumenty.

Wykresy funkcji logarytmicznych log₂ x (rosnąca, punkt (2, 1)) i log₁/₂ x (malejąca, punkt (2, −1)) przechodzące przez wspólny punkt (1, 0), z asymptotą x = 0 — Wykres funkcji logarytmicznej dla podstawy większej i mniejszej od 1

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wartość funkcji, porównywanie trzech logarytmów i wyznaczanie dziedziny.

Przykład 1 Wartość funkcji dla argumentu z pierwiastkiem

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -\log x$ dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Oblicz $f(\sqrt{10})$ .

Zapis $\log$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie $\textcolor{#16A06A}{10}$ .
Najpierw sam logarytm: $\log \sqrt{\textcolor{#16A06A}{10}}$ .
Pierwiastek to potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$ , więc $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{10}} = \textcolor{#16A06A}{10}^{1/2}$ .
Z definicji logarytmu: $\log \textcolor{#16A06A}{10}^{1/2} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}}$ , bo pytamy o wykładnik.
Teraz minus przed logarytmem: $f(\sqrt{10}) = -\textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}} = \textcolor{#2F80D8}{-0{,}5}$ .
Kontrola przez potęgę: czy $10^{1/2} = \sqrt{10}$ ? Tak, bo $\left(10^{1/2}\right)^2 = 10^1 = 10$ ✓
Kontrola sensu: $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ leży między $1$ a $10$ , więc $\log$ musi być między $0$ a $1$ ✓ — wyszło $0{,}5$

Odpowiedź: $f(\sqrt{10}) = -\frac{1}{2}$ .

Minus przed logarytmem odbija wykres względem osi poziomej, więc funkcja $-\log x$ jest malejąca, mimo że podstawa jest większa od jedynki. To osobne przekształcenie, nie zmiana własności samego logarytmu.

Przykład 2 Porównanie trzech logarytmów

Dane są liczby $a = \log_{\frac{1}{2}} 8$ , $b = \log_4 8$ oraz $c = \log_4 \frac{1}{2}$ . Ustaw je w kolejności rosnącej.

Liczę $a$ : szukam wykładnika, dla którego $\left(\frac{1}{2}\right)^? = 8$ . Skoro $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ , to $a = \textcolor{#16A06A}{-3}$ .
Liczę $b$ : szukam wykładnika, dla którego $4^? = 8$ . Obie liczby są potęgami dwójki: $4^{3/2} = \left(2^2\right)^{3/2} = 2^3 = 8$ , więc $b = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{2}}$ .
Liczę $c$ : szukam wykładnika, dla którego $4^? = \frac{1}{2}$ . Mamy $4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ , więc $c = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{2}}$ .
Porównuję: $\textcolor{#16A06A}{-3} < \textcolor{#2F80D8}{-0{,}5} < \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ .
Kolejność rosnąca: $a < c < b$ .
Kontrola znaków bez liczenia: $a$ ma podstawę mniejszą od jedynki i argument większy od jedynki → ujemny ✓
$c$ ma podstawę większą od jedynki i argument mniejszy od jedynki → ujemny ✓
$b$ ma podstawę i argument większe od jedynki → dodatni ✓ — sam znak od razu ustawia $b$ na końcu

Odpowiedź: $a < c < b$ .

Dwie ostatnie kontrole pokazują skrót: znaki rozstrzygnęły, że $b$ jest największa, jeszcze zanim policzyłem jej wartość. W zadaniach zamkniętych często wystarcza to do wskazania odpowiedzi.

Przykład 3 Dziedzina wyrażenia logarytmicznego

Wyrażenie $\log_4(2x - 1)$ jest określone dla wszystkich liczb $x$ spełniających jaki warunek?

Logarytmować można wyłącznie liczby dodatnie, więc warunek dotyczy tego, co stoi w argumencie.
$2x - 1 > \textcolor{#16A06A}{0}$
$2x > \textcolor{#16A06A}{1}$
$x > \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}}$
Nierówność jest ostra — dla $x = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ argument wynosi zero, a logarytmu zera nie ma.
Kontrola dla $x = 1$ : argument $2 - 1 = 1$ , a $\log_4 1 = 0$ ✓ — wyrażenie ma sens
Kontrola dla $x = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ : argument $1 - 1 = 0$ ✗ — słusznie wykluczone
Kontrola dla $x = 0$ : argument $-1$ , liczba ujemna ✗ — słusznie wykluczone

Odpowiedź: Wyrażenie jest określone dla $x > \frac{1}{2}$ .

Warunek dotyczy argumentu logarytmu, a nie samej zmiennej $x$ . To rozróżnienie decyduje: gdyby patrzeć tylko na $x$ , wyszłoby $x > 0$ — odpowiedź błędna o pół jednostki.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy bierze się z pomylenia funkcji z działaniem.

Przyjęcie, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste

Skąd się bierze: Funkcja logarytmiczna jest określona wyłącznie dla argumentów dodatnich. Zero i liczby ujemne nie mają logarytmu, bo potęga liczby dodatniej nigdy nie schodzi do zera ani poniżej.

Jak zrobić dobrze: Przy każdym zadaniu z logarytmem zacznij od warunku: argument $> 0$ . Gdy w argumencie stoi wyrażenie, rozwiąż nierówność — to część rozwiązania, nie formalność.

Uznanie funkcji logarytmicznej za zawsze rosnącą

Skąd się bierze: Kierunek zależy od podstawy. Dla $0 < a < 1$ funkcja maleje, więc większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość. Porównanie logarytmów o podstawie $\frac{1}{2}$ wypada wtedy odwrotnie, niż podpowiada nawyk.

Jak zrobić dobrze: Zanim porównasz, sprawdź podstawę. Większa od jedynki — rośnie, mniejsza — maleje. Przy podstawie ułamkowej odwróć wynik porównania argumentów.

Mylenie warunku na argument z warunkiem na zmienną

Skąd się bierze: W wyrażeniu $\log_4(2x-1)$ dodatni musi być cały argument, czyli $2x-1$ , a nie samo $x$ . Przyjęcie warunku $x > 0$ dopuszcza liczby z przedziału od zera do połowy, dla których logarytm nie istnieje.

Jak zrobić dobrze: Zapisz nierówność dla całego wyrażenia w nawiasie i dopiero ją rozwiąż. Kontrola: podstaw liczbę z brzegu i sprawdź, czy argument naprawdę wychodzi dodatni.

Szkicowanie wykresu przechodzącego przez początek układu

Skąd się bierze: Wykres funkcji logarytmicznej nie przechodzi przez punkt $(0,0)$ — zero nie należy do dziedziny, a oś pionowa jest asymptotą. Miejscem zerowym jest $x = 1$ , a nie $x = 0$ .

Jak zrobić dobrze: Zacznij szkic od zaznaczenia punktu $(1, 0)$ , wspólnego dla wszystkich podstaw. Drugi łatwy punkt to $(a, 1)$ — dwa punkty wystarczą, żeby ustawić kształt.

Zadania maturalne — funkcja logarytmiczna: monotoniczność, wartości, dziedzina

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Dwie rzeczy decydują o wszystkim na tej stronie. Pierwsza: o kierunku funkcji

f(x) = \log_a x

rozstrzyga sama podstawa — dla

a > 1

funkcja rośnie, dla

0 < a < 1

maleje. Druga: dziedziną jest zawsze argument dodatni, i tylko to trzeba rozwiązać.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Funkcja logarytmiczna

f

jest określona wzorem

f(x) = \log_6 x

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $36$ jest równa $6$ .	P	F
Funkcja $f$ jest rosnąca.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zdanie 1 — liczymy wartość funkcji. Wstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{36}$ do wzoru:
$f(\textcolor{#16A06A}{36}) = \log_6 \textcolor{#16A06A}{36}$
Pytamy: do której potęgi podnieść 6, żeby dostać 36? Do drugiej, bo $6^2 = 36$ :
$f(\textcolor{#16A06A}{36}) = \textcolor{#E0453A}{2}$ , a nie $6$ ✗ F
Zdanie 2 — monotoniczność. O kierunku funkcji logarytmicznej decyduje wyłącznie podstawa. Tutaj podstawa to $\textcolor{#16A06A}{6}$ , a $\textcolor{#16A06A}{6} > 1$ , więc funkcja rośnie ✓ P
Odpowiedź: F, P.
Warto to sprawdzić na dwóch punktach: $f(6) = 1$ , $f(36) = 2$ — im większy argument, tym większa wartość. Funkcja rośnie.

💡 Wskazówka: Do oceny monotoniczności nie licz żadnych wartości — wystarczy spojrzeć na podstawę. Podstawa większa od 1 oznacza funkcję rosnącą, podstawa między 0 a 1 — malejącą. To jedyne kryterium.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: podanie $6$ , czyli podstawy zamiast wykładnika. Zdanie brzmi „wartość funkcji jest równa 6” i to kusi, bo szóstka jest w zadaniu dwa razy — ale $\log_6 36$ pyta o wykładnik, a ten wynosi 2.

Zadanie 2 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = -\log x

dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich

x

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

x = \sqrt{10}

jest równa

A. $2$
B. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $(-2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Uwaga na minus przed logarytmem — jest częścią wzoru funkcji i trzeba go uwzględnić na końcu.
Krok 1 — liczymy sam logarytm. Zapis $\log$ bez podstawy to logarytm dziesiętny, a pierwiastek to potęga o wykładniku $\tfrac12$ :
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{10}} = 10^{1/2}$ , więc $\log \textcolor{#16A06A}{\sqrt{10}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}}$
Krok 2 — dokładamy minus ze wzoru.
$f(\textcolor{#16A06A}{\sqrt{10}}) = -\log \textcolor{#16A06A}{\sqrt{10}} = -\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}}$
Odpowiedź: $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ , czyli B.

💡 Wskazówka: Minus przed logarytmem odbija wykres względem osi $x$ — z funkcji rosnącej robi malejącą. W tym zadaniu wystarczy jednak potraktować go jako zwykłe „pomnóż wynik przez $-1$ ” na samym końcu.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C ( $\tfrac12$ ) — czyli pominięcie minusa ze wzoru funkcji. Drugi częsty: odpowiedź D ( $-2$ ), z odwrócenia ułamka; $\log\sqrt{10} = \tfrac12$ , a nie $2$ , bo pierwiastek połowi wykładnik.

Zadanie 3 (czerwiec 2018)1 pkttrudniejsze

Dane są liczby:

a = \log_{\frac{1}{2}} 8

b = \log_4 8

c = \log_4 \dfrac{1}{2}

. Liczby te spełniają warunek

A. $a > b > c$
B. $b > a > c$
C. $c > b > a$
D. $b > c > a$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Trzy logarytmy o różnych podstawach — najbezpieczniej policzyć każdy osobno, a potem ustawić w kolejności.
Liczba $a$ . Podstawa $\textcolor{#16A06A}{\tfrac12} = 2^{-1}$ , argument $\textcolor{#16A06A}{8} = 2^3$ . Iloraz wykładników:
$a = \log_{\frac12} \textcolor{#16A06A}{8} = \dfrac{3}{-1} = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Liczba $b$ . Podstawa $\textcolor{#16A06A}{4} = 2^2$ , argument $\textcolor{#16A06A}{8} = 2^3$ :
$b = \log_4 \textcolor{#16A06A}{8} = \dfrac{3}{2} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$
Liczba $c$ . Podstawa $\textcolor{#16A06A}{4} = 2^2$ , argument $\textcolor{#16A06A}{\tfrac12} = 2^{-1}$ :
$c = \log_4 \textcolor{#16A06A}{\tfrac12} = \dfrac{-1}{2} = \textcolor{#E0453A}{-0{,}5}$
Porządkujemy. Mamy $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ , $\textcolor{#E0453A}{-0{,}5}$ i $\textcolor{#E0453A}{-3}$ , czyli:
$b > c > a$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz cokolwiek dokładnie, oceń znaki. Logarytm jest dodatni, gdy podstawa i argument leżą po tej samej stronie jedynki, a ujemny, gdy po przeciwnych. Tu tylko $b$ ma podstawę i argument większe od 1, więc tylko $b$ jest dodatnie — i to już wystarczy, żeby odrzucić A i C.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $a = \log_{\frac12} 8$ jako $3$ i zignorowanie tego, że podstawa jest mniejsza od jedynki. Podstawa ułamkowa daje wykładnik ujemny: $\left(\tfrac12\right)^{-3} = 8$ , więc $a = -3$ , nie $3$ .

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Dane są liczby:

a = \log_3 \dfrac{1}{9}

b = \log_3 3

c = \log_3 \dfrac{1}{27}

. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

A. $c < b < a$
B. $b < c < a$
C. $a < c < b$
D. $c < a < b$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Wszystkie trzy logarytmy mają tę samą podstawę 3 — a to znacznie upraszcza sprawę.
Liczba $a$ . $\textcolor{#16A06A}{\tfrac19} = 3^{-2}$ , więc $a = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Liczba $b$ . Argument równa się podstawie, więc $b = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Liczba $c$ . $\textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{27}} = 3^{-3}$ , więc $c = \textcolor{#E0453A}{-3}$ .
Porządkujemy. $\textcolor{#E0453A}{-3} < \textcolor{#E0453A}{-2} < \textcolor{#E0453A}{1}$ , czyli:
$c < a < b$
Odpowiedź: D.
Można było też bez liczenia: podstawa $3 > 1$ , więc funkcja rośnie — kolejność logarytmów jest taka sama jak kolejność argumentów. A $\tfrac{1}{27} < \tfrac19 < 3$ , więc $c < a < b$ .

💡 Wskazówka: Ta druga droga jest szybsza i warto ją opanować: przy tej samej podstawie większej od 1 wystarczy porównać argumenty. Mniejszy argument to mniejszy logarytm — bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że $\tfrac{1}{27} > \tfrac{1}{9}$ , bo „27 jest większe od 9”. Przy ułamkach o tym samym liczniku jest odwrotnie: większy mianownik to mniejszy ułamek. To ten błąd prowadzi do odpowiedzi C.

Zadanie 5 (maj 2011)1 pktśrednie

Wyrażenie

\log_4(2x - 1)

jest określone dla wszystkich liczb

x

spełniających warunek

A. $x \leqslant \dfrac{1}{2}$
B. $x > \dfrac{1}{2}$
C. $x \leqslant 0$
D. $x > 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Logarytm istnieje tylko wtedy, gdy jego argument jest dodatni. Podstawa (tu 4) jest w porządku, więc cały warunek dotyczy wyrażenia w nawiasie.
Krok 1 — zapisujemy warunek.
$\textcolor{#16A06A}{2x - 1} > 0$
Krok 2 — rozwiązujemy nierówność.
$2x > \textcolor{#16A06A}{1}$
$x > \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}}$
Odpowiedź: $x > \dfrac{1}{2}$ , czyli B.
Sprawdzenie na krańcu: dla $x = \tfrac12$ argument wynosi $2 \cdot \tfrac12 - 1 = 0$ , a $\log_4 0$ nie istnieje — więc połówka nie należy do dziedziny. Nierówność musi być ostra.

💡 Wskazówka: Dziedzina logarytmu to zawsze jedna nierówność: argument > 0. Nie „≥”, bo logarytm z zera nie istnieje — dlatego odpowiedzi z „≤” można odrzucić już na wejściu.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $x > 0$ ), czyli przepisanie warunku „argument dodatni” wprost na $x$ , bez rozwiązania nierówności. Argumentem nie jest $x$ , tylko całe wyrażenie $2x - 1$ — i to ono musi być dodatnie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. F, P

2. B

3. D

4. D

5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Funkcja logarytmiczna — kartkówka, liceum klasa 3

Dziedzina, wartości funkcji, miejsce zerowe, przesunięcie wykresu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Potęgi i logarytmy — test, liceum klasa 3

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, działania na logarytmach.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

6Pytania i odpowiedzi

Jaka jest dziedzina funkcji logarytmicznej?

Zbiór liczb dodatnich, czyli przedział otwarty od zera do nieskończoności. Zero i liczby ujemne nie mają logarytmu, ponieważ potęga liczby dodatniej zawsze pozostaje dodatnia.

Kiedy funkcja logarytmiczna jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Rośnie, gdy podstawa jest większa od jedynki, a maleje, gdy podstawa mieści się między zerem a jedynką. Przy podstawie ułamkowej większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji.

Przez jaki punkt przechodzi każdy wykres logarytmiczny?

Przez punkt o współrzędnych jeden i zero. Wynika to z tego, że każda liczba podniesiona do potęgi zerowej daje jeden, więc logarytm jedynki wynosi zero niezależnie od podstawy.

Jak porównać dwa logarytmy bez liczenia ich wartości?

Przy tej samej podstawie wystarczy porównać argumenty i uwzględnić kierunek funkcji. Dla podstawy większej od jedynki większy argument daje większy logarytm, dla mniejszej — odwrotnie.

Czy logarytm może być ujemny?

Tak. Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej są wszystkie liczby rzeczywiste. Dla podstawy większej od jedynki logarytm jest ujemny wtedy, gdy argument jest mniejszy od jedynki.

Jaki jest związek funkcji logarytmicznej z wykładniczą?

Są funkcjami wzajemnie odwrotnymi o tej samej podstawie, a ich wykresy są symetryczne względem prostej o równaniu $y = x$ . Dziedzina jednej jest zbiorem wartości drugiej.

Czytaj dalej

LogarytmyLogarytm jako działanie: definicja i trzy wzory Dziedzina funkcjiWarunek na argument logarytmu wśród trzech reguł FunkcjeCzym jest funkcja i jak czytać jej wykres Potęgowanie i pierwiastkowaniePotęgi ułamkowe potrzebne przy argumentach z pierwiastkiem Równania i nierówności wykładnicze oraz logarytmiczneRównania i nierówności, w których niewiadoma stoi w wykładniku albo pod…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Funkcja logarytmiczna i jej własności

1Dziedzina, zbiór wartości i jeden pewny punkt

2Monotoniczność zależy od podstawy

3Wykres i jego kształt

4Przykłady krok po kroku

5Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — funkcja logarytmiczna: monotoniczność, wartości, dziedzina

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Zadanie 2 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Zadanie 3 (czerwiec 2018)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Zadanie 5 (maj 2011)1 pktśrednie

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Funkcja logarytmiczna — kartkówka, liceum klasa 3

Potęgi i logarytmy — test, liceum klasa 3

6Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku