Strona główna › Geometria przestrzenna › Pole powierzchni brył
Pole powierzchni brył
Pole powierzchni całkowitej bryły to suma pól wszystkich jej ścian. Dla graniastosłupa liczymy P = 2Pp + Pb, czyli dwie podstawy i pole powierzchni bocznej, a dla ostrosłupa P = Pp + Pb.
Krótko: Sześcian: P = 6a². Prostopadłościan: P = 2(ab + bc + ac). Walec: P = 2πr² + 2πrh. Stożek: P = πr² + πrl. Kula: P = 4πr².
1Tabela wzorów na pole powierzchni
| bryła | pole powierzchni całkowitej | oznaczenia |
|---|---|---|
| sześcian | P = 6a² | a — krawędź |
| prostopadłościan | P = 2(ab + bc + ac) | a, b, c — krawędzie |
| graniastosłup | P = 2Pp + Pb | Pp — pole podstawy, Pb — pole boczne |
| ostrosłup | P = Pp + Pb | Pb — suma pól ścian bocznych |
| walec | P = 2πr² + 2πrh | r — promień, h — wysokość |
| stożek | P = πr² + πrl | l — tworząca stożka |
| kula | P = 4πr² | r — promień |
2Siatka bryły pomaga policzyć pole
Siatka to bryła „rozłożona” na płaską figurę. Pole powierzchni całkowitej to pole całej siatki. Dla walca siatką jest prostokąt (powierzchnia boczna) i dwa koła; dla stożka — wycinek koła i jedno koło.
3Pole powierzchni a objętość
Pole powierzchni mierzymy w jednostkach kwadratowych (cm², m²) i potrzebujemy go na przykład do malowania czy oklejania bryły. Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych (cm³) i dotyczy ona wnętrza bryły.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Sześcian
Krawędź sześcianu ma 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
- P = 6a² = 6 · 25 = 150 cm².
Odpowiedź: P = 150 cm²
Przykład 2 Prostopadłościan
Krawędzie prostopadłościanu mają 2 cm, 3 cm i 4 cm. Oblicz pole powierzchni.
- P = 2(2 · 3 + 3 · 4 + 2 · 4) = 2(6 + 12 + 8) = 52 cm².
Odpowiedź: P = 52 cm²
Przykład 3 Walec
Walec ma promień 2 cm i wysokość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
- P = 2πr² + 2πrh = 2π · 4 + 2π · 2 · 5 = 8π + 20π = 28π.
- 28π ≈ 88,0 cm².
Odpowiedź: P = 28π cm² ≈ 88,0 cm²
Przykład 4 Stożek
Stożek ma promień 3 cm i tworzącą 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
- P = πr² + πrl = π · 9 + π · 3 · 5 = 9π + 15π = 24π.
- 24π ≈ 75,4 cm².
Odpowiedź: P = 24π cm² ≈ 75,4 cm²
5Najczęstsze błędy
Pominięcie jednej podstawy
Skąd się bierze: Liczymy tylko pole boczne i jedną podstawę walca.
Jak zrobić dobrze: Pole całkowite walca zawiera dwie podstawy (2πr²) i powierzchnię boczną (2πrh).
Użycie wysokości zamiast tworzącej w stożku
Skąd się bierze: Wzór ma literę l, ale zadanie podaje h.
Jak zrobić dobrze: Tworzącą oblicz z Pitagorasa: l² = r² + h².
Podanie wyniku w cm³
Skąd się bierze: Mylenie pola z objętością.
Jak zrobić dobrze: Pole powierzchni ma jednostkę kwadratową (cm²).
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Sześcian o krawędzi 3. Pole powierzchni:
6 · 9 = 54.
2. Kula o promieniu 2. Pole powierzchni:
4π · 4 = 16π.
3. Walec o promieniu 1 i wysokości 1. Pole całkowite:
2π + 2π = 4π.
4. Prostopadłościan 1 × 2 × 3. Pole powierzchni:
2(2 + 6 + 3) = 22.
5. W jakich jednostkach podajemy pole powierzchni?
Pole to jednostki kwadratowe: cm².
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej?
Dodaj pola wszystkich ścian bryły albo użyj wzoru dla danej bryły, np. P = 6a² dla sześcianu.
Jaki jest wzór na pole powierzchni kuli?
P = 4πr², gdzie r to promień.
Czym jest pole powierzchni bocznej?
To suma pól ścian bocznych, bez podstaw.
Jak obliczyć pole powierzchni stożka?
P = πr² + πrl, gdzie r to promień podstawy, a l — tworząca.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
