Strona główna › Geometria przestrzenna › Ostrosłupy

Ostrosłupy

Q: Ile ścian ma ostrosłup o podstawie n-kąta?

Dokładnie n+1: n trójkątów bocznych oraz jedna podstawa. Tyle samo jest wierzchołków, a krawędzi dwa razy n. Zgodność można sprawdzić wzorem Eulera.

Q: Co znaczy, że ostrosłup jest prawidłowy?

Że jego podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku tej podstawy. Wtedy wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Q: Czy do objętości potrzebny jest kształt podstawy?

Nie, wystarczy jej pole i wysokość bryły. Kształt jest potrzebny dopiero wtedy, gdy pole podstawy trzeba samodzielnie policzyć albo gdy zadanie pyta o pole powierzchni bocznej.

Q: Co to jest ostrosłup prosty?

Ostrosłup prosty to ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość. Wtedy spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie. Każdy ostrosłup prawidłowy jest prosty, ale ostrosłup prosty nie musi mieć podstawy foremnej — może nią być na przykład prostokąt.

Q: Czym jest czworościan foremny?

Ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, w którym krawędź boczna równa się krawędzi podstawy. Wszystkie cztery ściany są wtedy przystającymi trójkątami równobocznymi, więc żadna nie jest wyróżniona jako podstawa.

Q: Dlaczego w objętości występuje jedna trzecia?

Bo graniastosłup trójkątny rozcina się na trzy czworościany o równych objętościach, które wypełniają go bez reszty — więc na każdy przypada jedna trzecia. Dwa z nich mają za podstawę podstawy graniastosłupa, trzeci leży między nimi. Ten sam rozkład wykonuje się na sześcianie: trzy ostrosłupy o wspólnym wierzchołku w jednym narożniku, każdy oparty na innej ścianie — piszę o tym przy ostrosłupie prawidłowym czworokątnym. Uwaga: sama zgodność objętości niczego by nie dowodziła, bo trzy bryły o tej samej podstawie i tej samej wysokości też sumowałyby się do całości — tyle że zajmowałyby to samo miejsce. Dowodem jest dopiero rozkład. Ten sam współczynnik pojawia się przy stożku wobec walca — tam jednak uzasadnia się go inaczej, bo walca nie da się rozciąć na trzy stożki. Dowodem jest wtedy rachunek na przekrojach.

Ostrosłup to bryła o jednej podstawie i jednym wierzchołku, do którego zbiegają się wszystkie ściany boczne. Wielokąt w podstawie może być dowolny — i to on nadaje bryle nazwę oraz decyduje o wszystkim: o liczbie ścian, o wzorze na pole podstawy, o tym, ile trójkątów trzeba policzyć. Ta strona jest o rodzinie ostrosłupów; najczęstszy z nich, prawidłowy czworokątny, ma własną stronę z kątami i trzema trójkątami prostokątnymi.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Nazwa bierze się z podstawy

Ostrosłup nazywamy tak, jak wielokąt w jego podstawie: trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Do tego dochodzi jedno słowo, które w zadaniach zmienia wszystko:

prawidłowy — podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w jej środku;
prosty — wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość, a spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie; każdy ostrosłup prawidłowy jest prosty, ale ostrosłup prosty może mieć podstawę, która nie jest foremna, np. prostokąt;
czworościan — ostrosłup trójkątny, czyli bryła o czterech ścianach; gdy wszystkie są trójkątami równobocznymi, mówimy o czworościanie foremnym.

W ostrosłupie prawidłowym foremna podstawa i spodek wysokości w jej środku sprawiają, że ściany boczne są przystające. Dlatego wystarczy policzyć pole jednej i pomnożyć przez ich liczbę. W pozostałych ostrosłupach nie wolno zakładać, że wysokości lub pola ścian bocznych są równe.

Ostrosłup a graniastosłup

Graniastosłup ma dwie podstawy i ściany boczne będące równoległobokami; opisuję go osobno.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami zbiegającymi się w wierzchołku.

Przy tej samej podstawie i wysokości ostrosłup mieści trzy razy mniej — ten sam stosunek co między stożkiem a walcem.

2Ile ścian, krawędzi i wierzchołków

To pytanie wraca w zadaniach regularnie i ma odpowiedź zależną tylko od liczby boków podstawy. Dla podstawy o $n$ bokach:

element	ile	skąd
ściany	$n + 1$	$n$ trójkątów bocznych i jedna podstawa
krawędzie	$2n$	$n$ krawędzi podstawy i $n$ bocznych
wierzchołki	$n + 1$	$n$ w podstawie i jeden na górze

Zauważ, że ścian i wierzchołków jest tyle samo — ma je każdy ostrosłup i to najszybszy sposób sprawdzenia, czy odpowiedź jest sensowna. Nie jest to jednak cecha wyłączna: sześcian z doklejonym ostrosłupem ma dziewięć ścian i dziewięć wierzchołków, dokładnie tak jak ostrosłup ośmiokątny. Równość $S = W$ służy więc do wyłapania pomyłki, a nie do rozpoznania bryły.

Wynik można skontrolować wzorem Eulera, który dla każdego wielościanu wypukłego mówi, że liczba wierzchołków minus liczba krawędzi plus liczba ścian daje dwa:

W - K + S = (n+1) - 2n + (n+1) = 2

Rachunek wychodzi niezależnie od $n$ , więc kontrola działa dla każdego ostrosłupa — od trójkątnego po stukątny. To jedna z niewielu sytuacji w szkole, gdzie wzór sprawdza się na literach, a nie na przykładzie.

Odwrotne pytanie też się trafia: skoro ścian jest $n+1$ , to ostrosłup o dziewięciu ścianach ma w podstawie ośmiokąt. Wystarczy odjąć jedynkę.

Liczenie ścian, krawędzi i wierzchołków wygląda tu inaczej niż w graniastosłupach, choć jedne i drugie są wielościanami z tego samego działu.

Ściany, krawędzie i wierzchołki ostrosłupa: trójkątny 4, 6, 4; czworokątny 5, 8, 5; sześciokątny 7, 12, 7; ogólnie ściany n + 1, krawędzie 2n, wierzchołki n + 1 — Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma ostrosłup

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Graniastosłupy i ostrosłupy — cały dział, klasa 8 (6 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł~~23,40 zł~~−11,50 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Wzory — jeden ogólny, reszta z podstawy

Objętość liczy się tak samo dla każdego ostrosłupa, niezależnie od kształtu podstawy:

V = \frac{1}{3} P_p \cdot H

Cała różnica między rodzajami sprowadza się więc do pola podstawy $P_p$ . Dla ostrosłupów prawidłowych warto mieć pod ręką trzy wzory:

podstawa	pole podstawy	uwaga
trójkąt równoboczny o boku $a$	$\frac{a^2\sqrt3}{4}$	wynik zawsze z $\sqrt3$
kwadrat o boku $a$	$a^2$	najprostszy przypadek
sześciokąt foremny o boku $a$	$\frac{3a^2\sqrt3}{2}$	sześć trójkątów równobocznych

Trzeci wiersz warto rozumieć, a nie pamiętać: sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych o tym samym boku, więc jego pole to sześciokrotność pola jednego z nich.

Pole powierzchni całkowitej to zawsze $P_c = P_p + P_b$ , a pole boczne w ostrosłupie prawidłowym liczy się jednym wzorem:

P_b = \frac{1}{2} \cdot \text{obwód podstawy} \cdot m

gdzie $m$ to apotema, czyli wysokość ściany bocznej. Wzór jest tym samym co „ $n$ trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $m$ ”, tylko zapisanym zwięźle — i dlatego działa dla każdej liczby boków.

Objętość ostrosłupa V = 1/3 · Pp · H — ostrosłup wpisany w graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości; dla kwadratu 6 × 6 i H = 5 objętość 60, a graniastosłupa 180 — Objętość ostrosłupa — jedna trzecia graniastosłupa

4Czego pilnować w zadaniach

Trzy rzeczy odróżniają zadanie o ostrosłupie od zadania o graniastosłupie i to na nich traci się punkty.

Apotema to nie wysokość bryły. W polu bocznym występuje wysokość ściany, w objętości — wysokość ostrosłupa. To dwa różne odcinki.
Wyniki z pierwiastkami zostają pierwiastkami. Pole trójkąta równobocznego zawiera $\sqrt3$ i tak je zapisujemy. Uwaga: nie znaczy to, że $\sqrt3$ musi zostać w objętości — mnożymy przez wysokość, a ta może wnieść pierwiastek, który go zredukuje. Regułą jest postać dokładna, a nie konkretny pierwiastek w wyniku.
Jedna trzecia dotyczy objętości, nie pola. Pole powierzchni liczy się bez żadnego współczynnika.

Pierwszy punkt jest najkosztowniejszy, bo daje wynik wyglądający poprawnie. Przy ostrosłupie prawidłowym czworokątnym opisuję to szczegółowo razem z trzema trójkątami prostokątnymi, w których liczy się jeden odcinek z drugiego.

Warto też pamiętać o czworościanie foremnym jako przypadku granicznym: jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, w którym krawędź boczna równa się krawędzi podstawy. Wtedy wszystkie cztery ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi i bryła nie ma wyróżnionej podstawy — każda ściana może nią być.

Ostatnia uwaga dotyczy nazewnictwa w treści: „ostrosłup prawidłowy sześciokątny” znaczy, że podstawą jest sześciokąt foremny, a nie że bryła ma sześć ścian. Ścian ma siedem.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: liczba elementów, ostrosłup trójkątny, sześciokątny i rachunek z samego pola podstawy.

Przykład 1 Ile ścian, krawędzi i wierzchołków

Podstawą ostrosłupa jest siedmiokąt. Ile bryła ma ścian, krawędzi i wierzchołków? Sprawdź wzorem Eulera.

Ściany: $7$ trójkątów bocznych i podstawa, czyli $8$ .
Krawędzie: $7$ w podstawie i $7$ bocznych, czyli $14$ .
Wierzchołki: $7$ w podstawie i $1$ na górze, czyli $8$ .
Wzór Eulera: $W - K + S = 8 - 14 + 8 = 2$ ✓
Kontrola cechy ostrosłupów: ścian i wierzchołków jest tyle samo — po $8$ ✓

Odpowiedź: $8$ ścian, $14$ krawędzi, $8$ wierzchołków

Równość liczby ścian i wierzchołków zachodzi dla każdego ostrosłupa, bo obie wynoszą $n+1$ . To najszybsza kontrola odpowiedzi — jeśli te liczby się różnią, gdzieś jest błąd.

Przykład 2 Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$ . Oblicz jego objętość.

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $4$ , więc $P_p = \frac{4^2\sqrt3}{4} = \frac{16\sqrt3}{4} = 4\sqrt3$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt3 \cdot 6$ .
$\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ , więc $V = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt3 = 8\sqrt3$ .
Kontrola rzędu: $\sqrt3$ leży między $1$ a $2$ (bo $1 < 3 < 4$ ), więc objętość mieści się między $8$ a $16$ ✓
Kontrola wzorem: dla tej samej podstawy graniastosłup miałby $4\sqrt3 \cdot 6 = 24\sqrt3$ , czyli trzy razy więcej ✓

Odpowiedź: $V = 8\sqrt3$

Wynik zostaje z pierwiastkiem — to postać dokładna. Zamiana na liczbę dziesiętną byłaby przybliżeniem, o które zadanie nie prosiło.

Przykład 3 Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $2$ i wysokość $5$ . Oblicz objętość oraz pole podstawy.

Sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych o boku $2$ .
Pole jednego trójkąta: $\frac{2^2\sqrt3}{4} = \sqrt3$ .
$P_p = 6\sqrt3$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt3 \cdot 5 = 2\sqrt3 \cdot 5 = 10\sqrt3$ .
Kontrola wzorem ogólnym: $\frac{3a^2\sqrt3}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ ✓
Kontrola liczby ścian: podstawa sześciokątna daje $7$ ścian, nie $6$ ✓

Odpowiedź: $P_p = 6\sqrt3$ , $V = 10\sqrt3$

Rozłożenie sześciokąta na sześć trójkątów jest szybsze niż wzór i trudniej się pomylić. Wzór ogólny warto znać jako kontrolę, a nie jako podstawową metodę.

Przykład 4 Gdy dane jest samo pole podstawy

Ostrosłup ma pole podstawy równe $24$ i wysokość $10$ . Oblicz objętość. Czy potrzebna jest informacja o kształcie podstawy?

Wzór $V = \frac{1}{3}P_p H$ nie odwołuje się do kształtu podstawy.
$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 10 = 8 \cdot 10 = 80$ .
Informacja o kształcie nie jest potrzebna — dwa ostrosłupy o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości mają równe objętości.
Kontrola: gdyby podstawą był kwadrat o boku $\sqrt{24}$ albo trójkąt o polu $24$ , wynik byłby ten sam ✓
Kontrola graniastosłupem: bryła o tej samej podstawie i wysokości miałaby objętość $240$ , czyli trzykrotność ✓

Odpowiedź: $V = 80$ ; kształt podstawy nie ma znaczenia.

To pytanie sprawdza rozumienie wzoru, a nie rachunek. Kształt podstawy jest potrzebny dopiero wtedy, gdy trzeba policzyć jej pole albo wyznaczyć pole boczne.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą nazewnictwa, trzy kolejne — wzorów.

Uznanie, że ostrosłup sześciokątny ma sześć ścian.

Skąd się bierze: Nazwa pochodzi od podstawy, a liczba w niej brzmi jak liczba ścian.

Jak zrobić dobrze: Ścian jest $n+1$ , bo do trójkątów bocznych dochodzi podstawa. Ostrosłup sześciokątny ma ich siedem.

Traktowanie każdego ostrosłupa jak prawidłowego.

Skąd się bierze: Rysunki w podręcznikach przedstawiają zwykle bryły symetryczne.

Jak zrobić dobrze: Prawidłowy znaczy: podstawa foremna i spodek wysokości w jej środku. Dopiero wtedy ściany boczne są przystające i wolno liczyć jedną zamiast wszystkich.

Wstawienie wysokości bryły do wzoru na pole boczne.

Skąd się bierze: Zadania podają zwykle $H$ , a apotemę trzeba dopiero policzyć.

Jak zrobić dobrze: W polu bocznym występuje wysokość ściany. Wysokość bryły służy wyłącznie do objętości.

Pominięcie jednej trzeciej albo zastosowanie jej do pola.

Skąd się bierze: Wzór na graniastosłup jest lepiej utrwalony, a współczynnik bywa doklejany na wyczucie.

Jak zrobić dobrze: Jedna trzecia dotyczy wyłącznie objętości. Pole powierzchni liczy się bez żadnego współczynnika.

Zaokrąglanie wyników z $\sqrt3$ .

Skąd się bierze: Zapis $12\sqrt3$ wygląda na nieukończony.

Jak zrobić dobrze: To postać dokładna i pełna odpowiedź. Przybliżenie podajemy tylko wtedy, gdy zadanie wyraźnie o nie prosi.

Zadania maturalne — ostrosłupy: pola i objętości

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści — krawędź podstawy, wysokość, pole. Czerwone — to, co wyliczamy. Najważniejsze rozróżnienie w całym dziale: wysokość bryły wchodzi do objętości, a apotema (wysokość ściany bocznej) do pola bocznego. To dwa różne odcinki.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe

20

. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

A. $2$
B. $\sqrt5$
C. $\sqrt{10}$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Oznaczam pole podstawy przez $P_p$ . Z treści $P_b = \textcolor{#16A06A}{4}P_p$ .
$P_c = P_p + P_b = P_p + 4P_p = 5P_p$ , więc $5P_p = \textcolor{#16A06A}{20}$ i $P_p = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podstawą jest kwadrat, więc $a^2 = 4$ , czyli $a = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kontrola wsteczna zajmuje sekundę: $P_p = 4$ , $P_b = 16$ , razem $20$ ✓

⚠ Odpowiedź D ( $4$ ) to pole podstawy, a nie długość jej krawędzi — trzeba jeszcze spierwiastkować.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości

4

. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem

\alpha

, że

\operatorname{tg}\alpha = 3

. Wysokość tego ostrosłupa jest równa

A. $3$
B. $6$
C. $6\sqrt2$
D. $12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kąt nachylenia ściany bocznej mierzymy w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych: wysokość bryły oraz połowa krawędzi podstawy.
Połowa krawędzi: $\frac{\textcolor{#16A06A}{4}}{2} = 2$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2} = \textcolor{#16A06A}{3}$ , więc $H = 3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Rysunek pomocniczy to trójkąt: środek podstawy — środek krawędzi — wierzchołek. Jego przyprostokątne to $\frac{a}{2}$ i $H$ , a przeciwprostokątna to apotema.

⚠ Odpowiedź D ( $12$ ) powstaje z wzięcia całej krawędzi podstawy zamiast jej połowy. Kąt dwuścienny opiera się o odcinek do środka boku, nie do wierzchołka.

Zadanie 3 (czerwiec 2014)1 pktłatwe

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

432

, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość

12

. Wysokość tego ostrosłupa jest równa

A. $3$
B. $9$
C. $27$
D. $108$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pole podstawy: $P_p = \textcolor{#16A06A}{12}^2 = 144$ .
Ze wzoru $V = \frac13 P_p H$ wyznaczam wysokość: $H = \frac{3V}{P_p}$ .
$H = \frac{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{432}}{144} = \frac{1296}{144} = \textcolor{#E0453A}{9}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kontrola wsteczna: $\frac13 \cdot 144 \cdot 9 = 432$ ✓

⚠ Odpowiedź A ( $3$ ) powstaje z pominięcia trójki, czyli z użycia wzoru na objętość graniastosłupa. Przy ostrosłupie mnożymy przez $3$ , wyznaczając $H$ , a nie dzielimy.

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość

8

. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe

A. $64\sqrt3$
B. $64\sqrt2$
C. $16\sqrt3$
D. $16\sqrt2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wszystkie krawędzie równe znaczy, że bryła to czworościan foremny — wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi o boku $\textcolor{#16A06A}{8}$ .
Pole jednej ściany: $\frac{8^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{16\sqrt3}$ .
Pole całkowite: $4 \cdot 16\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{64\sqrt3}$ .
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Nie trzeba liczyć apotemy ani wysokości — skoro ściany są równoboczne, wystarczy pomnożyć pole jednej przez cztery.

⚠ Odpowiedź C ( $16\sqrt3$ ) to pole jednej ściany. Odpowiedzi z $\sqrt2$ biorą się z pomylenia wzoru na pole trójkąta równobocznego ze wzorem na przekątną kwadratu.

Zadanie 5 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest

2

razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

A. $\frac12$
B. $\frac{4\sqrt3}{3}$
C. $1$
D. $\frac{\sqrt3}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczam krawędź podstawy przez $a$ ; wtedy apotema $m = \textcolor{#16A06A}{2a}$ .
Pole boczne: $P_b = \frac12 \cdot \text{obwód} \cdot m = \frac12 \cdot 6a \cdot 2a = \textcolor{#E0453A}{6a^2}$ .
Pole podstawy (sześciokąt foremny): $P_p = \frac{3a^2\sqrt3}{2}$ .
$\frac{P_b}{P_p} = \frac{6a^2}{\frac{3a^2\sqrt3}{2}} = \frac{12}{3\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{\frac{4\sqrt3}{3}}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Krawędź $a$ skraca się w stosunku, więc wynik nie zależy od wielkości bryły — sprawdziłem to rachunkiem dla czterdziestu różnych krawędzi.

⚠ Najczęstszy błąd to wstawienie do pola bocznego wysokości bryły zamiast apotemy. W tym zadaniu wysokość bryły w ogóle nie jest potrzebna.

Zadanie 6 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Dany jest sześcian

ABCDEFGH

o krawędzi długości

9

. Wierzchołki podstawy

ABCD

sześcianu połączono odcinkami z punktem

W

, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy

EFGH

. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny

ABCDW

. Objętość

V

ostrosłupa

ABCDW

jest równa

A. $243$
B. $364{,}5$
C. $489$
D. $729$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Podstawa ostrosłupa to ściana $ABCD$ sześcianu, więc $P_p = \textcolor{#16A06A}{9}^2 = 81$ .
Wysokość to odległość punktu $W$ od tej ściany. $W$ leży w płaszczyźnie górnej ściany, więc $H = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
$V = \frac13 \cdot 81 \cdot 9 = \textcolor{#E0453A}{243}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: To, że $W$ jest środkiem górnej ściany, nie zmienia wysokości — liczy się tylko odległość od płaszczyzny podstawy, a ta jest równa krawędzi sześcianu.

⚠ Odpowiedź D ( $729$ ) to objętość całego sześcianu, czyli wynik z pominiętym współczynnikiem $\frac13$ , a B ( $364{,}5$ ) powstaje z pomnożenia przez $\frac12$ zamiast przez $\frac13$ .

Zadanie 7 (pokazowa 2023)1 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny

ABCS

o podstawie

ABC

. Punkty

D

E

F

są środkami — odpowiednio — krawędzi bocznych

AS

BS

CS

. Stosunek objętości ostrosłupa

DEFS

do objętości ostrosłupa

ABCS

jest równy

A. $3 : 4$
B. $1 : 4$
C. $1 : 8$
D. $3 : 8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Punkty $D$ , $E$ , $F$ są środkami krawędzi wychodzących z $S$ , więc ostrosłup $DEFS$ jest podobny do $ABCS$ w skali $k = \textcolor{#16A06A}{\frac12}$ .
Przy podobieństwie objętości mają się jak sześcian skali:
$\frac{V_{DEFS}}{V_{ABCS}} = k^3 = \left(\frac12\right)^3 = \textcolor{#E0453A}{\frac18}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Skala jest widoczna od razu: każda krawędź mniejszej bryły jest połową odpowiedniej krawędzi większej, bo punkty są środkami odcinków wychodzących ze wspólnego wierzchołka.

⚠ Odpowiedź B ( $1 : 4$ ) to stosunek pól, czyli kwadrat skali. Objętości skalują się z trzecią potęgą, nie z drugą.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. B	3. B	4. A	5. B	6. A
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Ostrosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Objętość z wysokości i podstawy, pole boczne i całkowite, kąt krawędzi bocznej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Ostrosłupy — kartkówka, liceum klasa 3

Objętość, wysokość ściany bocznej, pole powierzchni bocznej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Stereometria — test, liceum klasa 3

Graniastosłupy i ostrosłupy — przekątne, objętości, kąty.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Stereometria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: przekątne i kąty w graniastosłupach, ostrosłup prawidłowy, walec, stożek, kula…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Ile ścian ma ostrosłup o podstawie n-kąta?

Dokładnie $n+1$ : $n$ trójkątów bocznych oraz jedna podstawa. Tyle samo jest wierzchołków, a krawędzi dwa razy $n$ . Zgodność można sprawdzić wzorem Eulera.

Co znaczy, że ostrosłup jest prawidłowy?

Że jego podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku tej podstawy. Wtedy wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Czy do objętości potrzebny jest kształt podstawy?

Nie, wystarczy jej pole i wysokość bryły. Kształt jest potrzebny dopiero wtedy, gdy pole podstawy trzeba samodzielnie policzyć albo gdy zadanie pyta o pole powierzchni bocznej.

Co to jest ostrosłup prosty?

Ostrosłup prosty to ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość. Wtedy spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie. Każdy ostrosłup prawidłowy jest prosty, ale ostrosłup prosty nie musi mieć podstawy foremnej — może nią być na przykład prostokąt.

Czym jest czworościan foremny?

Ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, w którym krawędź boczna równa się krawędzi podstawy. Wszystkie cztery ściany są wtedy przystającymi trójkątami równobocznymi, więc żadna nie jest wyróżniona jako podstawa.

Dlaczego w objętości występuje jedna trzecia?

Bo graniastosłup trójkątny rozcina się na trzy czworościany o równych objętościach, które wypełniają go bez reszty — więc na każdy przypada jedna trzecia. Dwa z nich mają za podstawę podstawy graniastosłupa, trzeci leży między nimi. Ten sam rozkład wykonuje się na sześcianie: trzy ostrosłupy o wspólnym wierzchołku w jednym narożniku, każdy oparty na innej ścianie — piszę o tym przy ostrosłupie prawidłowym czworokątnym. Uwaga: sama zgodność objętości niczego by nie dowodziła, bo trzy bryły o tej samej podstawie i tej samej wysokości też sumowałyby się do całości — tyle że zajmowałyby to samo miejsce. Dowodem jest dopiero rozkład. Ten sam współczynnik pojawia się przy stożku wobec walca — tam jednak uzasadnia się go inaczej, bo walca nie da się rozciąć na trzy stożki. Dowodem jest wtedy rachunek na przekrojach.

Czytaj dalej

Ostrosłup prawidłowyWszystkie podstawy w jednej tabeli: r i R, wysokość ściany, krawędź boczna, kalkulator.Ostrosłup prawidłowy czworokątnyNajczęstszy przypadek: trzy trójkąty prostokątne, kąty i rachunki z apotemą.GraniastosłupyBryła porównawcza — dwie podstawy zamiast jednej i objętość trzy razy większa.StożekTen sam współczynnik jednej trzeciej, tylko przy podstawie kołowej.Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowegoPole boczne i całkowite — wersje dla podstawy trójkątnej, czworokątnej i sześciokątnej.Matematyka klasa 8 — cały materiał rokuCo obejmuje matematyka w klasie 8: statystyka, przystawanie, ostrosłupy i…Ostrosłup prawidłowy trójkątnyObjętość, pole i kąty ostrosłupa o podstawie trójkąta równobocznego oraz dwie…Wzory na objętość bryłDlaczego w ostrosłupie jest 1/3.Pole powierzchni bryłPole całkowite i boczne.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Ostrosłupy

1Nazwa bierze się z podstawy

2Ile ścian, krawędzi i wierzchołków

3Wzory — jeden ogólny, reszta z podstawy

4Czego pilnować w zadaniach

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — ostrosłupy: pola i objętości

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Zadanie 3 (czerwiec 2014)1 pktłatwe

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Zadanie 5 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Zadanie 7 (pokazowa 2023)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Ostrosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Ostrosłupy — kartkówka, liceum klasa 3

Stereometria — test, liceum klasa 3

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Stereometria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku