Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Całki funkcji wymiernych

Całki funkcji wymiernych

Q: Czy całki funkcji wymiernych są na maturze?

Nie. Rachunek całkowy w całości leży poza podstawą programową obowiązującą od 2025 roku, a rozkład na ułamki proste to materiał pierwszego roku studiów. Na maturze rozszerzonej pojawia się rachunek różniczkowy — pochodne i ich zastosowania — ale całek w wymaganiach nie ma.

Q: Czy każdą funkcję wymierną da się scałkować?

Tak i to jest wyjątkowa cecha tej klasy funkcji. Ponieważ każdy wielomian rzeczywisty rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, mianownik zawsze da się rozbić na kawałki z gotowymi wzorami. Wynik jest zawsze złożeniem funkcji wymiernej, logarytmów i arcus tangensów — nic innego się nie pojawi.

Q: Kiedy podstawiać pierwiastki, a kiedy porównywać współczynniki?

Podstawianie pierwiastków jest szybsze i opłaca się zawsze, gdy mianownik ma czynniki liniowe — każdy pierwiastek zeruje wszystkie składniki poza jednym i daje współczynnik jedną linijką. Przy czynniku kwadratowym z ujemną deltą pierwiastków rzeczywistych nie ma, więc tam trzeba porównać współczynniki. Obie metody wolno mieszać w jednym zadaniu.

Q: Skąd wiadomo, że czynnik kwadratowy jest nierozkładalny?

Rozstrzyga znak wyróżnika. Jeśli < 0, trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i zostaje w mianowniku w całości — wtedy używa się postaci kanonicznej i wzoru z arcus tangensem. Jeśli ≥q 0, trójmian rozkłada się na czynniki liniowe i wracamy do zwykłych ułamków prostych.

Q: Po co rozkład na ułamki proste, jeśli nie liczę całek?

Bo to samo narzędzie sumuje szeregi teleskopowe — na przykład 1/n(n+1) rozkłada się na 1/n-1/n+1 i suma częściowa skraca się prawie w całości. Poza tym rozkład jest podstawowym krokiem przy odwracaniu transformaty Laplace'a w automatyce i przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów. Całkowanie takiej funkcji wygląda groźnie, a w rzeczywistości jest najbardziej algorytmicznym działem rachunku całkowego: istnieje procedura, która działa zawsze i kończy się w skończonej liczbie kroków. Cała sztuka polega na rozbiciu jednego trudnego ułamka na kilka łatwych — i to rozbicie, a nie samo całkowanie, jest tu prawdziwą robotą.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: studia, pierwszy rok — poza podstawą programową (LO 2025)

1Dlaczego to działa zawsze

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Rachunek całkowy w całości jest materiałem studenckim; rozkład na ułamki proste pojawia się zwykle na pierwszym roku, zaraz po podstawowych wzorach całkowych.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

Funkcja wymierna to wyrażenie postaci $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami. Przykłady: $\frac{1}{x^2-4}$ , $\frac{5x-1}{x^2+x-2}$ , $\frac{x^2+1}{x-1}$ .

Kluczowe twierdzenie brzmi tak: każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Czynniki liniowe $(x-a)$ odpowiadają pierwiastkom rzeczywistym, a nierozkładalne czynniki kwadratowe (z ujemną deltą) — parom pierwiastków zespolonych.

Konsekwencja jest praktyczna i mocna: mianownik zawsze da się rozłożyć na kawałki, które umiemy scałkować. Nie ma funkcji wymiernej, która by się temu wymknęła — inaczej niż przy funkcjach z pierwiastkami czy logarytmami, gdzie całka bywa niewyrażalna wzorem.

Procedura ma trzy kroki i zawsze tę samą kolejność:

Krok 1 — jeżeli stopień licznika jest nie mniejszy niż stopień mianownika, wykonaj dzielenie wielomianów. Zostaje wielomian plus ułamek właściwy.
Krok 2 — rozłóż mianownik na czynniki i rozbij ułamek właściwy na ułamki proste.
Krok 3 — scałkuj każdy ułamek prosty osobno, korzystając z jednego z czterech wzorów.

Pomijanie kroku pierwszego to najczęstsza przyczyna utknięcia. Rozkład na ułamki proste wymaga, żeby ułamek był właściwy — dla $\frac{x^2+1}{x-1}$ żadne $\frac{A}{x-1}$ nie zadziała, bo lewa strona rośnie do nieskończoności jak $x$ , a prawa maleje do zera.

2Rozkład na ułamki proste — cztery przypadki mianownika

Postać rozkładu zależy wyłącznie od tego, jak wygląda rozłożony mianownik. Przypadki są cztery i warto znać komplet, bo w zadaniu zwykle występują naraz.

Przypadek 1 — czynnik liniowy pojedynczy $(x-a)$ . Daje jeden składnik:

\frac{A}{x-a}

Przypadek 2 — czynnik liniowy w potędze $(x-a)^n$ . Daje $n$ składników, po jednym na każdą potęgę aż do $n$ :

\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \ldots + \frac{A_n}{(x-a)^n}

Przypadek 3 — czynnik kwadratowy nierozkładalny $x^2+px+q$ (delta ujemna). Licznik jest tu liniowy, nie stały:

\frac{Bx + C}{x^2+px+q}

Przypadek 4 — czynnik kwadratowy nierozkładalny w potędze $(x^2+px+q)^n$ . Analogicznie do przypadku 2, ale z licznikami liniowymi na każdym piętrze.

Liczba niewiadomych musi zgadzać się ze stopniem mianownika

To najtańsza kontrola poprawności rozkładu: suma niewiadomych $A$ , $B$ , $C$ … równa się stopniowi mianownika.

Mianownik $(x-1)(x+2)$ ma stopień $2$ , więc niewiadome są dwie: $A$ i $B$ . Mianownik $(x-1)^2(x^2+1)$ ma stopień $4$ , więc niewiadomych jest cztery: $A_1$ , $A_2$ oraz $B$ i $C$ z czynnika kwadratowego.

Jeśli liczby się nie zgadzają, rozkład jest źle ustawiony i dalszy rachunek nie ma sensu — najczęściej zapomniano o niższych potęgach w przypadku 2 albo wpisano stałą zamiast $Bx+C$ w przypadku 3.

Współczynniki wyznacza się przez sprowadzenie prawej strony do wspólnego mianownika i porównanie liczników. Powstaje wtedy układ równań — albo, znacznie szybciej, podstawia się pierwiastki mianownika, bo każdy z nich zeruje wszystkie składniki poza jednym.

3Cztery wzory końcowe

Po rozkładzie zostaje scałkowanie kawałków. Komplet wzorów, których do tego potrzeba, jest krótki:

\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C

Wartość bezwzględna nie jest ozdobnikiem: dziedzina obejmuje też $x < a$ , gdzie $x-a$ jest ujemne, a logarytmu z liczby ujemnej nie ma. Pominięcie jej to błąd merytoryczny, nie kosmetyczny.

\int \frac{dx}{(x-a)^n} = \frac{(x-a)^{1-n}}{1-n} + C \quad \text{dla } n \neq 1

To zwykły wzór na całkę z potęgi, zapisany dla ujemnego wykładnika. Zastrzeżenie $n \neq 1$ jest tym samym zastrzeżeniem co przy wzorach całkowych: przypadek $n = 1$ obsługuje wzór poprzedni.

\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a} + C

Ten wzór wchodzi do gry przy czynnikach kwadratowych z ujemną deltą. Żeby go użyć, mianownik trzeba najpierw doprowadzić do postaci kanonicznej $(x+p)^2 + a^2$ — czyli zrobić to samo, co przy funkcji kwadratowej.

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

Ostatni wzór jest najbardziej uniwersalny i warto go rozpoznawać z daleka: gdy licznik jest pochodną mianownika, całka to po prostu logarytm z mianownika. To on obsługuje część $Bx$ z przypadku trzeciego.

Zauważ, że w wynikach pojawiają się tylko dwie funkcje: logarytm i arcus tangens. To nie przypadek — całka z dowolnej funkcji wymiernej jest zawsze złożeniem funkcji wymiernej, logarytmów i arcus tangensów, i niczego więcej.

4Jak szybko wyznaczyć współczynniki

Metoda podręcznikowa każe porównać współczynniki przy każdej potędze i rozwiązać układ. Działa zawsze, ale przy trzech czynnikach robi się żmudna.

Metoda podstawiania pierwiastków jest znacznie szybsza, gdy mianownik ma same czynniki liniowe. Pomysł: po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy tożsamość liczników, prawdziwą dla każdego $x$ — więc wolno wstawić dowolną liczbę, także pierwiastek mianownika.

Dla $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$ tożsamość liczników brzmi $5x - 1 = A(x+2) + B(x-1)$ .

Podstawiam $x = 1$ : lewa strona $4$ , prawa $3A$ (składnik z $B$ znika). Stąd $A = \tfrac{4}{3}$ .
Podstawiam $x = -2$ : lewa strona $-11$ , prawa $-3B$ (znika składnik z $A$ ). Stąd $B = \tfrac{11}{3}$ .

Dwie linijki zamiast układu dwóch równań. Przy trzech czynnikach oszczędność jest jeszcze wyraźniejsza.

Darmowa kontrola: porównaj współczynnik przy najwyższej potędze

Po wyznaczeniu wszystkich stałych porównaj współczynnik przy $x$ w najwyższej potędze po obu stronach tożsamości.

W przykładzie wyżej: po lewej przy $x$ stoi $5$ , po prawej $A + B = \tfrac{4}{3} + \tfrac{11}{3} = \tfrac{15}{3} = 5$ ✓.

Kontrola kosztuje jedno dodawanie, a łapie zdecydowaną większość pomyłek znakowych — to najlepszy stosunek zysku do wysiłku w całym temacie.

Gdy w mianowniku siedzi czynnik kwadratowy z ujemną deltą, podstawianie pierwiastków nie pomoże (rzeczywistych pierwiastków nie ma) i trzeba wrócić do porównywania współczynników. Można wtedy mieszać obie metody: pierwiastki liniowe podstawić, a resztę domknąć układem.

5Kiedy to się przydaje poza całkami

Rozkład na ułamki proste to narzędzie szersze niż całkowanie i warto o tym wiedzieć, bo motywuje naukę.

Pierwsze zastosowanie to sumowanie szeregów teleskopowych. Wyrażenie $\frac{1}{n(n+1)}$ rozkłada się na $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ , a wtedy w sumie częściowej prawie wszystko się skraca i zostają dwa wyrazy. Bez rozkładu ta suma jest nie do policzenia elementarnie.

Drugie to równania różniczkowe — przy rozdzielaniu zmiennych po jednej stronie regularnie ląduje funkcja wymierna i bez ułamków prostych nie da się jej scałkować.

Trzecie to transformata Laplace'a w automatyce i elektrotechnice: odpowiedź układu wraca z dziedziny operatorowej właśnie przez rozkład wyrażenia wymiernego na ułamki proste.

Wspólny mianownik tych zastosowań: funkcja wymierna sama w sobie jest trudna, a suma prostych ułamków jest łatwa w każdej z tych operacji — całkowaniu, sumowaniu i przekształcaniu.

6Przykłady krok po kroku

Cztery przykłady w kolejności rosnącej trudności: dwa czynniki liniowe, mianownik z różnicy kwadratów, ujemna delta i przypadek wymagający dzielenia.

Przykład 1 Dwa czynniki liniowe

Oblicz $\int \dfrac{5x-1}{(x-1)(x+2)}\,dx$ .

Stopień licznika ( $1$ ) jest mniejszy niż mianownika ( $2$ ), więc ułamek jest właściwy i dzielenie odpada. Mianownik jest już rozłożony na dwa czynniki liniowe.
Ustawiam rozkład: $\dfrac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$ . Niewiadome dwie, stopień mianownika dwa — zgadza się.
Sprowadzam prawą stronę do wspólnego mianownika i porównuję liczniki: $5x - 1 = A(x+2) + B(x-1)$ .
Podstawiam $x = 1$ : $4 = 3A$ , więc $A = \dfrac{4}{3}$ . Podstawiam $x = -2$ : $-11 = -3B$ , więc $B = \dfrac{11}{3}$ .
Kontrola współczynnika przy $x$ : $A + B = \dfrac{4}{3} + \dfrac{11}{3} = 5$ , a po lewej stronie stoi $5$ ✓.
Całkuję każdy składnik wzorem $\int\frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C$ : $\dfrac{4}{3}\ln|x-1| + \dfrac{11}{3}\ln|x+2| + C$ .

Odpowiedź: $\int \dfrac{5x-1}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac{4}{3}\ln|x-1| + \dfrac{11}{3}\ln|x+2| + C$

Przykład 2 Różnica kwadratów w mianowniku

Oblicz $\int \dfrac{dx}{x^2-4}$ .

Mianownik rozkładam wzorem skróconego mnożenia: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ . To dwa czynniki liniowe, czyli przypadek pierwszy dwa razy.
Rozkład: $\dfrac{1}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+2}$ , a po porównaniu liczników $1 = A(x+2) + B(x-2)$ .
Podstawiam $x = 2$ : $1 = 4A$ , więc $A = \dfrac{1}{4}$ . Podstawiam $x = -2$ : $1 = -4B$ , więc $B = -\dfrac{1}{4}$ .
Kontrola przy $x$ : $A + B = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$ , a po lewej stronie przy $x$ nic nie stoi, czyli zero ✓.
Całkuję: $\dfrac{1}{4}\ln|x-2| - \dfrac{1}{4}\ln|x+2| + C$ .
Można to jeszcze zwinąć własnością różnicy logarytmów do $\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right| + C$ — obie postacie są poprawne.

Odpowiedź: $\int \dfrac{dx}{x^2-4} = \dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right| + C$

Przykład 3 Mianownik z ujemną deltą

Oblicz $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+5}$ .

Sprawdzam deltę mianownika: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , więc czynnik jest nierozkładalny i ułamków prostych nie będzie — trzeba doprowadzić go do postaci kanonicznej.
Wyodrębniam kwadrat: $x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 4$ , czyli $(x+1)^2 + 2^2$ .
Całka przyjmuje postać wzorcową $\int\frac{dt}{t^2+a^2}$ dla $t = x+1$ oraz $a = 2$ . Podstawienie $t = x+1$ nie zmienia $dx$ , bo $dt = dx$ .
Stosuję wzór $\int\frac{dt}{t^2+a^2} = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{a} + C$ : otrzymuję $\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x+1}{2} + C$ .
Kontrola przez różniczkowanie: pochodna $\operatorname{arctg}u$ to $\frac{u'}{1+u^2}$ , więc dla $u = \frac{x+1}{2}$ dostaję $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1/2}{1+\frac{(x+1)^2}{4}} = \dfrac{1}{4 + (x+1)^2}$ , a to wyjściowy ułamek ✓.

Odpowiedź: $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+5} = \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x+1}{2} + C$

Przykład 4 Gdy licznik jest wyższego stopnia — najpierw dzielenie

Oblicz $\int \dfrac{x^2+1}{x-1}\,dx$ .

Stopień licznika ( $2$ ) jest większy niż mianownika ( $1$ ), więc rozkładu na ułamki proste jeszcze nie wolno stosować. Krok pierwszy to dzielenie wielomianów.
Dzielę $x^2 + 1$ przez $x - 1$ : iloraz wynosi $x + 1$ , reszta $2$ . Sprawdzenie: $(x-1)(x+1) + 2 = x^2 - 1 + 2 = x^2 + 1$ ✓.
Zapisuję funkcję jako sumę: $\dfrac{x^2+1}{x-1} = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}$ . Teraz ostatni składnik jest już ułamkiem właściwym i nic więcej nie wymaga rozkładu.
Całkuję składnik po składniku: $\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}$ , $\int 1\,dx = x$ , $\int\dfrac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|$ .
Kontrola przez różniczkowanie wyniku: $\left(\dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln|x-1|\right)' = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}$ , a to dokładnie postać po dzieleniu ✓.

Odpowiedź: $\int \dfrac{x^2+1}{x-1}\,dx = \dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln|x-1| + C$

7Najczęstsze błędy

Cztery pomyłki, z których pierwsza blokuje zadanie od razu, a pozostałe psują wynik po cichu.

Rozkładanie na ułamki proste ułamka niewłaściwego

Skąd się bierze: Gdy stopień licznika jest nie mniejszy od stopnia mianownika, rozkład nie istnieje — układ na współczynniki wychodzi sprzeczny. Dla $\frac{x^2+1}{x-1}$ żadne $\frac{A}{x-1}$ nie zadziała, bo lewa strona rośnie nieograniczenie, a prawa dąży do zera.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zaczynaj od porównania stopni. Jeśli licznik nie jest niższego stopnia, wykonaj dzielenie wielomianów i rozkładaj dopiero resztę — ta zawsze jest już ułamkiem właściwym.

Stała zamiast $Bx + C$ nad czynnikiem kwadratowym

Skąd się bierze: Odruch z przypadku liniowego podpowiada, że nad każdym czynnikiem stoi jedna litera. Nad czynnikiem stopnia drugiego licznik musi być stopnia pierwszego, inaczej niewiadomych jest za mało i układ nie ma rozwiązania.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj się reguły: licznik ułamka prostego jest zawsze o stopień niższy niż jego mianownik. Nad $(x-a)$ stoi stała, nad $x^2+px+q$ — wyrażenie $Bx+C$ . Kontrolą jest zgodność liczby niewiadomych ze stopniem mianownika.

Pominięcie niższych potęg przy czynniku wielokrotnym

Skąd się bierze: Dla $(x-a)^3$ kusi napisanie samego $\frac{A}{(x-a)^3}$ . Taki rozkład jest niepełny: brakuje $\frac{A_1}{x-a}$ i $\frac{A_2}{(x-a)^2}$ , więc tożsamości nie da się spełnić dla wszystkich $x$ .

Jak zrobić dobrze: Czynnik w potędze $n$ generuje $n$ składników, po jednym na każdą potęgę od pierwszej do $n$ -tej. Liczba niewiadomych z tego czynnika równa się jego krotności.

Logarytm bez wartości bezwzględnej

Skąd się bierze: Zapis $\int\frac{dx}{x-1} = \ln(x-1) + C$ zawęża dziedzinę wyniku do $x > 1$ , choć funkcja podcałkowa jest określona także dla $x < 1$ . Przy całce oznaczonej na przedziale po lewej stronie jedynki taki zapis prowadzi do logarytmu z liczby ujemnej.

Jak zrobić dobrze: Pisz $\ln|x-1|$ zawsze, bez wyjątków. Wartość bezwzględna nic nie psuje tam, gdzie wyrażenie i tak jest dodatnie, a ratuje wynik tam, gdzie jest ujemne.

8Pytania i odpowiedzi

Czy całki funkcji wymiernych są na maturze?

Nie. Rachunek całkowy w całości leży poza podstawą programową obowiązującą od 2025 roku, a rozkład na ułamki proste to materiał pierwszego roku studiów. Na maturze rozszerzonej pojawia się rachunek różniczkowy — pochodne i ich zastosowania — ale całek w wymaganiach nie ma.

Czy każdą funkcję wymierną da się scałkować?

Tak i to jest wyjątkowa cecha tej klasy funkcji. Ponieważ każdy wielomian rzeczywisty rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, mianownik zawsze da się rozbić na kawałki z gotowymi wzorami. Wynik jest zawsze złożeniem funkcji wymiernej, logarytmów i arcus tangensów — nic innego się nie pojawi.

Kiedy podstawiać pierwiastki, a kiedy porównywać współczynniki?

Podstawianie pierwiastków jest szybsze i opłaca się zawsze, gdy mianownik ma czynniki liniowe — każdy pierwiastek zeruje wszystkie składniki poza jednym i daje współczynnik jedną linijką. Przy czynniku kwadratowym z ujemną deltą pierwiastków rzeczywistych nie ma, więc tam trzeba porównać współczynniki. Obie metody wolno mieszać w jednym zadaniu.

Skąd wiadomo, że czynnik kwadratowy jest nierozkładalny?

Rozstrzyga znak wyróżnika. Jeśli $\Delta < 0$ , trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i zostaje w mianowniku w całości — wtedy używa się postaci kanonicznej i wzoru z arcus tangensem. Jeśli $\Delta \geq 0$ , trójmian rozkłada się na czynniki liniowe i wracamy do zwykłych ułamków prostych.

Po co rozkład na ułamki proste, jeśli nie liczę całek?

Bo to samo narzędzie sumuje szeregi teleskopowe — na przykład $\frac{1}{n(n+1)}$ rozkłada się na $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ i suma częściowa skraca się prawie w całości. Poza tym rozkład jest podstawowym krokiem przy odwracaniu transformaty Laplace'a w automatyce i przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Czytaj dalej

Całki — wprowadzenieCałka nieoznaczona, pole pod wykresem i stała C Całkowanie przez podstawianieDruga podstawowa technika, obok rozkładu na ułamki Dzielenie wielomianówKrok pierwszy, gdy licznik jest wyższego stopnia Wzory całkoweTablica całek podstawowych używanych w tym temacie Zagadnienia dodatkoweCały dział materiału spoza podstawy programowej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.