Strona główna › Geometria przestrzenna › Zadania z graniastosłupów — przekątne i kąty

Zadania z graniastosłupów — przekątne i kąty

Budowę graniastosłupów, ich siatki i wzory na objętość opisuję osobno — to materiał znany ze szkoły podstawowej. Na poziomie licealnym pytania są inne: o przekątne, o kąty i o przekroje. Przykłady i wzory poniżej dotyczą graniastosłupów prostych, których krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Wtedy zadania często sprowadzają się do znalezienia trójkąta prostokątnego i dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowy

Krótko: Przekątna prostopadłościanu o krawędziach a, b, c ma długość d = √(a² + b² + c²). Kąt między przekątną bryły a podstawą wyznaczamy z trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątną podstawy, wysokość i przekątną bryły.

1Przekątna bryły — dwa Pitagorasy pod rząd

W prostopadłościanie o krawędziach $a$, $b$, $c$ przekątna bryły łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Liczy się ją w dwóch krokach:

1. Najpierw przekątna podstawy: $d_p = \sqrt{a^2 + b^2}$ — zwykły trójkąt prostokątny w płaszczyźnie podstawy.
2. Potem przekątna bryły: $d$ jest przeciwprostokątną w trójkącie o przyprostokątnych $d_p$ oraz $c$.

Po podstawieniu jednego wzoru do drugiego pierwiastki się znoszą i zostaje:

Warto rozumieć to wyprowadzenie, a nie tylko wzór — bo w graniastosłupach o podstawie innej niż prostokąt pierwszy krok wygląda inaczej, a drugi zawsze tak samo.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna podstawy to $2a$ — bo sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych i przeciwległe wierzchołki są odległe o dwa boki. Wśród graniastosłupów prawidłowych to jedyny przypadek, w którym przekątna podstawy wychodzi bez pierwiastka. W prostopadłościanie zdarza się to częściej — zawsze, gdy boki podstawy tworzą trójkę pitagorejską, na przykład $3$ i $4$ dają $5$.

Dwa twierdzenia Pitagorasa jedno po drugim to schemat, który działa też w ostrosłupie i w stożku, więc opłaca się go przećwiczyć przed zadaniami z innych brył.

2Kąty w graniastosłupie

Podstawa programowa wymienia to wprost (dział X, zakres podstawowy, punkt 3): „rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów”.

Najczęstszy jest kąt między przekątną bryły a podstawą. Mierzy się go w tym samym trójkącie, w którym liczyło się przekątną:

Drugi typowy kąt to kąt między przekątną bryły a krawędzią boczną — dopełniający do kąta prostego względem poprzedniego, bo oba leżą w tym samym trójkącie prostokątnym.

Dwa pierwsze wiersze mają odwrotne tangensy i to jest najszybsza kontrola: jeśli oba wyszły takie same, gdzieś pomylono kąty. Suma tych kątów wynosi $90°$.

Przy zadaniach z kątem danym w treści rachunek idzie w drugą stronę: z tangensa wyznacza się brakującą długość. Wynik zwykle zawiera pierwiastek i tak go zostawiamy — zaokrąglenie tylko zaciemnia strukturę.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł23,40 zł−11,50 złCała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Przekroje graniastosłupa

Przekrój to figura powstała z przecięcia bryły płaszczyzną. W graniastosłupach dwa przypadki wracają najczęściej:

• Przekrój przez dwie przeciwległe krawędzie boczne — zawsze prostokąt o wymiarach $d_p \times c$, gdzie $d_p$ jest przekątną podstawy;
• Przekrój równoległy do podstawy — figura przystająca do podstawy, niezależnie od wysokości cięcia.

Pierwszy przypadek jest tym, o który pytają zadania: jego pole to $d_p \cdot c$, a przekątna tego prostokąta jest przekątną bryły. Trzy wielkości spotykają się więc w jednej figurze i zwykle wystarczy narysować sam przekrój, żeby zadanie stało się płaskie.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym przekrój przez najdłuższą przekątną podstawy ma wymiary $2a \times c$ — i to jest największy przekrój prostopadły do podstawy, bo dłuższej cięciwy niż $2a$ w sześciokącie foremnym nie ma. Przekroje ukośne bywają większe: płaszczyzna poprowadzona nad środkowym pasem szerokości $a$ daje prostokąt $a\sqrt3 \times \sqrt{a^2+c^2}$, więc przy $a = c$ jego pole wynosi $a^2\sqrt6$ wobec $2a^2$. Ukośne przekroje sześcianu — z trójkątem równobocznym i sześciokątem foremnym włącznie — opisuję osobno.

4Objętość i pole, gdy dane są kąty

Podstawa dopuszcza liczenie objętości i pól „również z wykorzystaniem trygonometrii” (X pkt 5) — i właśnie tego dotyczy większość trudniejszych zadań.

Schemat jest zawsze ten sam:

1. Z kąta i jednej długości wyznacz brakujące wymiary — zwykle wysokość albo przekątną podstawy.
2. Z wymiarów policz pole podstawy.
3. Podstaw do $V = P_p \cdot H$ albo do $P_c = 2P_p + P_b$.

Warto pamiętać, że w graniastosłupie objętość liczy się bez żadnego współczynnika — to odróżnia go od ostrosłupa, gdzie wchodzi jedna trzecia. Przy tej samej podstawie i wysokości graniastosłup mieści trzy razy więcej.

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego ma prostą postać: obwód podstawy razy wysokość. Wynika to z rozwinięcia — powierzchnia boczna jest prostokątem, dokładnie tak jak przy walcu, który bywa traktowany jako graniastosłup o nieskończenie wielu ścianach.

Ostatnia uwaga dotyczy zapisu: w zadaniach z sześcianem i graniastosłupem prawidłowym wyniki prawie zawsze zawierają $\sqrt2$ lub $\sqrt3$. Zostawiamy je w postaci dokładnej, chyba że polecenie wyraźnie każe zaokrąglić.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: przekątna prostopadłościanu, przekątne sześcianu, kąt nachylenia i przekrój.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą przekątnych, trzy kolejne — kątów i rachunku.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Kąty w bryłach — kartkówka, liceum klasa 3

Kąt przekątnej z podstawą, nachylenie ściany i krawędzi bocznej.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — kartkówka, liceum klasa 3

Sześcian, prostopadłościan, graniastosłup prawidłowy, przekątne i objętość.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Stereometria — test, liceum klasa 3

Graniastosłupy i ostrosłupy — przekątne, objętości, kąty.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Stereometria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: przekątne i kąty w graniastosłupach, ostrosłup prawidłowy, walec, stożek, kula…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.