Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze ⟨-6, 5⟩. Funkcja g jest określona wzorem g(x) = f(x) - 2 dla x ∈ ⟨-6, 5⟩. Wskaż zdanie prawdziwe.

Liczba f(2) + g(2) jest równa (-2).

Zbiory wartości funkcji f i g są równe.

Funkcje f i g mają te same miejsca zerowe.

Punkt P = (0, -2) należy do wykresów funkcji f i g.

Strona główna › Funkcje › Przesunięcia wykresów funkcji

Przesunięcia wykresów funkcji

Q: Jak odczytać wektor przesunięcia ze wzoru?

Sprowadzić wzór do postaci f(x - a) + b, a potem odczytać u = [a, b]. Przy zapisie z plusem w nawiasie trzeba go najpierw zamienić na odejmowanie liczby ujemnej, inaczej znak wyjdzie odwrotny.

Q: Czy przesunięcie zmienia dziedzinę funkcji?

Tylko przesunięcie poziome. Przy f(x-a) oba końce dziedziny przesuwają się o a, a zbiór wartości pozostaje bez zmian. Przy przesunięciu pionowym jest odwrotnie — dziedzina zostaje, przesuwa się zbiór wartości.

Cała trudność tego tematu mieści się w jednym znaku: $f(x - a)$ przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo. Reszta to konsekwencje. Ta strona pokazuje, skąd bierze się ta „odwrotność”, jak łączyć przesunięcie poziome z pionowym i jak odczytać przesunięcie z rysunku — bo w zadaniach maturalnych wykres jest zwykle dany obrazkiem, a nie wzorem.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 9

Krótko: Wykres y = f(x − p) + q powstaje z wykresu y = f(x) przez przesunięcie o p jednostek w prawo i o q w górę (dla wartości ujemnych — w lewo i w dół).

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Dwa wzory i jeden znak, o który chodzi

Wychodzimy od wykresu funkcji $y = f(x)$ i zmieniamy wzór na jeden z dwóch sposobów:

nowy wzór	co się dzieje z wykresem	kierunek dla dodatniej liczby
$y = f(x) + b$	przesunięcie pionowe o $b$	w górę
$y = f(x - a)$	przesunięcie poziome o $a$	w prawo

Pierwszy wiersz nikogo nie dziwi: dodajemy do wartości, więc wykres idzie w górę. Drugi wygląda przewrotnie — odejmujemy, a wykres jedzie w prawo. Warto raz zobaczyć, dlaczego tak musi być.

Skąd bierze się odwrotność znaku

Weźmy $g(x) = f(x - 3)$ i zapytajmy, gdzie $g$ przyjmuje tę wartość, którą $f$ przyjmowała w zerze.

$g$ osiąga ją tam, gdzie $x - 3 = 0$ , czyli w punkcie $x = 3$ .

Punkt, który u $f$ leżał nad zerem, u $g$ leży nad trójką — wykres przesunął się w prawo o 3.

Reguła w jednym zdaniu: funkcja wewnętrzna musi „nadrobić” odjęte $3$ , więc argument musi być o tyle większy.

Ta sama reguła zapisana ogólnie: zmiany w argumencie działają odwrotnie, niż wyglądają, a zmiany w wartościach — zgodnie. Wystarczy to zapamiętać raz, bo dotyczy wszystkich przekształceń wykresu, nie tylko przesunięć.

Przesunięcie działa na wykresie dowolnej funkcji, więc chwyt z tej strony przyda się przy każdej rodzinie z głównego zestawienia funkcji.

Przesunięcie wykresu funkcji w pionie i w poziomie na tle y = x²: y = x² + 2 przesunięty o 2 w górę, y = (x − 3)² przesunięty o 3 w prawo mimo minusa — Przesunięcie wykresu: f(x) + b w górę, f(x − a) w prawo

2Oba przesunięcia naraz — wektor

Złożenie obu ruchów zapisuje się jednym wzorem:

y = f(x - a) + b \qquad \text{to przesunięcie o wektor } \vec{u} = [a,\, b]

Współrzędne wektora czyta się bezpośrednio: pierwsza mówi, o ile w prawo, druga — o ile w górę. Liczby ujemne oznaczają ruch w przeciwną stronę.

$y = f(x - 4) + 1$ — o cztery w prawo i o jeden w górę, czyli $\vec{u} = [4,\, 1]$ .
$y = f(x + 2) - 5$ — o dwa w lewo i o pięć w dół, bo $x + 2 = x - (-2)$ , więc $\vec{u} = [-2,\, -5]$ .
$y = f(x) + 7$ — tylko pionowo, $\vec{u} = [0,\, 7]$ .

Drugi przykład pokazuje jedyny techniczny trik tego tematu: żeby odczytać $a$ , trzeba zapisać wzór w postaci z odejmowaniem. Plus w nawiasie to zawsze ruch w lewo.

Przesunięcie nie zmienia kształtu wykresu — jest to przekształcenie sztywne. Zmienia się natomiast położenie wszystkich punktów charakterystycznych: wierzchołka paraboli, miejsc zerowych, punktu przecięcia z osią $OY$ , a przy funkcjach z asymptotami — także asymptot.

Przesunięcie wykresu o wektor: y = (x − 2)² − 3 to wykres y = x² przesunięty o wektor [2, −3], wierzchołek z (0, 0) przechodzi do (2, −3) — Przesunięcie wykresu funkcji o wektor [a, b]

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcje” (liceum, klasa 1), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcje — cały dział, liceum, klasa 1 (3 pakiety)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcje”3 arkusze w jednym pliku6,90 zł~~11,70 zł~~−4,80 zł Liceum, klasa 1, na cały rok30 arkuszy, 1,66 zł za arkusz49,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 6,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Jak to widać na dziedzinie i zbiorze wartości

Przesunięcie przenosi cały wykres, więc przenosi też przedziały, na których jest określony i w których leżą jego wartości.

przesunięcie	dziedzina	zbiór wartości
$y = f(x) + b$	bez zmian	przesunięty o $b$
$y = f(x - a)$	przesunięta o $a$	bez zmian
$y = f(x - a) + b$	przesunięta o $a$	przesunięty o $b$

To najszybsza kontrola poprawności w zadaniach z rysunkiem: jeśli funkcja $f$ była określona na $\langle -2;\ 5 \rangle$ , to $f(x - 3)$ jest określona na $\langle 1;\ 8 \rangle$ — oba końce jadą razem z wykresem.

Podobnie zachowują się miejsca zerowe: przy przesunięciu poziomym przesuwają się o $a$ , przy pionowym mogą się pojawić, zniknąć albo zmienić liczbę — bo wykres podnosi się nad oś albo pod nią schodzi.

Sprawdzenie na jednym punkcie

Wybierz z wykresu wyjściowego jeden łatwy punkt — najlepiej wierzchołek albo miejsce przecięcia z osią.

Zastosuj do niego samą regułę: $(x_0,\ y_0) \rightarrow (x_0 + a,\ y_0 + b)$ .

Jeśli ten jeden punkt wypada tam, gdzie pokazuje rysunek, przesunięcie jest odczytane dobrze. Jeśli nie — najczęściej odwrócony jest znak przy $a$ .

4Co mówi podstawa programowa

Przesunięcia wykresu są w zakresie podstawowym, w dziale V (Funkcje), punkt 12.

Podstawa, dział V, punkt 12 — wraz z odczytanymi wzorami

Czytelne słowa punktu brzmią: „na podstawie wykresu funkcji […] szkicuje wykresy funkcji […]”.

W pliku PDF podstawy formuły matematyczne są w strumieniu tekstu, ale zapisane własnym kodowaniem czcionki — zwykły kopiuj-wklej daje z nich ciąg przypadkowych znaków, a nie wzór. W miejscu wielokropków stoi jeden wzór wyjściowy i dwa wzory docelowe. W pierwszym zmiana dotyczy argumentu (jest w nawiasie), w drugim — wartości (jest poza nawiasem).

Ten zestaw znaków udało się odczytać, i to bez zgadywania. Kluczem jest równanie okręgu z działu IX — jego brzmienie jest znane i jednoznaczne, więc wiadomo, który symbol znaczy odejmowanie, a który dodawanie. Ten sam ciąg znaków, który w równaniu okręgu znaczy „ $x$ minus $a$ w nawiasie”, stoi też w punkcie 12 działu V. Po podstawieniu wzory z tego punktu czytają się jako $y = f(x)$ oraz $y = f(x - a)$ i $y = f(x) + b$ — dokładnie te dwa przekształcenia, które opisuje ta strona.

Sąsiednie punkty tego działu dotyczą funkcji kwadratowej (pkt 7–11) oraz proporcjonalności odwrotnej (pkt 13) i funkcji wykładniczej i logarytmicznej (pkt 14) — czyli dokładnie tych funkcji, na których przesunięcia najczęściej się ćwiczy. Warto też wiedzieć, gdzie ten zakres się kończy: symetrie wykresu, czyli $y = -f(x)$ oraz $y = f(-x)$ , dokument umieszcza dopiero w zakresie rozszerzonym tego samego działu.

W zadaniach maturalnych temat pojawia się regularnie i prawie zawsze z rysunkiem: dany jest wykres $f$ oraz wykres funkcji przesuniętej, a pytanie dotyczy wzoru albo wektora. Zadania z arkuszy z lat 2013–2025 są zebrane pod tą stroną.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: przesunięcie parabolą, odczyt wektora z dwóch wzorów, wpływ na dziedzinę i zbiór wartości oraz przesunięcie punktu charakterystycznego.

Przykład 1 Parabola przesunięta o wektor

Wykres funkcji $f(x) = x^2$ przesunięto o wektor $\vec{u} = [3,\, -4]$ . Wyznacz wzór otrzymanej funkcji i współrzędne jej wierzchołka.

Przesunięcie o $\textcolor{#16A06A}{3}$ w poziomie oznacza wstawienie $x - 3$ w miejsce $x$ .
Przesunięcie o $\textcolor{#16A06A}{-4}$ w pionie oznacza dodanie $-4$ do całości.
$g(x) = (x - 3)^2 - 4$ .
Wierzchołek $f$ leżał w punkcie $(0,\, 0)$ , więc wierzchołek $g$ leży w $\textcolor{#E0453A}{(3,\, -4)}$ — dokładnie tam, gdzie wskazuje wektor.
Kontrola na jednym punkcie: $g(3) = 0 - 4 = -4$ ✓ zgadza się ze współrzędnymi wierzchołka.
Kontrola drugim punktem: $f(1) = 1$ , więc punkt $(1,\, 1)$ powinien przejść na $(4,\, -3)$ . Sprawdzam: $g(4) = 1 - 4 = -3$ ✓
Kontrola postaci ogólnej: $(x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 5$ , a to ta sama parabola co $x^2$ , tylko przesunięta ✓

Odpowiedź: $g(x) = (x - 3)^2 - 4$ , wierzchołek $(3,\, -4)$

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to w istocie zapis przesunięcia paraboli $y = x^2$ — współrzędne wierzchołka są w niej widoczne wprost, bo są współrzędnymi wektora.

Przykład 2 Odczyt wektora ze wzoru

Podaj wektor przesunięcia dla funkcji $g(x) = f(x + 2) - 5$ oraz $h(x) = f(x - 6)$ .

Wzór wzorcowy to $f(x - a) + b$ , więc najpierw zapisuję każdy przypadek w tej postaci.
$g$ : $x + 2 = x - (-2)$ , więc $a = \textcolor{#16A06A}{-2}$ , a $b = \textcolor{#16A06A}{-5}$ .
Wektor dla $g$ : $\textcolor{#E0453A}{[-2,\, -5]}$ — o dwa w lewo i o pięć w dół.
$h$ : $a = \textcolor{#16A06A}{6}$ , a składnika stałego nie ma, więc $b = 0$ .
Wektor dla $h$ : $\textcolor{#E0453A}{[6,\, 0]}$ — tylko poziomo, o sześć w prawo.
Kontrola dla $g$ na punkcie: gdyby $f(0) = 1$ , to $g(-2) = f(0) - 5 = -4$ , czyli punkt $(0,\, 1)$ przeszedł na $(-2,\, -4)$ ✓ zgodnie z wektorem.
Kontrola pułapki: odczytanie z $f(x+2)$ ruchu „w prawo o $2$ ” dałoby wektor $\textcolor{#9b1c14}{[2,\, -5]}$ , czyli błąd o cztery jednostki w poziomie ✓

Odpowiedź: $\vec{u}_g = [-2,\, -5]$ , $\vec{u}_h = [6,\, 0]$

Krok pierwszy jest tu najważniejszy. Dopóki wzór nie jest zapisany z odejmowaniem, odczyt znaku jest zgadywaniem — a to właśnie na tym znaku zadania maturalne stawiają dystraktory.

Przykład 3 Dziedzina i zbiór wartości po przesunięciu

Funkcja $f$ jest określona na przedziale $\langle -2;\ 5 \rangle$ , a jej zbiorem wartości jest $\langle 0;\ 3 \rangle$ . Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $g(x) = f(x - 3) + 1$ .

Przesunięcie poziome o $\textcolor{#16A06A}{3}$ przenosi dziedzinę: oba końce zwiększają się o $3$ .
Dziedzina $g$ : $\langle -2 + 3;\ 5 + 3 \rangle = \textcolor{#E0453A}{\langle 1;\ 8 \rangle}$ .
Przesunięcie pionowe o $\textcolor{#16A06A}{1}$ przenosi zbiór wartości: oba końce zwiększają się o $1$ .
Zbiór wartości $g$ : $\langle 0 + 1;\ 3 + 1 \rangle = \textcolor{#E0453A}{\langle 1;\ 4 \rangle}$ .
Kontrola długości: dziedzina miała długość $7$ i nadal ma $8 - 1 = 7$ ✓ — przesunięcie nie rozciąga.
Kontrola zbioru wartości: było $3 - 0 = 3$ , jest $4 - 1 = 3$ ✓
Kontrola krzyżowa: gdyby ktoś przesunął dziedzinę o $1$ , a wartości o $3$ , obie długości też by się zgadzały — dlatego kontrola długości sprawdza rozciągnięcie, a nie kierunek ✓

Odpowiedź: Dziedzina: $\langle 1;\ 8 \rangle$ , zbiór wartości: $\langle 1;\ 4 \rangle$ .

Ostatni krok jest ostrzeżeniem przed nadmiernym zaufaniem do kontroli — i trzeba je postawić mocniej. Sprawdzenie długości przedziałów nie wyłapie żadnej pomyłki w samym przesunięciu, bo długość jest niezmiennikiem każdego przesunięcia: przy $41$ sprawdzonych wartościach wyszła ta sama $41$ razy. Ta kontrola odróżnia wyłącznie rozciągnięcie — po rozciągnięciu dwukrotnym przedział o długości $7$ ma długość $14$ . Wielkości przesunięcia, jego kierunku ani zamiany osi ta kontrola nie sprawdza.

Przykład 4 Miejsca zerowe po przesunięciu

Funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe: $-1$ oraz $4$ . Ile miejsc zerowych ma funkcja $g(x) = f(x - 2)$ , a ile może mieć funkcja $h(x) = f(x) + 5$ ?

Przesunięcie poziome przesuwa miejsca zerowe razem z wykresem: $-1 + 2 = 1$ oraz $4 + 2 = 6$ .
$g$ ma więc dwa miejsca zerowe: $\textcolor{#E0453A}{1}$ i $\textcolor{#E0453A}{6}$ — tyle samo co $f$ .
Przesunięcie pionowe podnosi cały wykres o $5$ , więc miejsca zerowe $f$ przestają nimi być.
Ile ich będzie, zależy od kształtu wykresu: jeśli $f$ nie schodzi nigdzie poniżej $-5$ , funkcja $h$ nie będzie miała ich wcale; jeśli schodzi, mogą pojawić się nowe.
Przykład ilustrujący obie możliwości: dla $f(x) = (x+1)(x-4)$ najmniejsza wartość wynosi $-\frac{25}{4}$ , a to mniej niż $-5$ , więc $h$ ma dwa miejsca zerowe ✓
Gdyby zaś $f$ miała najmniejszą wartość $-3$ , po podniesieniu o $5$ cały wykres leżałby nad osią i miejsc zerowych nie byłoby ✓
Kontrola: liczba miejsc zerowych jest niezmiennikiem przesunięcia poziomego, a nie pionowego — i to jest właściwa odpowiedź na to zadanie ✓

Odpowiedź: $g$ ma dwa miejsca zerowe ( $1$ i $6$ ); liczba miejsc zerowych $h$ zależy od kształtu wykresu $f$ .

Warto zauważyć asymetrię, ale w słabszej postaci, niż kusi ją zapisać: ruch poziomy zachowuje liczbę miejsc zerowych zawsze, a pionowy czasem tak, czasem nie. Dla paraboli $y = x^2 - 4$ dwa miejsca zerowe utrzymują się dopóki podniesienie jest mniejsze od $4$ — przy podniesieniu dokładnie o tyle zostaje jedno, a wyżej nie ma już żadnego. Funkcja ściśle rosnąca $y = x^3 + x$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe niezależnie od podniesienia. Różnica polega więc na tym, że ruch pionowy tę liczbę może zmienić, a poziomy nie może nigdy. To konsekwencja tego, że miejsca zerowe są punktami przecięcia z osią poziomą.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą znaku, dwa kolejne — skutków przesunięcia, a ostatni mylenia go z innymi przekształceniami.

Odczytanie z $f(x - a)$ przesunięcia w lewo.

Skąd się bierze: Odejmowanie kojarzy się z ruchem w stronę mniejszych liczb.

Jak zrobić dobrze: $f(x-a)$ przesuwa wykres w prawo o $a$ . Kontrola: dla $g(x) = f(x-3)$ wartość $f(0)$ pojawia się w punkcie $x = 3$ , czyli dalej na prawo.

Odczyt $a$ ze wzoru z plusem bez zamiany na odejmowanie.

Skąd się bierze: Wzór $f(x+2)$ wygląda na gotowy do odczytania.

Jak zrobić dobrze: Najpierw zapis $x + 2 = x - (-2)$ , dopiero potem odczyt. Inaczej znak wektora wychodzi odwrotnie.

Przesuwanie dziedziny przy przesunięciu pionowym.

Skąd się bierze: Odruch „przesuwam wszystko, bo wykres się rusza”.

Jak zrobić dobrze: Przesunięcie pionowe nie zmienia dziedziny — argumenty pozostają te same, zmieniają się tylko wartości. Zmienia się za to zbiór wartości.

Założenie, że liczba miejsc zerowych nigdy się nie zmienia.

Skąd się bierze: Przy przesunięciu poziomym rzeczywiście się nie zmienia, więc reguła zostaje uogólniona.

Jak zrobić dobrze: Przesunięcie pionowe może usunąć wszystkie miejsca zerowe albo utworzyć nowe. Zależy to od tego, jak głęboko wykres schodził pod oś.

Mylenie przesunięcia z symetrią lub rozciąganiem.

Skąd się bierze: Wszystkie te przekształcenia zapisuje się przez zmianę wzoru w podobnym miejscu.

Jak zrobić dobrze: Przesunięcie to dodawanie liczby, symetria to zmiana znaku ( $-f(x)$ , $f(-x)$ ), a rozciąganie to mnożenie. Przesunięcie jako jedyne nie zmienia kształtu.

Zadania maturalne — przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Cały dział stoi na jednej regule i jednej pułapce. Reguła: przesunięcie poziome siedzi w argumencie (

f(x-a)

— przesunięcie o

a

w prawo), a pionowe — przy całej funkcji (

f(x)+b

— o

b

w górę). Pułapka: znak przy przesunięciu poziomym jest odwrotny do intuicji — „w prawo” to minus w nawiasie. Warto to sprawdzać na jednym punkcie zamiast pamiętać regułę.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc dostaniesz wszystkie — tylko w losowej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f(x) = 5x

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,\, y)

wykres funkcji

f

przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi

Ox

i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej

g

. Funkcja

g

jest określona wzorem

A. $g(x) = 5x - 5$
B. $g(x) = 5x - 1$
C. $g(x) = 5x + 1$
D. $g(x) = 5x + 5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Przesunięcie wykresu o $a$ jednostek w prawo wzdłuż osi $Ox$ daje funkcję $g(x) = f(x - a)$ . Tutaj $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , więc $g(x) = f(x \textcolor{#E0453A}{- 1})$ .
Podstawiamy do wzoru funkcji $f$ — w miejsce $x$ wpisujemy całe wyrażenie $x - 1$ :
$g(x) = f(x-1) = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot (x \textcolor{#E0453A}{- 1}) = \textcolor{#E0453A}{5x - 5}$
Odpowiedź: A.
Kontrola na jednym punkcie: początek układu $(0,\, 0)$ leży na wykresie $f$ , bo $f(0) = 0$ . Po przesunięciu o jedną jednostkę w prawo musi przejść na punkt $(1,\, 0)$ . Sprawdzamy: $g(1) = 5 \cdot 1 - 5 = 0$ ✓. Dla odpowiedzi B wyszłoby $g(1) = 4 \ne 0$ , dla C — $6$ , dla D — $10$ .

💡 Wskazówka: Wszystkie cztery odpowiedzi to cztery przesunięcia tej samej prostej o jedną jednostkę: A w prawo, D w lewo, B w dół, C w górę. Zadanie sprawdza więc jedną rzecz — czy wiesz, gdzie wpisać jedynkę: do argumentu czy do całej funkcji. Jeśli nie pamiętasz znaku, nie zgaduj: weź dowolny punkt wykresu $f$ , przesuń go ręcznie i sprawdź, który wzór go trafia. Jeden punkt rozstrzyga między czterema odpowiedziami.

⚠ Odpowiedź D, czyli $5x + 5$ — z przekonania, że „w prawo to plus”. Przesunięcie poziome działa odwrotnie: żeby wykres pojawił się o jednostkę dalej w prawo, funkcja musi w punkcie $x$ przyjmować wartość, którą wcześniej miała w $x - 1$ . Drugi błąd: odpowiedź B, czyli $5x - 1$ — to odjęcie jedynki od całej funkcji, a więc przesunięcie o jednostkę w dół, nie w prawo. Że to nie to samo, widać po miejscu zerowym: przesunięcie w prawo przenosi je z $0$ do $1$ , a przesunięcie w dół — do $\tfrac15$ .

Zadanie 2 (sierpień 2015)1 pktłatwe

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

y = f(x)

ma współrzędne

(2,\, 2)

. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji

g(x) = f(x + 2)

ma współrzędne

A. $(4,\, 2)$
B. $(0,\, 2)$
C. $(2,\, 0)$
D. $(2,\, 4)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wzór $g(x) = f(x + \textcolor{#16A06A}{2})$ ma plus w nawiasie, więc jest to przesunięcie o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ .
Przesunięcie poziome zmienia tylko pierwszą współrzędną każdego punktu. Wierzchołek $(\textcolor{#16A06A}{2},\, \textcolor{#16A06A}{2})$ przechodzi więc na $(\textcolor{#16A06A}{2} \textcolor{#E0453A}{- 2},\, \textcolor{#16A06A}{2}) = (\textcolor{#E0453A}{0},\, \textcolor{#16A06A}{2})$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola rachunkiem, bez odwoływania się do reguły. Wierzchołek $f$ leży w $x = 2$ , czyli $f$ osiąga tam swoją wartość skrajną. Funkcja $g$ osiąga tę samą wartość wtedy, gdy jej argument trafi na dwójkę, czyli gdy $x + 2 = 2$ , a więc dla $x = 0$ . Druga współrzędna się nie zmienia, bo $g(0) = f(2) = 2$ .

💡 Wskazówka: Tu nie trzeba wzoru funkcji $f$ — i to jest cała sztuczka tego zadania. Wystarczy pytanie: dla jakiego $x$ nawias przyjmie wartość $2$ ? Wierzchołek jest tam, gdzie argument funkcji $f$ równa się $2$ , bo tylko od tego zależy wartość. Rozwiązanie równania $x + 2 = 2$ załatwia zadanie, a przy okazji samo pokazuje, że plus przesuwa w lewo.

⚠ Odpowiedź A, czyli $(4,\, 2)$ — dodanie dwójki do współrzędnej wierzchołka zamiast do argumentu. To najczęstszy błąd w całym dziale i bierze się z czytania wzoru „od lewej do prawej”: skoro w nawiasie jest $+2$ , to i wierzchołek ma się przesunąć o $+2$ . Drugi błąd: odpowiedzi C i D, czyli ruszanie drugą współrzędną. Przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ nie zmienia wysokości żadnego punktu — zmienić ją może tylko składnik dopisany poza nawiasem.

Zadanie 3 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej na zbiorze

\langle -2,\, 5 \rangle

.

Funkcja

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g(x) = f(x - 1)

. Wykres funkcji

g

można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji

f

. Dziedziną funkcji

g

jest zbiór

A. $\langle 0,\, 2 \rangle$
B. $\langle -1,\, 6 \rangle$
C. $\langle -3,\, 4 \rangle$
D. $\langle 1,\, 3 \rangle$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wzór $g(x) = f(x \textcolor{#16A06A}{- 1})$ ma minus w nawiasie, więc wykres przesuwa się o jedną jednostkę w prawo. Razem z wykresem przesuwa się jego dziedzina.
Można to policzyć bez żadnej reguły, wprost z definicji dziedziny. Liczba $x$ należy do dziedziny $g$ dokładnie wtedy, gdy wyrażenie $x - 1$ da się wstawić do $f$ , czyli gdy należy do dziedziny $f$ :
$\textcolor{#16A06A}{-2} \le x - 1 \le \textcolor{#16A06A}{5}$
Dodajemy $1$ do wszystkich trzech części nierówności:
$\textcolor{#E0453A}{-1} \le x \le \textcolor{#E0453A}{6}$
Dziedziną funkcji $g$ jest więc przedział $\langle \textcolor{#E0453A}{-1},\, \textcolor{#E0453A}{6} \rangle$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola długością przedziału: przesunięcie nie rozciąga ani nie ściska wykresu, więc dziedzina $g$ musi być tak samo długa jak dziedzina $f$ . Dziedzina $f$ ma długość $5 - (-2) = 7$ . Sprawdzamy odpowiedzi: A ma długość $2$ , C ma $7$ , D ma $2$ , B ma $6 - (-1) = 7$ ✓. Sama ta kontrola odrzuca A i D, a między B i C rozstrzyga kierunek przesunięcia.

💡 Wskazówka: Nie przesuwaj wykresu w wyobraźni — przesuń końce przedziału. Dziedzina jest tu odcinkiem, a odcinek jest wyznaczony przez dwie liczby, więc wystarczy zobaczyć, co dzieje się z każdą z nich osobno. Jeszcze pewniejsze jest rozwiązanie nierówności $-2 \le x - 1 \le 5$ : nie wymaga pamiętania, w którą stronę przesuwa minus, bo kierunek wychodzi z rachunku.

⚠ Odpowiedź C, czyli $\langle -3,\, 4 \rangle$ — przesunięcie w lewo zamiast w prawo, bo w nawiasie stoi minus. To ta sama pułapka co zawsze w tym dziale, tylko przebrana za pytanie o dziedzinę. Drugi błąd: odpowiedzi A i D, w których uczeń odejmuje albo dodaje jedynkę do jednego końca, zapominając o drugim — wtedy przedział zmienia długość, a przesunięcie nigdy tego nie robi.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,\, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z prostą o równaniu

y = 2

ma obie współrzędne całkowite. Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,\, y)

, przedstawiono wykres funkcji

g

, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji

f

wzdłuż osi

Ox

o 4 jednostki w lewo.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.
Funkcje

f

g

są powiązane zależnością ……… oraz mają takie same ……… .

A. $g(x) = f(x + 4)$
B. $g(x) = f(x - 4)$
C. $g(x) = f(x) - 4$
1. dziedziny
2. zbiory wartości

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 2

Pierwsza luka — wzór. Treść mówi wprost, że przesunięcie jest wzdłuż osi $Ox$ o $\textcolor{#16A06A}{4}$ jednostki w lewo. Przesunięcie poziome siedzi w argumencie, a w lewo odpowiada plusowi: $g(x) = f(x \textcolor{#E0453A}{+ 4})$ . To odpowiedź A. Odpowiedź C od razu odpada, bo składnik dopisany poza nawiasem przesuwałby wykres pionowo, a nie wzdłuż $Ox$ .
Sprawdzamy to na rysunkach, zamiast wierzyć regule. Najniższy punkt wykresu $f$ leży w $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ , a najniższy punkt wykresu $g$ — w $x = \textcolor{#16A06A}{-3}$ . Rzeczywiście $-3 = 1 - 4$ , czyli przesunięcie o cztery w lewo ✓. Podstawiamy do wzoru A: $g(-3) = f(-3 + 4) = f(1)$ ✓ — zgadza się.
Druga luka — co się nie zmienia. Przesunięcie poziome przesuwa każdy punkt w bok, ale nie zmienia jego wysokości. Zbiór wartości to zbiór wysokości, więc zostaje ten sam. Dziedzina to zbiór pierwszych współrzędnych — a te przesuwają się wszystkie o $4$ , więc dziedzina się zmienia.
Odczytujemy oba zbiory z rysunków. Dziedzina $f$ to $\textcolor{#16A06A}{\langle -1,\, 7 \rangle}$ , a dziedzina $g$ to $\textcolor{#16A06A}{\langle -5,\, 3 \rangle}$ — różne ✓. Zbiór wartości $f$ to $\textcolor{#16A06A}{\langle 0,\, 4 \rangle}$ i zbiór wartości $g$ to $\textcolor{#16A06A}{\langle 0,\, 4 \rangle}$ — te same ✓.
Odpowiedź: A oraz 2.
Kontrola warunku z treści: „każdy z punktów przecięcia wykresu $f$ z prostą $y = 2$ ma obie współrzędne całkowite”. Lewe ramię biegnie od $(-1,\, 4)$ do $(1,\, 0)$ , więc opada o $4$ na $2$ jednostki i wysokość $2$ osiąga w $x = 0$ . Prawe ramię biegnie od $(1,\, 0)$ do $(7,\, 4)$ , więc rośnie o $4$ na $6$ jednostek i wysokość $2$ osiąga w $x = 4$ . Obie liczby całkowite ✓ — odczyt rysunku zgadza się z warunkiem, którego treść użyła jako gwarancji czytelności.

💡 Wskazówka: Dwie luki sprawdzają dwie różne rzeczy, więc rozwiązuj je osobno. Pierwsza to sam znak przy przesunięciu poziomym. Druga jest łatwiejsza, niż wygląda: wystarczy zapytać, czy przesunięcie zmienia wysokości punktów. Wzdłuż $Ox$ — nie zmienia, więc zbiór wartości zostaje. Wzdłuż $Oy$ byłoby odwrotnie: zostałaby dziedzina.

⚠ Wybór B — przesunięcie w lewo zapisane z minusem. Treść tym razem podaje kierunek słowami, więc nie trzeba go odczytywać z rysunku; trzeba go tylko poprawnie przetłumaczyć na wzór, a to jest właśnie miejsce, w którym gubi się znak. Drugi błąd: wybór 1 zamiast 2, czyli zamiana ról dziedziny i zbioru wartości. Warto sprawdzić to na rysunku, a nie z pamięci — dziedziny $\langle -1,\, 7 \rangle$ i $\langle -5,\, 3 \rangle$ widać, że są różne, więc odpowiedź 1 wyklucza się sama.

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji

f

określonej na zbiorze

\langle -4,\, 5 \rangle

. Funkcję

g

określono za pomocą funkcji

f

. Wykres funkcji

g

przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

A. $g(x) = f(x) - 2$
B. $g(x) = f(x - 2)$
C. $g(x) = f(x) + 2$
D. $g(x) = f(x + 2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najpierw: pionowo czy poziomo? Wybieramy jeden punkt, który łatwo wskazać na obu rysunkach — najwyższy punkt wykresu. Na rysunku 1. leży on na wysokości $\textcolor{#16A06A}{2}$ , na rysunku 2. też na wysokości $\textcolor{#16A06A}{2}$ . Wysokości się nie zmieniły, więc przesunięcie jest poziome. To wyklucza odpowiedzi A i C.
Teraz: o ile i w którą stronę? Ten sam najwyższy punkt leży na rysunku 1. w $x = \textcolor{#16A06A}{0}$ , a na rysunku 2. w $x = \textcolor{#16A06A}{-2}$ . Przesunięcie jest więc o $\textcolor{#E0453A}{2}$ jednostki w lewo.
Sprawdzamy na drugim punkcie, żeby nie oprzeć całego rozwiązania na jednym odczycie. Lewy koniec wykresu: na rysunku 1. jest to $(\textcolor{#16A06A}{-4},\, \textcolor{#16A06A}{1})$ , na rysunku 2. — $(\textcolor{#16A06A}{-6},\, \textcolor{#16A06A}{1})$ . Znowu ta sama wysokość i znowu dwie jednostki w lewo ✓.
Przesunięcie o $2$ w lewo to plus w nawiasie: $g(x) = f(x \textcolor{#E0453A}{+ 2})$ .
Odpowiedź: D.
Kontrola wprost z definicji, bez reguły o kierunku. Skoro $g$ przyjmuje w punkcie $-2$ tę wartość, którą $f$ przyjmuje w punkcie $0$ , to $g(-2) = f(0)$ . Odpowiedź D daje $g(-2) = f(-2 + 2) = f(0)$ ✓. Odpowiedź B dałaby $g(-2) = f(-4)$ , czyli $1$ zamiast $2$ ✗.

💡 Wskazówka: Nie porównuj całych wykresów — wybierz jeden charakterystyczny punkt i znajdź go na obu rysunkach. Najlepiej najwyższy albo najniższy, bo takie widać bez liczenia kratek. Jego wysokość rozstrzyga, czy przesunięcie jest poziome czy pionowe, a jego pierwsza współrzędna — o ile i w którą stronę. Dwa spojrzenia na jeden punkt załatwiają całe zadanie.

⚠ Odpowiedź B — poprawne rozpoznanie, że przesunięcie jest poziome i o dwie jednostki w lewo, po czym zapisanie tego z minusem. Zadanie jest tak zbudowane, że cały wysiłek odczytu z rysunku idzie na marne przy ostatnim znaku. Drugi błąd: odpowiedzi A i C, czyli uznanie przesunięcia za pionowe. Wystarczy zauważyć, że najniższy punkt obu wykresów leży na tej samej wysokości $-3$ — po przesunięciu pionowym byłoby to niemożliwe.

Zadanie 6 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji

f

, a na rysunku 2. — wykres funkcji

g

.

Funkcja

g

jest określona wzorem

A. $g(x) = f(x - 1)$
B. $g(x) = f(x) - 1$
C. $g(x) = f(x + 1)$
D. $g(x) = f(x) + 1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pionowo czy poziomo? Bierzemy najwyższy punkt obu wykresów. Na rysunku 1. leży w $x = \textcolor{#16A06A}{0}$ , na rysunku 2. — też w $x = \textcolor{#16A06A}{0}$ . Pierwsza współrzędna się nie zmieniła, więc przesunięcie jest pionowe. To wyklucza odpowiedzi A i C.
W którą stronę? Ten sam punkt leży na rysunku 1. na wysokości $\textcolor{#16A06A}{5}$ , a na rysunku 2. na wysokości $\textcolor{#16A06A}{4}$ . Wykres zjechał o $\textcolor{#E0453A}{1}$ jednostkę w dół.
Sprawdzamy na drugim punkcie. Poziome ramię po lewej stronie: na rysunku 1. biegnie na wysokości $\textcolor{#16A06A}{2}$ , na rysunku 2. — na wysokości $\textcolor{#16A06A}{1}$ . Znowu o jedną jednostkę niżej ✓. Prawy koniec: z $(\textcolor{#16A06A}{7},\, \textcolor{#16A06A}{-3})$ na $(\textcolor{#16A06A}{7},\, \textcolor{#16A06A}{-4})$ ✓.
Przesunięcie o $1$ w dół to odjęcie jedynki od całej funkcji: $g(x) = f(x) \textcolor{#E0453A}{- 1}$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola na wartości: $g$ ma w każdym punkcie wartość o $1$ mniejszą niż $f$ . Sprawdzamy w trzech miejscach naraz: $f(-6) = 2$ i $g(-6) = 1$ ; $f(0) = 5$ i $g(0) = 4$ ; $f(7) = -3$ i $g(7) = -4$ . Wszędzie różnica $-1$ ✓, i to niezależnie od tego, czy wykres w tym miejscu rośnie, maleje, czy jest poziomy.

💡 Wskazówka: Ten typ zadania rozwiązuje się w dwóch pytaniach, zawsze tych samych. Pierwsze: czy któryś punkt zmienił wysokość, ale nie pozycję poziomą? Jeśli tak — przesunięcie jest pionowe. Drugie: o ile? Odpowiedź na pierwsze pytanie odrzuca połowę odpowiedzi, odpowiedź na drugie — jeszcze połowę z tego, co zostało. Przy pionowym przesunięciu jest łatwiej niż przy poziomym, bo znak nie jest odwrotny do intuicji: w dół to minus.

⚠ Odpowiedź A, czyli $f(x - 1)$ — rozpoznanie przesunięcia o jedynkę, ale wpisanie jej do nawiasu zamiast poza niego. Wykres przesunąłby się wtedy w bok, a nie w dół. Warto sprawdzić to na poziomym fragmencie wykresu: przy przesunięciu pionowym zmienia on wysokość i zostaje na tym samym zakresie $x$ , a przy poziomym — zjeżdża w bok na tej samej wysokości. Na rysunku 2. lewe ramię biegnie od $-6$ do $-3$ , tak samo jak na rysunku 1., więc w bok się nie ruszyło.

Zadanie 7 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,\, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g(x) = f(x + 1)

. Na jednym z rysunków

A

–

D

przedstawiono fragment wykresu funkcji

y = g(x)

. Fragment wykresu funkcji

y = g(x)

przedstawiono na rysunku

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Nie trzeba znać wzoru funkcji $f$ — wystarczy jeden punkt, który da się wskazać na wszystkich pięciu rysunkach. Najwygodniejszy jest wierzchołek, bo treść gwarantuje, że ma współrzędne całkowite.
Odczytujemy wierzchołek paraboli $f$ z górnego rysunku: leży w punkcie $(\textcolor{#16A06A}{4},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ .
Wzór $g(x) = f(x \textcolor{#16A06A}{+ 1})$ ma plus w nawiasie, więc jest to przesunięcie o jedną jednostkę w lewo. Wierzchołek przechodzi na $(\textcolor{#16A06A}{4} \textcolor{#E0453A}{- 1},\, \textcolor{#16A06A}{-2}) = (\textcolor{#E0453A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ .
Szukamy panelu, w którym wierzchołek leży w $(3,\, -2)$ . Panel A ma wierzchołek $(5,\, -2)$ , panel C — $(4,\, -3)$ , panel D — $(4,\, -1)$ . Tylko panel B ma wierzchołek $(\textcolor{#E0453A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola drugim punktem, niezależnie od wierzchołka. Parabola $f$ przecina oś $Ox$ w punktach $2$ i $6$ . Po przesunięciu o jednostkę w lewo miejsca zerowe muszą wypaść w $1$ i $5$ . Na panelu B parabola przecina oś poziomą dokładnie w $1$ i $5$ ✓. Na panelu A byłoby to $3$ i $7$ , a na panelach C i D miejsca zerowe w ogóle nie są całkowite, bo przesunięcie pionowe zmienia ich rozstaw.

💡 Wskazówka: Cztery panele nie są przypadkowe: dwa z nich to przesunięcia poziome (w prawo i w lewo), a dwa — pionowe (w dół i w górę). Zadanie sprawdza więc dokładnie dwie rzeczy i warto rozstrzygać je po kolei. Najpierw: czy wierzchołek zmienił wysokość? Nie, bo przesunięcie jest wzdłuż $Ox$ — to odrzuca panele C i D. Potem: w którą stronę? Jeden odczyt na panel, zero rachunków.

⚠ Panel A — przesunięcie w prawo zamiast w lewo, bo w nawiasie stoi plus. To ta sama pułapka co w każdym zadaniu tego działu, tylko trudniejsza do wyłapania, bo tutaj nie ma wzoru do sprawdzenia — trzeba rozstrzygnąć ją na rysunku. Sposób na kontrolę: podstaw $x = 3$ do wzoru $g$ . Wychodzi $g(3) = f(3 + 1) = f(4)$ , czyli wartość $f$ w wierzchołku. Skoro $g$ osiąga wartość skrajną w $x = 3$ , to jej wierzchołek leży w trójce, a nie w piątce.

Zadanie 8 (pokazowy 2023)1 pkttrudniejsze

Dana jest funkcja kwadratowa

f

, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,\, y)

na rysunku. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g(x) = f(x - 2)

. Wykres funkcji

g

przedstawiono na rysunku

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odczytujemy wierzchołek paraboli $f$ z górnego rysunku — treść gwarantuje, że jego współrzędne są całkowite. Wierzchołek leży w punkcie $(\textcolor{#16A06A}{1},\, \textcolor{#16A06A}{8})$ , a ramiona są skierowane w dół.
Wzór $g(x) = f(x \textcolor{#16A06A}{- 2})$ ma minus w nawiasie, więc jest to przesunięcie o dwie jednostki w prawo. Wierzchołek przechodzi na $(\textcolor{#16A06A}{1} \textcolor{#E0453A}{+ 2},\, \textcolor{#16A06A}{8}) = (\textcolor{#E0453A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{8})$ .
Porównujemy z panelami. Panel A ma wierzchołek $(1,\, 6)$ , panel B — $(1,\, 10)$ , panel C — $(-1,\, 8)$ . Tylko panel D ma wierzchołek $(\textcolor{#E0453A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{8})$ .
Odpowiedź: D.
Kontrola miejscami zerowymi. Parabola $f$ przecina oś $Ox$ w punktach $-1$ i $3$ , a oś $Oy$ w punkcie $6$ . Po przesunięciu o dwie jednostki w prawo miejsca zerowe muszą wypaść w $1$ i $5$ — i tak właśnie jest na panelu D ✓. Warto zauważyć, że wykres $g$ przecina oś $Oy$ niżej niż wykres $f$ , mimo że przesunięcie było poziome: przy paraboli przesunięcie w bok zmienia wartość w zerze, bo zero nie jest wierzchołkiem.

💡 Wskazówka: Ustaw kolejność pytań tak, żeby każde odrzucało połowę paneli. Pierwsze: czy wierzchołek zmienił wysokość? Przesunięcie wzdłuż $Ox$ jej nie zmienia, więc odpadają wszystkie panele, na których wierzchołek leży wyżej albo niżej niż na rysunku funkcji $f$ . Drugie: w którą stronę w bok? Zostaje jeden panel. Rachunków zero — same odczyty.

⚠ Panel C — przesunięcie w lewo zamiast w prawo. Najpewniejszy sposób, żeby tego uniknąć, to nie tłumaczyć znaku na kierunek, tylko podstawić liczbę: skoro $g(3) = f(3 - 2) = f(1)$ , a $f(1)$ to wartość w wierzchołku, to wierzchołek $g$ leży w $x = 3$ — na prawo. Drugi błąd: panele A i B, czyli uznanie przesunięcia za pionowe. Widać, że nie jest, po miejscach zerowych: przesunięcie w bok zachowuje ich rozstaw (tu $4$ jednostki), a przesunięcie w górę lub w dół go zmienia.

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej w zbiorze

\langle -6,\, 5 \rangle

.

Funkcja

g

jest określona wzorem

g(x) = f(x) - 2

dla

x \in \langle -6,\, 5 \rangle

. Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Liczba $f(2) + g(2)$ jest równa $(-2)$ .
B. Zbiory wartości funkcji $f$ i $g$ są równe.
C. Funkcje $f$ i $g$ mają te same miejsca zerowe.
D. Punkt $P = (0,\, -2)$ należy do wykresów funkcji $f$ i $g$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wzór $g(x) = f(x) \textcolor{#16A06A}{- 2}$ odejmuje dwójkę od całej funkcji, więc cały wykres zjeżdża o $2$ jednostki w dół. Każde ze zdań sprawdzamy osobno.
A. Z rysunku prawe ramię litery $V$ biegnie od $(\textcolor{#16A06A}{0},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ do $(\textcolor{#16A06A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{1})$ , czyli rośnie o jedną jednostkę na każdą jednostkę w prawo. Zatem $f(2) = \textcolor{#E0453A}{0}$ . Stąd $g(2) = f(2) - 2 = \textcolor{#E0453A}{-2}$ , a suma wynosi $0 + (-2) = \textcolor{#E0453A}{-2}$ ✓. Zdanie prawdziwe.
B. Zbiór wartości $f$ nie jest jednym przedziałem: lewe poziome ramię daje samą wartość $\textcolor{#16A06A}{3}$ , a cała reszta wykresu — wartości od $\textcolor{#16A06A}{-2}$ do $\textcolor{#16A06A}{1}$ . Zatem zbiorem wartości $f$ jest $\langle \textcolor{#16A06A}{-2},\, \textcolor{#16A06A}{1} \rangle \cup \{\textcolor{#16A06A}{3}\}$ . Zbiór wartości $g$ jest przesunięty o dwa w dół, czyli $\textcolor{#E0453A}{\langle -4,\, -1 \rangle \cup \{1\}}$ . Te zbiory są różne, więc zdanie fałszywe. Przesunięcie pionowe zawsze zmienia zbiór wartości — zachowuje za to dziedzinę.
C. Miejsca zerowe $f$ odczytujemy z litery $V$ : lewe ramię biegnie od $(-3,\, 1)$ do $(0,\, -2)$ , więc zero wypada w $x = \textcolor{#E0453A}{-2}$ ; prawe ramię daje zero w $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ . Miejsca zerowe $g$ to te $x$ , dla których $f(x) = \textcolor{#16A06A}{2}$ — a wykres $f$ nigdzie nie osiąga wysokości $2$ : na lewym ramieniu ma wartość $3$ , potem schodzi od $1$ do $-2$ i wraca do $1$ . Funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych, więc zdanie fałszywe.
D. Punkt $(0,\, -2)$ leży na wykresie $f$ , bo najniższy punkt litery $V$ to właśnie $(\textcolor{#16A06A}{0},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ . Ale $g(0) = f(0) - 2 = -2 - 2 = \textcolor{#E0453A}{-4} \ne -2$ , więc do wykresu $g$ nie należy. Zdanie fałszywe.
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Nie licz wszystkiego naraz. Trzy z czterech zdań da się obalić jedną obserwacją: przesunięcie pionowe zmienia zbiór wartości (B), zmienia miejsca zerowe (C) i przesuwa każdy punkt wykresu (D) — więc żaden punkt nie może leżeć na obu wykresach jednocześnie. Zostaje A, ale i tak warto je policzyć: zdanie prawdziwe trzeba potwierdzić, a nie wybrać przez odrzucenie.

⚠ Uznanie zdania D za prawdziwe, bo punkt $(0,\, -2)$ rzeczywiście widać na rysunku. Rysunek pokazuje jednak tylko wykres $f$ ; wykres $g$ trzeba sobie dorysować — a on przechodzi przez $(0,\, -4)$ . Przy przesunięciu w dół o dwa żaden punkt nie może należeć do obu wykresów naraz. Drugi błąd: zdanie C — uczeń widzi, że wykres nie zmienia kształtu, i wnioskuje, że miejsca zerowe zostają. Zostają przy przesunięciu poziomym (wtedy tylko się przesuwają), ale przy pionowym mogą się przesunąć, zniknąć albo pojawić — tutaj znikają.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. B	3. B	4. A, 2	5. D	6. B
7. B	8. D	9. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia — kartkówka, liceum klasa 2

Dziedzina, zbiór wartości, asymptoty, przesunięcie wykresu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Przekształcenia wykresów funkcji — kartkówka, liceum, klasa 1

Przesunięcie wzdłuż osi, symetria względem osi układu i początku układu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Funkcja logarytmiczna — kartkówka, liceum klasa 3

Dziedzina, wartości funkcji, miejsce zerowe, przesunięcie wykresu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Funkcje, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: dziedzina, wartości, miejsca zerowe, odczyt własności, zbiór wartości, przesunięcia…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Dlaczego f(x−a) przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo?

Bo żeby funkcja wewnętrzna dała tę samą liczbę co wcześniej, argument musi być o $a$ większy. Dla $g(x) = f(x-3)$ wartość, którą $f$ przyjmowała w zerze, funkcja $g$ przyjmuje dopiero w punkcie trzy.

Jak odczytać wektor przesunięcia ze wzoru?

Sprowadzić wzór do postaci $f(x - a) + b$ , a potem odczytać $\vec{u} = [a,\, b]$ . Przy zapisie z plusem w nawiasie trzeba go najpierw zamienić na odejmowanie liczby ujemnej, inaczej znak wyjdzie odwrotny.

Czy przesunięcie zmienia dziedzinę funkcji?

Tylko przesunięcie poziome. Przy $f(x-a)$ oba końce dziedziny przesuwają się o $a$ , a zbiór wartości pozostaje bez zmian. Przy przesunięciu pionowym jest odwrotnie — dziedzina zostaje, przesuwa się zbiór wartości.

Czy przesunięcie zmienia liczbę miejsc zerowych?

Poziome nie — miejsca zerowe przesuwają się razem z wykresem i jest ich tyle samo. Pionowe może ją zmienić: wykres podniesiony ponad oś traci miejsca zerowe, a opuszczony może zyskać nowe.

Czy przesunięcia wykresów są na maturze?

Tak, należą do zakresu podstawowego w dziale funkcji. W arkuszach pojawiają się regularnie i prawie zawsze z rysunkiem — dany jest wykres funkcji i wykres po przesunięciu, a pytanie dotyczy wzoru albo wektora.

Jakie są przekształcenia wykresów funkcji?

Przekształcenia wykresów funkcji dzielą się na przesunięcia, odbicia symetryczne oraz rozciągnięcia i ściśnięcia. Ta strona omawia pierwsze z nich — przesunięcia wzdłuż osi. Odbicia względem osi układu opisuję osobno, a wszystkie łączy to, że zmieniają położenie lub kształt wykresu, nie zmieniając typu funkcji.

Czytaj dalej

Symetrie wykresu funkcjiDrugie z przekształceń wykresu — zmiana znaku zamiast dodawania liczby.Postać kanoniczna funkcji kwadratowejZapis, w którym przesunięcie paraboli widać wprost we współrzędnych wierzchołka.Odczytywanie wartości z wykresuDziedzina i zbiór wartości jako rzuty wykresu na osie — potrzebne przy każdym z tych zadań.WektoryWspółrzędne wektora, którymi opisuje się przesunięcie wykresu.Wykres funkcji — jak go czytać i rozpoznawaćCzym jest wykres funkcji, jak sprawdzić czy punkt do niego należy, jak…Funkcja złożona (składanie funkcji)Czym jest złożenie funkcji, dlaczego kolejność ma znaczenie i jak wyznaczyć…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Przesunięcia wykresów funkcji

1Dwa wzory i jeden znak, o który chodzi

2Oba przesunięcia naraz — wektor

3Jak to widać na dziedzinie i zbiorze wartości

4Co mówi podstawa programowa

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Zadanie 2 (sierpień 2015)1 pktłatwe

Zadanie 3 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

Zadanie 6 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Zadanie 7 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

Zadanie 8 (pokazowy 2023)1 pkttrudniejsze

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Funkcja f(x) = a/x i jej przesunięcia — kartkówka, liceum klasa 2

Przekształcenia wykresów funkcji — kartkówka, liceum, klasa 1

Funkcja logarytmiczna — kartkówka, liceum klasa 3

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Funkcje, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku