Strona główna › Geometria przestrzenna › Prostopadłościan i sześcian — wzory i siatka

Prostopadłościan i sześcian — wzory i siatka

Prostopadłościan to pierwsza bryła, którą poznaje się w szkole — pudełko, pokój, akwarium. Ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i dwa wzory, które trzeba umieć rozróżnić: objętość mówi, ile się mieści w środku, pole powierzchni — ile materiału na zewnątrz. Ta strona tłumaczy jedno i drugie od zera.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: klasa 4 – maturaZadań z matury: 7

Kalkulator prostopadłościanu

Podstawa to prostokąt a × b, a c to wysokość bryły. Gdy a = b = c, prostopadłościan jest sześcianem.

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Co to jest prostopadłościan

Prostopadłościan to bryła ograniczona sześcioma prostokątami. Każde dwie sąsiednie ściany są do siebie prostopadłe — stąd nazwa.

Prostopadłościan o krawędziach a, b, c z zaznaczoną przekątną bryły d i przekątną podstawy pacbdp
Rysunek 1. Prostopadłościan: a — długość, b — szerokość, c — wysokość. Linie przerywane to krawędzie, których z tej strony nie widać. Pomarańczowe odcinki to przekątna podstawy p i przekątna bryły d — obie liczy się z twierdzenia Pitagorasa.

Opisują go trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość. Każdy inny wymiar bryły — na przykład przekątna — da się z nich wyliczyć.

Sześcian to prostopadłościan, w którym wszystkie trzy wymiary są równe. Jego ściany są wtedy kwadratami, a wszystkie dwanaście krawędzi ma tę samą długość.

Prostopadłościan należy do rodziny graniastosłupów — jest graniastosłupem prostym o podstawie prostokątnej. Wszystko, co obowiązuje graniastosłupy, obowiązuje więc i jego.

Praktyczna korzyść z tej obserwacji: podstawą prostopadłościanu może być dowolna z trzech par przeciwległych ścian. Wolno wybrać tę, która wygodniej się liczy.

2Ściany, krawędzie i wierzchołki

Liczby są zawsze te same, niezależnie od wymiarów: 6 ścian, 12 krawędzi, 8 wierzchołków.

Ważniejsze od samych liczb jest to, jak się grupują.

Z pierwszego grupowania bierze się wzór na pole powierzchni: liczy się trzy różne ściany i podwaja wynik.

Z drugiego — wzór na sumę długości krawędzi: to poczwórna suma trzech wymiarów, a nie dwunastokrotność jednego z nich.

Kontrola zależnością Eulera: 6+8−12=26 + 8 - 12 = 2 ✓ — dla każdego wielościanu wypukłego ta różnica wynosi dwa.

Prostopadłościan poznaje się już w klasie czwartej i to od niego zaczyna się droga przez bryły, która kończy się dopiero na maturze.

Prostopadłościan — wzory: objętość V = a · b · c, pole powierzchni P = 2(ab + ac + bc), suma krawędzi K = 4(a + b + c), przekątna d = √(a² + b² + c²); przykład a = 5, b = 3, c = 4: V = 60, P = 94, K = 48, d = 5√2
Prostopadłościan — objętość, pole, krawędzie i przekątna
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury przestrzenne i objętość” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury przestrzenne i objętość — cały dział, klasa 5 (7 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury przestrzenne i objętość”7 arkuszy w jednym pliku12,90 zł27,30 zł−14,40 złCała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 12,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Objętość — ile się mieści w środku

Objętość mierzy, ile miejsca bryła zajmuje w przestrzeni. Najprościej wyobrazić ją sobie jako liczbę sześcianików o krawędzi jednej jednostki, które mieszczą się w środku.

V=a⋅b⋅c,Vszesˊcianu=a3V = a \cdot b \cdot c, \qquad V_{\text{sześcianu}} = a^3

Skąd bierze się mnożenie trzech liczb: w jednej warstwie mieści się a⋅ba \cdot b sześcianików, a takich warstw jest cc.

Jednostka jest sześcienna, bo mnożymy trzy długości. Brak sześcianu przy jednostce bywa traktowany jak brak jednostki w ogóle.

Warunek, o którym łatwo zapomnieć: wszystkie trzy wymiary muszą być podane w tej samej jednostce. Wymnożenie centymetrów przez metry nie daje żadnej sensownej wielkości.

Kontrola sensowności działa tu wyjątkowo dobrze, bo objętości da się wyobrazić. Pudełko o boku dziesięciu centymetrów mieści litr — to dobry punkt odniesienia.

4Pole powierzchni — ile materiału na zewnątrz

Pole powierzchni to suma pól wszystkich sześciu ścian. Dzięki temu, że występują one w trzech parach, liczy się je krótko.

Pc=2(ab+bc+ac),Pc, szesˊcianu=6a2P_c = 2(ab + bc + ac), \qquad P_{c,\,\text{sześcianu}} = 6a^2

Najważniejsze rozróżnienie w całym dziale: pole powierzchni mierzy się w jednostkach kwadratowych, objętość w sześciennych. To wielkości nieporównywalne i nie da się jednej przeliczyć na drugą.

Praktyczny sposób na rozpoznanie, o co pyta zadanie: pole odpowiada na pytanie „ile materiału na opakowanie”, objętość — „ile się zmieści w środku”. Farba, papier i szkło to pole; woda, piasek i powietrze to objętość.

Przy sześcianie oba wzory zależą od tej samej liczby, więc łatwo je pomylić. Wskazówka: pole ma kwadrat i mnożnik sześć, objętość ma sześcian i żadnego mnożnika.

Poniżej komplet wielkości prostopadłościanu w jednym miejscu — także tych, które gdzie indziej na tej stronie tylko wspominam. Wymiary oznaczam aa, bb, cc, a kolumna z prawej podaje wartości dla a=3a = 3, b=4b = 4, c=12c = 12. Ten zestaw dobrałem celowo: obie przekątne wychodzą w nim liczbami całkowitymi.

wielkośćwzórdla 3×4×123 \times 4 \times 12
pole podstawyPp=abP_p = ab1212
pole powierzchni bocznejPb=2c(a+b)P_b = 2c(a+b)168168
pole powierzchni całkowitejPc=2Pp+Pb=2(ab+bc+ac)P_c = 2P_p + P_b = 2(ab+bc+ac)192192
objętośćV=abcV = abc144144
suma długości krawędzi4(a+b+c)4(a+b+c)7676
przekątna podstawya2+b2\sqrt{a^2+b^2}55
przekątne ścian (trzy różne)a2+b2\sqrt{a^2+b^2}, b2+c2\sqrt{b^2+c^2}, a2+c2\sqrt{a^2+c^2}55, 4104\sqrt{10}, 3173\sqrt{17}
przekątna przestrzennad=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}1313
promień kuli opisanejR=d2R = \frac{d}{2}6,56{,}5
promień kuli wpisanejistnieje tylko w sześcianie: r=a2r = \frac{a}{2}— nie istnieje

Dwa wiersze warto skomentować. Przekątne ścian są trzy, a nie jedna — bo ściany są trzech rodzajów. To dlatego w zadaniu trzeba zawsze powiedzieć, o którą ścianę chodzi; w sześcianie wszystkie trzy schodzą się do jednej długości a2a\sqrt2 i o rozróżnieniu łatwo zapomnieć.

Kula wpisana w prostopadłościan na ogół nie istnieje i to zaskakuje. Kula styczna do wszystkich sześciu ścian musiałaby mieć od każdej pary ścian tę samą odległość, czyli a2=b2=c2\frac{a}{2} = \frac{b}{2} = \frac{c}{2} — a to znaczy, że wszystkie trzy wymiary są równe. Wpisać kulę da się więc wyłącznie w sześcian. Kulę opisaną ma za to każdy prostopadłościan: jej środek leży w punkcie przecięcia przekątnych przestrzennych, a promień jest połową przekątnej.

Wybrane wymiary pokazują też, dlaczego twierdzenie Pitagorasa stosuje się tu dwa razy pod rząd: najpierw w podstawie, gdzie 33 i 44 dają 55, a potem w trójkącie o przyprostokątnych 55 i 1212, gdzie wychodzi 1313. Dwie znane trójki pitagorejskie jedna po drugiej. Kontrola wprost ze wzoru: 9+16+144=169=13\sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13 ✓.

5Siatka prostopadłościanu

Siatka to bryła rozcięta wzdłuż krawędzi i rozłożona na płaszczyźnie. Składa się z sześciu prostokątów tworzących trzy pary.

Siatka prostopadłościanu o wymiarach 5 cm, 3 cm i 7 cm — trzy pary jednakowych prostokątów w trzech kolorach3 × 75 × 73 × 75 × 75 × 35 × 3
Rysunek 2. Siatka prostopadłościanu 5 cm×3 cm×7 cm5\ \text{cm} \times 3\ \text{cm} \times 7\ \text{cm}. Ściany w tym samym kolorze leżą naprzeciw siebie — są trzy pary jednakowych prostokątów. Pole siatki: 2⋅(5⋅3+3⋅7+5⋅7)=142 cm22 \cdot (5 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 142\ \text{cm}^2, czyli dokładnie tyle, ile pole powierzchni bryły.

Siatki do druku (PDF, 4 strony). Siatka prostopadłościanu i sześcianu w skali 1:1 z zakładkami do klejenia, karta pracy „która figura jest siatką sześcianu” i zadania z kluczem odpowiedzi.

Pobierz siatki PDF

Rozpoznanie poprawnej siatki wymaga trzech rzeczy: dokładnie sześciu prostokątów, krawędzi mających się skleić równej długości oraz — o czym najłatwiej zapomnieć — właściwego ułożenia. Same sześć prostokątów nie wystarcza: z trzydziestu pięciu figur, jakie da się ułożyć z sześciu kwadratów, w sześcian zwija się tylko jedenaście. Najprostszy kontrprzykład to sześć kwadratów ustawionych w prostokąt 2×32 \times 3 — oba pierwsze warunki spełnia, a bryły z niego nie złożysz.

Ta sama bryła ma wiele różnych siatek — prostopadłościan o trzech różnych wymiarach da się rozłożyć aż na 54 sposoby, sześcian na 11. Wszystkie mają jednak identyczne pole.

Stąd najwygodniejsza własność: pole siatki jest polem powierzchni całkowitej. Jeśli zadanie podaje siatkę, nie trzeba wyobrażać sobie bryły.

Zadania typu „która siatka nie przedstawia tej bryły” rozstrzyga się właśnie przez sprawdzanie długości krawędzi, które mają się zetknąć.

Siatka prostopadłościanu o wymiarach 5, 3, 4 — trzy pary jednakowych prostokątów 5·3, 5·4, 3·4; pole powierzchni 94; sześcian: V = a³, P = 6a², K = 12a
Siatka prostopadłościanu i wzory na sześcian

6Jednostki objętości — gdzie gubi się zera

Przeliczniki objętości są inne niż długości i to zaskakuje najczęściej.

Powód jest zawsze ten sam: przy przejściu o jeden szczebel każdy z trzech wymiarów mnoży się przez dziesięć, więc objętość zmienia się tysiąckrotnie.

Najczęstszy błąd to potraktowanie metra sześciennego jako stu litrów. Poprawnie jest tysiąc — warto to zapamiętać przez obraz: metr sześcienny to duża lodówka, nie wiadro.

Przy polach przelicznik jest podniesiony do kwadratu, przy objętościach do sześcianu, przy długościach do pierwszej potęgi. Jedna reguła, trzy różne mnożniki.

7W której klasie się to pojawia

Prostopadłościan to pierwsza bryła w programie i wraca aż do liceum.

Przekątna bryły to dobry moment na pokazanie, że twierdzenie Pitagorasa stosuje się dwa razy pod rząd: najpierw do przekątnej podstawy, potem do przekątnej bryły.

8Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Test gotowości: powiedz, ile litrów mieści akwarium o wymiarach pięćdziesiąt na trzydzieści na czterdzieści centymetrów. Jeśli wychodzi sześćdziesiąt bez wahania nad przelicznikiem, materiał tej strony jest opanowany.

9Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: objętość z zamianą na litry, pole powierzchni i suma długości krawędzi.

Przykład 11 Objętość i zamiana na litry

Pudełko ma wymiary 2020 cm, 1515 cm i 1010 cm. Ile litrów się w nim zmieści?

  1. Wszystkie wymiary są w centymetrach, więc mogę mnożyć od razu.
  2. V=20⋅15⋅10=3000V = 20 \cdot 15 \cdot 10 = 3000 cm³.
  3. Zamieniam na litry: jeden litr to 10001000 cm³, więc 3000:1000=33000 : 1000 = 3 litry.
  4. Kontrola sensowności: pudełko wielkości małego kartonu mieszczące trzy litry — to wiarygodne ✓
  5. Podzielenie przez 100100 dałoby 3030 litrów, czyli wiadro w pudełku po butach. Zły przelicznik widać od razu po absurdzie wyniku.

Odpowiedź: W pudełku zmieszczą się 33 litry.

Przykład 22 Pole powierzchni

Ile papieru potrzeba na oklejenie pudełka o wymiarach 88 cm, 55 cm i 44 cm?

  1. Pytanie o materiał na zewnątrz to pytanie o pole powierzchni.
  2. Liczę trzy różne ściany: 8⋅5=408 \cdot 5 = 40, 5⋅4=205 \cdot 4 = 20, 8⋅4=328 \cdot 4 = 32.
  3. Suma trzech różnych: 40+20+32=9240 + 20 + 32 = 92 cm².
  4. Każda występuje dwa razy, więc Pc=2⋅92=184P_c = 2 \cdot 92 = 184 cm².
  5. Kontrola jednostki: pole jest kwadratowe ✓
  6. Objętość tego pudełka to 160160 cm³ — inna liczba i inna jednostka, więc obu wielkości nie da się pomylić w odpowiedzi.

Odpowiedź: Potrzeba 184184 cm² papieru.

Przykład 33 Suma długości krawędzi

Ile drutu potrzeba na zbudowanie szkieletu prostopadłościanu o wymiarach 66 cm, 44 cm i 33 cm?

  1. Szkielet to same krawędzie, a jest ich dwanaście — w trzech grupach po cztery.
  2. Każdy wymiar występuje więc cztery razy.
  3. L=4⋅(6+4+3)=4⋅13=52L = 4 \cdot (6 + 4 + 3) = 4 \cdot 13 = 52 cm.
  4. Kontrola przez grupy: 4⋅6=244 \cdot 6 = 24, 4⋅4=164 \cdot 4 = 16, 4⋅3=124 \cdot 3 = 12, a 24+16+12=5224 + 16 + 12 = 52 ✓
  5. Jednostka jest zwykła, bo suma długości to długość — nie pole ani objętość.
  6. Częsty błąd: pomnożenie jednego wymiaru przez dwanaście. Krawędzie są trzech różnych długości, nie jednej.

Odpowiedź: Potrzeba 5252 cm drutu.

10Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które przy prostopadłościanie wracają najczęściej. Pierwszy decyduje o tym, czy odpowiedź w ogóle dotyczy zadanego pytania.

Mylenie objętości z polem powierzchni

Skąd się bierze: Zadania praktyczne nie używają tych słów wprost, tylko pytają o ilość wody albo o ilość szkła. Policzenie nie tej wielkości daje wynik rachunkowo poprawny, ale odpowiadający na inne pytanie.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj, czy chodzi o to, co jest w środku, czy o to, co na zewnątrz. Woda, piasek i powietrze to objętość; farba, papier i szkło to pole. Jednostka w odpowiedziach też rozstrzyga: sześcienna czy kwadratowa.

Przeliczanie jednostek objętości jak jednostek długości

Skąd się bierze: Przy przejściu o jeden szczebel objętość zmienia się tysiąckrotnie, bo mnożą się wszystkie trzy wymiary. Użycie przelicznika od długości albo od pola daje wynik odpowiednio sto- albo dziesięciokrotnie za mały (a przy zamianie na większą jednostkę — za duży).

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj trzy równości: decymetr sześcienny to litr, litr to tysiąc centymetrów sześciennych, metr sześcienny to tysiąc litrów. Obraz pomocniczy: metr sześcienny to duża lodówka.

Mnożenie wymiarów podanych w różnych jednostkach

Skąd się bierze: Treść bywa mieszana — dwa wymiary w centymetrach, trzeci w metrach. Wymnożenie ich bez sprowadzenia do wspólnej jednostki daje liczbę, która nie oznacza żadnej objętości.

Jak zrobić dobrze: Przed mnożeniem wypisz wszystkie trzy wymiary w jednej, wybranej jednostce. Zwykle wygodniej sprowadzić do mniejszej, bo unika się ułamków.

Mnożenie jednej krawędzi przez dwanaście

Skąd się bierze: Krawędzi rzeczywiście jest dwanaście, ale mają trzy różne długości — po cztery każdego rodzaju. Pomnożenie jednego wymiaru przez dwanaście działa wyłącznie w sześcianie.

Jak zrobić dobrze: Dodaj trzy różne wymiary i pomnóż sumę przez cztery. W sześcianie wszystkie wymiary są równe, więc dopiero tam mnożenie przez dwanaście jest poprawne.

Zadania maturalne — sześcian i prostopadłościan

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Najczęstsza pułapka tego działu to pomylenie przekątnej ściany (a2a\sqrt2) z przekątną bryły (a3a\sqrt3) — warto zawsze zapytać, o którą chodzi.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc test obejmuje wszystkie — za każdym razem w innej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktłatwe

Objętość sześcianu jest równa 729729. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
  • A. 939\sqrt3
  • B. 929\sqrt2
  • C. 333\sqrt3
  • D. 323\sqrt2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krawędź: a=7293=9a = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{729}} = \textcolor{#E0453A}{9}.
  2. Przekątna sześcianu: d=a3=93d = a\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{9\sqrt3}.
  3. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Warto pamiętać oba wzory naraz: przekątna ściany to a2a\sqrt2, przekątna bryły to a3a\sqrt3. Liczbę 729729 warto rozpoznać — to 939^3.

⚠ Odpowiedź B (929\sqrt2) to przekątna ściany, a nie bryły. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Przekątna ściany sześcianu ma długość 222\sqrt2. Objętość tego sześcianu jest równa
  • A. 88
  • B. 2424
  • C. 1669\frac{16\sqrt6}{9}
  • D. 16216\sqrt2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Ściana sześcianu to kwadrat, więc jej przekątna wynosi a2a\sqrt2.
  2. a2=22 ⟹ a=2a\sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt2} \ \Longrightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{2}
  3. Objętość: V=a3=8V = a^3 = \textcolor{#E0453A}{8}.
  4. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kontrola: gdyby chodziło o przekątną bryły, wyszłoby a3=22a\sqrt3 = 2\sqrt2, czyli a=263a = \tfrac{2\sqrt6}{3} i V=1669V = \tfrac{16\sqrt6}{9} — to pułapka z odpowiedzi C. W treści chodzi jednak o przekątną ściany.

⚠ Odpowiedź D powstaje z potraktowania 222\sqrt2 jako krawędzi: wtedy V=(22)3=162V = (2\sqrt2)^3 = 16\sqrt2. Przekątna to jednak nie krawędź.

Zadanie 3 (maj 2011)1 pktśrednie

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 5454. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
  • A. 6\sqrt6
  • B. 33
  • C. 99
  • D. 333\sqrt3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc Pc=6a2P_c = 6a^2.
  2. 6a2=54 ⟹ a2=9 ⟹ a=36a^2 = \textcolor{#16A06A}{54} \ \Longrightarrow \ a^2 = 9 \ \Longrightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{3}
  3. Przekątna: d=a3=33d = a\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}.
  4. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Kontrola wsteczna: 6⋅32=546 \cdot 3^2 = 54 ✓. Warto ją zrobić, bo dzielenie przez sześć łatwo pomylić z dzieleniem przez cztery.

⚠ Odpowiedź B (33) to sama krawędź — czyli zatrzymanie się krok przed końcem, bez pomnożenia przez 3\sqrt3.

Zadanie 4 (maj 2010)1 pktłatwe

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5×3×45 \times 3 \times 4 jest równe
  • A. 9494
  • B. 6060
  • C. 4747
  • D. 2020
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian: Pc=2(ab+bc+ac)P_c = 2(ab + bc + ac).
  2. ab=5⋅3=15ab = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 15, bc=3⋅4=12bc = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 12, ac=5⋅4=20ac = 5 \cdot 4 = 20.
  3. Pc=2⋅(15+12+20)=2⋅47=94P_c = 2 \cdot (15 + 12 + 20) = 2 \cdot 47 = \textcolor{#E0453A}{94}
  4. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kontrola sensu: pole musi być większe niż suma trzech różnych ścian (4747), bo każdą liczymy dwa razy.

⚠ Odpowiedź B (6060) to objętość (5⋅3⋅45 \cdot 3 \cdot 4), a C (4747) to suma trzech ścian bez podwojenia.

Zadanie 5 (informator CKE)1 pktłatwe

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 2424. Objętość tego sześcianu jest równa
  • A. 6464
  • B. 2727
  • C. 2424
  • D. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Sześcian ma dwanaście krawędzi tej samej długości, więc 12a=2412a = \textcolor{#16A06A}{24}.
  2. a=2a = \textcolor{#E0453A}{2}
  3. Objętość: V=a3=8V = a^3 = \textcolor{#E0453A}{8}.
  4. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Liczba krawędzi sześcianu to 1212, a nie 66 (tyle jest ścian) ani 88 (tyle jest wierzchołków). Pomyłka w tej liczbie przekłada się od razu na wynik.

⚠ Odpowiedź B (2727) wychodzi przy podzieleniu 2424 przez 88, czyli przy pomyleniu liczby krawędzi z liczbą wierzchołków.

Zadanie 6 (informator CKE)1 pktśrednie

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 2×3×52 \times 3 \times 5 ma długość
  • A. 13\sqrt{13}
  • B. 29\sqrt{29}
  • C. 34\sqrt{34}
  • D. 38\sqrt{38}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Przekątna prostopadłościanu wynika z dwukrotnego twierdzenia Pitagorasa i daje wzór d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}.
  2. d=22+32+52=4+9+25=38d = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{38}}
  3. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Wynik zostaje pod pierwiastkiem — 38\sqrt{38} jest liczbą niewymierną i to jest postać dokładna.

⚠ Odpowiedzi A, B i C powstają z pominięcia jednego z wymiarów: 13\sqrt{13} to przekątna ściany 2×32 \times 3, 29\sqrt{29} ściany 2×52 \times 5, a 34\sqrt{34} ściany 3×53 \times 5.

Zadanie 7 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość pp. Objętość tego prostopadłościanu jest równa
  • A. p3−3p2+2pp^3 - 3p^2 + 2p
  • B. p3+3p2+2pp^3 + 3p^2 + 2p
  • C. p3−6p2−8pp^3 - 6p^2 - 8p
  • D. p3−6p2+8pp^3 - 6p^2 + 8p
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Kolejne liczby parzyste różnią się o 22, więc przy najdłuższej równej p\textcolor{#16A06A}{p} pozostałe to p−2p-2 oraz p−4p-4.
  2. V=p(p−2)(p−4)V = p(p-2)(p-4)
  3. Wymnażam dwa ostatnie nawiasy: (p−2)(p−4)=p2−6p+8(p-2)(p-4) = p^2 - 6p + 8.
  4. V=p(p2−6p+8)=p3−6p2+8pV = p(p^2 - 6p + 8) = \textcolor{#E0453A}{p^3 - 6p^2 + 8p}
  5. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Kontrola liczbowa jest szybsza niż mnożenie nawiasów: dla p=6p = 6 krawędzie to 22, 44, 66, a objętość 4848 — i tylko wzór z odpowiedzi D daje 4848. Sprawdziłem to dla osiemnastu wartości pp.

⚠ Odpowiedzi A i B zakładają różnicę 11 zamiast 22 (czyli kolejne liczby naturalne, nie parzyste). Odpowiedź C ma zły znak przy 8p8p — to efekt pomyłki w mnożeniu dwóch liczb ujemnych.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. A3. D4. A5. D6. D
7. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Graniastosłupy, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Graniastosłupy, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–7: budowa graniastosłupa, suma krawędzi, pole powierzchni, objętość, jednostki objętości. Na końcu…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

11Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć objętość prostopadłościanu?

Pomnóż przez siebie trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość. Wszystkie muszą być podane w tej samej jednostce, a wynik wychodzi w jednostkach sześciennych. Sensu tego mnożenia najłatwiej dopatrzeć się tak: w jednej warstwie mieści się długość razy szerokość sześcianików, a warstw jest tyle, ile wynosi wysokość.

Czym różni się pole powierzchni od objętości?

Pole powierzchni mówi, ile materiału potrzeba na zewnątrz bryły, i mierzy się je w jednostkach kwadratowych. Objętość mówi, ile się w niej mieści, w jednostkach sześciennych. To wielkości nieporównywalne — jednej nie da się przeliczyć na drugą.

Ile litrów mieści się w metrze sześciennym?

Tysiąc. Metr sześcienny to tysiąc decymetrów sześciennych, a decymetr sześcienny to dokładnie jeden litr. Tysiąc, a nie sto — bo przy zmianie jednostki mnożą się wszystkie trzy wymiary, każdy przez dziesięć.

Ile krawędzi ma prostopadłościan?

Dwanaście, w trzech grupach po cztery — każda grupa odpowiada jednemu wymiarowi. Dlatego suma długości krawędzi to poczwórna suma trzech wymiarów. Ścian jest sześć, w trzech parach, a wierzchołków osiem.

Czy sześcian to prostopadłościan?

Tak — to prostopadłościan, w którym wszystkie trzy wymiary są równe, więc jego ściany są kwadratami. Wszystkie wzory dla prostopadłościanu działają dla sześcianu, tylko upraszczają się do jednej litery.

Po co komu siatka prostopadłościanu?

To najwygodniejszy sposób liczenia pola powierzchni — pole siatki jest polem powierzchni całkowitej. Ta sama bryła ma wiele różnych siatek, ale wszystkie mają identyczne pole. Poprawną siatkę poznaje się po sześciu prostokątach, po krawędziach mających się skleić w równej długości i po samym ułożeniu — bo sześć prostokątów to za mało. Z trzydziestu pięciu figur z sześciu kwadratów w sześcian zwija się tylko jedenaście.

Jaki jest wzór na sześcian?

Pytanie o wzór na sześcian dotyczy zwykle objętości: krawędź podniesiona do trzeciej potęgi. Pole powierzchni całkowitej to sześć razy kwadrat krawędzi, bo sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych.

Czym różni się prostopadłościan od graniastosłupa?

Każdy prostopadłościan jest graniastosłupem, ale nie odwrotnie. Graniastosłup może mieć w podstawie dowolny wielokąt, na przykład trójkąt albo sześciokąt, a jego ściany boczne nie muszą być prostopadłe do podstawy. Prostopadłościan to szczególny przypadek: graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt — dlatego wszystkie jego ściany są prostokątami.

Gdzie znajdę siatkę prostopadłościanu do druku?

Na tej stronie, w części o siatce, jest plik PDF do pobrania: siatka prostopadłościanu 5 cm×3 cm×7 cm5\ \text{cm} \times 3\ \text{cm} \times 7\ \text{cm} i siatka sześcianu o krawędzi 4 cm4\ \text{cm} w skali 1:1, z zakładkami do klejenia. W tym samym pliku jest karta pracy z zadaniami i klucz odpowiedzi.

Co to jest prostopadłościan?

To bryła, której wszystkie sześć ścian to prostokąty, a przeciwległe ściany są jednakowe. Ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Kształt prostopadłościanu ma na przykład pudełko po butach, cegła albo karton mleka.

Czytaj dalej

Prostopadłościan i sześcian — zadania z egzaminu ósmoklasisty26 zadań z arkuszy CKE z rysunkami i rozwiązaniamiGraniastosłupy — teoriaRodzina, do której należy prostopadłościanPola figur — teoriaWzory na pola ścian potrzebne do pola powierzchniEgzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowaniaPole powierzchni prostopadłościanuWzór 2(ab+bc+ac) i wszystkie jego warianty: pole boczne, pudełko bez wieczka, zadania…Twierdzenie o trzech prostopadłychTreść twierdzenia o trzech prostopadłych i o prostej prostopadłej do…Wzory na objętość bryłObjętość prostopadłościanu i innych brył.Pole powierzchni bryłP = 2(ab + bc + ac) i inne wzory.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22