Funkcja wykładnicza

Odpowiedź: D

1. Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{20}$ do wzoru. Cała trudność siedzi w wykładniku, więc liczę go osobno.
2. Wykładnik: $\;-0{,}05 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#E0453A}{-1}$.
3. Zostaje $T(20) = \textcolor{#16A06A}{78} \cdot 2^{\textcolor{#E0453A}{-1}} + \textcolor{#16A06A}{22}$.
4. Potęga o wykładniku $-1$ to odwrotność podstawy: $\;2^{-1} = \textcolor{#2F80D8}{\tfrac12}$.
5. Mnożę: $\;\textcolor{#16A06A}{78} \cdot \textcolor{#2F80D8}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{39}$.
6. I teraz krok, o który najłatwiej się potknąć — dodaję jeszcze $\textcolor{#16A06A}{22}$, bo tak mówi wzór: $\;\textcolor{#E0453A}{39} + \textcolor{#16A06A}{22} = 61$.
7. Sens fizyczny jako kontrola. Napar stygnie do temperatury otoczenia, czyli $\textcolor{#16A06A}{22}^\circ$C, ale nigdy poniżej. Wynik $61^\circ$C leży między temperaturą wrzenia a temperaturą pokoju — to sensowne.
8. Dla porządku: w chwili $x=0$ wzór daje $78 \cdot 1 + 22 = 100^\circ$C, czyli wrzątek ✓ — wzór zgadza się z treścią.
9. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: W modelach stygnięcia liczba dodawana na końcu to temperatura otoczenia — funkcja zbliża się do niej, ale jej nie osiąga. Warto sprawdzić wzór dla $x=0$: powinien dać stan początkowy.

⚠ Pominięcie składnika $+22$ i zatrzymanie się na $\textcolor{#E0453A}{39}$ — to gotowy wariant B. Sama różnica $78 \cdot 2^{-1}$ opisuje tylko, o ile napar jest cieplejszy od otoczenia, a nie jego temperaturę.

Odpowiedź: B

1. Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}$: $\;f\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}\right) = 4^{-\textcolor{#16A06A}{1/2}} + 1$.
2. Rozkładam wykładnik na dwie osobne własności, bo naraz łatwo się pogubić.
3. Minus w wykładniku oznacza odwrotność: $\;4^{-1/2} = \dfrac{1}{4^{1/2}}$.
4. Wykładnik $\tfrac12$ oznacza pierwiastek kwadratowy: $\;4^{1/2} = \sqrt4 = \textcolor{#E0453A}{2}$.
5. Zatem $4^{-1/2} = \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#2F80D8}{\tfrac12}$.
6. Dodaję jedynkę ze wzoru: $\;\textcolor{#2F80D8}{\tfrac12} + 1 = \dfrac{3}{2}$.
7. Kontrola rzędu wielkości. Podstawa $4$ jest większa od $1$, a wykładnik ujemny, więc $4^{-1/2}$ musi leżeć między $0$ a $1$ — i faktycznie $\textcolor{#2F80D8}{\tfrac12}$ tam leży. Cała wartość wypada więc między $1$ a $2$, co od razu wyklucza warianty C i D.
8. Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Ujemny wykładnik odwraca, ułamkowy pierwiastkuje. Rozdziel te dwie operacje na osobne linijki — zajmuje to sekundę, a usuwa najczęstsze pomyłki w tym dziale.

⚠ Potraktowanie wykładnika $-\tfrac12$ tak, jakby dawał samo $\sqrt4 = \textcolor{#9b1c14}{2}$, i policzenie $2 + 1 = 3$ — czyli wariant C. Minus musi zamienić wynik na odwrotność, a $\tfrac12$ nie jest tym samym co $2$.

Odpowiedź: D

1. Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{-3}$: $\;f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = \left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-3}}$.
2. Ujemny wykładnik odwraca podstawę. Odwrotnością $\tfrac12$ jest $\textcolor{#E0453A}{2}$, więc $\left(\tfrac12\right)^{-3} = \textcolor{#E0453A}{2}^{3}$.
3. Liczę potęgę: $\;\textcolor{#E0453A}{2}^{3} = 8$.
4. Sprawdzenie drugą drogą — bez odwracania podstawy. $\left(\tfrac12\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(\tfrac12\right)^{3}} = \dfrac{1}{\textcolor{#2F80D8}{1/8}} = 8$ ✓ Ten sam wynik.
5. Kontrola kierunku. Podstawa $\tfrac12$ jest mniejsza od $1$, więc funkcja maleje. Argument $\textcolor{#16A06A}{-3}$ leży na lewo od zera, gdzie wartości są większe od $f(0)=1$ — a $8 > 1$ ✓
6. To od razu wyklucza warianty A i B, bo obie są mniejsze od jedynki.
7. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, ustal kierunek: dla podstawy z przedziału $(0,1)$ funkcja maleje, więc ujemne argumenty dają wartości większe od $1$. Połowa wariantów odpada bez rachunku.

⚠ Zignorowanie minusa i policzenie $\left(\tfrac12\right)^{3} = \textcolor{#9b1c14}{\tfrac18}$, czyli wariant B. To wartość funkcji dla $x = 3$, a nie dla $x = -3$ — obie liczby są w zestawie odpowiedzi właśnie po to.

Odpowiedź: C

1. Najpierw wypisuję wzór $g$. Skoro $g(x) = f(-x)$, to podstawiam $-x$ w miejsce $x$: $\;g(x) = 3^{\textcolor{#16A06A}{-x}}$.
2. Punkt wspólny to taki argument, dla którego obie funkcje dają tę samą wartość: $\;3^{x} = 3^{-x}$.
3. Funkcja wykładnicza o podstawie $3$ jest różnowartościowa — różnym wykładnikom odpowiadają różne wartości. Można więc porównać same wykładniki:
4. $x = -x$, czyli $2x = 0$, a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{0}$.
5. Liczę drugą współrzędną. $f(\textcolor{#E0453A}{0}) = 3^{0} = 1$, i tak samo $g(\textcolor{#E0453A}{0}) = 3^{0} = 1$ — obie funkcje dają $1$, więc punkt to $(0, 1)$.
6. Dlaczego to musiało tak wyjść. Wykres $g$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OY$. Odbicie zostawia w miejscu tylko punkty leżące na osi odbicia, czyli na osi $OY$ — a jedyny punkt wykresu $f$ na tej osi to właśnie $(0,1)$.
7. Sprawdzenie. Dla $x=1$: $f(1)=3$, ale $g(1)=3^{-1}=\tfrac13$ — wartości różne, więc poza zerem wspólnego punktu nie ma ✓
8. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Każda funkcja wykładnicza $a^x$ przechodzi przez punkt $(0,1)$, bo $a^0 = 1$ dla dowolnej dodatniej podstawy. To najczęściej wykorzystywany punkt w całym dziale.

⚠ Wskazanie punktu $(0,0)$, czyli wariantu D, z przekonania, że wykres przechodzi przez początek układu. Funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości zero — jej wartości są zawsze dodatnie, a $3^0 = 1$, nie $\textcolor{#9b1c14}{0}$.

Odpowiedź: C

1. Równania $5^{x} = -5x + 1$ nie da się rozwiązać szkolnymi przekształceniami — zmienna stoi i w wykładniku, i poza nim. Trzeba więc rozumować o kształcie obu wykresów, a nie liczyć.
2. Jedno rozwiązanie widać od razu. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{0}$: lewa strona $5^{0} = \textcolor{#E0453A}{1}$, prawa $-5 \cdot 0 + 1 = \textcolor{#E0453A}{1}$. Zgadza się, więc punkt $(0,1)$ jest wspólny.
3. Teraz pytanie, czy jest ich więcej. Patrzę na monotoniczność każdej funkcji osobno.
4. $g(x) = 5^{x}$ ma podstawę $5 > 1$, więc jest funkcją rosnącą na całej prostej.
5. $f(x) = -5x + 1$ ma współczynnik kierunkowy $\textcolor{#16A06A}{-5} < 0$, więc jest funkcją malejącą na całej prostej.
6. Funkcja rosnąca i malejąca mogą się przeciąć najwyżej raz. Gdy jedna rośnie, a druga maleje, ich różnica $g(x) - f(x)$ tylko rośnie — a rosnąca różnica może przejść przez zero co najwyżej jeden raz.
7. Skoro jedno przecięcie znaleźliśmy, a więcej być nie może, punktów wspólnych jest dokładnie jeden.
8. Kontrola po obu stronach zera. Dla $x=1$: $g=5$, $f=-4$ — $g$ jest wyżej. Dla $x=-1$: $g=\tfrac15$, $f=6$ — $f$ jest wyżej. Wykresy zamieniają się miejscami dokładnie raz ✓
9. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Gdy równania nie da się rozwiązać rachunkiem, policz punkty wspólne z monotoniczności. Rosnąca kontra malejąca to najwyżej jedno przecięcie — i wystarczy wskazać jedno, żeby wiedzieć, że jest dokładnie jedno.

⚠ Odpowiedź „dwa”, czyli wariant B, z nawyku wyniesionego z funkcji kwadratowej, gdzie prosta przecina wykres zwykle w dwóch punktach. Wykres funkcji wykładniczej nie zawraca — rośnie bez przerwy, więc z prostą malejącą spotka się najwyżej raz.

Odpowiedź: A

1. Kluczowe jest odczytanie wzoru. Zapis $-2^{x-2}$ znaczy $-\left(2^{x-2}\right)$ — minus stoi przed potęgą, a nie w podstawie. Potęgowanie wykonuje się przed zmianą znaku.
2. Wniosek natychmiastowy: wartości tej funkcji są zawsze ujemne, bo $2^{x-2} > 0$ dla każdego $x$.
3. To wyklucza warianty C i D, w których druga współrzędna jest dodatnia — bez żadnego rachunku.
4. Sprawdzam punkt $A = (\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{-1})$. Wykładnik: $\textcolor{#16A06A}{2} - 2 = \textcolor{#E0453A}{0}$, więc $y = -2^{\textcolor{#E0453A}{0}} = -1$ ✓ — zgadza się z drugą współrzędną.
5. Sprawdzam punkt $B = (\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{-2})$. Wykładnik: $\textcolor{#16A06A}{1} - 2 = \textcolor{#2F80D8}{-1}$, więc $y = -2^{\textcolor{#2F80D8}{-1}} = -\tfrac12$, a nie $-2$ ✗
6. Dla pewności C: dla $x=1$ wartość to $-\tfrac12$, a nie $+\tfrac12$ — różnica właśnie w znaku ✗
7. I D: dla $x=4$ wykładnik wynosi $2$, więc $y = -2^{2} = -4$, a nie $4$ ✗
8. Jedynym punktem, który przechodzi test, jest $A$.
9. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz podstawiać, ustal znak wartości funkcji. Tutaj wszystkie wartości są ujemne, co od razu skreśla połowę wariantów.

⚠ Odczytanie wzoru jako $(-2)^{x-2}$, czyli z minusem w podstawie. Dla $x=4$ wychodzi wtedy $(-2)^{2} = \textcolor{#9b1c14}{4}$ i punkt $D=(4,4)$ wygląda na poprawny. Podstawa potęgi to samo $2$ — minus dotyczy całego wyniku.

Odpowiedź: C

1. Zapisuję warunek z treści: $\;3^{x} = \textcolor{#16A06A}{6}$.
2. Sześć nie jest potęgą trójki — $3^1 = 3$, a $3^2 = 9$ — więc rozwiązanie leży gdzieś między $1$ a $2$ i nie jest liczbą wymierną. Do jego zapisania służy logarytm.
3. Definicja logarytmu: $\log_{a} b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$, żeby otrzymać $b$. Tutaj podnosimy $\textcolor{#16A06A}{3}$, a otrzymać chcemy $\textcolor{#16A06A}{6}$.
4. Zatem $x = \log_{\textcolor{#16A06A}{3}} \textcolor{#16A06A}{6}$ — podstawa potęgi zostaje podstawą logarytmu, a wynik potęgowania trafia pod logarytm.
5. To postać dokładna i taką zostawiamy. Zaokrąglenie do $\textcolor{#2F80D8}{1{,}63}$ byłoby przybliżeniem, o które zadanie nie prosi.
6. Kontrola sensu. Skoro $3^1 = 3 < 6 < 9 = 3^2$, to szukany wykładnik musi leżeć między $\textcolor{#E0453A}{1}$ a $\textcolor{#E0453A}{2}$. Wariant A ($x=2$) dałby $9$, nie $6$ — odpada.
7. Kontrola wariantu B. $\log_3 2$ to wykładnik dający dwójkę, czyli $3^{\log_3 2} = 2 \neq 6$ — odpada.
8. Kontrola wariantu D. $\log_6 3$ jest mniejszy od $1$, bo $3 < 6$; taki wykładnik dałby wartość mniejszą od $3$, nie $6$ — odpada.
9. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Logarytm i potęga to zapisy tej samej zależności: $a^x = b$ znaczy dokładnie tyle, co $x = \log_a b$. Podstawa nie zmienia miejsca — była podstawą potęgi, zostaje podstawą logarytmu.

⚠ Zamiana podstawy z liczbą logarytmowaną i wskazanie $\log_6 3$, czyli wariantu D. Łatwo to rozstrzygnąć bez rachunku: $\log_6 3 < 1$, bo $3$ jest mniejsze od podstawy $6$ — a szukany wykładnik musi być większy od $1$.