Strona główna › Geometria przestrzenna › Ostrosłupy › Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy

Q: Co to jest ostrosłup prawidłowy?

To ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie krawędzie boczne mają wtedy równą długość, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Q: Jaki jest wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego?

V = Pp · H : 3, czyli jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa.

Q: Jak obliczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego?

Z twierdzenia Pitagorasa: h = √(H² + r²), gdzie H to wysokość ostrosłupa, a r to promień okręgu wpisanego w podstawę (odległość środka podstawy od jej boku).

Q: Jak obliczyć krawędź boczną ostrosłupa prawidłowego?

b = √(H² + R²), gdzie R to promień okręgu opisanego na podstawie (odległość środka podstawy od wierzchołka).

Q: Ile ścian ma ostrosłup prawidłowy?

Ostrosłup o podstawie n-kąta ma n + 1 ścian, 2n krawędzi i n + 1 wierzchołków — na przykład czworokątny ma 5 ścian, 8 krawędzi i 5 wierzchołków.

Q: Czym różni się kąt nachylenia krawędzi bocznej od kąta nachylenia ściany bocznej?

Kąt krawędzi bocznej leży w trójkącie z H i R: tg α = H : R. Kąt ściany bocznej leży w trójkącie z H i r: tg β = H : r. Ponieważ r < R, kąt ściany bocznej jest większy.

Q: Czy czworościan foremny jest ostrosłupem prawidłowym?

Tak. To ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy.

Ostrosłup prawidłowy to ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Dzięki temu wszystkie krawędzie boczne są równe, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne. Wszystkie wzory sprowadzają się do dwóch odległości od środka podstawy: do boku ( $r$ ) i do wierzchołka ( $R$ ).

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: klasa 8 i liceum

Krótko: $V = \tfrac{1}{3} P_p \cdot H$ , wysokość ściany bocznej $h = \sqrt{H^2 + r^2}$ , krawędź boczna $b = \sqrt{H^2 + R^2}$ , pole boczne $P_b = n \cdot \tfrac{a \cdot h}{2}$ . Przykład: czworokątny, $a = 6$ , $H = 4$ daje $h = 5$ , $P_c = 96$ , $V = 48$ .

Kalkulator ostrosłupa prawidłowego

1Definicja i budowa

Ostrosłup jest prawidłowy, gdy spełnia dwa warunki: podstawa jest wielokątem foremnym (równe boki i kąty), a wysokość opada dokładnie w środek podstawy. Ogólne wiadomości o tej rodzinie brył są na stronie ostrosłupy.

podstawa	ściany	krawędzie	wierzchołki	osobna strona
trójkąt równoboczny	$4$	$6$	$4$	ostrosłup prawidłowy trójkątny
kwadrat	$5$	$8$	$5$	ostrosłup prawidłowy czworokątny
sześciokąt foremny	$7$	$12$	$7$	—
$n$ -kąt foremny	$n + 1$	$2n$	$n + 1$

Szczególny przypadek: czworościan foremny to ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy.

2Dwie odległości od środka podstawy

Wysokość $H$ opada w środek podstawy $S$ . Od $S$ do boku podstawy jest $r$ (promień okręgu wpisanego), a od $S$ do wierzchołka — $R$ (promień okręgu opisanego). Każda z nich tworzy z $H$ trójkąt prostokątny:

z $H$ i $r$ — przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej: $h = \sqrt{H^2 + r^2}$ ,
z $H$ i $R$ — przeciwprostokątną jest krawędź boczna: $b = \sqrt{H^2 + R^2}$ .

podstawa	pole podstawy $P_p$	$r$ (do boku)	$R$ (do wierzchołka)
trójkąt równoboczny	$\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
kwadrat	$a^2$	$\dfrac{a}{2}$	$\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
sześciokąt foremny	$\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$	$a$

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Graniastosłupy i ostrosłupy — cały dział, klasa 8 (6 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł~~23,40 zł~~−11,50 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Objętość i pole powierzchni

Wzór na objętość

$V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot H$

Pole boczne to $n$ przystających trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $h$ : $P_b = n \cdot \dfrac{a \cdot h}{2}$ . Pole całkowite: $P_c = P_p + P_b$ — podstawa jest jedna, nie dwie jak w graniastosłupie. Porównaj z graniastosłupem prawidłowym.

4Kąty nachylenia

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy $\alpha$ : $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{R}$ .
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy $\beta$ : $\operatorname{tg}\beta = \dfrac{H}{r}$ .

Ponieważ $r < R$ , kąt ściany bocznej jest zawsze większy od kąta krawędzi bocznej.

5Przykłady krok po kroku

Przykład $1$ Ostrosłup czworokątny

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma $6$ cm, a wysokość $4$ cm. Oblicz pole całkowite i objętość.

$r = \tfrac{6}{2} = 3$ , więc $h = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm.
$P_p = 36$ cm², $P_b = 4 \cdot \tfrac{6 \cdot 5}{2} = 60$ cm², $P_c = 96$ cm².
$V = \tfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$ cm³.

Odpowiedź: $P_c = 96$ cm², $V = 48$ cm³.

Przykład $2$ Ostrosłup trójkątny — krawędź boczna

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma $6$ cm, a wysokość $2$ cm. Oblicz krawędź boczną i objętość.

$R = \tfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ , więc $b = \sqrt{2^2 + 12} = \sqrt{16} = 4$ cm.
$P_p = \tfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ cm².
$V = \tfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$ cm³.

Odpowiedź: $b = 4$ cm, $V = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$ cm³.

Przykład $3$ Ostrosłup sześciokątny

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma $2$ cm, a wysokość $4$ cm. Oblicz krawędź boczną i objętość.

$R = a = 2$ , więc $b = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm.
$P_p = \tfrac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm².
$V = \tfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$ cm³.

Odpowiedź: $b = 2\sqrt{5}$ cm, $V = 8\sqrt{3} \approx 13{,}86$ cm³.

Przykład $4$ Kąt nachylenia ściany bocznej

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma $4$ cm, a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $45^\circ$ . Oblicz objętość.

$r = 2$ , a przy kącie $45^\circ$ mamy $H = r = 2$ cm.
$V = \tfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \tfrac{32}{3}$ cm³.

Odpowiedź: $V = \tfrac{32}{3} = 10\tfrac{2}{3}$ cm³.

6Najczęstsze błędy

Brak $\tfrac{1}{3}$ w objętości.

Skąd się bierze: Przeniesienie wzoru z graniastosłupa.

Jak zrobić dobrze: Ostrosłup: $V = \tfrac{1}{3} P_p \cdot H$ — mieści się w nim dokładnie trzecia część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Pomylenie $r$ i $R$ .

Skąd się bierze: Obie odległości wychodzą ze środka podstawy.

Jak zrobić dobrze: Do wysokości ściany bocznej — $r$ (do środka boku). Do krawędzi bocznej — $R$ (do wierzchołka).

Wysokość ostrosłupa zamiast wysokości ściany w polu bocznym.

Skąd się bierze: Obie nazywa się „wysokością”.

Jak zrobić dobrze: W $P_b$ używamy wysokości ściany bocznej $h$ , a w $V$ — wysokości bryły $H$ .

Dwie podstawy w polu całkowitym.

Skąd się bierze: Nawyk z graniastosłupów.

Jak zrobić dobrze: Ostrosłup ma jedną podstawę: $P_c = P_p + P_b$ .

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Ostrosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Objętość z wysokości i podstawy, pole boczne i całkowite, kąt krawędzi bocznej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Kąty w bryłach — kartkówka, liceum klasa 3

Kąt przekątnej z podstawą, nachylenie ściany i krawędzi bocznej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Ostrosłupy — kartkówka, liceum klasa 3

Objętość, wysokość ściany bocznej, pole powierzchni bocznej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest ostrosłup prawidłowy?

To ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie krawędzie boczne mają wtedy równą długość, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Jaki jest wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego?

V = Pp · H : 3, czyli jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa.

Jak obliczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego?

Z twierdzenia Pitagorasa: h = √(H² + r²), gdzie H to wysokość ostrosłupa, a r to promień okręgu wpisanego w podstawę (odległość środka podstawy od jej boku).

Jak obliczyć krawędź boczną ostrosłupa prawidłowego?

b = √(H² + R²), gdzie R to promień okręgu opisanego na podstawie (odległość środka podstawy od wierzchołka).

Ile ścian ma ostrosłup prawidłowy?

Ostrosłup o podstawie n-kąta ma n + 1 ścian, 2n krawędzi i n + 1 wierzchołków — na przykład czworokątny ma 5 ścian, 8 krawędzi i 5 wierzchołków.

Czym różni się kąt nachylenia krawędzi bocznej od kąta nachylenia ściany bocznej?

Kąt krawędzi bocznej leży w trójkącie z H i R: tg α = H : R. Kąt ściany bocznej leży w trójkącie z H i r: tg β = H : r. Ponieważ r < R, kąt ściany bocznej jest większy.

Czy czworościan foremny jest ostrosłupem prawidłowym?

Tak. To ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy.

Czytaj dalej

Ostrosłup prawidłowy trójkątnyPodstawa — trójkąt równoboczny, rysunek i kalkulator.Ostrosłup prawidłowy czworokątnyPodstawa — kwadrat, przekątna i kąty.OstrosłupyRodzaje ostrosłupów i wzory ogólne.Graniastosłup prawidłowyTa sama podstawa, dwie ściany równoległe.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Ostrosłup prawidłowy

1Definicja i budowa

2Dwie odległości od środka podstawy

3Objętość i pole powierzchni

4Kąty nachylenia

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Ostrosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Kąty w bryłach — kartkówka, liceum klasa 3

Ostrosłupy — kartkówka, liceum klasa 3

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku