Strona główna › Trygonometria › Wykres funkcji sinus

Wykres funkcji sinus

Wykres sinusa nazywa się sinusoidą i wygląda jak fala, która nigdy się nie kończy. Nie jest to jednak kształt wymyślony ani zapamiętany — powstaje z prostej czynności: obchodzenia okręgu i zapisywania wysokości, na jakiej się w danym momencie znajdujesz. Kiedy raz zobaczysz, skąd bierze się ta fala, przestaje być potrzebne uczenie się jej na pamięć. Definicje samego sinusa zakładam za znane — są w haśle o trygonometrii.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres rozszerzony

Krótko: Wykres funkcji y = sin x to sinusoida: okresowa fala o okresie 2π, której wartości mieszczą się między −1 a 1. Przecina oś x w punktach kπ, a wartość największą, 1, osiąga dla x = π/2 + 2kπ.

Wyłącz kolory

1Jak powstaje sinusoida

Wyobraź sobie okrąg o promieniu $1$ i punkt, który po nim wędruje, zaczynając od prawej strony i idąc w lewo, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kąt $x$ mówi, jak daleko punkt zaszedł. A sinus tego kąta to po prostu wysokość punktu nad poziomem środka — bo w okręgu jednostkowym przeciwprostokątna ma długość $1$, więc $\sin x = \frac{\text{wysokość}}{1}$.

Wykres powstaje przez zapisanie tej wysokości dla kolejnych kątów:

Te pięć punktów wystarczy, żeby naszkicować jeden pełny „garb i dołek”. Punkt wraca na start po $\textcolor{#16A06A}{360°}$ — i od tego momentu wszystko powtarza się identycznie.

2Co widać na wykresie

Z samego kształtu odczytuje się wszystkie podstawowe własności — bez liczenia.

Warto zauważyć, że miejsca zerowe leżą co $180°$, a nie co $360°$ — bo punkt przechodzi przez poziom środka dwa razy na obrót: raz idąc w górę, raz w dół.

Monotoniczność też widać gołym okiem: sinus rośnie od $0°$ do $90°$, maleje od $90°$ do $270°$, i znów rośnie od $270°$ do $360°$. Ten rytm powtarza się w każdym okresie.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Trygonometria” (liceum, klasa 2), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Trygonometria”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł23,40 zł−11,50 złLiceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Jak szkicować bez tablic

Do naszkicowania sinusoidy wystarczy pięć punktów na okres — te z tabeli wyżej. Reszta to połączenie ich gładką linią.

1. zaznacz oś poziomą i podziel ją co $90°$,
2. postaw kropki: $(0°, 0)$, $(90°, 1)$, $(180°, 0)$, $(270°, -1)$, $(360°, 0)$,
3. połącz je łagodną falą — bez kantów, bo funkcja nigdzie nie zmienia się skokowo,
4. powtórz kształt w lewo i w prawo, co $360°$.

Częsty błąd przy szkicowaniu: rysowanie fali, która sięga wyżej niż $1$. Zbiór wartości jest domknięty, więc wykres dotyka poziomów $1$ i $-1$, ale nigdy ich nie przekracza.

Drugi częsty błąd to kanty w miejscach zerowych. Sinusoida przechodzi przez zero płynnie, po skosie — załamanie oznaczałoby, że funkcja nagle zmienia kierunek, a tak się nie dzieje.

Gdy w zadaniu pojawia się wykres z inną amplitudą albo okresem (na przykład $y = 2\sin x$ albo $y = \sin 2x$), zaczyna się od naszkicowania zwykłej sinusoidy i dopiero potem rozciąga się ją albo ściska. Sama zasada odczytu pozostaje ta sama.

4Przekształcenia sinusoidy: a, b, c, d

W zadaniach rzadko pojawia się sama $y = \sin x$. Zwykle jest to $y = a \cdot \sin(bx + c) + d$ — ta sama fala, tylko rozciągnięta, ściśnięta albo przesunięta. Każda z czterech liczb robi jedną rzecz i można ją zobaczyć na wykresie. Narzędzie na górze strony rysuje dowolną kombinację; poniżej każda liczba osobno.

Na tych rysunkach oś $x$ jest w radianach, bo tak zapisuje się funkcje w klasach starszych: $\pi$ to $180°$, więc kreski co $\tfrac{\pi}{2}$ to kreski co $90°$ — te same punkty, co w tabeli w sekcji 2.

Amplituda — liczba a

Amplituda to $|a|$, czyli największe odchylenie od linii środkowej. Dla $y = a\sin x$ zbiór wartości to $\langle -|a|; |a| \rangle$. Ujemne $a$ odbija wykres względem osi $x$ (fala zaczyna od zejścia w dół), ale amplitudy nie zmienia: $y = -2\sin x$ ma amplitudę $2$.

Okres — liczba b

Okres to $T = \dfrac{2\pi}{|b|}$. Im większe $b$, tym gęstsza fala: przy $b = 2$ na odcinku $2\pi$ mieszczą się dwie pełne fale, przy $b = \tfrac{1}{2}$ — pół fali. Miejsca zerowe leżą co pół okresu, czyli co $\dfrac{\pi}{|b|}$.

Przesunięcie w poziomie — liczba c

Wykres $y = \sin(x + c)$ to sinusoida przesunięta o $-c$: plus w nawiasie przesuwa w lewo, minus w prawo. Gdy w nawiasie jest jeszcze $b$, przesunięcie wynosi $-\dfrac{c}{b}$, bo najpierw trzeba wyłączyć $b$ przed nawias: $\sin(2x + \pi) = \sin\left(2\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)\right)$ — przesunięcie o $\tfrac{\pi}{2}$ w lewo, nie o $\pi$.

Przesunięcie w pionie — liczba d

Liczba $d$ dodana na końcu podnosi (albo obniża) całą falę. Linia środkowa to $y = d$, a zbiór wartości $\langle d - |a|; d + |a| \rangle$. Jeśli $|d| > |a|$, wykres w ogóle nie przecina osi $x$ — miejsc zerowych nie ma.

5Sinus a cosinus na jednym wykresie

Cosinusoida nie jest nową krzywą — to sinusoida przesunięta o $\tfrac{\pi}{2}$ w lewo, bo $\cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$. Stąd wszystkie różnice między nimi:

Praktyczny test, gdy nie wiadomo, który wykres jest który: spójrz na $x = 0$. Sinus przechodzi tam przez zero, cosinus jest na szczycie. Więcej o związkach między funkcjami trygonometrycznymi na stronie o wzorach trygonometrycznych, a o samych definicjach — na stronie o trygonometrii.

6Do czego to służy poza matematyką

Sinusoida jest jednym z niewielu wykresów szkolnych, który opisuje realne zjawiska, i to bardzo wiele.

• dźwięk — czysty ton to drgania o kształcie sinusoidy; wysokość tonu zależy od częstotliwości (odwrotności okresu), a głośność od amplitudy,
• prąd zmienny w gniazdku — napięcie zmienia się sinusoidalnie z częstotliwością $50$ razy na sekundę,
• pory roku i długość dnia — liczba godzin światła w ciągu roku układa się w falę o okresie rocznym,
• pływy morskie — poziom wody wraca do tego samego stanu w rytmie wyznaczonym przez ruch Księżyca.

Wspólna cecha wszystkich tych zjawisk to powtarzalność. Wszędzie tam, gdzie coś wraca cyklicznie do stanu wyjściowego, sinusoida jest naturalnym opisem — i dlatego ta funkcja jest w matematyce stosowanej ważniejsza, niż wynikałoby to z jej roli w szkole.

Warto to zestawić z funkcją kwadratową, której wykres ma jeden wierzchołek i rośnie bez ograniczeń. Sinusoida rośnie i maleje na przemian, ale nigdy nie ucieka poza pas od $-1$ do $1$ — ciągnie się w nieskończoność wszerz, nie w górę.

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: odczyt wartości, miejsca zerowe w przedziale i wykorzystanie okresowości.

8Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy odstępu między miejscami zerowymi.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Trygonometria kąta wypukłego — kartkówka, liceum klasa 2

Kąty rozwarte, znaki funkcji, punkt na ramieniu kąta.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Trygonometria — test, liceum klasa 2

Kąt ostry i kąt wypukły, wartości 30°, 45°, 60°, tożsamości.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.