Granica funkcji

Przykład 1 Nieoznaczoność zero przez zero

Oblicz $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

1. Podstawienie daje $\frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ — symbol nieoznaczony, więc liczę inaczej.
2. Rozkładam licznik: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
3. Skracam czynnik $x - 3$, który wolno skrócić, bo w definicji granicy pomijamy punkt $x = 3$.
4. Zostaje $\lim_{x \to 3} (x + 3) = \textcolor{#E0453A}{6}$.
5. Kontrola liczbowa z lewej: dla $x = 2{,}99$ wartość wynosi $5{,}99$ ✓
6. Kontrola z prawej: dla $x = 3{,}01$ wartość wynosi $6{,}01$ ✓
7. Kontrola sensu: w punkcie $3$ funkcja nie jest określona, a granica mimo to istnieje — dokładnie tak, jak opisuje pierwsza sekcja ✓

Odpowiedź: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Skracanie czynnika, który się zeruje, wygląda na dzielenie przez zero — i nie jest nim, bo $x$ nigdy nie równa się $3$. Ta subtelność jest sednem definicji granicy.

Przykład 2 Granice jednostronne się różnią

Zbadaj, czy istnieje $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$.

1. Dla $x > 0$ mamy $|x| = x$, więc $\frac{|x|}{x} = 1$.
2. Dla $x < 0$ mamy $|x| = -x$, więc $\frac{|x|}{x} = -1$.
3. Granica z prawej: $\textcolor{#E0453A}{1}$. Granica z lewej: $\textcolor{#E0453A}{-1}$.
4. Są różne, więc granica w zerze nie istnieje ✓
5. Kontrola liczbowa: $f(0{,}001) = 1$ oraz $f(-0{,}001) = -1$ — i tak dla dowolnie małych argumentów ✓
6. Kontrola pułapki: obie granice jednostronne istnieją i są skończone, a mimo to granicy nie ma — sam fakt istnienia jednostronnych niczego nie przesądza ✓

Odpowiedź: Granica nie istnieje (jednostronne: $1$ oraz $-1$).

To najkrótszy możliwy kontrprzykład na zdanie „jak policzyłem obie strony, to granica jest”. Warunkiem jest ich równość, a nie samo istnienie.

Przykład 3 Granica w nieskończoności

Oblicz $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x}{2x^2 + 7}$.

1. Podstawienie daje $\frac{\infty}{\infty}$ — kolejny symbol nieoznaczony.
2. Dzielę licznik i mianownik przez najwyższą potęgę, czyli przez $x^2$.
3. $\frac{3 - \frac{5}{x}}{2 + \frac{7}{x^2}}$.
4. Ułamki $\frac{5}{x}$ i $\frac{7}{x^2}$ dążą do zera, więc zostaje $\frac{3}{2}$, czyli $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$.
5. Kontrola liczbowa: dla $x = 1000$ wartość wynosi $\frac{2\,995\,000}{2\,000\,007}$, a to około $1{,}497$ ✓
6. Kontrola regułą stopni: stopnie są równe, więc granica to iloraz współczynników przy $x^2$, czyli $\frac32$ ✓
7. Kontrola z drugiej strony: przy $x \to -\infty$ wychodzi ta sama liczba, bo po podzieleniu przez $x^2$ składniki niższego stopnia znikają — $\frac{5}{x}$ dąży do zera niezależnie od znaku $x$ ✓

Odpowiedź: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-5x}{2x^2+7} = \frac{3}{2}$

Wynik podaję jako ułamek — to postać dokładna. Liczba $1{,}497$ w kontroli jest przybliżeniem wartości funkcji w konkretnym punkcie, a nie samej granicy.

Przykład 4 Granica nieskończona i jej znak

Oblicz granice jednostronne funkcji $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ w punkcie $x = 2$.

1. Licznik jest stały i równy $\textcolor{#16A06A}{1}$, a mianownik dąży do zera — granica będzie nieskończona.
2. Z prawej strony ($x > 2$) mianownik jest dodatni i bardzo mały, więc iloraz rośnie: granica wynosi $\textcolor{#E0453A}{+\infty}$.
3. Z lewej strony ($x < 2$) mianownik jest ujemny, więc granica wynosi $\textcolor{#E0453A}{-\infty}$.
4. Kontrola liczbowa z prawej: $f(2{,}001) = 1000$, $f(2{,}0001) = 10000$ — wartości rosną ✓
5. Kontrola z lewej: $f(1{,}999) = -1000$, $f(1{,}9999) = -10000$ ✓
6. Granica obustronna nie istnieje, bo jednostronne różnią się znakiem — a prosta $x = 2$ jest asymptotą pionową ✓

Odpowiedź: Z prawej $+\infty$, z lewej $-\infty$; granica obustronna nie istnieje.

Zapis $+\infty$ nie znaczy „granica jest równa pewnej liczbie”. To skrót informacji: wartości rosną bez ograniczeń. Dlatego mówimy, że granica jest niewłaściwa.