Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Wyrażenia wymierne

Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne to ułamek, w którym zamiast liczb stoją wielomiany. Wszystkie reguły działań są dokładnie te same co przy ułamkach zwykłych — skracanie, wspólny mianownik, mnożenie przez odwrotność. Dochodzi jednak jedna rzecz, której przy liczbach nie było: mianownik zawiera niewiadomą, więc może się wyzerować. Stąd bierze się dziedzina i większość błędów w tym dziale.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: liceum — podstawa i rozszerzenieZadań z matury: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Ułamek z wielomianami

To jest w podstawie programowej — ale nie całe

Podstawa dla liceum dzieli ten temat między dwa zakresy. Dział II. Wyrażenia algebraiczne, zakres podstawowy, punkt 4: „mnoży i dzieli wyrażenia wymierne”.

Zakres rozszerzony, punkt 6: „dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne” — z przykładami $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$ oraz $\frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x+1}$ .

Podział jest zaskakujący, ale prawdziwy: mnożenie i dzielenie są łatwiejsze niż dodawanie, bo nie wymagają wspólnego mianownika. Dlatego to właśnie one trafiły do podstawy.

\frac{W(x)}{P(x)}, \quad \text{gdzie } W \text{ i } P \text{ są wielomianami, a } P(x) \neq 0

Przykłady: $\frac{x+1}{x-3}$ , $\frac{x^2-4}{x+2}$ , $\frac{1}{x}$ , a także każdy zwykły wielomian — bo $x^2+1$ to $\frac{x^2+1}{1}$ .

Dziedzina to pierwsza rzecz do wyznaczenia. Mianownik nie może być zerem, więc trzeba znaleźć i wykluczyć wszystkie argumenty, które go zerują.

wyrażenie	warunek	dziedzina
$\frac{x+1}{x-3}$	$x - 3 \neq 0$	$\mathbb{R} \setminus \{3\}$
$\frac{5}{x^2-9}$	$x^2-9 \neq 0$	$\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$
$\frac{x}{x^2+1}$	zawsze spełniony	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x(x-2)}$	$x \neq 0$ i $x \neq 2$	$\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$

Trzeci wiersz jest wart uwagi: $x^2+1$ nigdy nie wynosi zera, bo kwadrat jest nieujemny, a jedynka dodatnia. Dziedziną są wtedy wszystkie liczby rzeczywiste — dokładnie tak, jak opisuję przy dziedzinie funkcji.

Czwarty pokazuje, że warunków bywa kilka. Mianownik w postaci iloczynu zeruje się wtedy, gdy zeruje się którykolwiek czynnik, więc każdy trzeba sprawdzić osobno.

2Skracanie — tylko czynniki, nigdy składniki

Skracanie działa jak przy ułamkach zwykłych: wolno skreślić to, co występuje i w liczniku, i w mianowniku jako czynnik.

Żeby móc skrócić, trzeba najpierw rozłożyć na czynniki. To zwykle najtrudniejszy krok:

\frac{x^2-4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x - 2

Licznik rozłożyłem wzorem skróconego mnożenia, po czym nawias $(x+2)$ skrócił się z mianownikiem.

⚠️ Dziedziny skracanie NIE zmienia

Po skróceniu został wielomian $x-2$ , określony dla każdej liczby. Ale wyjściowe wyrażenie nadal nie ma sensu dla $x = -2$ — tam mianownik był zerem.

Dlatego poprawny zapis brzmi: $\frac{x^2-4}{x+2} = x-2$ dla $x \neq -2$ .

To najczęstsze przeoczenie w całym dziale. Dziedzinę wyznacza się z postaci wyjściowej, przed jakimkolwiek skracaniem — i ona obowiązuje do końca zadania.

Czego skracać nie wolno. Wolno skreślać wyłącznie czynniki, czyli to, co jest mnożone. Składników sumy skracać nie można:

\frac{x+3}{x} \neq \textcolor{#9b1c14}{3}, \qquad \frac{x \cdot 3}{x} = 3

W pierwszym ułamku $x$ jest składnikiem sumy w liczniku, więc nie skraca się z mianownikiem. Kontrola liczbowa dla $x = 1$ : lewa strona daje $\frac{4}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{3}$ .

Test, który zawsze rozstrzyga: czy między tym, co chcesz skreślić, a resztą stoi znak mnożenia (choćby domyślny)? Jeśli plus lub minus — skracać nie wolno.

Skracanie wyrażeń wymiernych: (x² − 4)/(x + 2) = (x − 2)(x + 2)/(x + 2) = x − 2 dla x ≠ −2; błąd: skracanie składników (x + 2)/(x + 5) ≠ 2/5 — W wyrażeniach wymiernych skraca się czynniki, nigdy składniki.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcje wymierne” (liceum, klasa 2), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcje wymierne — cały dział, liceum, klasa 2 (5 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcje wymierne”5 arkuszy w jednym pliku9,90 zł~~19,50 zł~~−9,60 zł Liceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 9,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Mnożenie i dzielenie — to jest w podstawie

Te dwa działania są łatwiejsze od dodawania, bo nie wymagają wspólnego mianownika. Dlatego podstawa umieszcza je w zakresie podstawowym.

Mnożenie: licznik przez licznik, mianownik przez mianownik — dokładnie jak przy ułamkach zwykłych.

\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-3} = \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{x-3}

Warto skracać przed wymnożeniem, nie po. Tu nawias $(x+1)$ skrócił się od razu i nie trzeba było niczego rozwijać.

Dziedzina obejmuje jednak wszystkie mianowniki, także ten skrócony: $x \neq \textcolor{#16A06A}{-1}$ oraz $x \neq \textcolor{#16A06A}{3}$ . Skrócenie nie usuwa warunku, tak samo jak przy skracaniu pojedynczego ułamka.

Dzielenie: mnożenie przez odwrotność drugiego wyrażenia.

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Dochodzi wtedy dodatkowy warunek: licznik dzielnika też nie może być zerem, bo po odwróceniu trafia do mianownika.

działanie	skąd biorą się warunki
mnożenie $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$	$b \neq 0$ , $d \neq 0$
dzielenie $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$	$b \neq 0$ , $d \neq 0$ oraz $c \neq 0$

Ostatni warunek jest tym, o którym najłatwiej zapomnieć — a wynika po prostu z zakazu dzielenia przez zero.

4Dodawanie i odejmowanie — to już rozszerzenie

⚠️ Materiał rozszerzony

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych to dział II, punkt 6 zakresu rozszerzonego. Podstawa podaje tam wprost przykłady: $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$ oraz $\frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x+1}$ .

Do matury podstawowej wystarczy mnożenie i dzielenie. Ta sekcja jest dla zdających rozszerzenie.

Zasada jest ta sama co przy ułamkach zwykłych: najpierw wspólny mianownik, potem działanie na licznikach.

\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x}{x(x+1)} - \frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{\textcolor{#E0453A}{-1}}{x(x+1)}

Uwaga na minus przed ułamkiem — odejmowany licznik trzeba wziąć w nawias. Tu $x - (x+1) = x - x - 1 = \textcolor{#E0453A}{-1}$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{x-x+1}$ .

To ta sama pułapka co przy minusie przed nawiasem w zwykłych wyrażeniach algebraicznych — tylko trudniej ją zauważyć, bo nawias bywa domyślny.

Wspólny mianownik znajduje się tak jak przy liczbach: bierze się iloczyn mianowników albo, jeśli mają wspólne czynniki, ich najmniejszą wspólną wielokrotność.

Kontrola liczbowa — działa zawsze

Po przekształceniu podstaw jedną liczbę z dziedziny do wyrażenia wyjściowego i do wyniku. Muszą dać to samo.

Dla $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$ przy $x = 1$ : lewa strona to $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ , a wynik $\frac{-1}{1 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ ✓

Ta kontrola wyłapuje zgubiony minus, złe mnożenie i pomyłkę we wspólnym mianowniku — czyli praktycznie wszystko, co może pójść nie tak.

Działania na wyrażeniach wymiernych: dzielenie jako mnożenie przez odwrotność oraz odejmowanie 1/(x + 1) − 1/x = −1/(x(x + 1)) przez wspólny mianownik — Mnożenie i dzielenie bez wspólnego mianownika, dodawanie i odejmowanie ze wspólnym.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dziedzina z rozkładem, skracanie z zastrzeżeniem i odejmowanie.

Przykład 1 Dziedzina wyrażenia z mianownikiem kwadratowym

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{x+5}{x^2-5x+6}$ .

Warunek dotyczy mianownika: $x^2 - 5x + 6 \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Szukam, kiedy się zeruje — rozkładam na czynniki, szukając liczb o sumie $\textcolor{#16A06A}{5}$ i iloczynie $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
To $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ , więc $x^2-5x+6 = (x-\textcolor{#16A06A}{2})(x-\textcolor{#16A06A}{3})$ .
Iloczyn zeruje się, gdy zeruje się któryś czynnik: $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ albo $x = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Obie liczby wykluczam: $D = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#E0453A}{2}, \textcolor{#E0453A}{3}\}$ .
Kontrola dla $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ : $4 - 10 + 6 = 0$ ✓ — mianownik faktycznie zerowy
Kontrola dla $x = 0$ : $0 - 0 + 6 = 6 \neq 0$ ✓ — zero należy do dziedziny
Kontrola dla $x = 2{,}5$ : $6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 \neq 0$ ✓ — punkt między wykluczonymi też należy

Odpowiedź: $D = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$

Ostatnia kontrola jest istotna: z dziedziny wypadają dwa punkty, a nie przedział między nimi. Mianownik jest tam ujemny, ale różny od zera — a tylko to się liczy.

Przykład 2 Skracanie z zastrzeżeniem

Skróć wyrażenie $\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}$ i podaj dziedzinę.

Najpierw dziedzina, z postaci wyjściowej: $x^2+3x \neq 0$ , czyli $x(x+3) \neq 0$ .
Stąd $x \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ oraz $x \neq \textcolor{#16A06A}{-3}$ .
Teraz rozkładam licznik różnicą kwadratów: $x^2-9 = (x-\textcolor{#E0453A}{3})(x+\textcolor{#E0453A}{3})$ .
Mianownik już rozłożyłem: $x(x+\textcolor{#E0453A}{3})$ .
$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \dfrac{x-3}{x}$ — skrócił się czynnik $(x+\textcolor{#E0453A}{3})$ .
Zapisuję pełną odpowiedź z zastrzeżeniem: $\dfrac{x-3}{x}$ dla $x \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ i $x \neq \textcolor{#16A06A}{-3}$ .
Kontrola liczbowa dla $x = 1$ : wyjściowo $\frac{1-9}{1+3} = \frac{-8}{4} = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ , a po skróceniu $\frac{1-3}{1} = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ ✓
Kontrola dla $x = 3$ : wyjściowo $\frac{0}{18} = 0$ , po skróceniu $\frac{0}{3} = 0$ ✓

Odpowiedź: $\dfrac{x-3}{x}$ dla $x \neq 0$ i $x \neq -3$ .

Warunek $x \neq -3$ musi zostać w odpowiedzi, choć po skróceniu nic go nie zdradza. Wyrażenie wynikowe ma sens dla $-3$ , ale wyjściowe nie miało — a to ono jest przedmiotem zadania.

Przykład 3 Odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wykonaj odejmowanie $\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}$ i podaj dziedzinę.

Dziedzina: $x \neq \textcolor{#16A06A}{1}$ oraz $x \neq \textcolor{#16A06A}{-1}$ — oba mianowniki muszą być różne od zera.
Wspólny mianownik to iloczyn: $(x-1)(x+1)$ , czyli $x^2-1$ .
Rozszerzam pierwszy ułamek: $\dfrac{2}{x-1} = \dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ .
Rozszerzam drugi: $\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}$ .
Odejmuję liczniki, biorąc drugi w nawias: $2(x+1) - (x-1) = 2x+2-x+1 = \textcolor{#E0453A}{x+3}$ .
$\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{x+3}}{x^2-1}$
Kontrola liczbowa dla $x = 2$ : wyjściowo $\frac{2}{1} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \textcolor{#2F80D8}{\frac{5}{3}}$ .
Wynik dla $x=2$ : $\frac{2+3}{4-1} = \frac{5}{3} = \textcolor{#2F80D8}{\frac{5}{3}}$ ✓
Kontrola pułapki: bez nawiasu wyszłoby $2x+2-x-1 = x+1$ , czyli dla $x=2$ wartość $\frac{3}{3} = \textcolor{#9b1c14}{1}$ — inna liczba ✓

Odpowiedź: $\dfrac{x+3}{x^2-1}$ dla $x \neq 1$ i $x \neq -1$ .

Ostatnia kontrola pokazuje wagę nawiasu. Różnica między $x+3$ a $x+1$ wygląda niewinnie, ale daje inną wartość dla każdego argumentu — i jest to najczęstszy błąd przy odejmowaniu ułamków algebraicznych.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy dziedziny, która ginie po drodze.

Wyznaczanie dziedziny po skróceniu

Skąd się bierze: Po skróceniu $\frac{x^2-4}{x+2}$ do $x-2$ mianownik znika i wygląda, jakby żadnych warunków nie było. Ale wyrażenie wyjściowe nie miało sensu dla $x=-2$ i ten warunek obowiązuje do końca zadania.

Jak zrobić dobrze: Wyznacz dziedzinę jako pierwszy krok, z postaci wyjściowej, zanim cokolwiek skrócisz. Wtedy nie ma jak jej zgubić.

Skracanie składników zamiast czynników

Skąd się bierze: W ułamku $\frac{x+3}{x}$ litera $x$ jest składnikiem sumy, a nie czynnikiem — skreślenie jej daje $3$ , co jest fałszem. Dla $x=1$ prawdziwa wartość to $4$ .

Jak zrobić dobrze: Przed skracaniem rozłóż licznik i mianownik na czynniki. Skracaj dopiero to, co jest mnożone. Test: czy obok stoi znak mnożenia, czy plus?

Zgubiony nawias przy odejmowaniu

Skąd się bierze: Odejmując ułamek, odejmuje się cały jego licznik. Zapis $2(x+1) - x - 1$ zamiast $2(x+1) - (x-1)$ zmienia znak przy jedynce i daje inny wynik dla każdego argumentu.

Jak zrobić dobrze: Zapisz odejmowany licznik w nawiasie, nawet jeśli wygląda prosto. Kontrola liczbowa przez podstawienie jednej liczby wyłapuje ten błąd natychmiast.

Pominięcie warunku na licznik dzielnika

Skąd się bierze: Przy dzieleniu $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ po odwróceniu $c$ trafia do mianownika, więc też nie może być zerem. Bez tego warunku dziedzina jest za szeroka.

Jak zrobić dobrze: Przy dzieleniu wypisz trzy warunki: oba mianowniki i licznik dzielnika. Kontrola: po zamianie na mnożenie sprawdź, co znalazło się na dole.

Zadania maturalne — działania na wyrażeniach wymiernych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Schemat jest zawsze ten sam: rozłóż licznik i mianownik na czynniki, dopiero potem skracaj. Skracanie składników zamiast czynników to najczęstszy błąd w całym dziale.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktśrednie

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(-2)

oraz różnej od

0

wartość wyrażenia

\dfrac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \dfrac{x+2}{x}

jest równa wartości wyrażenia

A. $\dfrac{x+2}{4x+4}$
B. $\dfrac{x+1}{4x+5}$
C. $\dfrac{x+1}{x+2}$
D. $\dfrac{2x}{x+2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Rozkładamy wszystko na czynniki — bez tego nie ma czego skracać.
Licznik pierwszego ułamka: $x^2 + x = \textcolor{#E0453A}{x(x+1)}$ .
Mianownik pierwszego ułamka to kwadrat sumy: $x^2 + 4x + 4 = \textcolor{#E0453A}{(x+2)^2}$ .
Zapisujemy całość jako jeden ułamek:
$\dfrac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \dfrac{x+2}{x} = \dfrac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^2 \, x}$
Skracamy $x$ oraz jedno $(x+2)$ :
$= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{x+1}{x+2}}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Podstaw na koniec jedną liczbę, na przykład $x = 3$ : wyrażenie wyjściowe daje $\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{5}$ , a odpowiedź C daje $\frac{4}{5}$ . Zgodność w jednym punkcie nie jest dowodem, ale niezgodność natychmiast obala.

⚠ Skracanie „na skos” bez rozkładu — na przykład wykreślenie $x^2$ z licznika i mianownika. Skracać wolno tylko czynniki całego licznika i mianownika, a $x^2 + 4x + 4$ jest sumą, dopóki nie zapisze się go jako $(x+2)^2$ .

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(-1)

0

oraz

1

wartość wyrażenia

\dfrac{x}{x^2-1} : \dfrac{3x^2}{x+1}

jest równa wartości wyrażenia

A. $\dfrac{x}{x-1}$
B. $\dfrac{1}{3x^2-3x}$
C. $-3x$
D. $-\dfrac{1}{3x}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność — to pierwszy i najważniejszy krok.
$\dfrac{x}{x^2-1} : \dfrac{3x^2}{x+1} = \dfrac{x}{x^2-1} \cdot \dfrac{x+1}{3x^2}$
Mianownik pierwszego ułamka rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów: $x^2 - 1 = \textcolor{#E0453A}{(x-1)(x+1)}$ .
$= \dfrac{x \, (x+1)}{(x-1)(x+1) \cdot 3x^2}$
Skracamy $(x+1)$ oraz $x$ (zostaje $x$ w mianowniku):
$= \dfrac{1}{3x(x-1)} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3x^2-3x}}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Wykluczone liczby wypisane w treści są podpowiedzią, a nie ozdobnikiem: $(-1)$ , $0$ i $1$ to dokładnie te wartości, które zerują mianowniki — a więc też lista czynników, których należy się w rozkładzie spodziewać.

⚠ Pomnożenie przez drugi ułamek bez odwracania. Wyszłoby wtedy $\frac{3x^3}{(x^2-1)(x+1)}$ , czyli coś zupełnie innego. Odwrócić trzeba dzielnik, nigdy dzielną.

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(-3)

(-2)

wartość wyrażenia

\dfrac{x+3}{x^2+4x+4} \cdot \dfrac{x^2+2x}{2x+6}

jest równa wartości wyrażenia

A. $\dfrac{x}{2}$
B. $\dfrac{x}{4}$
C. $\dfrac{x}{2x+4}$
D. $\dfrac{x^3+3x^2}{6x^2+24x+24}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Rozkładamy wszystkie cztery wyrażenia:
$x^2 + 4x + 4 = \textcolor{#E0453A}{(x+2)^2}$ , $x^2 + 2x = \textcolor{#E0453A}{x(x+2)}$ , $2x + 6 = \textcolor{#E0453A}{2(x+3)}$ .
$\dfrac{x+3}{(x+2)^2} \cdot \dfrac{x(x+2)}{2(x+3)}$
Skracamy $(x+3)$ oraz jedno $(x+2)$ :
$= \dfrac{x}{2(x+2)} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{x}{2x+4}}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Odpowiedź D to dystraktor — nie jest równa poprawnemu wynikowi. Sprawdzenie: dla $x = 4$ odpowiedź C daje $\frac13$ , a D — $\frac{14}{27}$ .

⚠ Skrócenie $(x+2)$ dwa razy i odpowiedź A. W mianowniku stoi $(x+2)^2$ , a w liczniku tylko jedno $(x+2)$ — po skróceniu jedno $(x+2)$ w mianowniku zostaje.

Zadanie 4 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

0

2

wyrażenie

\dfrac{x^2+x}{(x-2)^2} \cdot \dfrac{x-2}{x}

jest równe

A. $\dfrac{x^2+1}{x-2}$
B. $\dfrac{x+1}{2}$
C. $\dfrac{x^2}{(x-2)^2}$
D. $\dfrac{x+1}{x-2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Licznik pierwszego ułamka rozkładamy przez wyłączenie $x$ przed nawias:
$x^2 + x = \textcolor{#E0453A}{x(x+1)}$
$\dfrac{x(x+1)}{(x-2)^2} \cdot \dfrac{x-2}{x}$
Skracamy $x$ oraz jedno $(x-2)$ :
$= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{x+1}{x-2}}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Gdy w mianowniku stoi kwadrat, a w liczniku pierwsza potęga tego samego nawiasu, po skróceniu zostaje jeden taki nawias na dole. Warto to sobie zapisać jako $\frac{(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{1}{x-2}$ .

⚠ Skrócenie $x$ z $x^2 + x$ bez wyłączenia przed nawias, czyli potraktowanie sumy jak iloczynu. Odpowiedź A powstaje właśnie z takiego „skracania po składniku” — $\textcolor{#9b1c14}{\frac{x^2+x}{x} = x^2+1}$ , gdy poprawnie jest $x+1$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C

2. B

3. C

4. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Wyrażenia wymierne — kartkówka, liceum klasa 2

Dziedzina, skracanie, dodawanie i mnożenie wyrażeń wymiernych.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne, matura — 11 kart PDF

11 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, rozkład na czynniki, niewymierność z…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest wyrażenie wymierne?

Iloraz dwóch wielomianów, czyli ułamek, w którym zamiast liczb stoją wyrażenia z niewiadomą. Mianownik nie może być zerem, więc każde takie wyrażenie ma dziedzinę.

Jak wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego?

Trzeba przyrównać mianownik do zera, rozwiązać powstałe równanie i wykluczyć otrzymane liczby. Robi się to zawsze z postaci wyjściowej, przed jakimkolwiek skracaniem.

Kiedy wolno skracać wyrażenie wymierne?

Tylko wtedy, gdy to samo wyrażenie występuje jako czynnik i w liczniku, i w mianowniku. Składników sumy skracać nie wolno, więc najpierw trzeba rozłożyć na czynniki.

Czy skracanie zmienia dziedzinę?

Nie zmienia. Warunki wyznaczone z postaci wyjściowej obowiązują do końca zadania, nawet jeśli po skróceniu mianownik, który je narzucał, już nie występuje.

Czy wyrażenia wymierne są na maturze podstawowej?

Częściowo. Mnożenie i dzielenie należą do zakresu podstawowego, natomiast dodawanie i odejmowanie znajdują się dopiero w zakresie rozszerzonym.

Jak dodać dwa wyrażenia wymierne?

Tak samo jak ułamki zwykłe: sprowadzić do wspólnego mianownika, a następnie dodać liczniki. Przy odejmowaniu trzeba pamiętać o wzięciu drugiego licznika w nawias.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczneMinus przed nawiasem i redukcja wyrazów Dziedzina funkcjiTrzy warunki, wśród nich mianownik różny od zera Skracanie ułamkówTa sama zasada na liczbach Wzory skróconego mnożeniaPotrzebne do rozkładu przed skróceniem Liczby odwrotneDzielenie to mnożenie przez odwrotność

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Wyrażenia wymierne

1Ułamek z wielomianami

2Skracanie — tylko czynniki, nigdy składniki

3Mnożenie i dzielenie — to jest w podstawie

4Dodawanie i odejmowanie — to już rozszerzenie

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — działania na wyrażeniach wymiernych

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktśrednie

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 4 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Wyrażenia wymierne — kartkówka, liceum klasa 2

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne, matura — 11 kart PDF

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku