Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Q: Czy ekstrema funkcji dwóch zmiennych są na maturze?

Nie. Podstawa programowa opisuje rachunek różniczkowy wyłącznie dla funkcji jednej zmiennej — pochodne cząstkowe i hesjan nie pojawiają się w niej w żadnym punkcie, także w zakresie rozszerzonym. Na maturze rozwiązuje się natomiast zadania optymalizacyjne dla jednej zmiennej i to one są odpowiednikiem tego tematu.

Q: Czym pochodna cząstkowa różni się od zwykłej?

Rachunkowo niczym — liczy się ją tymi samymi wzorami. Różnica jest w tym, co uznajemy za stałą: przy pochodnej po iksie każda litera igrek jest traktowana jak zwykła liczba i znika, jeśli stoi samotnie. Zakrzywiony symbol jest tylko przypomnieniem, że zmiennych jest więcej niż jedna.

Q: Co to jest punkt siodłowy i dlaczego nie ma go w jednej zmiennej?

To punkt, w którym funkcja ma minimum wzdłuż jednego kierunku, a maksimum wzdłuż innego — jak przełęcz między dwoma szczytami. Na krzywej jest to niemożliwe, bo z punktu można wyjść tylko w dwie przeciwne strony, a na powierzchni kierunków jest nieskończenie wiele.

Q: Co zrobić, gdy wyznacznik hesjanu wyszedł zerowy?

Uznać, że kryterium milczy, i zbadać punkt innym sposobem. Najprostszy to podstawienie kilku prostych przechodzących przez badany punkt i sprawdzenie, czy wartość funkcji rośnie w każdym z tych kierunków. Jeśli w jednym rośnie, a w drugim maleje, ekstremum nie ma; jeśli we wszystkich rośnie, to kandydat na minimum.

Q: Czy hesjan ma coś wspólnego z wyznacznikiem macierzy ze szkoły?

To dokładnie ten sam wyznacznik, tylko wpisana w niego macierz zawiera drugie pochodne zamiast współczynników układu równań. Liczy się go tym samym wzorem ad - bc, co opisujemy przy wyznaczniku macierzy. Dla funkcji trzech zmiennych hesjan jest macierzą 3× 3 i wtedy przydaje się reguła Sarrusa.

W jednej zmiennej szukanie ekstremum jest proste: przyrównujemy pochodną do zera i sprawdzamy, czy zmienia znak. Przy dwóch zmiennych wykres przestaje być krzywą, a staje się powierzchnią — i pojawia się kształt, którego na krzywej nie ma: siodło. Punkt, w którym w jedną stronę jest minimum, a w drugą maksimum. Dlatego samo zerowanie pochodnych już nie wystarcza i potrzebny jest drugi test.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: studia, pierwszy rok — poza podstawą programową (LO 2025)

1Co się zmienia, gdy zmiennych są dwie

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Podstawa mówi o rachunku różniczkowym wyłącznie dla funkcji jednej zmiennej. Materiał tej strony to pierwszy rok studiów technicznych i ekonomicznych.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

Funkcja jednej zmiennej $y = f(x)$ ma wykres będący krzywą. Funkcja dwóch zmiennych $z = f(x, y)$ przypisuje liczbę każdemu punktowi płaszczyzny, więc jej wykres jest powierzchnią w przestrzeni — czymś w rodzaju mapy terenu, gdzie $z$ to wysokość nad punktem $(x, y)$ .

Ta zmiana obrazu od razu tłumaczy, o co chodzi w ekstremach. Na mapie terenu:

minimum lokalne to dno kotliny — idąc w dowolnym kierunku, wchodzisz pod górę,
maksimum lokalne to szczyt wzgórza — w dowolnym kierunku schodzisz w dół,
punkt siodłowy to przełęcz — wzdłuż grzbietu schodzisz w dół, a w poprzek wchodzisz pod górę.

Przełęcz jest tu nowością. W jednej zmiennej takiego punktu nie ma: idąc po krzywej, można iść tylko w dwie strony, więc albo w obu rośnie, albo w obu maleje, albo w jedną rośnie, a w drugą maleje (i wtedy to nie jest ekstremum, tylko przegięcie z poziomą styczną).

Na powierzchni kierunków jest nieskończenie wiele i pochodna zerująca się w dwóch z nich nic nie gwarantuje. Stąd cała trudność tego tematu i stąd potrzeba drugiego warunku, o którym niżej.

Warto to zestawić z tym, co ekstrema funkcji jednej zmiennej robią w liceum: tam warunek wystarczający to zmiana znaku pochodnej, czytana z tabeli zmienności. Tabeli zmienności dla powierzchni się nie da narysować — trzeba ją zastąpić rachunkiem.

2Pochodne cząstkowe — różniczkowanie po jednej zmiennej naraz

Pochodna cząstkowa to najprostszy pomysł, jaki można mieć: różniczkujemy po jednej zmiennej, a drugą traktujemy jak zwykłą liczbę. Zapisuje się to zakrzywionym $\partial$ zamiast $d$ .

\frac{\partial f}{\partial x} = f_x \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = f_y

Przykład na sucho: dla $f(x, y) = x^2 y + 3y$ liczymy $f_x$ i patrzymy na $y$ jak na stałą, powiedzmy piątkę. Wtedy $x^2 y$ to „stała razy $x^2$ ”, czyli pochodna wynosi $2xy$ , a $3y$ to sama stała, więc znika. Otrzymujemy $f_x = 2xy$ .

Licząc $f_y$ , zamieniamy role: stałą jest teraz $x$ . Wyrażenie $x^2 y$ to „stała razy $y$ ”, więc pochodna to $x^2$ , a $3y$ daje $3$ . Stąd $f_y = x^2 + 3$ .

Geometrycznie $f_x$ mówi, jak stromo teren wznosi się, gdy idziemy równolegle do osi $x$ , a $f_y$ — gdy idziemy równolegle do osi $y$ . To dwa z nieskończenie wielu możliwych kierunków i właśnie dlatego same nie wystarczą.

Do drugiego warunku potrzebne będą drugie pochodne cząstkowe: $f_{xx}$ (różniczkujemy po $x$ dwa razy), $f_{yy}$ (dwa razy po $y$ ) oraz mieszana $f_{xy}$ (raz po $x$ , raz po $y$ ).

Kolejność w pochodnej mieszanej nie ma znaczenia

Dla funkcji, które spotyka się w zadaniach, zachodzi $f_{xy} = f_{yx}$ — najpierw po $x$ , potem po $y$ daje to samo, co odwrotnie.

To twierdzenie Schwarza i wymaga ciągłości drugich pochodnych; dla wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych warunek jest spełniony.

Praktyczny zysk: pochodną mieszaną liczy się raz, a nie dwa razy. Warto jednak policzyć ją obiema drogami przy pierwszych zadaniach — to darmowa kontrola rachunku.

3Warunek konieczny: punkt stacjonarny

Jeżeli funkcja ma w punkcie $(x_0, y_0)$ ekstremum lokalne i ma tam obie pochodne cząstkowe, to obie muszą się zerować.

f_x(x_0, y_0) = 0 \quad \text{oraz} \quad f_y(x_0, y_0) = 0

Punkt spełniający oba równania nazywamy punktem stacjonarnym (albo krytycznym). Szukanie ekstremów zaczyna się więc od rozwiązania układu równań złożonego z tych dwóch warunków.

Sens jest ten sam co w jednej zmiennej: na szczycie i na dnie płaszczyzna styczna do powierzchni jest pozioma, a poziomość oznacza zerowe nachylenie w obu kierunkach osiowych.

Uwaga na słowo konieczny. Warunek działa tylko w jedną stronę: każde ekstremum jest punktem stacjonarnym, ale nie każdy punkt stacjonarny jest ekstremum. Kontrprzykład jest natychmiastowy — funkcja $f(x, y) = x^2 - y^2$ ma w zerze obie pochodne równe zeru, a ekstremum tam nie ma, bo to siodło.

W jednej zmiennej ta sama pułapka nazywa się „punkt przegięcia z poziomą styczną” i pokazuje ją funkcja $y = x^3$ w zerze. Różnica polega na tym, że w dwóch zmiennych przypadek bez ekstremum jest znacznie częstszy — i dlatego drugi test nie jest tu formalnością, tylko główną częścią zadania.

4Warunek wystarczający: wyznacznik hesjanu

Drugie pochodne układa się w macierz kwadratową zwaną hesjanem, a rozstrzyga jej wyznacznik — dokładnie ten sam, który liczy się wzorem $ad - bc$ .

H = \det\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2

Wartości liczymy w punkcie stacjonarnym i odczytujemy wynik z trzech przypadków:

$H > 0$ i $f_{xx} > 0$ → minimum lokalne (dno kotliny),
$H > 0$ i $f_{xx} < 0$ → maksimum lokalne (szczyt wzgórza),
$H < 0$ → punkt siodłowy, ekstremum nie ma,
$H = 0$ → kryterium nie rozstrzyga, trzeba badać inaczej.

Zwróć uwagę, że przy $H > 0$ znak $f_{yy}$ jest już przesądzony i taki sam jak $f_{xx}$ — skoro iloczyn $f_{xx} f_{yy}$ musi przewyższyć nieujemne $(f_{xy})^2$ , oba czynniki mają ten sam znak. Sprawdzanie $f_{yy}$ to więc dobra kontrola rachunku, ale nie osobny warunek.

Skąd bierze się odjęcie $(f_{xy})^2$

Człon mieszany mierzy, jak bardzo powierzchnia jest skręcona — jak zmienia się nachylenie w kierunku $x$ , gdy przesuwamy się wzdłuż $y$ .

Duże skręcenie potrafi zepsuć ekstremum nawet wtedy, gdy oba przekroje osiowe wyglądają jak minimum. Odjęcie $(f_{xy})^2$ jest właśnie karą za to skręcenie.

Dlatego sam warunek $f_{xx} > 0$ i $f_{yy} > 0$ nie wystarcza — bez sprawdzenia $H$ można ogłosić minimum tam, gdzie jest siodło.

Przypadek $H = 0$ nie jest wymysłem teoretyków. Funkcja $f(x, y) = x^4 + y^4$ ma w zerze wyraźne minimum, a hesjan zerowy; funkcja $f(x, y) = x^3 + y^3$ ma w zerze hesjan również zerowy i żadnego ekstremum. Skoro dwa różne zachowania dają tę samą wartość $H$ , kryterium przy $H = 0$ musi milczeć.

5Punkt siodłowy — kształt, którego krzywa mieć nie może

Najczystszym przykładem jest $f(x, y) = x^2 - y^2$ w punkcie $(0, 0)$ , czyli powierzchnia zwana paraboloidą hiperboliczną — kształt chipsa albo siodła do jazdy konnej.

Idąc wzdłuż osi $x$ (czyli przy $y = 0$ ), dostajemy $f = x^2$ , a to zwykła parabola z minimum w zerze. Idąc wzdłuż osi $y$ (przy $x = 0$ ), dostajemy $f = -y^2$ — parabola ramionami w dół, czyli maksimum w zerze.

Ten sam punkt jest więc najniższy w jednym kierunku i najwyższy w drugim. Żadna z definicji ekstremum nie jest spełniona, bo ekstremum wymaga, żeby wartość była największa albo najmniejsza we wszystkich kierunkach naraz.

Dlaczego na krzywej to niemożliwe: idąc po krzywej, mamy do dyspozycji tylko lewo i prawo. Nie da się być jednocześnie „najniżej w jednym kierunku i najwyżej w innym”, bo kierunki są tylko dwa i są przeciwne.

Praktyczny wniosek do zadań: gdy wyjdzie $H < 0$ , nie szukaj błędu w rachunku. Ujemny hesjan to poprawna i pełna odpowiedź — w tym punkcie ekstremum nie ma i tak należy napisać.

Siodła nie są rzadkością ani ciekawostką. W optymalizacji ekonomicznej i w uczeniu maszynowym punkty siodłowe są liczniejsze od minimów i to one zatrzymują algorytmy szukające najmniejszej wartości.

6Przykłady krok po kroku

Cztery przypadki hesjanu w kolejności, w jakiej warto je zobaczyć: minimum, siodło, funkcja z dwoma punktami stacjonarnymi naraz i sytuacja, w której pochodna mieszana nie znika.

Przykład 1 Minimum lokalne

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5$ .

Liczę pochodne cząstkowe. Przy $f_x$ składniki $y^2$ i $-6y$ są stałymi, więc znikają: $f_x = 2x - 4$ . Przy $f_y$ znikają $x^2$ i $-4x$ : $f_y = 2y - 6$ .
Warunek konieczny to układ $\begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ 2y - 6 = 0 \end{cases}$ , a z niego $x = 2$ i $y = 3$ . Jedyny punkt stacjonarny to $(2, 3)$ .
Drugie pochodne: $f_{xx} = 2$ , $f_{yy} = 2$ , a pochodna mieszana $f_{xy} = 0$ , bo w $f_x = 2x - 4$ nie ma już $y$ .
Hesjan: $H = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4$ . Mamy $H > 0$ oraz $f_{xx} = 2 > 0$ , czyli minimum lokalne.
Wartość: $f(2, 3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 5 = -8$ .
Kontrola bez hesjanu: grupuję do postaci kanonicznej $f = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 8$ . Suma dwóch kwadratów jest najmniejsza, gdy oba są zerami — czyli w $(2, 3)$ , i wynosi wtedy $-8$ ✓.

Odpowiedź: Minimum lokalne w punkcie $(2, 3)$ , wartość $f(2, 3) = -8$ . Maksimum nie występuje.

Przykład 2 Punkt siodłowy

Zbadaj, czy funkcja $f(x, y) = x^2 - y^2$ ma ekstremum w punkcie $(0, 0)$ .

Pochodne cząstkowe: $f_x = 2x$ , $f_y = -2y$ . Oba zerują się dla $x = 0$ i $y = 0$ , więc $(0, 0)$ jest punktem stacjonarnym — warunek konieczny spełniony.
Drugie pochodne: $f_{xx} = 2$ , $f_{yy} = -2$ , $f_{xy} = 0$ .
Hesjan: $H = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4$ . Wartość ujemna, więc to punkt siodłowy i ekstremum nie ma.
Kontrola dwoma przekrojami: przy $y = 0$ funkcja upraszcza się do $f = x^2$ , która w zerze ma minimum; przy $x = 0$ mamy $f = -y^2$ , która w zerze ma maksimum ✓.
Gdyby ktoś sprawdził tylko warunek konieczny, ogłosiłby ekstremum tam, gdzie go nie ma. To najczęstszy błąd w tym temacie.

Odpowiedź: Funkcja nie ma ekstremum w $(0, 0)$ — to punkt siodłowy ( $H = -4 < 0$ ).

Przykład 3 Dwa punkty stacjonarne, dwa różne wyniki

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3$ .

Pochodne cząstkowe: $f_x = 3x^2 - 3y$ oraz $f_y = -3x + 3y^2$ .
Z pierwszego równania $3x^2 - 3y = 0$ dostaję $y = x^2$ . Podstawiam do drugiego: $-3x + 3(x^2)^2 = 0$ , czyli $3x^4 - 3x = 0$ , a po wyłączeniu $3x$ przed nawias — $3x(x^3 - 1) = 0$ .
Stąd $x = 0$ albo $x = 1$ . Z zależności $y = x^2$ dostaję dwa punkty stacjonarne: $(0, 0)$ oraz $(1, 1)$ .
Drugie pochodne w postaci ogólnej: $f_{xx} = 6x$ , $f_{yy} = 6y$ , $f_{xy} = -3$ (stała, bo składnik mieszany to $-3xy$ ).
W punkcie $(0, 0)$ : $H = 0 \cdot 0 - (-3)^2 = -9 < 0$ , czyli punkt siodłowy, bez ekstremum.
W punkcie $(1, 1)$ : $f_{xx} = 6$ , $f_{yy} = 6$ , więc $H = 6 \cdot 6 - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0$ . Skoro dodatkowo $f_{xx} = 6 > 0$ , jest to minimum lokalne.
Wartość: $f(1, 1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

Odpowiedź: Minimum lokalne w $(1, 1)$ o wartości $-1$ ; w $(0, 0)$ punkt siodłowy, ekstremum nie ma.

Przykład 4 Gdy pochodna mieszana nie jest zerem

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x$ .

Pochodne cząstkowe: $f_x = 2x + y - 3$ oraz $f_y = x + 2y$ . Składnik $xy$ daje przy różniczkowaniu po $x$ samo $y$ , a po $y$ — samo $x$ .
Układ $\begin{cases} 2x + y - 3 = 0 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$ . Z drugiego równania $x = -2y$ ; podstawiam do pierwszego: $-4y + y - 3 = 0$ , czyli $-3y = 3$ i $y = -1$ , a stąd $x = 2$ .
Drugie pochodne: $f_{xx} = 2$ , $f_{yy} = 2$ , $f_{xy} = 1$ — i tym razem człon mieszany nie znika.
Hesjan: $H = 2 \cdot 2 - 1^2 = 3 > 0$ , a $f_{xx} = 2 > 0$ , więc w $(2, -1)$ jest minimum lokalne.
Wartość: $f(2, -1) = 4 + 2 \cdot (-1) + 1 - 6 = 4 - 2 + 1 - 6 = -3$ .
Zauważ, jak działa kara za skręcenie: gdyby człon mieszany był większy, na przykład $f_{xy} = 3$ , wyszłoby $H = 4 - 9 = -5 < 0$ i to samo „minimum w obu osiach” okazałoby się siodłem.

Odpowiedź: Minimum lokalne w punkcie $(2, -1)$ , wartość $f(2, -1) = -3$ .

7Najczęstsze błędy

Cztery pułapki, z których pierwsza odpowiada za większość straconych punktów na kolokwiach.

Uznanie punktu stacjonarnego za ekstremum bez sprawdzenia hesjanu

Skąd się bierze: Nawyk z liceum: tam po znalezieniu miejsca zerowego pochodnej wystarczy tabela zmienności i sprawa jest zamknięta. W dwóch zmiennych zerowanie się obu pochodnych to dopiero warunek konieczny — punktów siodłowych bywa więcej niż ekstremów.

Jak zrobić dobrze: Traktuj rozwiązanie układu $f_x = 0$ , $f_y = 0$ jako pierwszą połowę zadania. Druga połowa to policzenie $H$ w każdym znalezionym punkcie osobno — wartości drugich pochodnych zwykle się między punktami różnią.

Liczenie hesjanu jako iloczynu $f_{xx} \cdot f_{yy}$ , bez odjęcia $(f_{xy})^2$

Skąd się bierze: Gdy pochodna mieszana wynosi zero — a tak jest we wszystkich najprostszych przykładach — obie wersje dają ten sam wynik i błąd długo nie boli. Wychodzi dopiero przy funkcji ze składnikiem $xy$ , gdzie potrafi zamienić siodło w minimum.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj wzór zawsze w pełnej postaci $H = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ , także gdy widzisz, że $f_{xy} = 0$ . Kwadrat sprawia, że odejmowana wielkość jest nieujemna — poprawka nigdy nie działa na korzyść ekstremum.

Traktowanie drugiej zmiennej jak zmiennej przy liczeniu pochodnej cząstkowej

Skąd się bierze: Odruch mówi „różniczkuję wszystko”, więc przy $f_x$ ze składnika $3y$ powstaje $3$ zamiast zera, a ze składnika $x^2y$ wychodzi $2xy + x^2$ zamiast $2xy$ . Cały dalszy rachunek jest wtedy nie do uratowania.

Jak zrobić dobrze: Zanim policzysz $f_x$ , powiedz sobie na głos: „ $y$ to teraz siódemka”. Składnik bez $x$ jest wtedy stałą i znika, a składnik z $x$ ma tę stałą jako współczynnik. Przy $f_y$ zamień role.

Ogłaszanie braku ekstremum, gdy hesjan wyszedł zerowy

Skąd się bierze: Ujemny hesjan naprawdę oznacza brak ekstremum, więc zero bywa czytane jako „tym bardziej brak”. To nieprawda: $H = 0$ znaczy tylko, że to kryterium nie rozstrzyga. Funkcja $x^4 + y^4$ ma w zerze hesjan zerowy i wyraźne minimum.

Jak zrobić dobrze: Napisz wprost, że kryterium nie rozstrzyga, i zbadaj punkt inaczej — najczęściej wystarczy porównać wartość funkcji z wartościami w pobliżu albo sprawdzić znak $f$ na kilku prostych przechodzących przez ten punkt.

8Pytania i odpowiedzi

Czy ekstrema funkcji dwóch zmiennych są na maturze?

Nie. Podstawa programowa opisuje rachunek różniczkowy wyłącznie dla funkcji jednej zmiennej — pochodne cząstkowe i hesjan nie pojawiają się w niej w żadnym punkcie, także w zakresie rozszerzonym. Na maturze rozwiązuje się natomiast zadania optymalizacyjne dla jednej zmiennej i to one są odpowiednikiem tego tematu.

Czym pochodna cząstkowa różni się od zwykłej?

Rachunkowo niczym — liczy się ją tymi samymi wzorami. Różnica jest w tym, co uznajemy za stałą: przy pochodnej po iksie każda litera igrek jest traktowana jak zwykła liczba i znika, jeśli stoi samotnie. Zakrzywiony symbol $\partial$ jest tylko przypomnieniem, że zmiennych jest więcej niż jedna.

Co to jest punkt siodłowy i dlaczego nie ma go w jednej zmiennej?

To punkt, w którym funkcja ma minimum wzdłuż jednego kierunku, a maksimum wzdłuż innego — jak przełęcz między dwoma szczytami. Na krzywej jest to niemożliwe, bo z punktu można wyjść tylko w dwie przeciwne strony, a na powierzchni kierunków jest nieskończenie wiele.

Co zrobić, gdy wyznacznik hesjanu wyszedł zerowy?

Uznać, że kryterium milczy, i zbadać punkt innym sposobem. Najprostszy to podstawienie kilku prostych przechodzących przez badany punkt i sprawdzenie, czy wartość funkcji rośnie w każdym z tych kierunków. Jeśli w jednym rośnie, a w drugim maleje, ekstremum nie ma; jeśli we wszystkich rośnie, to kandydat na minimum.

Czy hesjan ma coś wspólnego z wyznacznikiem macierzy ze szkoły?

To dokładnie ten sam wyznacznik, tylko wpisana w niego macierz zawiera drugie pochodne zamiast współczynników układu równań. Liczy się go tym samym wzorem $ad - bc$ , co opisujemy przy wyznaczniku macierzy. Dla funkcji trzech zmiennych hesjan jest macierzą $3\times 3$ i wtedy przydaje się reguła Sarrusa.

Czytaj dalej

Ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennejWersja licealna: warunek konieczny i tabela zmienności Wyznacznik macierzyTen sam wyznacznik, który rozstrzyga o hesjanie Pochodne — wprowadzenieDefinicja i interpretacja geometryczna pochodnej Zadania optymalizacyjneMaturalny odpowiednik tego tematu, dla jednej zmiennej Zagadnienia dodatkoweCały dział materiału spoza podstawy programowej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.