Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Liczby zespolone

Liczby zespolone

Q: Co to jest jednostka urojona?

Liczba oznaczana literą i, której kwadrat wynosi minus jeden. Wprowadzono ją po to, żeby dało się pierwiastkować liczby ujemne i żeby każde równanie kwadratowe miało rozwiązanie.

Liczby zespolone powstają z jednego założenia: istnieje liczba, której kwadrat wynosi $-1$ . Nazywamy ją jednostką urojoną $i$ . To wystarcza, żeby każde równanie kwadratowe miało rozwiązanie — także takie, które w liczbach rzeczywistych go nie ma. Reszta jest zaskakująco zwyczajna: dodaje się i mnoży dokładnie tak, jak wyrażenia algebraiczne, pamiętając tylko, że $i^2 = -1$ .

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: liceum — poza podstawą programową (LO 2025)

1Jednostka urojona i postać algebraiczna

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

Punkt wyjścia to jedna definicja:

i^2 = -1

Spotyka się też zapis $i = \sqrt{-1}$ i bywa on wygodny, ale lepiej się do niego nie przyzwyczajać. Symbol pierwiastka jest zdefiniowany dla liczb nieujemnych i przenoszenie go na ujemne kusi, żeby przenieść razem z nim regułę $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — a ta dla liczb ujemnych nie obowiązuje. Gdyby obowiązywała, wyszłoby $i \cdot i = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = \sqrt{1} = 1$ zamiast $-1$ . Opisuję tę pułapkę niżej, wśród typowych błędów. Bezpieczna wersja jest jedna: pamiętaj $i^2 = -1$ i licz na wyrażeniach z $i$ .

Liczbę zespoloną zapisuje się w postaci algebraicznej $z = a + bi$ , gdzie $a$ i $b$ są rzeczywiste. Nazywamy je odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną.

liczba	część rzeczywista	część urojona	uwaga
$3 + 4i$	$3$	$4$	typowa liczba zespolona
$7$	$7$	$0$	każda liczba rzeczywista jest zespolona
$-2i$	$0$	$-2$	liczba czysto urojona
$0$	$0$	$0$	zero

Drugi wiersz jest ważny: zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w zespolonych. Rozszerzenie niczego nie psuje — wszystkie dotychczasowe działania zostają, dochodzą tylko nowe liczby.

Potęgi jednostki urojonej powtarzają się co cztery

$i^1 = i$ , $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ — i od tego miejsca cykl się powtarza.

Dlatego $i^{100} = 1$ , bo $100$ dzieli się przez $4$ ; a $i^{2026} = -1$ , bo reszta z dzielenia przez $4$ wynosi $2$ .

Praktycznie: żeby obliczyć dowolną potęgę $i$ , wystarczy reszta z dzielenia wykładnika przez cztery.

Jednostkę urojoną wprowadzono właśnie po to, żeby dało się rozwiązywać równania w rodzaju $x^2 = -9$ . Ma ono w liczbach zespolonych dwa rozwiązania, $3i$ oraz $-3i$ , bo $(\pm 3i)^2 = 9i^2 = -9$ . Zwróć uwagę, że to równanie, a nie pierwiastek: symbol $\sqrt{-9}$ nie wskazuje jednoznacznie, o który z tych dwóch wyników chodzi, i właśnie dlatego lepiej go unikać.

2Działania — jak na wyrażeniach algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie wykonuje się „po częściach”, dokładnie jak przy sumach algebraicznych:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Mnożenie to zwykłe wymnożenie nawiasów — jedyna różnica pojawia się na końcu, gdy zamieniamy $i^2$ na $-1$ :

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Nie trzeba tego wzoru pamiętać. Wystarczy wymnożyć nawiasy jak przy wyrażeniach algebraicznych i podstawić $i^2 = -1$ — wzór wyjdzie sam.

Sprzężenie i dzielenie

Liczbą sprzężoną do $z = a + bi$ nazywamy $\bar{z} = a - bi$ — ta sama liczba ze zmienionym znakiem części urojonej.

Iloczyn liczby przez jej sprzężenie jest zawsze rzeczywisty: $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ .

Na tym opiera się dzielenie: mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, żeby pozbyć się $i$ z dołu — dokładnie tak, jak usuwa się niewymierność z mianownika.

Zwróć uwagę na wzór $a^2 + b^2$ : to suma kwadratów, a więc liczba nieujemna, równa zeru tylko dla $z = 0$ . Dzięki temu dzielić można przez każdą liczbę zespoloną poza zerem.

3Po co je wprowadzono — równania kwadratowe

Historyczny powód jest konkretny: równanie $x^2 + 1 = 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, a matematycy chcieli móc rozwiązywać każde równanie.

W liczbach zespolonych ujemna delta przestaje być przeszkodą:

\Delta < 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

Zamiast „brak rozwiązań” dostajemy dwa rozwiązania sprzężone — różniące się tylko znakiem przy $i$ .

Prowadzi to do twierdzenia, które porządkuje całą algebrę:

Zasadnicze twierdzenie algebry

Każdy wielomian stopnia $n \geqslant 1$ o współczynnikach zespolonych ma dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych, licząc z krotnościami.

W liczbach rzeczywistych takiej regularności nie ma: $x^2 + 1$ nie ma żadnego pierwiastka, a $x^2 - 1$ ma dwa.

To jest właściwa odpowiedź na pytanie „po co komu liczby, których nie ma” — dopiero w nich wielomiany zachowują się przewidywalnie.

Liczby zespolone mają też interpretację geometryczną: liczbę $a + bi$ przedstawia się jako punkt płaszczyzny o współrzędnych $(a, b)$ . Dodawanie odpowiada wtedy dodawaniu wektorów, a mnożenie — obrotowi połączonemu ze skalowaniem.

4Czy to jest na maturze

Nie. Liczby zespolone nie występują w podstawie programowej z matematyki dla liceum obowiązującej od 2025 roku — sprawdziłem cały tekst wymagań z matematyki, razem z „Warunkami i sposobem realizacji”: słowa „zespolone” ani „urojona” nie ma w nim ani razu. W szkole podstawowej tematu tym bardziej nie ma.

Co więcej, podstawa jest w tej sprawie wyraźnie w drugą stronę, i to dosłownie. Dział I nosi tytuł „Liczby rzeczywiste”, a w „Warunkach i sposobie realizacji” punkt 2 („Oznaczenia”) wylicza zbiory, którymi uczeń ma się posługiwać: „*Uczniowie powinni używać powszechnie przyjętego oznaczenia zbiorów liczbowych, a w szczególności: dla liczb naturalnych symbolu $N$ , dla liczb całkowitych symbolu $Z$ , dla liczb wymiernych symbolu $Q$ , dla liczb rzeczywistych symboli $R$ *”. Lista kończy się na liczbach rzeczywistych — zbioru $\mathbb{C}$ w niej nie ma.

Stąd prosty wniosek dla zadań: skoro całość rozgrywa się w liczbach rzeczywistych, ujemna delta oznacza tam brak rozwiązań, a odpowiedź „brak rozwiązań rzeczywistych” jest poprawna i pełna. (To wniosek z zakresu, a nie zdanie przepisane z dokumentu — sama podstawa o znaku wyróżnika nic nie mówi.)

Czy jest w wymaganiach? Nie, i żadne zadanie maturalne nie będzie tego wymagać.
Czy warto to znać? Na studiach technicznych i ścisłych — tak; liczby zespolone są narzędziem w elektrotechnice, przetwarzaniu sygnałów i mechanice kwantowej. W liceum warto je znać co najwyżej jako odpowiedź na pytanie, dlaczego ujemna delta „nie ma” rozwiązań.

Uwaga praktyczna: pisząc maturę, nie podawaj rozwiązań zespolonych przy ujemnej delcie. Zadanie rozgrywa się w liczbach rzeczywistych i odpowiedź „równanie nie ma rozwiązań” jest tam jedyną właściwą.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: działania w postaci algebraicznej, potęga jednostki urojonej, dzielenie przez sprzężenie oraz równanie kwadratowe z ujemną deltą.

Przykład 1 Dodawanie i mnożenie

Dla $z = 3 + 4i$ oraz $w = 1 - 2i$ oblicz $z + w$ oraz $z \cdot w$ .

Dodawanie po częściach: $(3 + 1) + (4 - 2)i = \textcolor{#E0453A}{4 + 2i}$ .
Mnożenie — wymnażam nawiasy: $(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2$ .
Redukuję wyrazy z $i$ : $-6i + 4i = -2i$ .
Podstawiam $i^2 = \textcolor{#16A06A}{-1}$ : $-8i^2 = +8$ .
$z \cdot w = (3 + 8) - 2i = \textcolor{#E0453A}{11 - 2i}$ .
Kontrola wzorem: $ac - bd = 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) = 3 + 8 = 11$ ✓
Kontrola części urojonej: $ad + bc = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2$ ✓

Odpowiedź: $z + w = 4 + 2i$ , $z \cdot w = 11 - 2i$

Cały rachunek to wymnożenie dwóch nawiasów — jedyny nowy krok to zamiana $i^2$ na $-1$ . Dlatego wzoru na iloczyn nie trzeba pamiętać: wystarczy go za każdym razem odtworzyć.

Przykład 2 Potęga jednostki urojonej

Oblicz $i^{2026}$ .

Potęgi $i$ powtarzają się w cyklu długości $\textcolor{#16A06A}{4}$ : $i$ , $-1$ , $-i$ , $1$ .
Dzielę wykładnik przez $4$ : $2026 = 4 \cdot 506 + \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Reszta wynosi $2$ , więc $i^{2026} = i^2 = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Kontrola rachunku: $4 \cdot 506 = 2024$ , a $2024 + 2 = 2026$ ✓
Kontrola na mniejszym wykładniku: $i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$ , a $6$ też daje resztę $2$ ✓
Kontrola cyklu: $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ ✓ — to on zamyka powtórzenie.

Odpowiedź: $i^{2026} = -1$

Reszta z dzielenia przez cztery zastępuje tu całe potęgowanie. To ten sam mechanizm, co przy cyfrze jedności dużych potęg — cykliczność zamiast rachunku.

Przykład 3 Dzielenie przez sprzężenie

Zapisz w postaci algebraicznej liczbę $\frac{5 + i}{2 - 3i}$ .

Sprzężenie mianownika to $\textcolor{#16A06A}{2 + 3i}$ — mnożę przez nie licznik i mianownik.
Mianownik: $(2 - 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = \textcolor{#16A06A}{13}$ — liczba rzeczywista ✓
Licznik: $(5 + i)(2 + 3i) = 10 + 15i + 2i + 3i^2 = 10 + 17i - 3 = 7 + 17i$ .
Całość: $\frac{7 + 17i}{13} = \textcolor{#E0453A}{\frac{7}{13} + \frac{17}{13}i}$ .
Kontrola mianownika: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ ✓ zgodnie ze wzorem $a^2 + b^2$ .
Kontrola przez mnożenie wstecz: $\left(\frac{7}{13} + \frac{17}{13}i\right)(2 - 3i)$ ma część rzeczywistą $\frac{14}{13} + \frac{51}{13} = \frac{65}{13} = 5$ ✓
Część urojona: $-\frac{21}{13} + \frac{34}{13} = \frac{13}{13} = 1$ ✓ — wychodzi $5 + i$ , czyli licznik wyjściowy.

Odpowiedź: $\frac{5+i}{2-3i} = \frac{7}{13} + \frac{17}{13}i$

Dwie ostatnie kontrole to mnożenie wyniku przez mianownik — jedyny pewny sposób sprawdzenia dzielenia. Wynik zostawiam w ułamkach, bo to postać dokładna.

Przykład 4 Równanie kwadratowe z ujemną deltą

Rozwiąż równanie $x^2 - 4x + 13 = 0$ w liczbach zespolonych.

$\Delta = 16 - 52 = \textcolor{#16A06A}{-36}$ — w liczbach rzeczywistych rozwiązań by nie było.
W zespolonych szukamy liczby, której kwadrat wynosi $-36$ . Jest nią $\textcolor{#16A06A}{6i}$ , bo $(6i)^2 = 36i^2 = -36$ — i to ta liczba wchodzi do wzoru w miejsce pierwiastka z delty. (Druga taka liczba to $-6i$ , ale znak $\pm$ we wzorze i tak obejmuje oba przypadki.)
$x = \frac{4 \pm 6i}{2} = \textcolor{#E0453A}{2 \pm 3i}$ .
Oba rozwiązania są sprzężone — różnią się tylko znakiem przy $i$ ✓
Kontrola przez podstawienie: $(2+3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = -5 + 12i$ .
Dalej: $-5 + 12i - 4(2+3i) + 13 = -5 + 12i - 8 - 12i + 13 = 0$ ✓
Kontrola wzorami Viète'a: suma pierwiastków $= (2+3i) + (2-3i) = 4$ , a iloczyn $= 4 + 9 = 13$ — zgadza się ze współczynnikami ✓

Odpowiedź: $x = 2 + 3i$ lub $x = 2 - 3i$

Kontrola wzorami Viète'a działa tu tak samo jak dla pierwiastków rzeczywistych — sumę i iloczyn odczytuje się ze współczynników, a części urojone znoszą się nawzajem. Na maturze poprawna odpowiedź brzmi jednak: brak rozwiązań rzeczywistych.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą rachunku, dwa ostatnie — zakresu stosowania.

Pozostawienie $i^2$ w wyniku.

Skąd się bierze: Po wymnożeniu nawiasów wyrażenie wygląda na gotowe.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zamień $i^2$ na $-1$ i zredukuj. W pierwszym przykładzie to właśnie ten krok zamienia $-8i^2$ na $+8$ .

Zapis $\textcolor{#9b1c14}{\sqrt{-9} \cdot \sqrt{-4} = \sqrt{36} = 6}$ .

Skąd się bierze: Własność pierwiastka z iloczynu przenoszona na liczby ujemne.

Jak zrobić dobrze: Poprawnie: $3i \cdot 2i = 6i^2 = -6$ . Reguła $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ obowiązuje wyłącznie dla liczb nieujemnych.

Dzielenie bez pomnożenia przez sprzężenie.

Skąd się bierze: Ułamek z $i$ w mianowniku wygląda jak wynik.

Jak zrobić dobrze: Postać algebraiczna wymaga rzeczywistego mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Podawanie rozwiązań zespolonych w zadaniu maturalnym.

Skąd się bierze: Skoro się je zna, wydają się pełniejszą odpowiedzią.

Jak zrobić dobrze: Przy ujemnej delcie na maturze poprawna odpowiedź brzmi: równanie nie ma rozwiązań. Zadanie rozgrywa się w liczbach rzeczywistych.

Porównywanie liczb zespolonych znakiem $<$ albo $>$ .

Skąd się bierze: Odruch przeniesiony z liczb rzeczywistych.

Jak zrobić dobrze: Liczb zespolonych nie da się uporządkować w sposób zgodny z działaniami. Porównywać można ich moduły, czyli odległości od zera.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest jednostka urojona?

Liczba oznaczana literą $i$ , której kwadrat wynosi minus jeden. Wprowadzono ją po to, żeby dało się pierwiastkować liczby ujemne i żeby każde równanie kwadratowe miało rozwiązanie.

Jak mnożyć liczby zespolone?

Tak samo jak wyrażenia algebraiczne — wymnażając nawiasy. Jedyna różnica pojawia się na końcu: iloczyn $i$ przez $i$ zamieniamy na minus jeden i redukujemy wyrazy podobne.

Do czego służy liczba sprzężona?

Przede wszystkim do dzielenia: mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, otrzymujemy w mianowniku liczbę rzeczywistą równą sumie kwadratów części rzeczywistej i urojonej.

Ile wynosi

i

do wysokiej potęgi?

Potęgi jednostki urojonej powtarzają się w cyklu długości cztery, więc wystarczy podzielić wykładnik przez cztery i wziąć resztę. Reszta zero daje jeden, reszta dwa — minus jeden.

Czy liczby zespolone są na maturze?

Nie, w podstawie programowej nie występują ani razu. Przy ujemnej delcie poprawną odpowiedzią maturalną jest brak rozwiązań, bo zadania rozgrywają się w zbiorze liczb rzeczywistych.

Czytaj dalej

Liczby rzeczywisteZbiór, w którym rozgrywa się cała szkolna matematyka — i który liczby zespolone rozszerzają.Równania kwadratoweUjemna delta i to, co się z nią dzieje po wyjściu poza liczby rzeczywiste.WielomianyZasadnicze twierdzenie algebry: dopiero w liczbach zespolonych liczba pierwiastków jest przewidywalna.WektoryInterpretacja geometryczna — dodawanie liczb zespolonych to dodawanie wektorów na płaszczyźnie.Interpretacja geometryczna liczby zespolonejPłaszczyzna Gaussa, moduł i argument

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.