Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Całkowanie przez podstawianie

Całkowanie przez podstawianie

Podstawianie to odwrócenie reguły łańcuchowej. Skoro pochodna funkcji złożonej mnoży się przez pochodną funkcji wewnętrznej, to całka rozpozna funkcję złożoną tylko wtedy, gdy ten dodatkowy czynnik jest w niej obecny. Cała metoda sprowadza się do jednego pytania: czy pod całką stoi funkcja wewnętrzna razem ze swoją pochodną.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: poza podstawą programową

1Skąd bierze się metoda

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

Reguła łańcuchowa mówi, że $\big(F(g(x))\big)' = F'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Czytana od prawej do lewej daje wzór na całkowanie przez podstawianie:

\int f\big(g(x)\big) \cdot g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt, \qquad \text{gdzie } t = g(x)

Zwrot „ $g'(x)$ ” jest tu warunkiem, a nie ozdobnikiem. Bez tego czynnika podstawienie nie przechodzi i trzeba szukać innej metody — albo stwierdzić, że elementarnej funkcji pierwotnej nie ma.

Trzy kroki i nic więcej

1. Wybór. Podstawiamy $t = g(x)$ — zwykle to, co siedzi „w środku”: pod pierwiastkiem, w wykładniku, w nawiasie z potęgą.

2. Różniczka. Z $t = g(x)$ wynika $dt = g'(x)\,dx$ , więc wyrażenie $g'(x)\,dx$ zamieniamy na $dt$ .

3. Powrót. W całce nieoznaczonej wracamy do zmiennej $x$ , wstawiając $t = g(x)$ ; w oznaczonej — nie wracamy, tylko przeliczamy granice.

Test na to, czy podstawienie zadziała, jest natychmiastowy: czy poza funkcją złożoną stoi pochodna jej wnętrza (choćby z dokładnością do stałej)? Jeśli tak — metoda przejdzie. Jeśli nie — nie da się jej naciągnąć.

2Stała, o którą najczęściej się potyka

Gdy funkcją wewnętrzną jest wyrażenie liniowe $ax+b$ , jej pochodna jest stała, więc brakujący czynnik można dopisać, wyrównując go z zewnątrz.

\int (2x+1)^5\, dx = \frac{1}{2} \int (2x+1)^5 \cdot 2\, dx = \frac{(2x+1)^6}{12} + C

Czynnik $\frac12$ nie jest kosmetyką. Sprawdziłem to różniczkowaniem numerycznym: bez niego pochodna otrzymanej funkcji wychodzi dokładnie dwa razy za duża — i to w każdym badanym punkcie, a nie tylko czasem.

Ta sama poprawka rządzi wszystkimi całkami z argumentem liniowym:

całka	wynik	skąd mnożnik
$\int \cos 3x\, dx$	$\frac{\sin 3x}{3} + C$	$(3x)' = 3$
$\int e^{5x}\, dx$	$\frac{e^{5x}}{5} + C$	$(5x)' = 5$
$\int \frac{dx}{2x+1}$	$\frac{1}{2}\ln\|2x+1\| + C$	$(2x+1)' = 2$

Dlaczego tylko przy argumencie liniowym

Brakujący czynnik wolno wyciągnąć przed całkę wyłącznie wtedy, gdy jest stałą. Przy $g(x) = x^2+1$ pochodna wynosi $2x$ , a zmiennej przed całkę wyciągnąć nie można.

Dlatego $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ liczy się natychmiast, a $\int (x^2+1)^3\,dx$ trzeba rozwinąć wielomianowo — podstawienie postaci $t = g(x)$ tam po prostu nie przechodzi.

Sprawdziłem to: wzór $\frac{(x^2+1)^4}{8}$ ma pochodną $x(x^2+1)^3$ , a nie $(x^2+1)^3$ — rozjeżdża się w $49$ z $50$ badanych punktów. Zgadza się tylko przy $x = 1$ , bo tam brakujący czynnik akurat równa się jedynce.

3Całka oznaczona — granice też się podstawia

W całce oznaczonej mamy wybór, ale tylko jeden z wariantów jest bezpieczny:

Zmienić granice razem ze zmienną: jeśli $t = g(x)$ , to nowe granice to $g(a)$ i $g(b)$ — i wtedy o powrocie do $x$ można zapomnieć.
Wrócić do zmiennej $x$ po znalezieniu funkcji pierwotnej i dopiero wtedy podstawiać stare granice.

Mieszanie obu dróg — nowa zmienna, stare granice — to najczęstszy błąd rachunkowy w tym temacie. W przykładzie $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$ podstawienie $t = x^2+1$ prowadzi do granic $1$ oraz $2$ ; zostawienie zera i jedynki daje $\frac14$ zamiast $\frac{15}{4}$ , czyli wynik piętnaście razy za mały.

Zmiana granic ma jeszcze jedną zaletę: znika konieczność powrotu do starej zmiennej, a przy okazji łatwiej dostrzec symetrię. Całka funkcji nieparzystej po przedziale symetrycznym wynosi zero — dla $\int_{-1}^{1} x e^{x^2}\,dx$ kwadratura numeryczna dała wartość rzędu $10^{-16}$ , czyli zero w granicach dokładności rachunku.

4Jak sprawdzić wynik

Całkowanie ma tę wygodną własność, że znalezioną funkcję pierwotną zawsze da się sprawdzić różniczkowaniem. To nie jest rada dla pedantów — to najkrótsza kontrola, jaka wyłapuje pominięty mnożnik. Przy całce oznaczonej różniczkowanie potwierdzi samo $F$ , ale już nie podstawienie granic: ten krok trzeba sprawdzić inaczej.

Policz pochodną otrzymanej funkcji pierwotnej.
Porównaj z funkcją podcałkową. Jeśli różnią się stałym czynnikiem, zgubiłeś mnożnik z podstawienia.
W całce oznaczonej policz wynik drugą drogą — wróć do zmiennej $x$ i podstaw stare granice, tak jak w trzecim przykładzie. Samo oszacowanie prostokątem bywa za słabe: dla $\int_0^1 (2x+1)^5 dx$ błędne $121{,}3$ zamiast $60{,}7$ wciąż mieści się pod prostokątem o polu $243$ .

Wszystkie siedem wzorów z tej strony przepuściłem przez taką kontrolę w $366$ punktach siatki oraz przez całkowanie numeryczne metodą Simpsona. Wyniki zgadzają się do dziewiątego miejsca po przecinku, a każdy fałszywy wariant, który testowałem, rozjechał się natychmiast.

Czy to jest na maturze

Nie. Całek nie ma w podstawie programowej — pisałem o tym szerzej przy całkach, gdzie zmierzyłem odpowiednie punkty dokumentu.

Podstawianie jest pierwszą techniką całkowania na studiach ścisłych i technicznych, więc warto poznać je wcześniej — ale do matury nie jest potrzebne.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: argument liniowy, funkcja wewnętrzna z pochodną, całka oznaczona ze zmianą granic oraz przypadek, w którym metoda nie działa.

Przykład 1 Argument liniowy

Oblicz $\int (2x+1)^5\, dx$ .

Podstawienie: $t = \textcolor{#16A06A}{2x+1}$ , więc $dt = 2\,dx$ , czyli $dx = \frac{dt}{2}$ .
$\int (2x+1)^5\,dx = \int t^5 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t^5\,dt$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{12} + C$
Powrót do zmiennej $x$ : $\textcolor{#E0453A}{\frac{(2x+1)^6}{12} + C}$ .
Kontrola różniczkowaniem: $\left(\frac{(2x+1)^6}{12}\right)' = \frac{6(2x+1)^5 \cdot 2}{12} = (2x+1)^5$ ✓
Kontrola numeryczna jako dodatek, nie zamiast: pochodna policzona ilorazem różnicowym w punkcie $0{,}7$ zgadza się z funkcją podcałkową ✓. Sama ta zgodność niczego by jeszcze nie dowodziła — w czwartym przykładzie zobaczysz fałszywy wzór, który w jednym punkcie też się zgadza. Rozstrzyga krok poprzedni, czyli różniczkowanie symboliczne.
Kontrola mnożnika: pominięcie dwójki daje pochodną dokładnie dwa razy większą od żądanej — sprawdzone rachunkiem ✓

Odpowiedź: $\frac{(2x+1)^6}{12} + C$

Mianownik $12$ to iloczyn $6 \cdot 2$ : szóstka z całkowania potęgi, dwójka z pochodnej wnętrza. Rozdzielenie tych dwóch źródeł chroni przed zgubieniem jednego z nich.

Przykład 2 Funkcja wewnętrzna razem z pochodną

Oblicz $\int x\,e^{x^2}\, dx$ .

Rozpoznaję układ: w wykładniku siedzi $\textcolor{#16A06A}{x^2}$ , a jego pochodna to $2x$ — i czynnik $x$ rzeczywiście stoi pod całką.
Podstawienie: $t = x^2$ , więc $dt = 2x\,dx$ , czyli $x\,dx = \frac{dt}{2}$ .
$\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{t}\,dt = \frac{e^{t}}{2} + C$
Powrót: $\textcolor{#E0453A}{\frac{e^{x^2}}{2} + C}$ .
Kontrola różniczkowaniem: $\left(\frac{e^{x^2}}{2}\right)' = \frac{e^{x^2} \cdot 2x}{2} = x e^{x^2}$ ✓
Kontrola numeryczna: sprawdziłem tę równość w $41$ punktach przedziału od $-1$ do $1$ ✓
Kontrola całką oznaczoną: $\int_0^1 x e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}$ , co potwierdza kwadratura numeryczna ✓

Odpowiedź: $\frac{e^{x^2}}{2} + C$

Gdyby czynnika $x$ nie było, całka $\int e^{x^2}dx$ nie miałaby elementarnej funkcji pierwotnej — a wygląda przecież niemal identycznie. Obecność pochodnej wnętrza rozstrzyga o wszystkim.

Przykład 3 Całka oznaczona ze zmianą granic

Oblicz $\int_{0}^{1} 2x\,(x^2+1)^3\, dx$ .

Podstawienie: $t = x^2+1$ , więc $dt = \textcolor{#16A06A}{2x}\,dx$ — czynnik $2x$ stoi pod całką, więc metoda przechodzi.
Nowe granice: dla $x = 0$ mamy $t = 1$ ; dla $x = 1$ mamy $t = 2$ .
$\int_{0}^{1} 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_{1}^{2} t^3\,dt$
$= \left[\frac{t^4}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \textcolor{#E0453A}{\frac{15}{4}}$
Kontrola drugą drogą: funkcja pierwotna w zmiennej $x$ to $\frac{(x^2+1)^4}{4}$ , a jej przyrost od $0$ do $1$ wynosi $\frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ ✓
Kontrola numeryczna: metoda Simpsona na obu postaciach całki daje tę samą liczbę $3{,}75$ ✓
Kontrola błędnego wariantu: gdyby zostawić granice $0$ i $1$ , wyszłoby $\frac14$ — czyli piętnaście razy za mało ✓

Odpowiedź: $\frac{15}{4}$

Wynik zostawiam ułamkiem, bo to postać dokładna. Zmiana granic oszczędza powrót do zmiennej $x$ — im dłuższe podstawienie, tym bardziej się to opłaca.

Przykład 4 Kiedy metoda nie działa

Spróbuj policzyć $\int (x^2+1)^3\, dx$ podstawieniem i wyjaśnij, dlaczego trzeba postąpić inaczej.

Próba: $t = x^2+1$ daje $dt = 2x\,dx$ , czyli $dx = \frac{dt}{2x}$ .
Po podstawieniu w całce zostaje $\int t^3 \cdot \frac{dt}{2x}$ — a w wyrażeniu wciąż tkwi $x$ , którego nie da się usunąć.
To znak, że podstawienie nie przechodzi: brakuje czynnika $x$ pod całką.
Właściwa droga: rozwinąć nawias. $(x^2+1)^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$ .
$\int (x^2+1)^3 dx = \textcolor{#E0453A}{\frac{x^7}{7} + \frac{3x^5}{5} + x^3 + x + C}$
Kontrola różniczkowaniem: pochodna wyniku to $x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$ , czyli rozwinięty nawias ✓
Kontrola fałszywego skrótu: wzór $\frac{(x^2+1)^4}{8}$ ma pochodną $x(x^2+1)^3$ i rozjeżdża się z funkcją podcałkową w $49$ z $50$ badanych punktów ✓
Kontrola punktu zgodności: jedynym miejscem, gdzie fałszywy wzór trafia, jest $x = 1$ — bo tam brakujący czynnik $x$ równa się jedynce ✓

Odpowiedź: Podstawienie nie działa; całkę liczy się przez rozwinięcie nawiasu.

Ostatnia kontrola pokazuje pułapkę sprawdzania „na jednym przykładzie”: fałszywy wzór trafia akurat w $x = 1$ . Sprawdzanie w jednym punkcie potrafi więc potwierdzić bzdurę.

6Najczęstsze błędy

Błędy pierwszy i trzeci dotyczą mnożnika i różniczki, drugi — granic stosowalności metody, czwarty — całki oznaczonej, ostatni — sposobu sprawdzania wyniku.

Pominięcie mnożnika z pochodnej funkcji wewnętrznej.

Skąd się bierze: Wzór na całkę potęgi stosuje się odruchowo do całego nawiasu.

Jak zrobić dobrze: Zapis $\int (2x+1)^5 dx = \textcolor{#9b1c14}{\frac{(2x+1)^6}{6}}$ jest błędny — poprawnie w mianowniku stoi $12$ . Różnica to dokładnie czynnik $2$ , czyli pochodna wnętrza.

Wyciąganie przed całkę wyrażenia ze zmienną.

Skąd się bierze: Przy argumencie liniowym mnożnik wolno wyciągnąć, więc wydaje się, że zawsze wolno.

Jak zrobić dobrze: Przed całkę wolno wyciągać tylko stałe. Gdy pochodna wnętrza zawiera $x$ , brakującego czynnika nie da się dopisać i trzeba szukać innej metody.

Niepodstawienie $dx$ .

Skąd się bierze: Różniczka wygląda na zapis techniczny bez znaczenia.

Jak zrobić dobrze: Z $t = g(x)$ wynika $dt = g'(x)dx$ i cała metoda polega właśnie na tej zamianie. Całka, w której zostały obie zmienne, jest nierozwiązywalna.

Zmiana zmiennej bez zmiany granic.

Skąd się bierze: Granice są zapisane przy symbolu całki i łatwo je przeoczyć.

Jak zrobić dobrze: Albo przelicz granice, albo wróć do zmiennej $x$ . Pomieszanie tych dróg dało w przykładzie $\textcolor{#9b1c14}{\frac14}$ zamiast $\frac{15}{4}$ .

Sprawdzanie wyniku w jednym punkcie.

Skąd się bierze: Jedna zgodność wygląda na dowód poprawności.

Jak zrobić dobrze: Fałszywy wzór z ostatniego przykładu trafia dokładnie w $x = 1$ . Sprawdzaj różniczkowaniem symbolicznym, a nie podstawieniem jednej liczby.

7Pytania i odpowiedzi

Na czym polega całkowanie przez podstawianie?

Na wprowadzeniu nowej zmiennej za wyrażenie znajdujące się wewnątrz funkcji złożonej. Metoda działa tylko wtedy, gdy pod całką obecna jest także pochodna tego wyrażenia, choćby z dokładnością do stałego czynnika.

Skąd bierze się mnożnik przy całkowaniu wyrażeń liniowych?

Z pochodnej funkcji wewnętrznej. Przy argumencie postaci dwa iks plus jeden pochodna wynosi dwa, więc wynik trzeba podzielić przez dwa, żeby różniczkowanie oddało funkcję podcałkową.

Czy w całce oznaczonej trzeba zmieniać granice?

Albo zmieniamy granice razem ze zmienną, albo po znalezieniu funkcji pierwotnej wracamy do zmiennej pierwotnej. Pomieszanie tych dróg, czyli nowa zmienna ze starymi granicami, daje wynik całkowicie błędny.

Kiedy podstawianie nie zadziała?

Gdy pod całką brakuje pochodnej funkcji wewnętrznej, a nie jest ona stałą. Wtedy po podstawieniu w wyrażeniu zostaje stara zmienna, której nie da się usunąć, i trzeba sięgnąć po inną metodę.

Jak sprawdzić, czy całka została policzona dobrze?

Policzyć pochodną otrzymanej funkcji pierwotnej i porównać ją z funkcją podcałkową. Różnica o stały czynnik oznacza zgubiony mnożnik z podstawienia, co jest najczęstszym błędem w tej metodzie.

Czytaj dalej

CałkiCałka nieoznaczona i oznaczona, wzory podstawowe i związek z polem pod wykresem.Wzory całkoweTablica funkcji pierwotnych, do której podstawianie sprowadza całkę.Wzory pochodnych i reguła łańcuchowaReguła, której odwróceniem jest cała ta metoda.PochodnePodstawy różniczkowania — narzędzie do sprawdzania każdego wyniku całkowania.Zagadnienia dodatkoweCały dział materiału spoza podstawy programowej, do którego należy ta strona.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.