Strona główna › Funkcja liniowa › Wzór funkcji liniowej
Wzór funkcji liniowej
Wzór funkcji liniowej to y = ax + b, gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym (nachyleniem prostej), a b — wyrazem wolnym, czyli rzędną punktu przecięcia z osią y. Wykresem jest prosta.
Krótko: y = ax + b. Współczynnik a = y₂ − y₁x₂ − x₁ liczymy z dwóch punktów, a b = y₁ − a · x₁. Miejsce zerowe to x = −ba.
1Co oznaczają a i b
Gdy a > 0, funkcja jest rosnąca; gdy a < 0 — malejąca; gdy a = 0 — stała. Liczba b mówi, w którym punkcie wykres przecina oś y: (0, b). Miejsce zerowe (przecięcie z osią x) to x = −ba.
2Wyznaczanie wzoru z dwóch punktów
Dla punktów A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) mamy a = y₂ − y₁x₂ − x₁. Wstawiamy a i współrzędne jednego z punktów do y = ax + b i wyznaczamy b.
| dane | jak wyznaczyć wzór |
|---|---|
| dwa punkty | a z ilorazu różnic, b z podstawienia punktu |
| punkt przecięcia z osią y: (0, b) i miejsce zerowe x₀ | b znasz od razu, a = −bx₀ |
| prosta równoległa do y = a₁x + b₁ | ma taki sam współczynnik a = a₁ |
| prosta prostopadła do y = a₁x + b₁ | a = −1a₁ |
3Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Wzór z dwóch punktów
Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty (1, 3) i (3, 7).
- a = 7 − 33 − 1 = 42 = 2.
- Podstawiam punkt (1, 3): 3 = 2 · 1 + b, więc b = 1.
- Sprawdzenie dla (3, 7): 2 · 3 + 1 = 7.
Odpowiedź: y = 2x + 1
Przykład 2 Z miejsca zerowego i przecięcia z osią y
Wykres przecina oś y w punkcie (0, −6), a miejscem zerowym jest 3. Wyznacz wzór.
- b = −6.
- Dla x = 3 mamy y = 0: 0 = 3a − 6, więc a = 2.
Odpowiedź: y = 2x − 6
Przykład 3 Prosta równoległa
Wyznacz wzór prostej równoległej do y = 3x − 1 i przechodzącej przez punkt (2, 9).
- Prosta równoległa ma a = 3.
- Podstawiam (2, 9): 9 = 3 · 2 + b, więc b = 3.
Odpowiedź: y = 3x + 3
4Najczęstsze błędy
Zamiana kolejności we wzorze na a
Skąd się bierze: x₂ − x₁y₂ − y₁ zamiast y₂ − y₁x₂ − x₁.
Jak zrobić dobrze: W liczniku zawsze różnica wartości funkcji (y), w mianowniku — różnica argumentów (x).
Różne kolejności w liczniku i mianowniku
Skąd się bierze: Odjęcie y₂ − y₁ oraz x₁ − x₂.
Jak zrobić dobrze: Odejmuj w tej samej kolejności: (drugi punkt) − (pierwszy punkt).
Pominięcie wyrazu wolnego
Skąd się bierze: Zatrzymanie się na a.
Jak zrobić dobrze: Do wzoru potrzebne jest też b: podstaw współrzędne punktu i policz b.
5Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Wykres funkcji y = 2x + 1 przecina oś y w punkcie:
Dla x = 0 mamy y = 1.
2. Przez punkty (1, 3) i (3, 7) przechodzi prosta o współczynniku a równym:
7 − 33 − 1 = 2.
3. Miejsce zerowe funkcji y = 2x − 6 to:
2x − 6 = 0, więc x = 3.
4. Funkcja y = −3x + 5 jest:
a = −3 < 0.
5. Prosta równoległa do y = 3x − 1 ma współczynnik a równy:
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcja liniowa” (liceum, klasa 1), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
6Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór funkcji liniowej?
y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b — wyraz wolny.
Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?
Oblicz a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), a potem podstaw punkt do y = ax + b i policz b.
Co oznacza współczynnik a?
Nachylenie prostej: o ile zmienia się y, gdy x rośnie o 1.
Jak policzyć miejsce zerowe funkcji liniowej?
Rozwiąż ax + b = 0: x = −b : a (dla a ≠ 0).
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
