Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Wzory całkowe wybranych funkcji

Wzory całkowe wybranych funkcji

Q: Jak sprawdzić, czy wzór z tabeli całek jest dobrze zapamiętany?

Zróżniczkować prawą stronę. Jeśli pochodna daje funkcję podcałkową, sam wzór jest poprawny — ta kontrola działa dla każdego wiersza tabeli i nie wymaga zaglądania do żadnych materiałów. Nie sprawdza natomiast założeń: brakującego warunku a ≠ -1 ani dziedziny tangensa różniczkowanie nie wykryje, bo porównuje obie strony tam, gdzie obie są określone.

Q: Kiedy stosować podstawienie liniowe?

Gdy pod całką stoi funkcja złożona, której część wewnętrzna ma postać ax + b. Wynik z tabeli dzieli się wtedy przez współczynnik a. Dla funkcji wewnętrznej nieliniowej ta metoda nie działa.

Q: Jak wybrać, co podstawić za f przy całkowaniu przez części?

Jako f bierzemy czynnik, który upraszcza się przy różniczkowaniu — zwykle wielomian albo logarytm. Jako g' ten, który łatwo scałkować. Jeśli nowa całka wyszła trudniejsza od wyjściowej, należy zamienić role czynników.

Q: Czy każdą całkę da się policzyć?

Nie. Istnieją funkcje elementarne, których funkcji pierwotnej nie da się zapisać żadnym wzorem elementarnym — klasycznym przykładem jest e^-x^2. Przy różniczkowaniu taka sytuacja nie występuje.

Q: Czy wzory całkowe obowiązują na maturze?

Nie, rachunku całkowego nie ma w podstawie programowej od 2025 roku w żadnym zakresie. Dział analizy obejmuje granice, pochodne i zadania optymalizacyjne, a całki są materiałem studiów.

Tabela całek wygląda jak lista do wykucia, a jest odwróconą tabelą pochodnych — każdy jej wiersz da się sprawdzić w kilka sekund, różniczkując prawą stronę. Ta strona porządkuje wzory podstawowe i pokazuje dwie metody, które pozwalają wyjść poza tabelę. Samo pojęcie całki i jej związek z polem opisuję osobno.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: liceum — poza podstawą programową (LO 2025)

1Tabela — i jak ją sobie sprawdzić

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

We wszystkich wierszach pomijam stałą $C$ dla czytelności; w całce nieoznaczonej trzeba ją dopisać za każdym razem.

całka	wynik	sprawdzenie: pochodna wyniku
$\int c\,dx$	$cx$	$(cx)' = c$
$\int x^a\,dx$	$\frac{x^{a+1}}{a+1}$ , dla $a \neq -1$	$\left(\frac{x^{a+1}}{a+1}\right)' = x^a$
$\int \frac{1}{x}\,dx$	$\ln\|x\|$	$(\ln\|x\|)' = \frac{1}{x}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$	$2\sqrt{x}$	$(2\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$
$\int e^x\,dx$	$e^x$	$(e^x)' = e^x$
$\int a^x\,dx$	$\frac{a^x}{\ln a}$ , dla $a > 0$ , $a \neq 1$	$\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x$	$(-\cos x)' = \sin x$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x$	$(\sin x)' = \cos x$
$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$	$\operatorname{tg} x$	$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Trzecia kolumna nie jest ozdobnikiem — to kontrola samego wzoru, i to zupełna: różniczkujesz wynik i albo wychodzi funkcja podcałkowa, albo wiersz jest zły. Nie musisz go pamiętać ani nikomu wierzyć. Czego ta kontrola nie sprawdzi, to założeń. Warunek dziedziny albo ograniczenie parametru ma pięć z dziewięciu wierszy, a zapisane są dwa — bo różniczkowanie porównuje obie strony tam, gdzie obie są określone, i o brakującym zastrzeżeniu milczy. Popisowy przykład: gdyby liczyć $\int_0^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x}$ jako $\operatorname{tg}\pi - \operatorname{tg} 0$ , wyszłoby $0$ — choć funkcja podcałkowa nigdzie nie schodzi poniżej $1$ . Wyłapuje to dopiero kontrola znaku, której używam w trzecim zadaniu.

Minusy: gdzie są i dlaczego

Przy różniczkowaniu minus pojawia się u cosinusa: $(\cos x)' = -\sin x$ .

Przy całkowaniu minus pojawia się u sinusa: $\int \sin x\,dx = -\cos x$ .

To nie są dwie reguły do zapamiętania, tylko jedna, czytana raz w jedną, raz w drugą stronę. Jeśli w tabeli całek postawisz minus przy cosinusie, sprawdzenie przez pochodną natychmiast to wykaże.

Zwróć też uwagę na drugi wiersz: obejmuje pierwiastki i odwrotności, bo $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , a $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ . Wiersz z $\frac{1}{\sqrt{x}}$ stoi więc w tabeli tylko dla wygody — wzór potęgowy liczy go tak samo, przy $a = -\frac12$ . Inaczej jest z wierszem $\int \frac{1}{x}\,dx$ : tego wzór potęgowy nie obejmuje, bo $a = -1$ jest z niego wprost wyłączone. Ten wiersz jest w tabeli z konieczności, nie z wygody — i to jedyny taki.

2Podstawienie liniowe — jedna sztuczka, wiele całek

Gdy pod całką stoi funkcja złożona z funkcją liniową w środku, wystarczy jedna poprawka: dzielenie przez współczynnik przy $x$ .

\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C, \qquad \text{gdzie } F' = f

Wzór bierze się wprost z reguły łańcuchowej: różniczkując $F(ax+b)$ , dostajemy dodatkowy czynnik $a$ , więc żeby go skasować, dzielimy przez $a$ .

$\int (2x + 5)^4\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+5)^5}{5} = \frac{(2x+5)^5}{10} + C$
$\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$
$\int \sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C$

Uwaga na zakres stosowania. Ta poprawka działa wyłącznie wtedy, gdy funkcja wewnętrzna jest liniowa. Dla $\int \sin(x^2)\,dx$ nie ma czego wyciągnąć przed całkę — i ta całka nie ma wyrażenia przez funkcje elementarne. To nie brak umiejętności, tylko cecha samego całkowania.

Dlaczego całkowanie jest trudniejsze od różniczkowania

Pochodną każdej funkcji zbudowanej ze wzorów elementarnych da się policzyć mechanicznie, stosując reguły dla sumy, iloczynu, ilorazu i złożenia.

Przy całkowaniu takiego kompletu reguł nie ma: dla iloczynu i złożenia istnieją tylko metody częściowe.

Istnieją funkcje elementarne, których całki nie da się zapisać wzorem elementarnym — najbardziej znanym przykładem jest $e^{-x^2}$ .

3Całkowanie przez części

To odpowiednik wzoru na pochodną iloczynu — i najszerzej stosowana metoda dla całek z iloczynu. Nie jedyna: iloczyny postaci $f(g(x)) \cdot g'(x)$ liczy podstawienie, na przykład $\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$ . Przez części bierzemy się wtedy, gdy podstawienie nie widzi w iloczynie pochodnej funkcji wewnętrznej.

\int f \cdot g'\,dx = f \cdot g - \int f' \cdot g\,dx

Zamiana jednej całki na drugą ma sens tylko wtedy, gdy nowa jest łatwiejsza. O tym decyduje wybór, który czynnik nazwiemy $f$ , a który $g'$ .

Jako $f$ wybieraj to, co się upraszcza przy różniczkowaniu — najczęściej wielomian albo logarytm.
Jako $g'$ to, co łatwo scałkować — najczęściej $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ .
Sprawdź, czy nowa całka jest prostsza. Jeśli wyszła trudniejsza, zamień role czynników i policz od nowa.

Typowy przykład: w $\int x\,e^x\,dx$ przyjmujemy $f = x$ (bo $f' = 1$ , czyli $x$ znika) oraz $g' = e^x$ . Wynik pokazuję w pierwszym z zadań.

Metoda bywa potrzebna dwa razy pod rząd — na przykład przy $\int x^2 e^x\,dx$ , gdzie pierwsze zastosowanie zbija kwadrat do pierwszej potęgi, a drugie usuwa $x$ zupełnie.

4Czy to jest na maturze

Nie. Rachunku całkowego nie ma w podstawie programowej z matematyki obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym.

Sprawdziłem to w dokumencie: w części matematycznej rdzeń „całk” występuje dziesięć razy i za każdym razem w innym znaczeniu niż całkowanie — liczby całkowite, pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych, prawdopodobieństwo całkowite, wykładniki całkowite przy własnościach potęg. Słowa całka, rachunek całkowy ani funkcja pierwotna nie padają ani razu, a dział analizy nosi nazwę „Optymalizacja i rachunek różniczkowy”.

Wnioski praktyczne są takie same jak przy całkach: to materiał pierwszego roku studiów technicznych i ścisłych. Jeśli szykujesz się na taki kierunek, tabela z tej strony jest dobrym punktem wyjścia; jeśli szykujesz się na maturę — najpierw pochodne, które w wymaganiach są.

Warto natomiast wiedzieć, że wzory z tej tabeli nie są niczym nowym: to ta sama wiedza, którą masz przy różniczkowaniu, tylko czytana od prawej do lewej.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: całkowanie przez części, podstawienie liniowe, całka oznaczona z funkcji trygonometrycznej i przypadek, w którym metoda nie działa.

Przykład 1 Całkowanie przez części

Oblicz $\int x\,e^x\,dx$ .

Wybieram $f = \textcolor{#16A06A}{x}$ (bo różniczkowanie je upraszcza) oraz $g' = \textcolor{#16A06A}{e^x}$ .
Wtedy $f' = 1$ oraz $g = e^x$ .
Ze wzoru: $\int x e^x\,dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx$ .
Nowa całka jest prosta: $\int e^x\,dx = e^x$ .
Wynik: $\textcolor{#E0453A}{x e^x - e^x + C}$ , czyli $e^x(x - 1) + C$ .
Kontrola przez różniczkowanie: $\left(e^x(x-1)\right)' = e^x(x-1) + e^x \cdot 1 = e^x \cdot x$ ✓
Kontrola wyboru: gdybym przyjął $f = e^x$ , nowa całka zawierałaby $x^2$ i byłaby trudniejsza od wyjściowej ✓

Odpowiedź: $\int x e^x\,dx = e^x(x - 1) + C$

Ostatni krok pokazuje, po co jest reguła wyboru. Zła decyzja nie prowadzi do błędu, tylko do całki gorszej niż ta, od której zaczynaliśmy — i to jest sygnał, żeby wrócić i zamienić role.

Przykład 2 Podstawienie liniowe

Oblicz $\int (2x + 5)^4\,dx$ .

Funkcja wewnętrzna $2x + 5$ jest liniowa, ze współczynnikiem $a = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Całkuję „jak potęgę”: $\frac{(2x+5)^5}{5}$ .
Poprawka za funkcję wewnętrzną: dzielę przez $a = 2$ .
Wynik: $\textcolor{#E0453A}{\frac{(2x+5)^5}{10}} + C$ .
Kontrola przez różniczkowanie: $\left(\frac{(2x+5)^5}{10}\right)' = \frac{5(2x+5)^4 \cdot 2}{10} = (2x+5)^4$ ✓
Kontrola pułapki: bez dzielenia przez $2$ pochodna dałaby $2(2x+5)^4$ , czyli wynik dwa razy za duży ✓

Odpowiedź: $\int (2x+5)^4\,dx = \frac{(2x+5)^5}{10} + C$

Zauważ, że mianownik $10$ powstaje z dwóch niezależnych powodów: $5$ z podniesienia wykładnika i $2$ z poprawki za funkcję wewnętrzną. Mylenie tych dwóch źródeł to najczęstsza pomyłka w tym typie zadań.

Przykład 3 Całka oznaczona z sinusa

Oblicz $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ .

Funkcja pierwotna: $F(x) = -\cos x$ .
$F(\pi) = -\cos \pi = -(-1) = 1$ .
$F(0) = -\cos 0 = -1$ .
$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Kontrola znaku: na przedziale $\langle 0; \pi \rangle$ sinus jest nieujemny, więc całka musiała wyjść dodatnia ✓
Kontrola ograniczeniem: obszar mieści się w prostokącie o bokach $\pi$ i $1$ , a $2 < \pi$ ✓
Kontrola symetrii: $\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx = 0 - (-1) = 1$ , czyli dokładnie połowa — zgodnie z symetrią wykresu względem prostej $x = \frac{\pi}{2}$ ✓

Odpowiedź: $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2$

To zaskakująco okrągły wynik jak na całkę z funkcji trygonometrycznej po przedziale o długości $\pi$ — i dobry sprawdzian tego, czy minus przy $\cos$ został postawiony we właściwym miejscu.

Przykład 4 Gdy podstawienie liniowe nie działa

Wyjaśnij, dlaczego $\int \sin(x^2)\,dx$ nie da się policzyć tą samą metodą co $\int \sin(4x)\,dx$ .

W drugiej całce funkcja wewnętrzna to $4x$ — jej pochodna jest stała i wynosi $4$ , więc da się ją wyciągnąć przed całkę.
$\int \sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C$ , co sprawdzam różniczkowaniem: $\left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right)' = \frac{4}{4}\sin 4x = \sin(4x)$ ✓
W pierwszej całce funkcja wewnętrzna to $x^2$ , a jej pochodna $2x$ zależy od $x$ — nie jest liczbą, więc nie wolno jej przenieść przed znak całki.
Sprawdzam, czy „naiwny” wynik $-\frac{1}{2x}\cos(x^2)$ mógłby być poprawny: różniczkując go, dostaje się dwa składniki zamiast jednego, więc nie jest ✓
Wniosek: całki $\int \sin(x^2)\,dx$ nie da się zapisać wzorem elementarnym — to nie kwestia techniki.

Odpowiedź: Metoda wymaga funkcji wewnętrznej liniowej; dla $x^2$ nie ma zastosowania.

Warto to zobaczyć raz na własne oczy, bo tabela całek sugeruje, że każda całka ma odpowiedź. Przy różniczkowaniu ma ją zawsze, przy całkowaniu — nie.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą podstawienia, trzy kolejne — tabeli i wzoru na całkowanie przez części.

Pominięcie dzielenia przez współczynnik przy podstawieniu liniowym.

Skąd się bierze: Wynik wygląda poprawnie i ma właściwy nawias oraz potęgę.

Jak zrobić dobrze: Zawsze dziel przez $a$ . Kontrola: pochodna wyniku musi dać dokładnie funkcję podcałkową, bez dodatkowego czynnika z przodu.

Stosowanie podstawienia liniowego do funkcji nieliniowej w środku.

Skąd się bierze: Schemat „podziel przez pochodną środka” wygląda na uniwersalny.

Jak zrobić dobrze: Wolno wyciągnąć przed całkę tylko liczbę. Przy $\int \sin(x^2)\,dx$ pochodna środka to $2x$ , więc metoda nie ma zastosowania.

Odwrócony minus przy funkcjach trygonometrycznych.

Skąd się bierze: Pochodne i całki sinusa oraz cosinusa wyglądają symetrycznie.

Jak zrobić dobrze: Minus stoi przy $\int \sin x\,dx = -\cos x$ . Zapis $\textcolor{#9b1c14}{\int \cos x\,dx = -\sin x}$ jest fałszywy — sprawdź, różniczkując prawą stronę.

Traktowanie wzoru na całkę potęgi jako uniwersalnego.

Skąd się bierze: Zastrzeżenie $a \neq -1$ jest zapisane drobnym drukiem obok wzoru.

Jak zrobić dobrze: Dla $a = -1$ mianownik $a+1$ jest zerem. Ten przypadek ma osobną odpowiedź: $\ln|x| + C$ .

Gubienie minusa w drugim składniku wzoru na całkowanie przez części.

Skąd się bierze: Wzór ma trzy elementy i dwa znaki, więc łatwo przepisać go z pamięci źle.

Jak zrobić dobrze: Poprawnie: $\int f g' = fg - \int f' g$ . Kontrola przez różniczkowanie wyniku wykrywa ten błąd natychmiast.

7Pytania i odpowiedzi

Jak sprawdzić, czy wzór z tabeli całek jest dobrze zapamiętany?

Zróżniczkować prawą stronę. Jeśli pochodna daje funkcję podcałkową, sam wzór jest poprawny — ta kontrola działa dla każdego wiersza tabeli i nie wymaga zaglądania do żadnych materiałów. Nie sprawdza natomiast założeń: brakującego warunku $a \neq -1$ ani dziedziny tangensa różniczkowanie nie wykryje, bo porównuje obie strony tam, gdzie obie są określone.

Kiedy stosować podstawienie liniowe?

Gdy pod całką stoi funkcja złożona, której część wewnętrzna ma postać $ax + b$ . Wynik z tabeli dzieli się wtedy przez współczynnik $a$ . Dla funkcji wewnętrznej nieliniowej ta metoda nie działa.

Jak wybrać, co podstawić za f przy całkowaniu przez części?

Jako $f$ bierzemy czynnik, który upraszcza się przy różniczkowaniu — zwykle wielomian albo logarytm. Jako $g'$ ten, który łatwo scałkować. Jeśli nowa całka wyszła trudniejsza od wyjściowej, należy zamienić role czynników.

Czy każdą całkę da się policzyć?

Nie. Istnieją funkcje elementarne, których funkcji pierwotnej nie da się zapisać żadnym wzorem elementarnym — klasycznym przykładem jest $e^{-x^2}$ . Przy różniczkowaniu taka sytuacja nie występuje.

Czy wzory całkowe obowiązują na maturze?

Nie, rachunku całkowego nie ma w podstawie programowej od 2025 roku w żadnym zakresie. Dział analizy obejmuje granice, pochodne i zadania optymalizacyjne, a całki są materiałem studiów.

Czytaj dalej

CałkiPojęcie funkcji pierwotnej, całka oznaczona i związek z polem pod wykresem.Wzory pochodnych wybranych funkcjiTabela, z której ta powstaje przez odwrócenie — razem z regułą łańcuchową.PochodneDziałanie odwrotne do całkowania — i najszybsza kontrola wyniku całki nieoznaczonej, obok kontroli znaku i oszacowania.LogarytmyLogarytm naturalny pojawia się w dwóch wierszach tabeli — przy $\frac1x$ oraz przy $a^x$.Zagadnienia dodatkoweTematy spoza podstawy programowej zebrane w jednym miejscu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.