Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Macierze

Macierze

Macierz to prostokątna tablica liczb — i na tym poziomie nic więcej. Cała jej użyteczność bierze się z działań: dodawania, mnożenia przez liczbę i mnożenia macierzy przez siebie. To ostatnie jest zaskakujące, bo nie jest przemienne i nie polega na mnożeniu odpowiadających sobie miejsc. Macierze są materiałem studiów, ale ich zapis pojawia się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się układy równań.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: liceum — poza podstawą programową (LO 2025)

1Zapis i wymiary

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

Macierz o $m$ wierszach i $n$ kolumnach nazywamy macierzą wymiaru $m \times n$ — najpierw wiersze, potem kolumny.

A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{to macierz } 2 \times 3

Element w $i$ -tym wierszu i $j$ -tej kolumnie oznaczamy $a_{ij}$ — w tej macierzy $a_{12} = -1$ , a $a_{23} = 4$ .

nazwa	co to znaczy	przykład
macierz kwadratowa	tyle samo wierszy co kolumn	wymiar $3 \times 3$
macierz zerowa	same zera	odpowiednik liczby $0$
macierz jednostkowa $I$	jedynki na przekątnej, reszta zera	odpowiednik liczby $1$
macierz transponowana $A^T$	wiersze zamienione z kolumnami	z $2 \times 3$ robi się $3 \times 2$

Kolejność w zapisie wymiaru nie jest umowna — decyduje o tym, czy dwie macierze wolno przez siebie pomnożyć. To najczęstsze źródło błędów na starcie.

Macierz to nie liczba

Macierzy nie da się porównywać znakiem $<$ ani $>$ — nie ma czegoś takiego jak „większa macierz”.

Nie da się też przez macierz dzielić. Odpowiednikiem dzielenia jest mnożenie przez macierz odwrotną, która istnieje tylko dla części macierzy kwadratowych.

Dwie macierze są równe, gdy mają ten sam wymiar i wszystkie odpowiadające sobie elementy są równe.

2Dodawanie i mnożenie przez liczbę

To działania najprostsze i wykonywane miejsce po miejscu.

Dodawanie — tylko macierzy o tym samym wymiarze; dodajemy odpowiadające sobie elementy.
Mnożenie przez liczbę — mnożymy każdy element osobno.
Odejmowanie — to dodawanie macierzy pomnożonej przez $-1$ .

Te działania zachowują się dokładnie tak, jak przywykliśmy: dodawanie jest przemienne i łączne, mnożenie przez liczbę rozdziela się względem dodawania. Żadnych niespodzianek tu nie ma.

Niespodzianka zaczyna się przy mnożeniu macierzy przez macierz — i to jej poświęcona jest cała następna sekcja.

3Mnożenie macierzy — wiersz razy kolumna

Element wyniku na pozycji $(i, j)$ powstaje z $i$ -tego wiersza pierwszej macierzy i $j$ -tej kolumny drugiej: mnożymy je parami i dodajemy.

c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}

Stąd bierze się warunek wykonalności:

Kiedy iloczyn w ogóle istnieje

Macierz $m \times n$ wolno pomnożyć przez macierz $n \times p$ — liczba kolumn pierwszej musi równać się liczbie wierszy drugiej.

Wynik ma wymiar $m \times p$ : bierze wiersze z pierwszej, kolumny z drugiej.

Zapis pomocniczy: $(m \times \mathbf{n}) \cdot (\mathbf{n} \times p) = m \times p$ — środkowe liczby muszą się zgadzać i znikają.

Z tego warunku wynika najważniejsza własność tego działania: mnożenie macierzy nie jest przemienne. Bywa, że iloczyn $AB$ istnieje, a $BA$ nie — a nawet gdy oba istnieją, zwykle są różne.

$AB \neq BA$ — to reguła, a nie wyjątek.
$AB = 0$ nie oznacza, że któraś macierz jest zerowa — iloczyn dwóch niezerowych macierzy bywa zerowy.
Łączność zachodzi: $(AB)C = A(BC)$ , więc nawiasy wolno przesuwać.
Rozdzielność zachodzi: $A(B+C) = AB + AC$ .

Macierz jednostkowa $I$ pełni tu rolę jedynki: $AI = IA = A$ dla macierzy kwadratowej. To najważniejszy, ale nie jedyny przypadek gwarantowanej przemienności — przemienne są także: macierz sama ze sobą i ze swoimi potęgami, każda macierz z wielokrotnością jednostkowej ( $A \cdot cI = cI \cdot A$ ), dwie macierze diagonalne oraz macierz ze swoją odwrotnością, bo tego żąda wprost jej definicja. Regułą to jednak nie jest: w ogólnym przypadku $AB \neq BA$ i tak trzeba do tego działania podchodzić.

4Do czego macierze służą — i czy są na maturze

Nie ma ich w podstawie programowej z matematyki od 2025 roku — słowo „macierz” nie pada w wymaganiach z matematyki ani razu, w żadnym z trzynastu działów. To materiał pierwszego roku studiów technicznych, ścisłych i ekonomicznych.

Warto natomiast wiedzieć, do czego prowadzą, bo to tłumaczy, dlaczego zajmują tyle miejsca na studiach:

Układy równań liniowych — cały układ zapisuje się jako jedno równanie $AX = B$ , a metoda wyznaczników rozwiązuje go mechanicznie.
Przekształcenia geometryczne — obrót, symetria i skalowanie to mnożenie przez macierz; na tym stoi grafika komputerowa.
Modele wieloetapowe — macierz przejścia opisuje, jak stan zmienia się w kolejnym kroku.

Pierwszy punkt jest tym, który łączy macierze ze szkołą: układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi rozwiązuje się na maturze metodą podstawiania albo przeciwnych współczynników, a na studiach — tym samym rachunkiem zapisanym jako działanie na macierzach.

Dwa pytania warto rozdzielić jak zawsze: w wymaganiach maturalnych macierzy nie ma, ale jeśli wybierasz kierunek ścisły, spotkasz je w pierwszym semestrze i warto wiedzieć, czym są.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: dodawanie, mnożenie dwóch macierzy, brak przemienności oraz iloczyn zerowy z niezerowych czynników.

Przykład 1 Dodawanie i mnożenie przez liczbę

Dane są $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ oraz $B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$ . Oblicz $A + B$ oraz $3A$ .

Oba wymiary to $\textcolor{#16A06A}{2 \times 2}$ , więc dodawanie jest wykonalne ✓
Dodaję miejsce po miejscu: $2+1 = 3$ , $-1+4 = 3$ , $0-2 = -2$ , $3+5 = 8$ .
$A + B = \textcolor{#E0453A}{\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 8 \end{bmatrix}}$ .
Mnożenie przez liczbę: każdy element razy $3$ .
$3A = \textcolor{#E0453A}{\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}}$ .
Kontrola przemienności: $B + A$ daje te same cztery liczby, bo dodawanie liczb jest przemienne ✓
Kontrola wymiaru: oba wyniki mają wymiar $2 \times 2$ , tak jak składniki ✓

Odpowiedź: $A + B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 8 \end{bmatrix}$ , $3A = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$

Te dwa działania nie kryją żadnej pułapki poza jedną: dodawać wolno tylko macierze o identycznym wymiarze. Macierzy $2 \times 2$ i $2 \times 3$ dodać się nie da.

Przykład 2 Mnożenie macierzy

Dla macierzy z poprzedniego zadania oblicz iloczyn $AB$ .

Sprawdzam wykonalność: $(2 \times \textcolor{#16A06A}{2}) \cdot (\textcolor{#16A06A}{2} \times 2)$ — środkowe liczby się zgadzają, wynik będzie $2 \times 2$ ✓
Element $(1,1)$ : pierwszy wiersz $A$ razy pierwsza kolumna $B$ : $2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 2 + 2 = 4$ .
Element $(1,2)$ : pierwszy wiersz razy druga kolumna: $2 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 8 - 5 = 3$ .
Element $(2,1)$ : drugi wiersz razy pierwsza kolumna: $0 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = -6$ .
Element $(2,2)$ : drugi wiersz razy druga kolumna: $0 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 15$ .
$AB = \textcolor{#E0453A}{\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -6 & 15 \end{bmatrix}}$ .
Kontrola liczbą działań: każdy z czterech elementów wymagał dwóch mnożeń i jednego dodawania ✓
Kontrola wymiaru: wynik jest $2 \times 2$ , zgodnie z zapowiedzią ✓

Odpowiedź: $AB = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -6 & 15 \end{bmatrix}$

Zwróć uwagę, że żaden element wyniku nie jest iloczynem odpowiadających sobie miejsc. Mnożenie macierzy „miejsce po miejscu” istnieje w matematyce, ale nazywa się inaczej i nie ma zastosowań, o których mowa w ostatniej sekcji.

Przykład 3 Mnożenie nie jest przemienne

Dla tych samych macierzy oblicz $BA$ i porównaj z $AB$ .

Element $(1,1)$ : pierwszy wiersz $B$ razy pierwsza kolumna $A$ : $1 \cdot 2 + 4 \cdot 0 = 2$ .
Element $(1,2)$ : $1 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = -1 + 12 = 11$ .
Element $(2,1)$ : $(-2) \cdot 2 + 5 \cdot 0 = -4$ .
Element $(2,2)$ : $(-2) \cdot (-1) + 5 \cdot 3 = 2 + 15 = 17$ .
$BA = \textcolor{#E0453A}{\begin{bmatrix} 2 & 11 \\ -4 & 17 \end{bmatrix}}$ .
Porównanie: $AB$ miało w lewym górnym rogu $4$ , a $BA$ ma $2$ — macierze są różne ✓
Kontrola: żaden z czterech elementów się nie zgadza, więc to nie jest kwestia pomyłki w jednym miejscu ✓
Kontrola sensu: obie macierze są kwadratowe tego samego wymiaru, więc oba iloczyny istnieją — a mimo to nie są równe ✓

Odpowiedź: $BA = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ -4 & 17 \end{bmatrix} \neq AB$

To jest ta własność, która najbardziej odróżnia macierze od liczb. Zapis $AB$ i $BA$ trzeba traktować jak dwa różne wyrażenia — kolejność czynników niesie informację.

Przykład 4 Iloczyn zerowy z niezerowych czynników

Pokaż, że iloczyn dwóch niezerowych macierzy może być macierzą zerową.

Biorę $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ oraz $D = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ — obie są niezerowe ✓
Element $(1,1)$ : $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$ .
Element $(1,2)$ : $1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0$ .
Element $(2,1)$ : $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$ .
Element $(2,2)$ : $1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0$ .
$CD = \textcolor{#E0453A}{\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}$ — macierz zerowa ✓
Kontrola w drugą stronę: $DC$ też wychodzi zerowa, choć akurat to nie musi zachodzić ✓
Wniosek: dla macierzy nie działa rozumowanie „iloczyn równy zeru, więc któryś czynnik jest zerem” ✓

Odpowiedź: $CD$ jest macierzą zerową, mimo że ani $C$ , ani $D$ nie jest zerowa.

To ma poważną konsekwencję: równania macierzowe nie rozwiązuje się przez rozkład na czynniki, tak jak równania wielomianowe. Twierdzenie o iloczynie równym zeru jest własnością liczb, nie każdego działania.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą wymiarów, trzy kolejne — mnożenia.

Dodawanie macierzy o różnych wymiarach.

Skąd się bierze: Obie są tablicami liczb, więc dodawanie wygląda na wykonalne.

Jak zrobić dobrze: Dodawać wolno tylko macierze o identycznym wymiarze. Macierzy $2 \times 2$ i $2 \times 3$ dodać się nie da w żaden sposób.

Mnożenie „miejsce po miejscu”.

Skąd się bierze: Tak działa dodawanie, więc mnożenie wydaje się analogiczne.

Jak zrobić dobrze: Element wyniku powstaje z całego wiersza i całej kolumny: mnożymy parami i sumujemy. W przykładzie drugim element $(1,1)$ to $2 \cdot 1 + (-1)(-2)$ , a nie $2 \cdot 1$ .

Zakładanie, że $\textcolor{#9b1c14}{AB = BA}$ .

Skąd się bierze: Przemienność mnożenia liczb jest tak oczywista, że przenosi się ją odruchowo.

Jak zrobić dobrze: Mnożenie macierzy nie jest przemienne. W przykładzie trzecim żaden z czterech elementów się nie zgadza.

Wnioskowanie z $AB = 0$ , że $A = 0$ lub $B = 0$ .

Skąd się bierze: Twierdzenie o iloczynie równym zeru działa dla liczb i bywa uogólniane.

Jak zrobić dobrze: Dla macierzy to nieprawda — czwarty przykład pokazuje dwie niezerowe macierze o zerowym iloczynie.

Próba dzielenia przez macierz.

Skąd się bierze: Skoro jest mnożenie, dzielenie wydaje się naturalnym dopełnieniem.

Jak zrobić dobrze: Dzielenia macierzy nie ma. Odpowiednikiem jest mnożenie przez macierz odwrotną, która istnieje tylko dla części macierzy kwadratowych.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest macierz?

Prostokątna tablica liczb opisana wymiarem: najpierw liczba wierszy, potem kolumn. Sama tablica nie jest niczym więcej — całą treść pojęcia niosą działania, które można na niej wykonywać.

Kiedy można pomnożyć dwie macierze?

Gdy liczba kolumn pierwszej równa się liczbie wierszy drugiej. Wynik ma wtedy tyle wierszy, co pierwsza macierz, i tyle kolumn, co druga; środkowy wymiar znika.

Dlaczego mnożenie macierzy nie jest przemienne?

Bo element wyniku powstaje z wiersza pierwszej macierzy i kolumny drugiej — zamiana kolejności zmienia więc, co z czym jest mnożone. Bywa nawet, że jeden z iloczynów istnieje, a drugi nie.

Czy przez macierz można dzielić?

Nie, dzielenia macierzy się nie definiuje. Zamiast tego mnoży się przez macierz odwrotną, która istnieje tylko wtedy, gdy macierz jest kwadratowa i jej wyznacznik jest różny od zera.

Czy macierze są na maturze z matematyki?

Nie, w podstawie programowej nie występują ani razu. To materiał pierwszego roku studiów, przydatny przy układach równań, przekształceniach geometrycznych i grafice komputerowej.

Czytaj dalej

Układy równańSzkolne metody rozwiązywania — na studiach ten sam rachunek zapisuje się macierzowo.WielomianyTwierdzenie o iloczynie równym zeru, które dla macierzy przestaje obowiązywać.WektoryWspółrzędne i działania — macierz jednokolumnowa to po prostu wektor.Geometria analitycznaPrzekształcenia płaszczyzny, które w zapisie macierzowym stają się jednym mnożeniem.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.