Strona główna › Geometria przestrzenna › Sześcian

Sześcian

Q: Jakie są wszystkie wzory dla sześcianu?

Przy krawędzi oznaczonej literą a pole podstawy to a do kwadratu, pole boczne cztery a do kwadratu, pole całkowite sześć a do kwadratu, a objętość a do sześcianu. Przekątna ściany wynosi a razy pierwiastek z dwóch, przekątna bryły a razy pierwiastek z trzech, a suma krawędzi dwanaście a.

Q: Ile wynosi przekątna sześcianu?

Jest równa długości krawędzi pomnożonej przez pierwiastek z trzech. Wynika to z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa: najpierw dla przekątnej podstawy, a potem dla trójkąta utworzonego przez tę przekątną, krawędź pionową i przekątną bryły.

Q: Jaki jest promień kuli opisanej na sześcianie?

Równa się połowie przekątnej sześcianu, czyli krawędzi pomnożonej przez pierwiastek z trzech i podzielonej przez dwa. Kula opisana przechodzi przez wszystkie osiem wierzchołków, a jej średnicą jest odcinek łączący dwa najdalsze z nich.

Q: Jak obliczyć krawędź sześcianu, znając jego objętość?

Trzeba wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia z objętości, ponieważ objętość jest krawędzią podniesioną do trzeciej potęgi. Dla objętości równej dwieście szesnaście krawędź wynosi sześć, bo sześć do trzeciej daje dwieście szesnaście.

Q: Czy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym?

Tak, jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, w którym wysokość równa się krawędzi podstawy. Dzięki temu każdy wzór dla takiego graniastosłupa staje się wzorem dla sześcianu po podstawieniu wysokości równej krawędzi podstawy.

Q: Jak obliczyć objętość sześcianu?

Pomnóż krawędź przez siebie trzy razy: V = a³. Na przykład sześcian o krawędzi 3 cm ma objętość 3³ = 27 cm³.

Sześcian to graniastosłup, którego wszystkie sześć ścian to przystające kwadraty. Dzięki temu cała bryła zależy od jednej liczby — długości krawędzi $a$ — i każdą jej wielkość da się tą jedną literą wyrazić. Ta strona zbiera komplet tych wzorów w jednym miejscu: pola, objętość, obie przekątne, sumę krawędzi oraz promienie kuli wpisanej i opisanej.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: klasa 5 – matura

Kalkulator sześcianu — z jednej wielkości wszystkie

1Komplet wzorów sześcianu

Wszystkie wielkości wyrażone przez krawędź $a$ . To jest tabela, po którą warto wracać:

wielkość	oznaczenie	wzór	dla $a = 4$
pole podstawy	$P_p$	$a^2$	$16$
pole powierzchni bocznej	$P_b$	$4a^2$	$64$
pole powierzchni całkowitej	$P_c$	$6a^2$	$96$
objętość	$V$	$a^3$	$64$
przekątna ściany (podstawy)	$d$	$a\sqrt{2}$	$4\sqrt{2}$
przekątna sześcianu (przestrzenna)	$D$	$a\sqrt{3}$	$4\sqrt{3}$
obwód podstawy	$Ob$	$4a$	$16$
suma długości krawędzi	$L$	$12a$	$48$
promień kuli wpisanej	$r$	$\dfrac{a}{2}$	$2$
promień kuli opisanej	$R$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$	$2\sqrt{3}$
pole przekroju przekątnego	$P_{pk}$	$a^2\sqrt{2}$	$16\sqrt{2}$

Oznaczenia w tabeli: $a$ to długość krawędzi, a wszystkie pola są w jednostkach kwadratowych, objętość w sześciennych, a przekątne i promienie w zwykłych jednostkach długości.

Ścian jest $6$ , wszystkie kwadratowe i przystające — stąd $P_c = 6a^2$ .
Ścian bocznych jest $4$ (bez podstawy górnej i dolnej) — stąd $P_b = 4a^2$ .
Krawędzi jest $12$ , każda długości $a$ — stąd $L = 12a$ . Sama podstawa ma cztery boki, więc jej obwód to $4a$ ; nie myl tych dwóch liczb, bo zadania pytają raz o jedno, raz o drugie.
Wierzchołków jest $8$ — tyle punktów musi objąć kula opisana.

Wyniki z pierwiastkiem zostają w postaci dokładnej. Przekątna sześcianu o krawędzi $4$ to $4\sqrt{3}$ , a nie $6{,}93$ — zaokrąglamy tylko wtedy, gdy polecenie wyraźnie o to prosi.

Sześcian to najprostszy graniastosłup prawidłowy czworokątny, więc każdy z tych wzorów jest szczególnym przypadkiem ogólnych wzorów na graniastosłupy, w których podstawa i wysokość są od siebie niezależne.

Sześcian o krawędzi a = 4 z zaznaczoną przekątną ściany d i przekątną sześcianu D: pole całkowite 6a² = 96, objętość a³ = 64, d = a√2 = 4√2, D = a√3 = 4√3, pole boczne 64, suma krawędzi 48 — Wzory sześcianu na przykładzie krawędzi a = 4

2Skąd biorą się obie przekątne

To jedyne dwa wzory w tabeli, które warto umieć wyprowadzić — reszta wynika wprost z definicji. Oba to twierdzenie Pitagorasa, tylko zastosowane raz i dwa razy.

Przekątna ściany. Każda ściana jest kwadratem o boku $a$ . Przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $a$ :

d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \quad \Rightarrow \quad d = \textcolor{#E0453A}{a\sqrt{2}}

Przekątna sześcianu. Teraz trójkąt prostokątny, w którym jedną przyprostokątną jest przekątna podstawy $d = a\sqrt{2}$ , drugą — pionowa krawędź $a$ , a przeciwprostokątną szukana przekątna $D$ :

D^2 = d^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \quad \Rightarrow \quad D = \textcolor{#E0453A}{a\sqrt{3}}

Rysunek 1. Przekątna ściany

d = AC

i przekątna sześcianu

D = AG

tworzą z krawędzią

CG = a

trójkąt prostokątny (kąt prosty przy

C

). Dla

a = 4

d = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66

D = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93

. Kąt

\alpha

między przekątną sześcianu a podstawą:

\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sqrt{2}}{2}

. Przerywane — krawędzie niewidoczne.

Dlaczego $(a\sqrt2)^2 = 2a^2$ , a nie $a^2\sqrt2$

Bo do kwadratu podnosi się cały iloczyn: $(a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2$ .

To najczęstsze miejsce, w którym gubi się ten wyprowadzenie. Kontrola liczbowa dla $a = 3$ : przekątna podstawy to $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ , a jej kwadrat to $18$ — i faktycznie $2 \cdot 3^2 = 18$ ✓

Zapamiętaj wzorzec: $\sqrt2$ dla przekątnej ściany, $\sqrt3$ dla przekątnej bryły. Dwójka, bo sumują się dwa jednakowe kwadraty; trójka, bo trzy.

Warto zauważyć, że $D > d > a$ , i to zawsze: $a\sqrt{3} > a\sqrt{2} > a$ , bo $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ i $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ . To najtańsza kontrola sensu — jeśli w zadaniu wyszła przekątna bryły krótsza od przekątnej ściany, gdzieś jest błąd.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury przestrzenne i objętość” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury przestrzenne i objętość — cały dział, klasa 5 (7 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury przestrzenne i objętość”7 arkuszy w jednym pliku12,90 zł~~27,30 zł~~−14,40 zł Cała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 12,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Kula wpisana i kula opisana

Obie kule mają ten sam środek — środek symetrii sześcianu, czyli punkt przecięcia jego przekątnych.

kula	czego dotyka	średnica	promień
wpisana	wszystkich $6$ ścian (w ich środkach)	$a$	$r = \dfrac{a}{2}$
opisana	wszystkich $8$ wierzchołków	$a\sqrt{3}$	$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Kula wpisana musi zmieścić się między dwiema przeciwległymi ścianami, a odległość między nimi to dokładnie krawędź $a$ . Stąd średnica równa $a$ i promień $\tfrac{a}{2}$ .

Kula opisana musi objąć wszystkie wierzchołki. Dwa najdalsze od siebie wierzchołki łączy przekątna sześcianu, więc to ona jest średnicą — stąd $R = \tfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Rysunek 2. Kula wpisana dotyka ścian — w przekroju przez środek jej koło dotyka boków kwadratu, więc

r = \tfrac{a}{2}

. Kula opisana przechodzi przez wierzchołki — w przekroju przekątnym (prostokąt

a \times a\sqrt{2}

) jej koło przechodzi przez jego cztery rogi, a średnica to przekątna sześcianu:

R = \tfrac{a\sqrt{3}}{2}

. Dla

a = 4

r = 2

R = 2\sqrt{3}

Stosunek promieni jest stały

$\dfrac{R}{r} = \dfrac{a\sqrt{3}/2}{a/2} = \sqrt{3}$ — niezależnie od wielkości sześcianu.

To wygodna kontrola: kula opisana ma promień około $1{,}73$ raza większy od wpisanej. Jeśli w zadaniu wyszedł stosunek $2$ albo $\sqrt2$ , coś jest nie tak.

Jest jeszcze trzecia kula — styczna do wszystkich $12$ krawędzi, o promieniu $\tfrac{a\sqrt{2}}{2}$ . Pojawia się rzadko, ale ładnie domyka wzorzec: $\tfrac{a}{2}$ , $\tfrac{a\sqrt2}{2}$ , $\tfrac{a\sqrt3}{2}$ — te same trzy pierwiastki co przy krawędzi, przekątnej ściany i przekątnej bryły.

Kula wpisana w sześcian ma promień r = a : 2 (przekrój: koło wpisane w kwadrat a × a), kula opisana ma promień R = D : 2 = a√3 : 2 (przekrój przekątny: prostokąt a × a√2 wpisany w koło) — Kula wpisana i kula opisana na sześcianie

4Zadania odwrotne — od wielkości do krawędzi

Ponieważ wszystko zależy od jednej litery, każda wielkość pozwala odzyskać krawędź, a z niej wszystkie pozostałe. To najczęstszy typ zadania maturalnego i egzaminacyjnego:

dane	jak wyznaczyć $a$	przykład
objętość $V$	$a = \sqrt[3]{V}$	$V = 64 \Rightarrow a = 4$
pole całkowite $P_c$	$a = \sqrt{\dfrac{P_c}{6}}$	$P_c = 150 \Rightarrow a = 5$
przekątna ściany $d$	$a = \dfrac{d}{\sqrt{2}}$	$d = 5\sqrt{2} \Rightarrow a = 5$
przekątna bryły $D$	$a = \dfrac{D}{\sqrt{3}}$	$D = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = 6$
suma krawędzi $L$	$a = \dfrac{L}{12}$	$L = 60 \Rightarrow a = 5$
promień kuli opisanej $R$	$a = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}$	$R = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = 6$

Schemat postępowania jest zawsze ten sam i warto go mieć jako nawyk: z danej wielkości wyznacz krawędź, a dopiero z krawędzi policz to, o co pyta zadanie. Próba przeliczania „na skróty” między dwiema wielkościami kończy się zwykle błędem, bo zależności nie są liniowe.

Najlepszy przykład tej nieliniowości: gdy krawędź rośnie dwukrotnie, pole rośnie czterokrotnie, a objętość ośmiokrotnie. Dla $a = 2$ mamy $P_c = 24$ i $V = 8$ ; dla $a = 4$ już $P_c = 96$ i $V = 64$ .

5Przekrój przekątny i kąty w sześcianie

Przekrój przekątny powstaje przez przecięcie sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez dwie przeciwległe krawędzie boczne. Jest to prostokąt o bokach $a$ oraz $a\sqrt{2}$ — czyli krawędź i przekątna podstawy:

P_{pk} = a \cdot a\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{a^2\sqrt{2}}

Zwróć uwagę, że ten przekrój nie jest kwadratem, choć przecina samą kwadratową bryłę — jeden jego bok jest około $1{,}41$ raza dłuższy od drugiego.

Dwa kąty, o które pytają zadania maturalne:

Kąt między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy. Rzutem przekątnej na podstawę jest przekątna podstawy, więc $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Równoważnie $\cos\alpha = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .
Kąt między przekątną ściany a krawędzią podstawy. Trójkąt jest równoramienny prostokątny, więc kąt wynosi dokładnie $45°$ .

Pierwszy z tych kątów nie ma „ładnej” miary stopniowej — dlatego w odpowiedziach zostawia się postać dokładną funkcji trygonometrycznej, a nie przybliżenie w stopniach. Zapis $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sqrt2}{2}$ jest pełną odpowiedzią.

6W której klasie się to pojawia

Klasy IV–VI — rozpoznawanie sześcianu wśród brył, jego siatka, liczba ścian, krawędzi i wierzchołków oraz pierwsze rachunki na objętości i polu powierzchni.

Klasy VII–VIII — objętość i pole powierzchni w zadaniach praktycznych, suma długości krawędzi, zamiana jednostek objętości. Przekątna ściany wchodzi po twierdzeniu Pitagorasa; przekątna przestrzenna na egzaminie ósmoklasisty pojawia się rzadko i raczej w zadaniach rozszerzonych.

Liceum — pełen zestaw: obie przekątne, kąty między przekątną a podstawą, przekrój przekątny oraz kule wpisana i opisana. Sześcian bywa też najprostszym przykładem przy zadaniach o graniastosłupach prawidłowych, bo jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, w którym wysokość równa się krawędzi podstawy.

Warto pamiętać o tej ostatniej zależności: każdy wzór dla graniastosłupa prawidłowego czworokątnego staje się wzorem dla sześcianu po podstawieniu $H = a$ . Nie trzeba więc uczyć się obu zestawów osobno.

7Przykłady krok po kroku

Pięć zadań: komplet wielkości z krawędzi, dwa zadania odwrotne, kule wpisana i opisana oraz przekrój przekątny z kątem.

Przykład 1 Komplet wielkości z danej krawędzi

Sześcian ma krawędź długości $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm. Oblicz jego pole podstawy, pole powierzchni bocznej, pole powierzchni całkowitej, objętość, obie przekątne oraz sumę długości krawędzi.

Pole podstawy: podstawa jest kwadratem o boku $4$ , więc $P_p = a^2 = 4^2 = \textcolor{#E0453A}{16}$ cm $^2$ .
Pole powierzchni bocznej: ścian bocznych są cztery, więc $P_b = 4a^2 = 4 \cdot 16 = \textcolor{#E0453A}{64}$ cm $^2$ .
Pole powierzchni całkowitej: ścian jest sześć, więc $P_c = 6a^2 = 6 \cdot 16 = \textcolor{#E0453A}{96}$ cm $^2$ .
Objętość: $V = a^3 = 4^3 = \textcolor{#E0453A}{64}$ cm $^3$ .
Przekątna ściany: $d = a\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt{2}}$ cm.
Przekątna sześcianu: $D = a\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt{3}}$ cm.
Suma krawędzi: krawędzi jest $12$ , więc $L = 12a = 12 \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{48}$ cm.
Kontrola pól: $P_c$ musi być sumą $P_b$ i dwóch podstaw: $64 + 2 \cdot 16 = 96$ ✓
Kontrola przekątnych: $D > d > a$ , czyli $4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ , $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ , $a = 4$ ✓
Kontrola jednostek: pola w cm $^2$ , objętość w cm $^3$ , przekątne i suma krawędzi w cm ✓

Odpowiedź: $P_p = 16$ cm $^2$ , $P_b = 64$ cm $^2$ , $P_c = 96$ cm $^2$ , $V = 64$ cm $^3$ , $d = 4\sqrt{2}$ cm, $D = 4\sqrt{3}$ cm, $L = 48$ cm.

Zbieżność liczb $P_b = 64$ i $V = 64$ jest przypadkiem tej konkretnej krawędzi — wielkości mają różne jednostki i różny sens. Dla $a = 5$ byłoby już $P_b = 100$ i $V = 125$ .

Przykład 2 Zadanie odwrotne z objętości

Objętość sześcianu wynosi $\textcolor{#16A06A}{216}$ cm $^3$ . Oblicz długość jego krawędzi oraz pole powierzchni całkowitej.

Ze wzoru $V = a^3$ wyznaczam krawędź: $a = \sqrt[3]{V}$ .
$a = \sqrt[3]{216} = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm, bo $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ .
Mając krawędź, liczę pole całkowite: $P_c = 6a^2 = 6 \cdot 36 = \textcolor{#E0453A}{216}$ cm $^2$ .
Kontrola objętości: $6^3 = 216$ ✓ — zgadza się z danymi.
Kontrola rzędu wielkości: $5^3 = 125$ , a $7^3 = 343$ , więc krawędź musi leżeć między $5$ a $7$ ✓
Kontrola jednostek: $V$ w cm $^3$ , $P_c$ w cm $^2$ — liczby są równe, ale wielkości zupełnie różne ✓

Odpowiedź: $a = 6$ cm, $P_c = 216$ cm $^2$ .

Sześcian o krawędzi $6$ to jedyny, dla którego liczba wyrażająca objętość równa się liczbie wyrażającej pole całkowite — bo $a^3 = 6a^2$ daje $a = 6$ . To ciekawostka, nie reguła: jednostki są różne, więc same wielkości równe nie są.

Przykład 3 Zadanie odwrotne z przekątnej przestrzennej

Przekątna sześcianu ma długość $\textcolor{#16A06A}{10\sqrt{3}}$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Ze wzoru $D = a\sqrt{3}$ wyznaczam krawędź: $a = \dfrac{D}{\sqrt{3}}$ .
$a = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \textcolor{#E0453A}{10}$ cm — pierwiastki się skracają, więc nie trzeba usuwać niewymierności z mianownika.
Objętość: $V = a^3 = 10^3 = \textcolor{#E0453A}{1000}$ cm $^3$ .
Pole całkowite: $P_c = 6a^2 = 6 \cdot 100 = \textcolor{#E0453A}{600}$ cm $^2$ .
Kontrola przekątnej wstecz: $a\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ ✓ — zgadza się z danymi.
Kontrola sensu: $10\sqrt{3} \approx 17{,}3$ , a przekątna musi być dłuższa od krawędzi $10$ ✓
Kontrola przekątnej ściany: $d = 10\sqrt{2} \approx 14{,}1$ — mieści się między krawędzią $10$ a przekątną bryły $17{,}3$ ✓

Odpowiedź: $V = 1000$ cm $^3$ , $P_c = 600$ cm $^2$ .

Gdy dana zawiera $\sqrt{3}$ , krawędź prawie zawsze wychodzi „okrągła” — autorzy zadań tak je układają. To dobra podpowiedź: jeśli po podzieleniu przez $\sqrt3$ wyszła liczba brzydka, warto sprawdzić rachunek.

Przykład 4 Kula wpisana i kula opisana

Sześcian ma krawędź $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm. Oblicz promienie kuli wpisanej i kuli opisanej oraz objętość każdej z nich.

Kula wpisana dotyka przeciwległych ścian, a odległość między nimi to krawędź. Średnica równa się $a$ , więc $r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{6}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ cm.
Kula opisana przechodzi przez wszystkie wierzchołki, a jej średnicą jest przekątna sześcianu: $D = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ . Zatem $R = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt{3}}$ cm.
Objętość kuli wpisanej: $V_w = \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = \textcolor{#E0453A}{36\pi}$ cm $^3$ .
Objętość kuli opisanej: najpierw $R^3 = (3\sqrt{3})^3 = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ .
Stąd $V_o = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 81\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{108\sqrt{3}\,\pi}$ cm $^3$ .
Kontrola stosunku promieni: $\dfrac{R}{r} = \dfrac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ ✓ — zgodnie z regułą, niezależną od wielkości sześcianu.
Kontrola zawierania: kula wpisana mieści się w sześcianie, a sześcian w kuli opisanej, więc $V_w < a^3 < V_o$ . Liczbowo: $36\pi \approx 113$ , $6^3 = 216$ , $108\sqrt{3}\pi \approx 588$ ✓
Kontrola $(3\sqrt{3})^3$ : to $3^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ ✓

Odpowiedź: $r = 3$ cm, $R = 3\sqrt{3}$ cm, $V_w = 36\pi$ cm $^3$ , $V_o = 108\sqrt{3}\,\pi$ cm $^3$ .

Objętości zostają w postaci dokładnej, z $\pi$ i $\sqrt{3}$ . Zapis $113$ i $588$ pojawia się wyłącznie w kontroli sensu — jako odpowiedź byłby przybliżeniem, którego polecenie nie żądało.

Przykład 5 Przekrój przekątny i kąt z podstawą

W sześcianie o krawędzi $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm oblicz pole przekroju przekątnego oraz tangens kąta między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy.

Przekrój przekątny to prostokąt, którego jednym bokiem jest krawędź $a = 4$ , a drugim przekątna podstawy $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ .
$P_{pk} = a \cdot a\sqrt{2} = 4 \cdot 4\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{16\sqrt{2}}$ cm $^2$ .
Kąt z podstawą. Rzutem przekątnej sześcianu na podstawę jest przekątna podstawy, więc powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a\sqrt{2}$ (poziomo) i $a$ (pionowo).
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ — krawędź $a$ skraca się, więc wynik nie zależy od wielkości sześcianu.
Kontrola drugą funkcją: $\cos\alpha = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ . Sprawdzam zgodność: $\tfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707$ i $\tfrac{\sqrt6}{3} \approx 0{,}816$ — obie wartości odpowiadają temu samemu kątowi około $35°$ ✓
Kontrola, że kąt jest ostry: przekątna wznosi się mniej stromo niż pod $45°$ , bo jej rzut ( $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ ) jest dłuższy od wzniesienia ( $4$ ), więc $\operatorname{tg}\alpha < 1$ ✓
Kontrola pola przekroju: $16\sqrt{2} \approx 22{,}6$ cm $^2$ , czyli więcej niż pole ściany ( $16$ cm $^2$ ) — i tak być musi, bo przekrój jest od ściany szerszy ✓

Odpowiedź: $P_{pk} = 16\sqrt{2}$ cm $^2$ , $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Kąt między przekątną sześcianu a podstawą jest taki sam w każdym sześcianie, bo krawędź się skraca. To jedna z niewielu wielkości w tej bryle, która nie zależy od $a$ .

8Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą przekątnych, trzy kolejne — pól, kul i zadań odwrotnych.

Mylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu.

Skąd się bierze: Oba odcinki nazywa się „przekątną”, a w treści zadania rozróżnia je często jedno słowo.

Jak zrobić dobrze: Przekątna ściany to $a\sqrt{2}$ , przekątna bryły to $a\sqrt{3}$ . Dla $a = 4$ jest to $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ oraz $4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ — użycie $\textcolor{#9b1c14}{4\sqrt{2}}$ jako przekątnej bryły zaniża wynik o ponad centymetr.

Podnoszenie do kwadratu tylko pierwiastka w wyrażeniu $a\sqrt2$ .

Skąd się bierze: Wykładnik wydaje się dotyczyć tego czynnika, przy którym stoi.

Jak zrobić dobrze: Do kwadratu idzie cały iloczyn: $(a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{a^2\sqrt{2}}$ . Bez tego wyprowadzenie przekątnej bryły daje $D^2 = a^2\sqrt2 + a^2$ i wzór $a\sqrt3$ w ogóle nie wychodzi.

Liczenie pola całkowitego jako $4a^2$ .

Skąd się bierze: Cztery ściany boczne widać na rysunku, a podstawy górna i dolna łatwo umykają.

Jak zrobić dobrze: Ścian jest sześć, więc $P_c = 6a^2$ ; wzór $4a^2$ opisuje wyłącznie powierzchnię boczną. Dla $a = 4$ jest to $96$ cm $^2$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{64}$ cm $^2$ . Kontrola: $P_c = P_b + 2P_p$ .

Branie przekątnej sześcianu za promień kuli opisanej.

Skąd się bierze: Przekątna faktycznie łączy dwa punkty kuli, więc bywa brana za promień zamiast za średnicę.

Jak zrobić dobrze: Przekątna jest średnicą, bo łączy dwa najdalsze wierzchołki przechodząc przez środek. Promień to jej połowa: $R = \tfrac{a\sqrt3}{2}$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{a\sqrt{3}}$ . Dla $a = 6$ daje to $3\sqrt{3}$ , nie $6\sqrt{3}$ .

Skalowanie objętości tak jak długości.

Skąd się bierze: Podwojenie krawędzi intuicyjnie „podwaja bryłę”, bo tak działa to przy odcinkach.

Jak zrobić dobrze: Pole rośnie z kwadratem, a objętość z sześcianem skali. Po podwojeniu krawędzi z $2$ na $4$ objętość rośnie z $8$ na $64$ , czyli ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Pole całkowite rośnie z $24$ na $96$ , czyli czterokrotnie.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Objętość prostopadłościanu — kartkówka, klasa 5

Objętość figury: jednostki objętości, sześcian, prostopadłościan.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Prostopadłościan i sześcian — kartkówka, klasa 4

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Graniastosłupy, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–7: budowa graniastosłupa, suma krawędzi, pole powierzchni, objętość, jednostki objętości. Na końcu…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

Karty pracy · sklep

Stereometria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: przekątne i kąty w graniastosłupach, ostrosłup prawidłowy, walec, stożek, kula…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Jakie są wszystkie wzory dla sześcianu?

Przy krawędzi oznaczonej literą a pole podstawy to a do kwadratu, pole boczne cztery a do kwadratu, pole całkowite sześć a do kwadratu, a objętość a do sześcianu. Przekątna ściany wynosi a razy pierwiastek z dwóch, przekątna bryły a razy pierwiastek z trzech, a suma krawędzi dwanaście a.

Ile wynosi przekątna sześcianu?

Jest równa długości krawędzi pomnożonej przez pierwiastek z trzech. Wynika to z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa: najpierw dla przekątnej podstawy, a potem dla trójkąta utworzonego przez tę przekątną, krawędź pionową i przekątną bryły.

Jaki jest promień kuli opisanej na sześcianie?

Równa się połowie przekątnej sześcianu, czyli krawędzi pomnożonej przez pierwiastek z trzech i podzielonej przez dwa. Kula opisana przechodzi przez wszystkie osiem wierzchołków, a jej średnicą jest odcinek łączący dwa najdalsze z nich.

Jak obliczyć krawędź sześcianu, znając jego objętość?

Trzeba wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia z objętości, ponieważ objętość jest krawędzią podniesioną do trzeciej potęgi. Dla objętości równej dwieście szesnaście krawędź wynosi sześć, bo sześć do trzeciej daje dwieście szesnaście.

Czy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym?

Tak, jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, w którym wysokość równa się krawędzi podstawy. Dzięki temu każdy wzór dla takiego graniastosłupa staje się wzorem dla sześcianu po podstawieniu wysokości równej krawędzi podstawy.

Jak obliczyć objętość sześcianu?

Pomnóż krawędź przez siebie trzy razy: $V = a^3$ . Na przykład sześcian o krawędzi 3 cm ma objętość $V = 3^3\ \text{cm}^3 = 27\ \text{cm}^3$ .

Czytaj dalej

ProstopadłościanBryła ogólniejsza — sześcian jest jej szczególnym przypadkiem o trzech równych wymiarach.Graniastosłup prawidłowyWzory, z których wzory sześcianu wynikają po podstawieniu wysokości równej krawędzi.KulaPole i objętość kuli — potrzebne w zadaniach o kuli wpisanej i opisanej.Pole kwadratuKażda ściana sześcianu jest kwadratem, więc stąd bierze się jego pole podstawy.Przekroje bryłWięcej o przekroju przekątnym i innych płaszczyznach tnących bryłę.Pole powierzchni prostopadłościanuWzór 2(ab+bc+ac) i wszystkie jego warianty: pole boczne, pudełko bez wieczka,…Wzory na objętość bryłV = a³ i wzory dla innych brył.Pole powierzchni bryłP = 6a² i wzory dla innych brył.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sześcian

1Komplet wzorów sześcianu

2Skąd biorą się obie przekątne

3Kula wpisana i kula opisana

4Zadania odwrotne — od wielkości do krawędzi

5Przekrój przekątny i kąty w sześcianie

6W której klasie się to pojawia

7Przykłady krok po kroku

8Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Objętość prostopadłościanu — kartkówka, klasa 5

Prostopadłościan i sześcian — kartkówka, klasa 4

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Graniastosłupy, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Stereometria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku