Strona główna › Zagadnienia dodatkowe › Transponowanie macierzy

Transponowanie macierzy

Q: Dlaczego przy transpozycji iloczynu kolejność się odwraca?

Bo inaczej mnożenie przestaje być wykonalne. Jeśli A jest m× n, a B jest n× p, to (AB)^T ma wymiary p× m, a jedynym iloczynem transpozycji dającym taki kształt jest B^TA^T. Zapis A^TB^T wymagałby zgodności wymiarów, która na ogół nie zachodzi.

Transponowanie to najprostsza operacja na macierzach: odbijamy tabelę względem przekątnej, wiersze stają się kolumnami. Prostota jest jednak myląca — jedna z sześciu własności transpozycji odwraca kolejność mnożenia i to na niej wykłada się większość osób poznających temat. Ta strona podaje komplet wzorów i pokazuje, skąd bierze się to odwrócenie.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: studia, pierwszy rok — poza podstawą programową (LO 2025)

1Definicja i wymiary

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Macierze w całości są materiałem studenckim; transpozycja to jedna z pierwszych operacji wprowadzanych na wykładzie z algebry liniowej.

Strona należy do działu Zagadnienia dodatkowe: materiał dla tych, którzy chcą wyjść poza program — na olimpiadę, na studia albo z ciekawości.

Macierz transponowana do macierzy $A$ , oznaczana $A^T$ , powstaje przez zamianę wierszy z kolumnami. Element stojący w wierszu $i$ i kolumnie $j$ trafia do wiersza $j$ i kolumny $i$ :

\left(A^T\right)_{ij} = A_{ji}

Praktycznie wygląda to jak odbicie lustrzane względem przekątnej głównej — tej biegnącej z lewego górnego rogu do prawego dolnego. Elementy leżące na samej przekątnej zostają na miejscu, bo dla nich $i = j$ .

Pierwsza rzecz do zapamiętania dotyczy wymiarów. Macierz o wymiarach $m \times n$ (czyli $m$ wierszy i $n$ kolumn) po transpozycji ma wymiary $n \times m$ :

A_{m \times n} \;\longrightarrow\; A^T_{\,n \times m}

Macierz $2\times 3$ staje się więc macierzą $3 \times 2$ — zmienia kształt. Tylko macierze kwadratowe zachowują wymiary po transpozycji i to one bywają źródłem złudzenia, że transpozycja „nic nie zmienia w rozmiarze”.

Transpozycja to nie odwracanie

Symbole $A^T$ i $A^{-1}$ wyglądają podobnie i bywają mylone, a oznaczają zupełnie różne rzeczy.

Transpozycja to przestawienie elementów — istnieje dla każdej macierzy, także prostokątnej, i nie wymaga żadnego rachunku.

Macierz odwrotna to odpowiednik dzielenia — istnieje tylko dla macierzy kwadratowych o niezerowym wyznaczniku i trzeba ją policzyć.

Zbieżność jest jedna i przypadkowa: dla pewnej ważnej klasy macierzy (ortogonalnych) zachodzi $A^{-1} = A^T$ — ale to własność szczególna, nie reguła.

2Komplet własności transpozycji

Własności jest sześć i warto znać je wszystkie, bo w rachunkach występują wymiennie.

1. Transpozycja jest swoją własną odwrotnością. Odbicie wykonane dwa razy wraca do punktu wyjścia:

\left(A^T\right)^T = A

2. Transpozycja sumy to suma transpozycji — operacja przechodzi przez dodawanie bez zmian:

(A + B)^T = A^T + B^T

3. Mnożenie przez liczbę też nie sprawia kłopotu, bo skalar nie ma czego zamieniać:

(cA)^T = c\,A^T

4. Transpozycja iloczynu — tu kolejność się ODWRACA. To jedyna własność, która zaskakuje, i jednocześnie najczęściej używana:

(AB)^T = B^T A^T

Skąd bierze się odwrócenie kolejności

Najpierw argument z wymiarów, bo rozstrzyga natychmiast. Niech $A$ ma wymiary $m\times n$ , a $B$ — $n\times p$ . Wtedy $AB$ jest $m\times p$ , a $(AB)^T$ jest $p\times m$ .

Teraz sprawdźmy, co da się w ogóle pomnożyć: $A^T$ jest $n\times m$ , a $B^T$ jest $p\times n$ . Iloczyn $A^TB^T$ wymagałby zgodności $m$ z $p$ — na ogół fałszywej. Za to $B^TA^T$ jest $p\times n$ razy $n\times m$ , czyli $p\times m$ ✓.

Kolejność musi się odwrócić, bo inaczej mnożenie bywa niewykonalne. To nie konwencja, tylko konieczność.

Intuicja: przy zdejmowaniu ubrań kolejność też się odwraca względem zakładania. Ta sama reguła obowiązuje przy odwracaniu iloczynu: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .

5. Wyznacznik nie zmienia się przy transpozycji — to jedno z ważniejszych twierdzeń o wyznacznikach:

\det\left(A^T\right) = \det(A)

Konsekwencja jest praktyczna: każde twierdzenie o wyznacznikach mówiące coś o wierszach obowiązuje tak samo dla kolumn. Nie trzeba dowodzić dwóch wersji.

6. Transpozycja i odwracanie są przemienne — wolno je wykonać w dowolnej kolejności (o ile $A$ jest odwracalna):

\left(A^{-1}\right)^T = \left(A^T\right)^{-1}

3Macierze symetryczne i antysymetryczne

Transpozycja pozwala zdefiniować dwie ważne klasy macierzy kwadratowych — przez porównanie macierzy z jej własnym odbiciem.

Macierz symetryczna to taka, która transpozycji nie odczuwa:

A = A^T \quad \Longleftrightarrow \quad a_{ij} = a_{ji}

Wygląda to jak tabela symetryczna względem przekątnej głównej: element w trzecim wierszu i pierwszej kolumnie jest taki sam jak ten w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie. Na przekątnej może stać cokolwiek.

Macierz antysymetryczna zmienia przy transpozycji wszystkie znaki:

A = -A^T \quad \Longleftrightarrow \quad a_{ij} = -a_{ji}

Stąd wynika coś, czego nie widać na pierwszy rzut oka: na przekątnej takiej macierzy muszą stać same zera. Dla $i = j$ warunek daje $a_{ii} = -a_{ii}$ , czyli $2a_{ii} = 0$ , a więc $a_{ii} = 0$ .

Obie klasy nie wyczerpują wszystkich macierzy, ale razem rozpinają je wszystkie. Każdą macierz kwadratową da się jednoznacznie rozłożyć na część symetryczną i antysymetryczną:

A = \underbrace{\tfrac{1}{2}\left(A + A^T\right)}_{\text{symetryczna}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\left(A - A^T\right)}_{\text{antysymetryczna}}

Sprawdzenie, że pierwszy składnik jest symetryczny, zajmuje linijkę: $\left(\tfrac12(A+A^T)\right)^T = \tfrac12\left(A^T + (A^T)^T\right) = \tfrac12(A^T + A)$ — czyli to samo, bo dodawanie jest przemienne.

Symetria nie jest ciekawostką. Hesjan z zadań o ekstremach funkcji dwóch zmiennych jest macierzą symetryczną — właśnie dlatego, że pochodne mieszane $f_{xy}$ i $f_{yx}$ są równe. To twierdzenie Schwarza wyrażone językiem macierzy. Warto pamiętać, że samo twierdzenie ma założenie: równość pochodnych mieszanych gwarantuje ciągłość drugich pochodnych cząstkowych w otoczeniu badanego punktu. Funkcje spotykane w zadaniach ten warunek spełniają, ale bez niego symetria hesjanu nie jest automatyczna.

4Do czego transpozycja służy

Sama w sobie transpozycja niczego nie oblicza — jest narzędziem, które pozwala zapisać inne rzeczy zwięźle. Cztery zastosowania warte znajomości:

Iloczyn skalarny jako mnożenie macierzy. Traktując wektory jako kolumny, zapisujemy $\vec{x}\cdot\vec{y} = x^Ty$ — wiersz razy kolumna daje liczbę. Dzięki temu cała geometria wektorów korzysta z aparatu macierzowego.
Macierze ortogonalne, czyli opisujące obroty i odbicia. Spełniają $A^TA = I$ , więc ich odwrotność liczy się za darmo — wystarczy transponować. W grafice komputerowej to oszczędność rzędu wielkości.
Statystyka i regresja liniowa. Rozwiązanie metody najmniejszych kwadratów ma postać $\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty$ — transpozycja występuje tam dwukrotnie i bez niej wzoru nie da się nawet zapisać.
Formy kwadratowe. Wyrażenie $x^TAx$ zwija wielomian drugiego stopnia wielu zmiennych do jednego symbolu; dla macierzy symetrycznej ma szczególnie wygodne własności.

Wspólny mianownik: transpozycja dopasowuje wymiary tak, żeby mnożenie w ogóle było wykonalne. W większości wzorów pojawia się dokładnie z tego powodu, a nie dlatego, że ktoś chciał coś odbić.

Warto też odnotować związek z układami równań, czyli głównym szkolnym zastosowaniem macierzy. Jeśli w układzie $Ax = b$ zastąpimy macierz współczynników jej transpozycją, to — ponieważ $\det(A^T) = \det(A)$ — układ oznaczony pozostaje oznaczonym, a układ o zerowym wyznaczniku nadal nie ma jednoznacznego rozwiązania. Tyle i tylko tyle wynika z równości wyznaczników.

Dalej idąca wersja tego zdania byłaby już nieprawdziwa: przy $\det A = 0$ sam wyznacznik nie przesądza liczby rozwiązań, więc po transpozycji układ sprzeczny może stać się nieoznaczonym. Kontrprzykład: dla $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ i $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}$ układ $Ax = b$ jest sprzeczny (drugie równanie brzmi $0 = 1$ ), a układ $A^Tx = b$ sprowadza się do dwóch identycznych równań $x = 1$ i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznacznik obu macierzy jest ten sam i wynosi $0$ .

5Jak transponować bez błędu

Sama operacja jest mechaniczna, ale przy większych macierzach łatwo się pogubić. Trzy nawyki, które to porządkują:

Przepisuj wierszami, czytaj kolumnami. Pierwszy wiersz $A^T$ to pierwsza kolumna $A$ , drugi wiersz — druga kolumna, i tak dalej. Czytaj oryginał w dół, zapisuj wynik w prawo.
Zaznacz przekątną. Elementy na przekątnej głównej zostają nieruchome, więc przepisz je najpierw — dzielą pracę na dwa symetryczne trójkąty.
Sprawdź wymiary od razu. Jeśli macierz $3\times 5$ dała po transpozycji coś innego niż $5\times 3$ , gdzieś zginął element.

Kontrola końcowa, która łapie najwięcej: policz sumę wszystkich elementów przed i po. Transpozycja tylko przestawia liczby, więc suma musi być identyczna. To jedno dodawanie, a wykrywa zgubienie albo zdublowanie elementu.

Przy własnościach z iloczynem najlepszą kontrolą są wymiary. Zanim policzysz cokolwiek, sprawdź, czy zapisany iloczyn jest w ogóle wykonalny — jeśli $A^TB^T$ nie ma sensu wymiarowo, to znaczy, że kolejność powinna być odwrotna.

Ostatnia uwaga o notacji: oprócz $A^T$ spotyka się zapisy $A'$ (częsty w statystyce) oraz $A^{\mathsf{t}}$ . Wszystkie znaczą to samo — warto o tym wiedzieć, czytając różne podręczniki.

6Przykłady krok po kroku

Cztery rachunki: zwykła transpozycja prostokątnej macierzy, sprawdzenie odwrócenia kolejności w iloczynie, niezmienniczość wyznacznika i rozkład na część symetryczną z antysymetryczną.

Przykład 1 Transpozycja macierzy prostokątnej

Wyznacz $A^T$ dla $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ .

Macierz $A$ ma $2$ wiersze i $3$ kolumny, czyli wymiary $2\times 3$ . Wynik musi mieć wymiary $3 \times 2$ — trzy wiersze i dwie kolumny.
Pierwsza kolumna $A$ to $\begin{bmatrix} 1 \\ 4\end{bmatrix}$ i staje się pierwszym wierszem wyniku: $\begin{bmatrix} 1 & 4 \end{bmatrix}$ .
Druga kolumna $\begin{bmatrix} 2 \\ 5\end{bmatrix}$ daje drugi wiersz $\begin{bmatrix} 2 & 5 \end{bmatrix}$ , trzecia $\begin{bmatrix} 3 \\ 6\end{bmatrix}$ — trzeci wiersz $\begin{bmatrix} 3 & 6 \end{bmatrix}$ .
Składam: $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ .
Kontrola wymiarów: wynik jest $3\times 2$ ✓. Kontrola sumy: przed $1+2+3+4+5+6 = 21$ , po $1+4+2+5+3+6 = 21$ ✓.

Odpowiedź: $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ — wymiary zmieniły się z $2\times3$ na $3\times2$ .

Przykład 2 Odwrócenie kolejności w iloczynie

Dla $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ oraz $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ sprawdź, że $(AB)^T = B^TA^T$ , i porównaj z $A^TB^T$ .

Liczę iloczyn $AB$ wierszami przez kolumny. Pierwszy wiersz: $1\cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$ oraz $1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1$ . Drugi wiersz: $3\cdot0 + 4\cdot1 = 4$ oraz $3\cdot1 + 4\cdot0 = 3$ . Zatem $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$ .
Transponuję wynik: $(AB)^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ .
Teraz prawa strona wzoru. $B^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ (ta macierz jest symetryczna, więc się nie zmienia), a $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$ .
Mnożę $B^TA^T$ : pierwszy wiersz $0\cdot1 + 1\cdot2 = 2$ oraz $0\cdot3 + 1\cdot4 = 4$ ; drugi wiersz $1\cdot1+0\cdot2 = 1$ oraz $1\cdot3+0\cdot4 = 3$ . Wychodzi $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ — zgadza się z $(AB)^T$ ✓.
Dla porównania $A^TB^T$ : pierwszy wiersz $1\cdot0+3\cdot1 = 3$ oraz $1\cdot1+3\cdot0 = 1$ ; drugi wiersz $2\cdot0+4\cdot1 = 4$ oraz $2\cdot1+4\cdot0 = 2$ . Wychodzi $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}$ — co innego.
Wniosek: kolejność w tym wzorze nie jest ozdobnikiem. Tu obie macierze są kwadratowe, więc zły zapis daje wynik błędny; przy prostokątnych dałby wyrażenie w ogóle niewykonalne.

Odpowiedź: $(AB)^T = B^TA^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ , natomiast $A^TB^T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}$ — inna macierz.

Przykład 3 Wyznacznik nie zmienia się przy transpozycji

Sprawdź równość $\det(A^T) = \det(A)$ dla $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ .

Wyznacznik macierzy $2\times2$ liczę wzorem $ad - bc$ : $\det(A) = 2\cdot(-1) - 3\cdot 1 = -2 - 3 = -5$ .
Transponuję: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$ — na przekątnej zostały $2$ i $-1$ , a liczby $3$ i $1$ zamieniły się miejscami.
Liczę wyznacznik transpozycji: $\det(A^T) = 2\cdot(-1) - 1\cdot 3 = -2 - 3 = -5$ .
Obie wartości wynoszą $-5$ , więc równość zachodzi ✓.
Widać też, dlaczego tak jest przy wymiarze $2\times2$ : iloczyn elementów przekątnej głównej się nie zmienia, a iloczyn $bc$ też nie — bo transpozycja tylko zamienia $b$ z $c$ miejscami, a mnożenie liczb jest przemienne.

Odpowiedź: $\det(A) = \det(A^T) = -5$ .

Przykład 4 Rozkład na część symetryczną i antysymetryczną

Rozłóż macierz $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ na sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Wyznaczam transpozycję: $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$ .
Część symetryczna to $S = \tfrac12\left(A + A^T\right)$ . Dodaję: $A + A^T = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$ , więc $S = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac52 \\[2pt] \tfrac52 & 4\end{bmatrix}$ .
Ułamek $\tfrac52$ zostawiam w postaci dokładnej — nie zamieniam na $2{,}5$ , bo zapis ułamkowy jest tu równie czytelny i nie traci nic z dokładności.
Część antysymetryczna to $N = \tfrac12\left(A - A^T\right)$ . Odejmuję: $A - A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ , więc $N = \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac12 \\[2pt] \tfrac12 & 0\end{bmatrix}$ .
Kontrola 1 — czy suma odtwarza $A$ : $S + N = \begin{bmatrix} 1+0 & \tfrac52-\tfrac12 \\[2pt] \tfrac52+\tfrac12 & 4+0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} = A$ ✓.
Kontrola 2 — czy składniki mają zapowiedziane własności: $S$ ma równe elementy poza przekątną ( $\tfrac52$ i $\tfrac52$ ), czyli $S = S^T$ ✓; $N$ ma na przekątnej zera i elementy przeciwne ( $-\tfrac12$ oraz $\tfrac12$ ), czyli $N = -N^T$ ✓.

Odpowiedź: $A = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac52 \\[2pt] \tfrac52 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac12 \\[2pt] \tfrac12 & 0\end{bmatrix}$ — pierwsza symetryczna, druga antysymetryczna.

7Najczęstsze błędy

Cztery pomyłki: pierwsza kosztuje najwięcej, ostatnia dotyczy pojęcia, nie rachunku.

Zapisywanie $(AB)^T = A^TB^T$ zamiast $B^TA^T$

Skąd się bierze: Wszystkie pozostałe własności transpozycji „przechodzą przez” działanie bez zmian, więc odruch podpowiada, że mnożenie zachowa się tak samo. Nie zachowa się: mnożenie macierzy nie jest przemienne, a przy macierzach prostokątnych zły zapis prowadzi do iloczynu, którego w ogóle nie da się wykonać.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez wymiary: $(AB)^T$ ma wymiary $p\times m$ , a tylko $B^TA^T$ takie daje. Pomaga też analogia z odwracaniem iloczynu, gdzie kolejność odwraca się tak samo: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .

Mylenie $A^T$ z $A^{-1}$

Skąd się bierze: Oba symbole to indeks górny przy macierzy i w zapisie odręcznym bywają nieczytelne. Znaczą jednak co innego: transpozycja to przestawienie elementów, odwrotność to wynik rachunku — i dla macierzy prostokątnej odwrotność w ogóle nie istnieje.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy operacja ma w danym miejscu sens: jeśli macierz jest prostokątna, może chodzić wyłącznie o transpozycję. Zapamiętaj też, że $A^TA$ zawsze się wykona, a $A^{-1}A$ tylko dla macierzy odwracalnej.

Zakładanie, że wymiary się nie zmieniają

Skąd się bierze: Pierwsze przykłady na wykładzie są zwykle kwadratowe, gdzie transpozycja rzeczywiście kształtu nie zmienia. Przy macierzy $2\times3$ wynik ma wymiary $3\times2$ i próba wpisania go w pierwotny kształt kończy się zgubieniem elementów.

Jak zrobić dobrze: Zanim przepiszesz choć jedną liczbę, narysuj pustą ramkę o odwróconych wymiarach i dopiero ją wypełniaj. Na koniec sprawdź sumę wszystkich elementów — musi być taka sama jak przed transpozycją.

Uznanie, że macierz antysymetryczna może mieć dowolną przekątną

Skąd się bierze: Warunek $a_{ij} = -a_{ji}$ czyta się jako mówiący o elementach „poza przekątną”, a dotyczy wszystkich wskaźników, w tym $i = j$ . Wtedy daje $a_{ii} = -a_{ii}$ , a jedyną liczbą równą swojej liczbie przeciwnej jest zero.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzając antysymetryczność, zacznij od przekątnej: jeśli stoi tam cokolwiek poza zerami, macierz antysymetryczna nie jest i dalej można nie liczyć.

8Pytania i odpowiedzi

Czy transponowanie macierzy jest na maturze?

Nie. Macierze w całości leżą poza podstawą programową obowiązującą od 2025 roku — ani zakres podstawowy, ani rozszerzony ich nie wymieniają. Temat pojawia się na pierwszym roku studiów technicznych, ekonomicznych i informatycznych, zwykle na pierwszych wykładach z algebry liniowej.

Dlaczego przy transpozycji iloczynu kolejność się odwraca?

Bo inaczej mnożenie przestaje być wykonalne. Jeśli $A$ jest $m\times n$ , a $B$ jest $n\times p$ , to $(AB)^T$ ma wymiary $p\times m$ , a jedynym iloczynem transpozycji dającym taki kształt jest $B^TA^T$ . Zapis $A^TB^T$ wymagałby zgodności wymiarów, która na ogół nie zachodzi.

Czym różni się macierz transponowana od odwrotnej?

Transpozycja to przestawienie elementów względem przekątnej i istnieje dla każdej macierzy, także prostokątnej. Macierz odwrotna to odpowiednik dzielenia — istnieje wyłącznie dla macierzy kwadratowych o niezerowym wyznaczniku i wymaga obliczeń. Dla macierzy ortogonalnych obie pokrywają się, ale to przypadek szczególny.

Po co komu macierze symetryczne?

Mają wyjątkowo dobre własności: wszystkie ich wartości własne są rzeczywiste, a to przesądza o zachowaniu wielu układów fizycznych i algorytmów. W praktyce spotyka się je stale — hesjan przy badaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych, macierz kowariancji w statystyce i macierz bezwładności w mechanice są symetryczne.

Czy każdą macierz da się rozłożyć na symetryczną i antysymetryczną?

Każdą kwadratową — tak, i to na dokładnie jeden sposób. Wystarczy wziąć $\tfrac12(A+A^T)$ jako część symetryczną i $\tfrac12(A-A^T)$ jako antysymetryczną; ich suma odtwarza $A$ , bo transpozycje się skracają. Dla macierzy prostokątnej pytanie nie ma sensu, bo $A$ i $A^T$ mają różne wymiary i nie da się ich dodać.

Czytaj dalej

MacierzeZapis, wymiary i mnożenie wiersz razy kolumna Wyznacznik macierzyLiczba, która nie zmienia się przy transpozycji Macierz odwrotnaOperacja mylona z transpozycją — i czym się różni Ekstrema funkcji dwóch zmiennychHesjan jako przykład macierzy symetrycznej Zagadnienia dodatkoweCały dział materiału spoza podstawy programowej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.