Strona główna › Zagadnienia dodatkowe

Zagadnienia dodatkowe — matematyka poza podstawą programową

Ten dział zbiera tematy, których nie ma w polskiej podstawie programowej dla liceum (wersja obowiązująca od 2025). Nie znaczy to, że są niepotrzebne — znaczy tylko, że nie zapytają o nie na maturze. Trafiają tu zagadnienia, na które uczniowie i tak trafiają: w olimpiadach, w podręcznikach akademickich, w zadaniach z fizyki albo po prostu z ciekawości. Każda strona w tym dziale nosi taką samą ramkę na górze, żeby nikt nie uczył się ich w przekonaniu, że to obowiązkowy materiał.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: liceum i wyżej — poza podstawą programową

1Czego tu szukać, a czego tu nie ma

Reszta serwisu trzyma się jednej zasady: opisujemy to, co jest w podstawie programowej, i pokazujemy, jak to rozwiązywać. Ten dział jest jedynym wyjątkiem i dlatego stoi osobno, a nie wymieszany z materiałem obowiązkowym.

Powód rozdzielenia jest praktyczny. Uczeń przygotowujący się do matury ma ograniczony czas i najgorsze, co można mu zrobić, to podsunąć rozdział, którego nie musi umieć, bez ostrzeżenia. Odwrotnie też: ktoś, kto chce wyjść poza program, nie powinien szukać po omacku.

Co znajdziesz w tym dziale:

• Algebra liniowa — macierze, wyznacznik macierzy, macierz odwrotna i transponowanie macierzy. Aparat, którym na studiach rozwiązuje się układy równań o wielu niewiadomych.
• Liczby zespolone — wprowadzenie, interpretacja geometryczna i wzór de Moivre'a. Zbiór, w którym każde równanie wielomianowe ma rozwiązanie.
• Analiza — reguła de l'Hospitala do granic nieoznaczonych, szeregi liczbowe z kryteriami zbieżności, całkowanie przez podstawianie oraz ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
• Dowody i rozumowania — indukcja matematyczna, czyli schemat dowodu twierdzeń o wszystkich liczbach naturalnych naraz, oraz zasada szufladkowa Dirichleta, która pozwala udowodnić istnienie czegoś bez wskazywania tego czegoś. Obie wracają w zadaniach konkursowych, w podstawie nie ma żadnej z nich.
• Język logiczny — logika ze spójnikami zdaniowymi i tabelami wartości, kwantyfikatory („dla każdego” i „istnieje”) oraz iloczyn kartezjański zbiorów, czyli zbiór par uporządkowanych. Podstawa dla liceum nie ma działu o logice — trzynaście działów i ani jeden o zdaniach czy kwantyfikatorach — mimo że same zwroty „dla każdego”, „istnieje” i „wtedy i tylko wtedy” padają w poleceniach na każdym poziomie.
• Dokładki do działów szkolnych — iloczyn skalarny wektorów, którego brakuje obok wektorów z geometrii analitycznej; liczba $e$ i logarytm naturalny, o które uczniowie potykają się na kalkulatorze; liczby doskonałe jako ciekawostka prowadząca do problemu nierozwiązanego od dwóch tysięcy lat.

Czego tu nie ma: granic, pochodnych i szeregu geometrycznego. Te tematy w podstawie są — granice i pochodne w dziale o rachunku różniczkowym (zakres rozszerzony), szereg geometryczny w dziale o ciągach — więc mieszkają w głównej części serwisu razem z resztą materiału maturalnego.

Uwaga na bliźniacze nazwy, bo różnica jest tu ostra. Szereg geometryczny jest wymagany: podstawa mówi wprost „rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę”. Ogólne szeregi liczbowe — z warunkiem koniecznym, kryterium porównawczym i szeregiem harmonicznym — wymagane nie są i dlatego stoją w tym dziale.

Granica bywa cienka i warto ją znać. Sama reguła de l'Hospitala jest tu dobrym przykładem: liczy granice, a granice funkcji są w podstawie (XIII, zakres rozszerzony, pkt 1). Ale nazwy tej reguły w podstawie nie ma i żadne wymaganie jej nie wymienia — dlatego strona stoi w tym dziale, nie w analizie.

2Algebra liniowa — macierze i wyznaczniki

Macierz to prostokątna tabela liczb. Cała sztuka polega na tym, że taką tabelę można dodawać, mnożyć przez liczbę i mnożyć przez inną macierz, a te działania mają sens: opisują przekształcenia i układy równań.

Cztery strony w tym dziale są ułożone w kolejności, w jakiej warto je czytać:

• Macierze — zapis, wymiary, dodawanie i mnożenie wiersz razy kolumna. Tu wychodzi na jaw, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
• Wyznacznik macierzy — jedna liczba przypisana macierzy kwadratowej. Wzór $2\times 2$, reguła Sarrusa dla $3\times 3$ i metoda wyznaczników (wzory Cramera) w układach równań.
• Macierz odwrotna — odpowiednik dzielenia. Istnieje dokładnie wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.
• Transponowanie macierzy — odbicie względem przekątnej. Operacja najprostsza z całej czwórki, ale to w niej kryje się wzór $(AB)^T = B^TA^T$ z odwróconą kolejnością.

Związek z materiałem szkolnym jest bezpośredni: wyznacznik $2\times 2$ rozwiązuje układ dwóch równań liniowych i daje od razu odpowiedź na pytanie, czy układ jest oznaczony, sprzeczny czy nieoznaczony.

Ta jedna liczba mówi wszystko o układzie $\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$: gdy jest różna od zera, rozwiązanie jest dokładnie jedno. Gdy wynosi zero, proste są równoległe — albo pokrywają się, albo nie mają punktu wspólnego.

W szkole ten sam wynik uzyskuje się metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników. Wyznacznik jest szybszy, ale nie jest wymagany — i dlatego stoi w tym dziale.

3Liczby zespolone — dokończenie mapy zbiorów liczbowych

W szkole mapa zbiorów liczbowych kończy się na liczbach rzeczywistych $\mathbb{R}$. Liczby zespolone $\mathbb{C}$ dokładają do niej ostatnie piętro i robią to z konkretnego powodu.

Powód brzmi: w liczbach rzeczywistych nie każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie. Równanie $x^2 + 1 = 0$ nie ma go, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny. Wprowadzenie jednostki urojonej $i$ o własności $i^2 = -1$ ten brak likwiduje.

Zysk jest większy niż jedno równanie. W zbiorze $\mathbb{C}$ każdy wielomian stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków (licząc z krotnościami) — to zasadnicze twierdzenie algebry. W $\mathbb{R}$ takiej gwarancji nie ma i stąd biorą się szkolne przypadki „delta ujemna, brak rozwiązań”.

Trzy strony działu:

• Liczby zespolone — jednostka urojona, postać algebraiczna, cztery działania i sprzężenie.
• Interpretacja geometryczna liczby zespolonej — płaszczyzna Gaussa, moduł i argument.
• Wzór de Moivre'a — potęgowanie w postaci trygonometrycznej.

Warto wiedzieć, że w polskiej szkole liczby zespolone bywały materiałem obowiązkowym — w zakresie rozszerzonym sprzed reformy z lat dziewięćdziesiątych. Dziś nie ma ich ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym.

4Analiza — granice liczone pochodnymi

Reguła de l'Hospitala rozwiązuje jeden konkretny kłopot: granicę, która po podstawieniu daje symbol nieoznaczony $\tfrac{0}{0}$ albo $\tfrac{\infty}{\infty}$.

Wzór wygląda niewinnie, ale ma trzy warunki i to one są całą trudnością: $f$ i $g$ muszą być różniczkowalne w sąsiedztwie $a$, musi zachodzić $g'(x) \neq 0$, i musi istnieć granica ilorazu pochodnych. Równość czyta się w jedną stronę — gdy granicy po prawej nie ma, o granicy po lewej nic stąd nie wynika. Najczęstsza pomyłka polega na policzeniu pochodnej ilorazu zamiast ilorazu pochodnych — to dwie zupełnie różne rzeczy.

W podstawie programowej reguła nie występuje. Dział XIII (rachunek różniczkowy, zakres rozszerzony) wymienia sześć punktów — od obliczania granic po zadania optymalizacyjne — i nazwy „de l'Hospital” nie ma wśród nich. Granice funkcji trzeba więc na maturze liczyć innymi sposobami: rozkładem na czynniki, skróceniem ułamka albo wyłączeniem najwyższej potęgi.

Materiał, który jest w podstawie, opisujemy w głównej części serwisu: pochodne, wzory pochodnych, granica funkcji i granica ciągu.

Do tego działu należy jeszcze pięć tematów analitycznych, po które sięga się dopiero na studiach:

• Szeregi liczbowe — sumowanie nieskończenie wielu składników, warunek konieczny zbieżności, kryterium porównawcze i szereg harmoniczny. Szkolny szereg geometryczny jest jednym szczególnym przypadkiem tej teorii — i jedynym, który obowiązuje na maturze.
• Całkowanie przez podstawianie — technika sprowadzania całki do prostszej przez zmianę zmiennej. Sensu nabiera dopiero po całkach i pochodnych.
• Całki funkcji wymiernych — rozkład na ułamki proste. Najbardziej algorytmiczny fragment całego rachunku całkowego: procedura działa zawsze i kończy się w skończonej liczbie kroków.
• Otoczenie punktu i punkt skupienia — aparat pojęciowy, którym zastępuje się szkolne słowo „blisko”. To on rozstrzyga, w których punktach pytanie o granicę w ogóle ma sens.
• Objętość bryły ograniczonej powierzchniami — liczenie objętości całką. Stąd biorą się szkolne wzory na stożek i kulę, których w liceum nie da się wyprowadzić. Podstawa każe je tylko stosować (X. Stereometria, zakres podstawowy, pkt 5: „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii”), a na maturze nie trzeba ich nawet pamiętać — $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ i $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ stoją w karcie „Wybrane wzory matematyczne” CKE, na stronach 27 i 28.

Dochodzi do tego temat, który zaczyna się dokładnie tam, gdzie kończy się materiał maturalny: ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. W liceum ekstremum szuka się przez zerowanie pochodnej i tabelę zmienności; przy dwóch zmiennych pojawia się punkt siodłowy — minimum w jednym kierunku i maksimum w drugim naraz — a rozstrzyga o nim wyznacznik macierzy drugich pochodnych. To miejsce, w którym dwa wątki tego działu, analiza i algebra liniowa, spotykają się w jednym rachunku.

Osobno stoi indukcja matematyczna. To nie jest temat analityczny, tylko schemat dowodu: pozwala uzasadnić wzór dla wszystkich liczb naturalnych naraz, sprawdzając go dla jedynki i pokazując, że z każdego przypadku wynika następny. Bywa pokazywana w klasach olimpijskich przy wzorach na sumy ciągów, ale wymagana nie jest.

Drugim schematem dowodu w tym dziale jest zasada szufladkowa Dirichleta: jeżeli przedmiotów jest więcej niż szuflad, to w którejś są co najmniej dwa. Zdanie wygląda na banał, a rozstrzyga zadania konkursowe, w których trzeba wykazać, że coś istnieje, nie umiejąc tego czegoś wskazać. Podobnie jak indukcja: w podstawie programowej nie występuje ani razu, ani w szkole podstawowej, ani w liceum.

5Jak korzystać z tego działu przed maturą

Krótka odpowiedź: najpierw skończ materiał obowiązkowy. Ten dział jest nadprogramowy w dosłownym sensie — czas poświęcony na macierze to czas niepoświęcony na stereometrię, która na maturze będzie.

Są jednak trzy sytuacje, w których zaglądanie tutaj ma sens:

• Przygotowanie na studia. Macierze i wyznaczniki to pierwszy semestr niemal każdego kierunku ścisłego. Przeczytanie ich wcześniej zamienia szok w powtórkę.
• Olimpiady i konkursy. Zadania olimpijskie nie trzymają się podstawy programowej i liczby zespolone bywają w nich narzędziem do zadań z geometrii.
• Zrozumienie, skąd biorą się szkolne reguły. Zasadnicze twierdzenie algebry tłumaczy, dlaczego wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia $3$ zawsze ma pierwiastek rzeczywisty, a stopnia $2$ nie musi: pierwiastki zespolone takiego wielomianu chodzą parami sprzężonymi, więc przy nieparzystym stopniu jeden zawsze musi zostać sam — i wtedy jest rzeczywisty. Zastrzeżenie o współczynnikach jest istotne, bo w samym $\mathbb{C}$ wielomian $(x - i)^3$ ma stopień $3$ i ani jednego pierwiastka rzeczywistego. Ze szkolnego poziomu to wygląda na kaprys.

Czego robić nie warto: uczyć się reguły de l'Hospitala zamiast szkolnych metod liczenia granic. Na maturze rozszerzonej granice liczy się przekształceniem wyrażenia i taka umiejętność jest punktowana. Reguła jest skrótem, który obok tej umiejętności działa dobrze, a zamiast niej — źle.

6Przykłady krok po kroku

Po jednym przykładzie z trzech obszarów rachunkowych — algebry liniowej, liczb zespolonych i analizy — żeby zobaczyć, o czym są te strony, zanim się w nie wejdzie. Czwarty obszar, dowody i rozumowania, ma własne przykłady na stronach o indukcji i o zasadzie szufladkowej.

7Najczęstsze błędy

Błędy zebrane niżej dotyczą samego korzystania z tego działu — cztery pułapki, które kosztują najwięcej.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Materiał PDF · sklep

10 minut do matury — matematyka podstawowa: 30 dni, PDF z kluczem

30 dni powtórki do matury podstawowej z matematyki: codziennie jedna kartka na 10 minut — 5 zadań zamkniętych w formacie…

14,90 zł

Zobacz w sklepie →

Pakiet PDF · sklep

Szkoła podstawowa 4–8: wszystkie sprawdziany i kartkówki (5 klas)

Komplet dla szkoły i nauczyciela uczącego w kilku klasach: wszystkie kartkówki i sprawdziany z matematyki dla klas 4, 5, 6, 7 i 8…

399,00 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Sprawdzian PDF · sklep

10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczem

30 dni powtórki do egzaminu ósmoklasisty z matematyki: codziennie jedna kartka na 10 minut — 4 zadania zamknięte jak na egzaminie…

14,90 zł

Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.