Strona główna › Funkcje › Przekształcanie wykresu przez symetrie względem osi układu współrzędnych

Przekształcanie wykresu przez symetrie względem osi układu współrzędnych

Dwa minusy, dwa zupełnie różne skutki. Minus przed całą funkcją odbija wykres względem osi $OX$ , a minus przy iksie — względem osi $OY$ . Reguła jest jedna i wynika wprost z tego, którą współrzędną punktu zmieniamy. Przesunięcia wykresu opisuję przy postaci kanonicznej i przy funkcji homograficznej; tutaj chodzi o odbicia.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzony (przesunięcia z tej rodziny: podstawowy)

Krótko: Symetria względem osi OX zamienia wykres y = f(x) na y = −f(x), a symetria względem osi OY — na y = f(−x).

1Jedna reguła zamiast czterech

Co dokładnie mówi podstawa programowa

Symetrie i przesunięcia leżą w podstawie w dwóch różnych zakresach i warto to wiedzieć, zanim uzna się je za jeden temat.

Przesunięcia — zakres podstawowy. Dział V. Funkcje, punkt 12: uczeń „*na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = f(x-a)$ , $y = f(x)+b$ *”. Tylko przesunięcia, żadnych odbić.

Symetrie — zakres rozszerzony. Ten sam dział V, zakres rozszerzony, punkt 1: uczeń „*na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ rysuje wykresy funkcji $y = -f(x)$ , $y = f(-x)$ *”. To dokładnie dwa przekształcenia opisane na tej stronie — i to jest cały punkt, nic więcej w nim nie stoi.

Czego w podstawie nie ma: symetria środkowa $y = -f(-x)$ nie jest wymieniona osobno (jest złożeniem dwóch powyższych), a wykresów z modułem — $y=|f(x)|$ i $y=f(|x|)$ — podstawa nie wymienia w ogóle. Przeszukałem cały tekst wymagań z matematyki: wartość bezwzględna pojawia się dwa razy, oba razy w kontekście równań i nierówności (I pkt 7 w zakresie podstawowym: „*stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: $|x + 4| = 5$ ”, oraz III pkt 4 w rozszerzonym: „rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną*”). Sekcja o module jest więc techniką pomocniczą do tych zadań, a nie osobnym wymaganiem.

Punkt na wykresie ma dwie współrzędne — i każde odbicie zmienia dokładnie jedną z nich. To cała teoria:

wzór	co się dzieje z punktem $(a, b)$	odbicie względem
$y = -f(x)$	$(a, \;\textcolor{#E0453A}{-b})$ — zmienia się druga	osi $OX$ (poziomej)
$y = f(-x)$	$(\textcolor{#E0453A}{-a}, \; b)$ — zmienia się pierwsza	osi $OY$ (pionowej)
$y = -f(-x)$	$(\textcolor{#E0453A}{-a}, \;\textcolor{#E0453A}{-b})$ — zmieniają się obie	punktu $(0,0)$ — symetria środkowa

Skąd to wiadomo. Minus przed $f$ działa na wartość, czyli na to, co odkładamy w pionie — więc zmienia drugą współrzędną. Minus przy $x$ działa na argument, czyli na to, co odkładamy w poziomie — więc zmienia pierwszą.

Sprawdziłem wszystkie trzy wiersze na $24\,001$ punktach osi dla $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , porównując wzór przekształcony z wzorem otrzymanym z tabeli. Zgodność w każdym punkcie.

Sposób na zapamiętanie, który minus co robi

Zapytaj: czy minus dotyka iksa? Jeśli tak, zmiana dzieje się w poziomie, czyli odbicie jest względem osi pionowej $OY$ . Jeśli minus stoi przed całą funkcją, zmiana dzieje się w pionie — odbicie względem osi poziomej $OX$ .

Brzmi to przewrotnie i taka jest natura tej reguły: minus przy $x$ daje odbicie względem osi, która z iksem pozornie nie ma nic wspólnego. Warto to raz sprawdzić na konkretnym punkcie zamiast uczyć się na pamięć.

Odbicie zmienia jedną współrzędną każdego punktu, więc cała reguła sprowadza się do tego, jak powstaje wykres funkcji.

Symetria wykresu względem osi: y = f(x) z punktem P = (3, 2); y = −f(x) to odbicie względem OX, punkt (3, −2); y = f(−x) to odbicie względem OY, punkt (−3, 2); y = −f(−x) to symetria względem początku układu, punkt (−3, −2) — Wykresy y = −f(x), y = f(−x) i y = −f(−x) — symetrie względem osi i początku układu

2Ten sam przykład przepuszczony przez trzy odbicia

Weźmy $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Ma miejsca zerowe $\textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ , wierzchołek w $(\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{-1})$ i przecina oś $OY$ w $\textcolor{#16A06A}{3}$ .

przekształcenie	wzór po uproszczeniu	miejsca zerowe	wierzchołek
$f(x)$	$x^2-4x+3$	$1$ , $3$	$(2,\,-1)$ , ramiona w górę
$-f(x)$	$-x^2+4x-3$	$1$ , $3$ — te same	$(2,\,1)$ , ramiona w dół
$f(-x)$	$x^2+4x+3$	$-1$ , $-3$ — przeciwne	$(-2,\,-1)$ , ramiona w górę
$-f(-x)$	$-x^2-4x-3$	$-1$ , $-3$	$(-2,\,1)$ , ramiona w dół

Drugi wiersz. Odbicie względem $OX$ nie rusza miejsc zerowych, bo punkt leżący na osi ma drugą współrzędną równą zeru — a zero po zmianie znaku pozostaje zerem. Zmienia się natomiast kierunek ramion: współczynnik przy $x^2$ przechodzi z $1$ na $-1$ .

Trzeci wiersz. Odbicie względem $OY$ zmienia miejsca zerowe na przeciwne, ale nie rusza punktu przecięcia z osią $OY$ : dla $x=0$ mamy $f(-0) = f(0) = \textcolor{#E0453A}{3}$ . Ten punkt leży na osi odbicia, więc zostaje w miejscu.

Czwarty wiersz to złożenie dwóch poprzednich — i wychodzi symetria środkowa względem początku układu. Kolejność odbić nie ma tu znaczenia, wynik jest ten sam.

Każdy wiersz tabeli sprawdziłem liczbowo: uproszczone wzory zgadzają się z przekształceniami na wszystkich $24\,001$ punktach siatki, a podane wierzchołki i miejsca zerowe — co do jednego.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcje” (liceum, klasa 1), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcje — cały dział, liceum, klasa 1 (3 pakiety)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcje”3 arkusze w jednym pliku6,90 zł~~11,70 zł~~−4,80 zł Liceum, klasa 1, na cały rok30 arkuszy, 1,66 zł za arkusz49,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 6,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Moduł: dwa różne przekształcenia, które łatwo pomylić

Kreski wartości bezwzględnej też przekształcają wykres, ale inaczej w zależności od tego, gdzie stoją. To najczęściej mylona para w całym dziale.

$y = |f(x)|$ — moduł na zewnątrz. Wartości ujemne zamieniają się na przeciwne, więc część wykresu leżąca pod osią $OX$ odbija się w górę, a reszta zostaje bez zmian.

Dla naszej paraboli: z $24\,001$ sprawdzonych punktów w $1\,999$ funkcja jest ujemna i wszystkie te punkty zostały odbite poprawnie, a pozostałe $22\,002$ nie drgnęły. Wierzchołek $(2,\,-1)$ przechodzi na $(2,\,\textcolor{#E0453A}{1})$ , a miejsca zerowe nie zmieniają się wcale, bo zero po wzięciu modułu dalej jest zerem.

$y = f(|x|)$ — moduł przy argumencie. Dla $x \geq 0$ nic się nie dzieje. Dla $x < 0$ podstawiamy $|x| = -x$ , więc wykres przyjmuje wartości z prawej strony: prawa połowa zostaje skopiowana na lewo jak w lustrze.

Sprawdziłem obie własności: dla $x \geq 0$ wykres pokrywa się z wyjściowym w każdym punkcie, a cały wykres jest symetryczny względem osi $OY$ we wszystkich $12\,001$ sprawdzonych parach. Miejsc zerowych robi się cztery zamiast dwóch: $-3$ , $-1$ , $1$ i $3$ .

Dlaczego to naprawdę dwie różne rzeczy

Porównałem oba wykresy punkt po punkcie: różnią się w 13 999 z 24 001 sprawdzonych miejsc. Na przykład dla $x = -10$ mamy $|f(-10)| = \textcolor{#E0453A}{143}$ , a $f(|-10|) = f(10) = \textcolor{#2F80D8}{63}$ .

Zapamiętaj po tym, na co działa moduł: na zewnątrz — na wartości, czyli na pion; przy iksie — na argumenty, czyli na poziom. Ta sama zasada co przy minusie.

Wykres |f(x)| a f(|x|) dla f(x) = x − 2: y = |x − 2| powstaje przez odbicie części pod osią OX w górę, y = |x| − 2 przez odbicie prawej połowy na lewo, symetrycznie względem osi OY — Wykres |f(x)| i f(|x|) — dwa różne przekształcenia z modułem

4Do czego to służy w zadaniach

Symetrie nie są ozdobnikiem — pozwalają odpowiedzieć na pytania bez rysowania wykresu od zera.

Liczba rozwiązań równania z parametrem. Pytanie „dla ilu $m$ równanie $|f(x)| = m$ ma cztery rozwiązania” rozstrzyga się przez patrzenie, gdzie pozioma prosta $y=m$ przecina odbity wykres. Dla naszej paraboli odbicie tworzy „garb” o wysokości $\textcolor{#E0453A}{1}$ i cztery przecięcia pojawiają się dla $0 < m < \textcolor{#E0453A}{1}$ .

Parzystość funkcji. Funkcja jest parzysta dokładnie wtedy, gdy $f(-x) = f(x)$ , czyli gdy odbicie względem $OY$ niczego nie zmienia — wykres jest już symetryczny względem tej osi. Wykres $y = f(|x|)$ jest parzysty zawsze, niezależnie od tego, jaka była funkcja wyjściowa.

Zbiór wartości. Po odbiciu względem $OX$ zbiór wartości odbija się tak samo: jeśli $f$ przyjmowała wartości od $-1$ w górę, to $-f$ przyjmuje wartości od $\textcolor{#E0453A}{1}$ w dół. Po wzięciu modułu zbiór wartości nigdy nie zawiera liczb ujemnych.

Kiedy kolejność przekształceń ma znaczenie

Gdy wzór łączy przesunięcie z odbiciem, jak $y = -f(x-2)$ , najwygodniej wykonać je w kolejności, w jakiej działają na argument i na wartość: najpierw to, co dzieje się wewnątrz nawiasu (przesunięcie o $2$ w prawo), potem to, co na zewnątrz (odbicie względem $OX$ ).

Tu odwrócenie kolejności niczego nie zmienia — przesunięcie poziome i odbicie względem $OX$ działają na różne współrzędne. Kolejność ma znaczenie dopiero wtedy, gdy oba przekształcenia dotyczą tej samej współrzędnej: $y = f(-x+2)$ to co innego niż wykres $f(-x)$ przesunięty o $2$ w prawo. Osobno uważaj na samo podstawianie: dla $x=2$ wyrażenie $-f(x-2)$ daje $-f(0)$ , a nie $-f(2)$ .

5Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: odczyt punktu po odbiciu, wyznaczenie wzoru i klasyczne pytanie o liczbę rozwiązań.

Przykład 1 Gdzie trafia punkt

Punkt $P = (-3, 5)$ należy do wykresu funkcji $f$ . Podaj współrzędne odpowiadających mu punktów na wykresach funkcji $y=-f(x)$ , $y=f(-x)$ oraz $y=-f(-x)$ .

Z założenia $f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = \textcolor{#16A06A}{5}$ — to jedyna informacja, jakiej potrzebuję.
Dla $y = -f(x)$ liczę wartość w tym samym argumencie: $-f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = -\textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-5}$ , więc punkt to $(-3,\;\textcolor{#E0453A}{-5})$ .
Dla $y = f(-x)$ szukam argumentu, przy którym w środku pojawi się $\textcolor{#16A06A}{-3}$ : musi być $-x = \textcolor{#16A06A}{-3}$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Wartość zostaje: $f(-\textcolor{#E0453A}{3}) = f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = \textcolor{#16A06A}{5}$ , więc punkt to $(\textcolor{#E0453A}{3},\;5)$ .
Dla $y = -f(-x)$ łączę oba efekty: argument $\textcolor{#E0453A}{3}$ , wartość $\textcolor{#E0453A}{-5}$ , czyli punkt $(3,\;-5)$ .
Kontrola sensu: trzeci punkt jest symetryczny do $P$ względem początku układu — obie współrzędne zmieniły znak ✓

Odpowiedź: $(-3,\,-5)$ , $(3,\,5)$ oraz $(3,\,-5)$ .

Zwróć uwagę na drugi krok: przy $f(-x)$ nie podstawia się $-3$ pod $x$ , tylko szuka argumentu dającego $-3$ w środku. To najczęstsze potknięcie w tym typie zadania i warto wykonać ten krok osobno, na piśmie.

Przykład 2 Wzór po odbiciu

Dana jest funkcja $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Wyznacz wzory funkcji $g(x) = -f(x)$ oraz $h(x) = f(-x)$ i podaj miejsca zerowe każdej z nich.

$g(x) = -\left(x^2 - 4x + 3\right) = \textcolor{#E0453A}{-x^2 + 4x - 3}$ — minus przed każdym składnikiem.
Miejsca zerowe $g$ są te same co $f$ , bo równanie $-f(x)=0$ ma dokładnie te same rozwiązania co $f(x)=0$ : $x = \textcolor{#2F80D8}{1}$ oraz $x = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
$h(x) = f(-x) = (-x)^2 - 4 \cdot (-x) + 3$ . Kwadrat likwiduje minus, a drugi składnik zmienia znak.
$h(x) = \textcolor{#E0453A}{x^2 + 4x + 3}$ .
Miejsca zerowe $h$ : szukam liczb o sumie $\textcolor{#16A06A}{-4}$ i iloczynie $\textcolor{#16A06A}{3}$ — to $\textcolor{#2F80D8}{-1}$ i $\textcolor{#2F80D8}{-3}$ .
Kontrola: $h(\textcolor{#2F80D8}{-1}) = 1 - 4 + 3 = 0$ ✓ oraz $h(\textcolor{#2F80D8}{-3}) = 9 - 12 + 3 = 0$ ✓
Kontrola zgodności z regułą: miejsca zerowe $h$ są liczbami przeciwnymi do miejsc zerowych $f$ ✓

Odpowiedź: $g(x) = -x^2+4x-3$ z miejscami zerowymi $1$ i $3$ ; $h(x) = x^2+4x+3$ z miejscami zerowymi $-1$ i $-3$ .

Kontrola przez miejsca zerowe jest tu darmowa i wychwytuje najczęstszy błąd rachunkowy — zgubiony znak przy wyrazie liniowym. Gdyby miejsca zerowe $h$ nie wyszły przeciwne do wyjściowych, gdzieś w rachunku jest pomyłka.

Przykład 3 Ile rozwiązań ma równanie z modułem

Dla ilu wartości parametru $m$ równanie $|x^2-4x+3| = m$ ma dokładnie trzy rozwiązania?

Rysuję myślowo wykres $y = |f(x)|$ : parabola z odbitym w górę fragmentem między miejscami zerowymi $\textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ .
Odbity fragment tworzy „garb”, którego szczyt leży nad dawnym wierzchołkiem $(\textcolor{#16A06A}{2},\,\textcolor{#16A06A}{-1})$ , czyli w punkcie $(2,\;\textcolor{#E0453A}{1})$ .
Prosta $y=m$ przecina taki wykres w różnej liczbie punktów zależnie od wysokości: dla $m<0$ wcale, dla $m=0$ w dwóch, dla $0<m<\textcolor{#E0453A}{1}$ w czterech.
Dla $m = \textcolor{#E0453A}{1}$ prosta przechodzi dokładnie przez szczyt garbu — dwa przecięcia zewnętrzne plus jedno w szczycie, razem $\textcolor{#2F80D8}{3}$ .
Dla $m>\textcolor{#E0453A}{1}$ prosta mija garb i zostają tylko dwa przecięcia z ramionami.
Trzy rozwiązania pojawiają się więc dla jednej wartości parametru.
Kontrola: dla $m=1$ równanie $|f(x)|=1$ znaczy $f(x)=1$ albo $f(x)=-1$ . Pierwsze daje $x^2-4x+2=0$ z $\Delta = \textcolor{#16A06A}{8}>0$ , czyli dwa pierwiastki; drugie daje $x^2-4x+4=0$ , czyli $(x-2)^2=0$ z jednym pierwiastkiem $\textcolor{#2F80D8}{2}$ . Razem $\textcolor{#2F80D8}{3}$ ✓

Odpowiedź: Dla jednej wartości: $m = 1$ .

Kontrola rachunkowa w ostatnim kroku jest ważna, bo argument z rysunku bywa przekonujący również wtedy, gdy szkic jest niedokładny. Tu obie drogi — geometryczna i algebraiczna — dały tę samą liczbę trzech rozwiązań.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy to ta sama pomyłka widziana z dwóch stron: mylenie tego, na co działa minus i na co działa moduł.

Odbicie $y=f(-x)$ rysowane względem osi $OX$

Skąd się bierze: Minus przy iksie zmienia pierwszą współrzędną, więc odbicie idzie względem osi pionowej $OY$ . Pomylenie osi daje zupełnie inny wykres: porównałem $f(-x)$ z $-f(x)$ na $24\,001$ punktach i nie pokrywają się w żadnym. Dla $x=1$ pierwsze daje $\textcolor{#E0453A}{8}$ , drugie $\textcolor{#E0453A}{0}$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdź jeden konkretny punkt zamiast ufać pamięci. Weź punkt wykresu, zastosuj wzór i zobacz, która współrzędna zmieniła znak — to rozstrzyga w kilkanaście sekund.

Traktowanie $|f(x)|$ i $f(|x|)$ jak tego samego

Skąd się bierze: To dwa różne przekształcenia i różnią się w większości punktów — w moim porównaniu w $13\,999$ z $24\,001$ . Pierwsze odbija dół wykresu w górę, drugie kopiuje prawą połowę na lewo. Dla $x=-10$ jedno daje $143$ , drugie $63$ .

Jak zrobić dobrze: Patrz, gdzie stoją kreski: na zewnątrz działają na wartości, więc zmieniają obraz w pionie; przy iksie działają na argumenty, więc zmieniają go w poziomie.

Podstawianie liczby wprost przy $f(-x)$

Skąd się bierze: Wiedząc, że $f(-3)=5$ , łatwo napisać, że punkt wykresu $y=f(-x)$ to $(-3,\,5)$ . Tymczasem trzeba znaleźć argument dający $-3$ w środku nawiasu, czyli $x=3$ . Współrzędna wyjdzie przeciwna do zapisanej.

Jak zrobić dobrze: Rozwiąż osobno małe równanie $-x = a$ i dopiero jego wynik wstaw jako pierwszą współrzędną. Ten jeden krok więcej eliminuje cały błąd.

Złe podstawienie przy złożeniu przesunięcia z odbiciem

Skąd się bierze: We wzorze $y=-f(x-2)$ najpierw działa przesunięcie wewnątrz nawiasu, a dopiero potem odbicie. Same przekształcenia są tu przemienne, ale podstawienie argumentu już nie wybacza — dla $x=2$ poprawnie wychodzi $-f(0)$ , a nie $-f(2)$ .

Jak zrobić dobrze: Czytaj wzór od środka na zewnątrz, tak jak liczy się wartość: najpierw to, co dzieje się z argumentem, potem to, co z wynikiem.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Kartkówka PDF · sklep

Symetrie w układzie współrzędnych — kartkówka, liceum klasa 3

Symetria względem osi, początku układu i punktu, obraz prostej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Przekształcenia wykresów funkcji — kartkówka, liceum, klasa 1

Przesunięcie wzdłuż osi, symetria względem osi układu i początku układu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Materiał PDF · sklep

Układ współrzędnych i zależności, klasy 6–8 — 11 kart pracy z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–8: współrzędne punktów, ćwiartki, symetrie, odcinki i figury w układzie, tabela ze wzoru…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

7Pytania i odpowiedzi

Który minus odbija wykres względem której osi?

Minus przed całą funkcją zmienia wartości, więc odbija wykres względem osi poziomej. Minus przy iksie zmienia argumenty, więc odbija wykres względem osi pionowej. Brzmi to przewrotnie i dlatego warto sprawdzić na jednym punkcie.

Czy odbicie zmienia miejsca zerowe funkcji?

Odbicie względem osi poziomej ich nie rusza, bo punkty leżące na tej osi mają drugą współrzędną równą zeru. Odbicie względem osi pionowej zamienia je na liczby przeciwne.

Czym różni się wykres modułu funkcji od funkcji modułu argumentu?

Pierwszy odbija w górę tę część wykresu, która leży pod osią poziomą. Drugi kopiuje prawą połowę wykresu na stronę lewą i zawsze daje wykres symetryczny względem osi pionowej.

Jak z wykresu odczytać liczbę rozwiązań równania z modułem?

Narysuj wykres funkcji z modułem i poziomą prostą na wysokości parametru. Liczba punktów wspólnych obu linii jest liczbą rozwiązań, a wartości graniczne parametru wypadają tam, gdzie prosta dotyka wierzchołka.

Co się dzieje, gdy zastosuję oba odbicia naraz?

Otrzymasz symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, bo obie współrzędne każdego punktu zmieniają znak. Kolejność wykonywania tych dwóch odbić nie ma znaczenia dla wyniku.

Jak rozpoznać funkcję parzystą po wykresie?

Jej wykres jest symetryczny względem osi pionowej, czyli odbicie względem tej osi niczego w nim nie zmienia. Formalnie oznacza to, że wartość dla liczby przeciwnej jest zawsze taka sama.

Na czym polega symetria względem osi OX?

Symetria względem osi OX odbija wykres w dół albo w górę: punkt o współrzędnych x oraz y przechodzi na punkt x oraz minus y. We wzorze funkcji odpowiada temu zmiana znaku przed całym wyrażeniem.

Czytaj dalej

Postać kanonicznaPrzesunięcia wykresu — drugi rodzaj przekształceń Przekształcenia hiperboliTe same przesunięcia zastosowane do wykresu a⁄x Wartość bezwzględnaSkąd bierze się działanie kresek na wykres Funkcja kwadratowaWierzchołek i miejsca zerowe paraboli z przykładów Funkcje parzyste i nieparzysteWarunek f(−x) = f(x) i f(−x) = −f(x), rola symetrycznej dziedziny oraz to,…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.