Strona główna › Geometria przestrzenna › Graniastosłupy › Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny to bryła, której podstawami są dwa przystające sześciokąty foremne, a sześć ścian bocznych to prostokąty. Ma $8$ ścian, $18$ krawędzi i $12$ wierzchołków — kształt ołówka bez zatemperowanego końca. Klucz do wszystkich wzorów: sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: klasy 7–8 i liceum

Krótko: $P_p = \tfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ , $P_b = 6aH$ , $P_c = 3a^2\sqrt{3} + 6aH$ , $V = \tfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H$ . Przekątne bryły: krótsza $\sqrt{3a^2 + H^2}$ , dłuższa $\sqrt{4a^2 + H^2}$ . Przykład: $a = 2$ , $H = 5$ daje $V = 30\sqrt{3} \approx 51{,}96$ .

Kalkulator graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

1Budowa: ściany, krawędzie, wierzchołki

Prawidłowy oznacza, że graniastosłup jest prosty, a w podstawie ma wielokąt foremny — tu sześciokąt o sześciu równych bokach i kątach po $120^\circ$ . Szerzej: graniastosłup prawidłowy.

element	ile	jakie
ściany	$8$	$2$ podstawy (sześciokąty foremne) i $6$ ścian bocznych (prostokąty $a \times H$ )
krawędzie	$18$	$12$ krawędzi podstaw o długości $a$ i $6$ krawędzi bocznych o długości $H$
wierzchołki	$12$	po $6$ w każdej podstawie

Suma długości krawędzi to $12a + 6H$ .

Graniastosłup trójkątny, czworokątny i sześciokątny z liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi: dla podstawy o n bokach ściany n + 2, wierzchołki 2n, krawędzie 3n; kontrola Eulera — Ściany, krawędzie i wierzchołki — graniastosłup sześciokątny ma ich 8, 18 i 12

2Podstawa — sześć trójkątów równobocznych

Przekątne łączące przeciwległe wierzchołki dzielą sześciokąt foremny na sześć trójkątów równobocznych o boku $a$ . Stąd:

pole podstawy: $P_p = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ ,
dłuższa przekątna podstawy (przez środek): $2a$ ,
krótsza przekątna podstawy (z pominięciem jednego wierzchołka): $a\sqrt{3}$ ,
obwód: $6a$ .

Podstawy graniastosłupa prawidłowego: trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny z wzorami na pole podstawy i obwód — Podstawy graniastosłupów prawidłowych — sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Graniastosłupy i ostrosłupy — cały dział, klasa 8 (6 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł~~23,40 zł~~−11,50 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Pole powierzchni

pole	wzór	skąd
podstawy	$P_p = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$	sześć trójkątów równobocznych
boczne	$P_b = 6aH$	sześć prostokątów $a \times H$
całkowite	$P_c = 2P_p + P_b$	dwie podstawy i ściany boczne

Po podstawieniu: $P_c = 3a^2\sqrt{3} + 6aH$ .

Ogólne zasady liczenia pola graniastosłupa: pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

4Objętość

Wzór na objętość

$V = P_p \cdot H = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H$

Jak każdy graniastosłup — pole podstawy razy wysokość, bez dzielenia przez $3$ . Więcej: objętość graniastosłupa.

5Przekątne — krótsza i dłuższa

To w tej bryle najczęściej sprawdzany temat. Z każdego wierzchołka górnej podstawy wychodzą trzy przekątne bryły, ale nie wszystkie są równe:

przekątna bryły	długość	ile ich jest
krótsza	$\sqrt{3a^2 + H^2}$	$12$
dłuższa	$\sqrt{4a^2 + H^2}$	$6$

Krótsza przekątna bryły „stoi” na krótszej przekątnej podstawy $a\sqrt{3}$ , a dłuższa — na dłuższej, $2a$ ; dłuższe przekątne przechodzą przez środek bryły. Obie długości wynikają z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątnymi są przekątna podstawy i wysokość bryły. Oprócz nich ściany boczne mają swoje przekątne o długości $\sqrt{a^2 + H^2}$ .

6Przykłady krok po kroku

Przykład $1$ Pole i objętość

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma $4$ cm, a wysokość $10$ cm. Oblicz pole całkowite i objętość.

Pole podstawy: $P_p = \tfrac{3 \cdot 16\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ cm².
Pole boczne: $P_b = 6 \cdot 4 \cdot 10 = 240$ cm².
Pole całkowite: $P_c = 2 \cdot 24\sqrt{3} + 240 = 48\sqrt{3} + 240$ cm².
Objętość: $V = 24\sqrt{3} \cdot 10 = 240\sqrt{3} \approx 415{,}69$ cm³.

Odpowiedź: $P_c = (240 + 48\sqrt{3})$ cm², $V = 240\sqrt{3}$ cm³.

Przykład $2$ Dłuższa przekątna

Krawędź podstawy ma $3$ cm, wysokość $8$ cm. Oblicz długość dłuższej przekątnej bryły.

Dłuższa przekątna podstawy: $2a = 6$ cm.
$D = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

Odpowiedź: $D = 10$ cm.

Przykład $3$ Krótsza przekątna

Krawędź podstawy ma $2$ cm, wysokość $6$ cm. Oblicz długość krótszej przekątnej bryły.

Krótsza przekątna podstawy: $a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm, jej kwadrat to $12$ .
$d = \sqrt{12 + 6^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $d = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm.

Przykład $4$ Wysokość z objętości

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $54\sqrt{3}$ cm³, a krawędź podstawy $2$ cm. Oblicz wysokość.

Pole podstawy: $P_p = \tfrac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm².
$H = \tfrac{V}{P_p} = \tfrac{54\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 9$ .

Odpowiedź: $H = 9$ cm.

7Najczęstsze błędy

Pole podstawy jako $6a^2$ .

Skąd się bierze: Sześć boków kojarzy się z sześcioma kwadratami.

Jak zrobić dobrze: Podstawa to sześć trójkątów równobocznych: $P_p = 6 \cdot \tfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \tfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ .

Pomylenie dłuższej i krótszej przekątnej.

Skąd się bierze: W graniastosłupie czworokątnym przekątne bryły są wszystkie równe.

Jak zrobić dobrze: Dłuższa przechodzi przez środek i wykorzystuje $2a$ ; krótsza — $a\sqrt{3}$ . Sprawdź, o którą pyta zadanie.

Za mało ścian bocznych w polu bocznym.

Skąd się bierze: Przeniesienie wzoru $4aH$ z prostopadłościanu.

Jak zrobić dobrze: Ścian bocznych jest sześć: $P_b = 6aH$ .

Dzielenie objętości przez 3.

Skąd się bierze: Pomieszanie z ostrosłupem sześciokątnym.

Jak zrobić dobrze: Graniastosłup: $V = P_p \cdot H$ .

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — pole i objętość — test, klasa 7

Test z działu: elementy graniastosłupa, pole, objętość, jednostki.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — kartkówka, klasa 8

Graniastosłupy: objętość, pole powierzchni, przekątne.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny?

To graniastosłup prosty, którego podstawami są dwa przystające sześciokąty foremne. Ma sześć prostokątnych ścian bocznych prostopadłych do podstaw.

Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma graniastosłup prawidłowy sześciokątny?

Ma 8 ścian (2 podstawy i 6 ścian bocznych), 18 krawędzi i 12 wierzchołków.

Jaki jest wzór na pole podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego?

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a, więc Pp = 6 · a²√3 : 4 = 3a²√3 : 2.

Jaki jest wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego?

V = Pp · H = 3a²√3 · H : 2, gdzie a to krawędź podstawy, a H wysokość bryły.

Ile przekątnych ma graniastosłup prawidłowy sześciokątny?

Ma 18 przekątnych bryły: 12 krótszych o długości √(3a² + H²) i 6 dłuższych o długości √(4a² + H²). Dłuższe przechodzą przez środek bryły.

Jak obliczyć dłuższą przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego?

Dłuższa przekątna podstawy ma długość 2a, więc z twierdzenia Pitagorasa dłuższa przekątna bryły to √((2a)² + H²) = √(4a² + H²).

Jak obliczyć pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego?

Pc = 2Pp + Pb = 3a²√3 + 6aH, bo dwie podstawy mają razem 3a²√3, a sześć prostokątnych ścian bocznych 6aH.

Bryły — wszystkie tematy

Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: budowa, pola, objętości i zadania — cały dział w jednym miejscu.

Graniastosłupy

Graniastosłup — budowa i siatki
Graniastosłup prawidłowy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny (ta strona)
Prostopadłościan
Sześcian
Pole prostopadłościanu
Pole powierzchni graniastosłupa
Objętość graniastosłupa
Zadania z graniastosłupów

Ostrosłupy

Bryły obrotowe i objętość

Czytaj dalej

Graniastosłup prawidłowy czworokątnyPodstawa — kwadrat, cztery równe przekątne bryły.Graniastosłup prawidłowy trójkątnyPodstawa — trójkąt równoboczny, bryła bez przekątnych.Graniastosłup prawidłowyDefinicja i wzory dla wszystkich podstaw.Objętość graniastosłupaPole podstawy razy wysokość — dla każdej podstawy.GraniastosłupyBudowa, siatki i wzory dla każdego graniastosłupa.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-07. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

1Budowa: ściany, krawędzie, wierzchołki

2Podstawa — sześć trójkątów równobocznych

3Pole powierzchni

4Objętość

5Przekątne — krótsza i dłuższa

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Graniastosłupy — pole i objętość — test, klasa 7

Graniastosłupy — kartkówka, klasa 8

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku