Wartości funkcji trygonometrycznych — kąty szczególne, kąty rozwarte i znaki w ćwiartkach

A. −\(\frac{4}{5}\)

Z jedynki trygonometrycznej \[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}.\] Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, a w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny, więc spośród dwóch pierwiastków wybieramy ujemny: \[\cos\alpha=-\tfrac45.\] **Odpowiedź.** A. \(-\dfrac45\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. VII.2) Zdający korzysta z tożsamości sin²α + cos²α = 1.

\[-\sqrt6.\]

Z jedynki trygonometrycznej: \[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac13=\frac23.\] Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}\). Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), mamy \[\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}=3\cos\alpha=-\sqrt6.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(-\sqrt6\) **1 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}\), albo \(\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt2}{2}\), albo przekształcenie wyrażenia do postaci \(3\cos\alpha\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta ze wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**P, F.**

Ponieważ \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\), kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus i tangens są ujemne. Z jedynki trygonometrycznej \[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac45\right)^2=\frac9{25},\] więc \(\cos\alpha=-\frac35\). Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Ponadto \[\lvert\tan\alpha\rvert=\left\lvert\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right\rvert=\left\lvert\frac{4/5}{-3/5}\right\rvert=\frac43,\] a nie \(\frac34\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od \(0^{\circ}\) do \(180^{\circ}\). VII.2) Korzysta z zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**A.** \(-\dfrac32\)

Kąt \(\tfrac{7\pi}{6}\) leży w trzeciej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny: \[\cos\tfrac{7\pi}{6}=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.\] Kąt \(\tfrac{4\pi}{3}\) także leży w trzeciej ćwiartce, a tangens ma tam okres \(\pi\) i jest dodatni: \[\operatorname{tg}\tfrac{4\pi}{3}=\operatorname{tg}\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3.\] Zatem iloczyn wynosi \(-\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3=-\tfrac32\). **Odpowiedź.** A

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.2R) Zdający […] wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta […] (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego).

**D.** Ze wzoru na sinus sumy: \[\sin30^{\circ}\cos60^{\circ}+\sin60^{\circ}\cos30^{\circ}=\sin90^{\circ}=1.\]

**Krok \(1\).** Wyrażenie ma postać \(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) — to prawa strona wzoru na sinus sumy kątów. Można je policzyć na dwa sposoby: wprost, wstawiając znane wartości funkcji trygonometrycznych kątów \(30^\circ\) i \(60^\circ\), albo od razu ze wzoru. Zrobimy jedno i drugie. **Krok \(2\).** Wypisujemy potrzebne wartości z tablic: \[\sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(3\).** Pierwszy iloczyn: \[\sin30^\circ\cdot\cos60^\circ=\frac12\cdot\frac12=\frac14.\] **Krok \(4\).** Drugi iloczyn (mnożymy pierwiastek przez pierwiastek): \[\sin60^\circ\cdot\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{4}.\] **Krok \(5\).** Dodajemy: \[\frac14+\frac34=1.\] **Krok \(6\).** Ten sam wynik ze wzoru na sinus sumy: \[\sin30^\circ\cos60^\circ+\cos30^\circ\sin60^\circ=\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1.\] **Uwaga.** W kroku \(4\) łatwo pomylić się o pierwiastek: \(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{4}\), bo \(\sqrt3\cdot\sqrt3=3\), a nie \(\sqrt3\). Wynik \(\frac{\sqrt3}{4}\) prowadziłby do błędnej odpowiedzi. **Odpowiedź.** D: \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus […] dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°.

**A.** \(-\frac{\sqrt{13}}4\)

Korzystamy z tożsamości \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\] Stąd \[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2=1-\frac3{16}=\frac{13}{16}.\] Zatem \(|\cos\alpha|=\frac{\sqrt{13}}4\). Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny: \[\cos\alpha=-\frac{\sqrt{13}}4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta ze wzoru \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

**B, F.**

Kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce, zatem \[\sin\alpha>0\qquad\text{i}\qquad\cos\alpha<0.\] Stąd \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\), więc prawdziwa jest odpowiedź **B**. Ponadto \[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3.\] Po pomnożeniu przez \(\cos\alpha\neq0\) otrzymujemy \[\sin\alpha=-3\cos\alpha,\] więc prawdziwa jest odpowiedź **F**.

**2 pkt** – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: **B** i **F** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji trygonometrycznych, w tym tangensa, dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\). VII.2) Zdający korzysta z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

\[\sin\alpha=\frac12.\]

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jej nachylenia do osi \(Ox\): \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3}{3}=\operatorname{tg}30^\circ.\] Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\alpha=30^\circ\). Zatem \[\sin\alpha=\sin30^\circ=\frac12.\]

**1 pkt** – wpisanie liczby \(\frac12\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

**\(16\).\(1\). B; \(16\).\(2\). D**

Ponieważ \(\tan\alpha<0\) i \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\), kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce. Dla punktu \(B=(-3,2)\) mamy \[\tan\alpha=\frac{2}{-3}=-\frac23,\] więc poprawny jest rysunek **B**. Ponieważ \(\cos\beta>0\), kąt \(\beta\) leży w pierwszej ćwiartce. Dla punktu \(D=(1,3)\) długość promienia wynosi \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), zatem \[\cos\beta=\frac1{\sqrt{10}}.\] Poprawny jest rysunek **D**.

**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: **B** i **D** **1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VII.1 wykorzystywanie definicji cosinusa i tangensa dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**\(1\). P, \(2\). F.**

Kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce, więc \(\cos\alpha<0\). Z tożsamości \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\] otrzymujemy \(\cos\alpha=-\frac35\), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe. Dalej \[|\tan\alpha|=\left|\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right|=\frac43,\] a nie \(\frac34\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź **PF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 operowanie pojęciami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** VII.1 i VII.4 definicje funkcji trygonometrycznych oraz tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

**D.** \(-\frac13\)

Drugie ramię kąta przechodzi przez punkt \(P=(-3,1)\). Dla kąta w położeniu standardowym \[\tan\alpha=\frac{y_P}{x_P}=\frac1{-3}=-\frac13.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1 zdający wykorzystuje definicję tangensa dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**C.** większa od \(0\),\(1\) , ale mniejsza od \(0\),\(5\).

Funkcja tangens jest rosnąca w przedziale \((0^\circ,90^\circ)\), a \(\operatorname{tg}45^\circ=1\), więc \(\operatorname{tg}40^\circ<1\) i liczba \(1-\operatorname{tg}40^\circ\) jest dodatnia. Do oszacowania korzystamy z tablic: \(\operatorname{tg}40^\circ\approx0{,}8391\), zatem \[1-\operatorname{tg}40^\circ\approx0{,}1609.\] Liczba ta jest większa od \(0{,}1\) i mniejsza od \(0{,}5\). **Odpowiedź.** C. większa od \(0{,}1\), ale mniejsza od \(0{,}5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.

**D.** \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\)

**Krok \(1\).** W wyrażeniu występują wyłącznie funkcje trygonometryczne kątów \(60^\circ\) i \(45^\circ\), czyli kątów tablicowych. Zadanie sprowadza się więc do podstawienia znanych wartości i wykonania działań na liczbach niewymiernych. **Krok \(2\).** Odczytujemy wartości: \[\tan60^\circ=\sqrt3,\qquad \tan45^\circ=1,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy je do wyrażenia: \[\left(\tan60^\circ+\tan45^\circ\right)^2-\sin60^\circ=\left(\sqrt3+1\right)^2-\frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy kwadrat sumy wzorem \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[\left(\sqrt3+1\right)^2=\left(\sqrt3\right)^2+2\cdot\sqrt3\cdot1+1^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Odejmujemy \(\frac{\sqrt3}{2}\): \[4+2\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(6\).** Wyrazy z \(\sqrt3\) sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[2\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}.\] **Krok \(7\).** Ostatecznie wyrażenie jest równe \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\). **Uwaga.** Kwadrat obejmuje całą sumę \(\tan60^\circ+\tan45^\circ\), a nie tylko pierwszy składnik. Pominięcie wyrazu \(2ab=2\sqrt3\) daje liczbę \(4\) zamiast \(4+2\sqrt3\) i prowadzi do błędnej odpowiedzi. **Odpowiedź.** D: \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\)

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych.

**C.** \(\sin0^\circ\).

\[\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\] Różnica jest równa \(0=\sin0^\circ\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria i wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych.

**A.** \(\alpha<30^\circ\).

Funkcja tangens jest rosnąca dla kątów ostrych. Mamy \[\tan\alpha=\frac12<\frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ.\] Stąd \(\alpha<30^\circ\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **A** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 6.2. Zdający korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora.

**D.** \(-\frac54\).

Ramię kąta leży na prostej przechodzącej przez \((0,0)\) i \(P=(-4,5)\). Jej współczynnik kierunkowy, równy tangensowi kąta nachylenia, wynosi \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{5-0}{-4-0}=-\frac54.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6.1 zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**C.** \(\cos x>\operatorname{tg}x\)

Dla \(x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)\) kąt leży w drugiej ćwiartce, więc \[\sin x>0,\qquad \cos x<0,\qquad \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}<0.\] Dokładniej: \(\cos x\in\left(-\frac{\sqrt2}{2},0\right)\), a tangens maleje od \(-\infty\) do \(\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}=-1\), czyli \(\operatorname{tg}x\in(-\infty,-1)\). Stąd \(\operatorname{tg}x<-1<-\frac{\sqrt2}{2}<\cos x\), a więc \(\cos x>\operatorname{tg}x\). Pozostałe nierówności są fałszywe, bo w A i D po lewej stronie stoi liczba ujemna, a po prawej odpowiednio dodatnia i większa, zaś w B jest \(\cos x<0<\sin x\). **Odpowiedź.** C. \(\cos x>\operatorname{tg}x\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** R6.4) Zdający posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. przy rozwiązywaniu nierówności typu \(\sin x>a\), \(\cos x\leq a\), \(\operatorname{tg}x>a\)).

**A.** \(\cos60^\circ\)

Ze wzoru redukcyjnego \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) otrzymujemy \[\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12.\] Porównujemy z wartościami z wariantów: \[\cos60^\circ=\frac12,\qquad \cos120^\circ=-\frac12,\qquad \operatorname{tg}120^\circ=-\sqrt3,\qquad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3.\] Równa \(\frac12\) jest tylko pierwsza z nich. **Odpowiedź.** A. \(\cos60^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 6.1) Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**C.** \(\alpha=45^\circ\)

Wartość \(1\) jest wartością tangensa kąta \(45^\circ\), a funkcja tangens jest rosnąca w przedziale kątów ostrych, więc równanie \(\operatorname{tg}\alpha=1\) ma tam dokładnie jedno rozwiązanie: \[\alpha=45^\circ.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wyznacza miarę kąta ostrego, dla którego funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (I.6.b).

D. (\(2\sqrt{3}\) − \(3\))/\(6\)

Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych: \[\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}{3},\qquad \sin 30^\circ=\frac12.\] Zatem \[\operatorname{tg}30^\circ-\sin 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}-\frac12=\frac{2\sqrt3-3}{6}.\] **Odpowiedź.** D. \(\dfrac{2\sqrt3-3}{6}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych (I.1.a, 6.a).

**D.** \(\alpha>45^\circ\)

Dla kątów ostrych funkcja sinus jest rosnąca, więc nierówność między sinusami przenosi się na nierówność między kątami. Porównujemy podaną wartość z sinusem kąta \(45^\circ\): \[\sin\alpha=\frac34=0{,}75,\qquad \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71.\] Ponieważ \(\sin\alpha>\sin45^\circ\), a oba kąty są ostre, mamy \(\alpha>45^\circ\). **Odpowiedź.** D. \(\alpha>45^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** szacowanie miary kąta ostrego na podstawie wartości sinusa i monotoniczności tej funkcji Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(\alpha<30^\circ\)

Dla kątów ostrych funkcja cosinus jest malejąca, więc większemu cosinusowi odpowiada mniejszy kąt. Porównujemy podaną wartość z cosinusem kąta \(30^\circ\): \[\cos\alpha=0{,}9,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87.\] Ponieważ \(\cos\alpha>\cos30^\circ\), a oba kąty są ostre, mamy \(\alpha<30^\circ\). **Odpowiedź.** A. \(\alpha<30^\circ\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** szacowanie miary kąta ostrego na podstawie wartości cosinusa i monotoniczności tej funkcji Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(\alpha<30^\circ\)

Dla kątów ostrych funkcja tangens jest rosnąca, więc porównanie wartości tangensa przekłada się na porównanie kątów. Ponieważ \[\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\approx0{,}577>\frac12=\operatorname{tg}\alpha,\] zachodzi \(\alpha<30^\circ\). **Odpowiedź.** A

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Trygonometria.

a) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\). b) Ponieważ \(\sin\alpha<0\) i \(\operatorname{tg}\alpha>0\), kąt \(\alpha\) leży w III ćwiartce; na jego ramieniu końcowym leży np. punkt \((-4,-3)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co jest ukryte w równaniu. Po prawej stronie stoi \(3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha\) — wyłączając \(3\) przed nawias dostajemy \(3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\), a w nawiasie mamy jedynkę trygonometryczną. To jest cała idea podpunktu a): prawa strona wcale nie zależy od \(\alpha\). **Krok \(2\).** Wykonujemy to przekształcenie: \[4\operatorname{tg}\alpha=3\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)=3\cdot 1=3.\] **Krok \(3\).** Stąd natychmiast \[\operatorname{tg}\alpha=\frac34.\] **Krok \(4\).** Podpunkt b). Ustalamy ćwiartkę. Z warunku \(\sin\alpha\lt 0\) wynika, że kąt kończy się w III albo IV ćwiartce (tam rzędna jest ujemna). Z obliczonej wartości \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\gt 0\) wynika, że kąt jest w I albo III ćwiartce (tam odcięta i rzędna mają ten sam znak). Oba warunki spełnia jednocześnie tylko III ćwiartka. **Krok \(5\).** Szukamy punktu na ramieniu końcowym. Dla punktu \(P=(x,y)\) na ramieniu końcowym mamy \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}=\frac34\), przy czym w III ćwiartce \(x\lt 0\) i \(y\lt 0\). Wystarczy wziąć \(x=-4\), \(y=-3\), bo \(\frac{-3}{-4}=\frac34\). **Krok \(6\).** Sprawdzamy warunki zadania dla \(P=(-4,-3)\): \(r=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5\), więc \(\sin\alpha=\frac{-3}{5}\lt 0\) — zgodnie z założeniem, oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\) — zgodnie z podpunktem a). Kąt \(\alpha\) rysujemy więc tak, że jego ramię początkowe leży na dodatniej półosi \(Ox\), a ramię końcowe przechodzi przez punkt \((-4,-3)\). **Uwaga.** Pułapka jest w podpunkcie b): warunek \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\) spełnia także punkt \((4,3)\), ale dla niego \(\sin\alpha=\frac35\gt 0\), co przeczy założeniu. Dodatkowy warunek \(\sin\alpha\lt 0\) jest w zadaniu po to, by wybrać jedną z dwóch możliwych ćwiartek — nie wolno go zignorować. **Odpowiedź.** a) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\). b) Ponieważ \(\sin\alpha\lt 0\) i \(\operatorname{tg}\alpha\gt 0\), kąt \(\alpha\) leży w III ćwiartce; na jego ramieniu końcowym leży np. punkt \((-4,-3)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 5.** (\(3\) pkt) Wiedząc, że \(0^\circ\le\alpha\le 360^\circ\), \(\sin\alpha<0\) oraz \(4\operatorname{tg}\alpha=3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha\) a) oblicz \(\operatorname{tg}\alpha\), b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt \(\alpha\) i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta. Obliczam tangens kąta \(\alpha\) z podanego równania: \(4\operatorname{tg}\alpha=3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha\), \(4\operatorname{tg}\alpha=3\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)\). Korzystam z tożsamości \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) i otrzymuję: \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}\). Zaznaczam w układzie współrzędnych kąt \(\alpha\). […] Punkt \((-4,-3)\) leży na końcowym ramieniu szukanego kąta. | Nr czynności | 5.1. | 5.2. | 5.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.