Strona główna › Geometria przestrzenna › Graniastosłupy › Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła, której podstawami są dwa przystające trójkąty równoboczne, a ściany boczne są prostokątami stojącymi prosto na podstawie. Ma $5$ ścian, $9$ krawędzi i $6$ wierzchołków. Wszystkie wzory wynikają z dwóch liczb: krawędzi podstawy $a$ i wysokości bryły $H$ .

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: klasy 7–8 i liceum

Krótko: pole podstawy $P_p = \tfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , pole boczne $P_b = 3aH$ , pole całkowite $P_c = 2P_p + P_b$ , objętość $V = P_p \cdot H = \tfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$ . Przykład: $a = 4$ , $H = 10$ daje $P_p = 4\sqrt{3}$ , $P_b = 120$ , $V = 40\sqrt{3} \approx 69{,}28$ .

Kalkulator graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

1Budowa: ściany, krawędzie, wierzchołki

Słowo prawidłowy oznacza dwie rzeczy naraz: graniastosłup jest prosty (krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw), a jego podstawa jest wielokątem foremnym — tu trójkątem równobocznym. Szerzej: graniastosłup prawidłowy.

element	ile	jakie
ściany	$5$	$2$ podstawy (trójkąty równoboczne) i $3$ ściany boczne (prostokąty $a \times H$ )
krawędzie	$9$	$6$ krawędzi podstaw o długości $a$ i $3$ krawędzie boczne o długości $H$
wierzchołki	$6$	po $3$ w każdej podstawie

Suma długości wszystkich krawędzi to $6a + 3H$ . Gdy $H = a$ , wszystkie $9$ krawędzi są równe, a ściany boczne stają się kwadratami.

Graniastosłup trójkątny, czworokątny i sześciokątny z liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi: dla podstawy o n bokach ściany n + 2, wierzchołki 2n, krawędzie 3n — Ściany, krawędzie i wierzchołki — graniastosłup trójkątny ma ich 5, 9 i 6

2Podstawa — trójkąt równoboczny

Cała trudność tej bryły siedzi w podstawie. Trójkąt równoboczny o boku $a$ ma:

wysokość $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ,
pole $P_p = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ,
obwód $3a$ .

Wzór na pole wynika z ogólnego $P = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$ po wstawieniu tej wysokości. Dla $a = 6$ : $P_p = \tfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ .

Podstawy graniastosłupa prawidłowego: trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny z wzorami na pole podstawy i obwód — Podstawy graniastosłupów prawidłowych — trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Graniastosłupy i ostrosłupy — cały dział, klasa 8 (6 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł~~23,40 zł~~−11,50 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Pole powierzchni

pole	wzór	skąd
podstawy	$P_p = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$	trójkąt równoboczny
boczne	$P_b = 3aH$	trzy prostokąty $a \times H$
całkowite	$P_c = 2P_p + P_b$	dwie podstawy i ściany boczne

Po podstawieniu: $P_c = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH$ .

Pole boczne można też liczyć jako obwód podstawy razy wysokość: $3a \cdot H$ . To ta sama liczba, bo ściany boczne rozłożone obok siebie tworzą jeden prostokąt. Ogólnie o polu graniastosłupa: pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

4Objętość

Objętość każdego graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:

Wzór na objętość

$V = P_p \cdot H = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$

Nie ma tu dzielenia przez $3$ — to dotyczy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, który przy tej samej podstawie i wysokości ma objętość trzy razy mniejszą. Więcej: objętość graniastosłupa.

5Przekątne — tylko na ścianach

Przekątna bryły łączy dwa wierzchołki, które nie leżą na jednej ścianie. W graniastosłupie trójkątnym takiej pary nie ma — każdy wierzchołek górnej podstawy leży na wspólnej ścianie z każdym wierzchołkiem dolnej. Dlatego graniastosłup prawidłowy trójkątny nie ma przekątnych bryły.

Ma za to przekątne ścian bocznych — po dwie na każdej z trzech ścian, razem $6$ . Każda ma długość z twierdzenia Pitagorasa:

Przekątna ściany bocznej

$d = \sqrt{a^2 + H^2}$

6Siatka

Siatka składa się z dwóch trójkątów równobocznych i trzech prostokątów $a \times H$ . Prostokąty zwykle rysuje się obok siebie — tworzą wtedy jeden pas o wymiarach $3a \times H$ , a trójkąty dokleja się do jego górnej i dolnej krawędzi. Pole siatki to dokładnie pole całkowite $P_c$ .

7Przykłady krok po kroku

Przykład $1$ Pole i objętość

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma $6$ cm, a wysokość $10$ cm. Oblicz pole całkowite i objętość.

Pole podstawy: $P_p = \tfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \tfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ cm².
Pole boczne: $P_b = 3 \cdot 6 \cdot 10 = 180$ cm².
Pole całkowite: $P_c = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 180 = 18\sqrt{3} + 180$ cm².
Objętość: $V = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3} \approx 155{,}88$ cm³.

Odpowiedź: $P_c = (180 + 18\sqrt{3})$ cm², $V = 90\sqrt{3}$ cm³.

Przykład $2$ Wysokość z objętości

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $48\sqrt{3}$ cm³, a krawędź podstawy $4$ cm. Oblicz wysokość bryły.

Pole podstawy: $P_p = \tfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ cm².
Z $V = P_p \cdot H$ : $H = \tfrac{V}{P_p} = \tfrac{48\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 12$ .

Odpowiedź: $H = 12$ cm.

Przykład $3$ Przekątna ściany bocznej

Krawędź podstawy ma $5$ cm, wysokość $12$ cm. Oblicz długość przekątnej ściany bocznej.

Ściana boczna to prostokąt $5 \times 12$ .
$d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

Odpowiedź: $d = 13$ cm.

Przykład $4$ Suma krawędzi

Ile drutu potrzeba na szkielet graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $3$ cm i wysokości $8$ cm?

Krawędzie podstaw: $6 \cdot 3 = 18$ cm.
Krawędzie boczne: $3 \cdot 8 = 24$ cm.
Razem: $18 + 24 = 42$ cm.

Odpowiedź: $42$ cm drutu.

8Najczęstsze błędy

Pole podstawy liczone jak kwadrat albo bez wysokości trójkąta.

Skąd się bierze: Odruch z prostopadłościanu, gdzie podstawa to $a^2$ .

Jak zrobić dobrze: Podstawa to trójkąt równoboczny: $P_p = \tfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , a nie $a^2$ ani $\tfrac{a^2}{2}$ .

Pole boczne jednej ściany zamiast trzech.

Skąd się bierze: Liczy się jeden prostokąt $a \cdot H$ i zapomina, że są trzy.

Jak zrobić dobrze: $P_b = 3aH$ — obwód podstawy razy wysokość.

Jedna podstawa w polu całkowitym.

Skąd się bierze: Pomieszanie z ostrosłupem, który ma tylko jedną podstawę.

Jak zrobić dobrze: Graniastosłup ma dwie podstawy: $P_c = 2P_p + P_b$ .

Dzielenie objętości przez 3.

Skąd się bierze: Wzór $V = \tfrac{1}{3}P_p H$ zapamiętany z ostrosłupów.

Jak zrobić dobrze: Dla graniastosłupa $V = P_p \cdot H$ , bez dzielenia.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — pole i objętość — test, klasa 7

Test z działu: elementy graniastosłupa, pole, objętość, jednostki.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — kartkówka, klasa 8

Graniastosłupy: objętość, pole powierzchni, przekątne.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Co to jest graniastosłup prawidłowy trójkątny?

To graniastosłup prosty, którego podstawami są dwa przystające trójkąty równoboczne. Ściany boczne są prostokątami, a krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma graniastosłup prawidłowy trójkątny?

Ma 5 ścian (2 podstawy i 3 ściany boczne), 9 krawędzi i 6 wierzchołków.

Jaki jest wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego?

V = Pp · H, a ponieważ podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a, to V = a²√3 · H : 4.

Jak obliczyć pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego?

Pc = 2Pp + Pb, gdzie Pp = a²√3 : 4 to pole podstawy, a Pb = 3aH to pole trzech prostokątnych ścian bocznych. Razem Pc = a²√3 : 2 + 3aH.

Czy graniastosłup prawidłowy trójkątny ma przekątne?

Nie ma przekątnych bryły, bo każde dwa jego wierzchołki leżą na wspólnej ścianie. Ma tylko przekątne ścian bocznych, o długości √(a² + H²).

Czym różni się graniastosłup prawidłowy trójkątny od ostrosłupa prawidłowego trójkątnego?

Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne, a jego objętość to Pp · H. Ostrosłup ma jedną podstawę, ściany boczne są trójkątami, a objętość to tylko jedna trzecia z Pp · H.

Kiedy wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego są równe?

Gdy wysokość jest równa krawędzi podstawy, H = a. Wtedy ściany boczne są kwadratami.

Bryły — wszystkie tematy

Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: budowa, pola, objętości i zadania — cały dział w jednym miejscu.

Graniastosłupy

Graniastosłup — budowa i siatki
Graniastosłup prawidłowy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny (ta strona)
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Prostopadłościan
Sześcian
Pole prostopadłościanu
Pole powierzchni graniastosłupa
Objętość graniastosłupa
Zadania z graniastosłupów

Ostrosłupy

Bryły obrotowe i objętość

Czytaj dalej

Graniastosłup prawidłowy czworokątnyPodstawa — kwadrat, cztery równe przekątne bryły.Graniastosłup prawidłowy sześciokątnyPodstawa z sześciu trójkątów i dwie różne przekątne bryły.Graniastosłup prawidłowyDefinicja i wzory dla wszystkich podstaw.Ostrosłup prawidłowy trójkątnyTa sama podstawa, ale ściany boczne zbiegają się w jednym wierzchołku.GraniastosłupyBudowa, siatki i wzory dla każdego graniastosłupa.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-07. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

1Budowa: ściany, krawędzie, wierzchołki

2Podstawa — trójkąt równoboczny

3Pole powierzchni

4Objętość

5Przekątne — tylko na ścianach

6Siatka

7Przykłady krok po kroku

8Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Graniastosłupy — pole i objętość — test, klasa 7

Graniastosłupy — kartkówka, klasa 8

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku