Reguła de l'Hospitala

Przykład 1 Klasyczna nieoznaczoność

Oblicz $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

1. Sprawdzam warunek: $\sin 0 = 0$ i mianownik też $0$, więc mamy $\frac{0}{0}$ ✓
2. Różniczkuję osobno: licznik $(\sin x)' = \cos x$, mianownik $(x)' = 1$.
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = \textcolor{#E0453A}{1}$.
4. Kontrola liczbowa: dla $x = 0{,}001$ ułamek wynosi około $0{,}99999983$ ✓
5. Kontrola z drugiej strony: dla $x = -0{,}001$ wychodzi ta sama liczba, bo funkcja jest parzysta ✓
6. Kontrola sensu: dla małych kątów sinus jest bliski samemu kątowi, więc iloraz musi dążyć do jedynki ✓

Odpowiedź: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

To najsłynniejsza granica w analizie — i zarazem miejsce, w którym reguła bywa krytykowana, bo dowód wzoru $(\sin x)' = \cos x$ sam z tej granicy korzysta. Jako narzędzie rachunkowe działa, jako dowód byłoby błędnym kołem.

Przykład 2 Reguła zastosowana dwa razy

Oblicz $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

1. Podstawienie daje $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ ✓
2. Pierwsze różniczkowanie: $\frac{\sin x}{2x}$.
3. Znów sprawdzam: $\frac{0}{0}$, więc wolno powtórzyć ✓
4. Drugie różniczkowanie: $\frac{\cos x}{2}$.
5. Podstawiam: $\frac{\cos 0}{2} = \textcolor{#E0453A}{\frac12}$.
6. Kontrola liczbowa: dla $x = 0{,}001$ ułamek wynosi około $0{,}49999996$ ✓
7. Kontrola drogą szkolną: $\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x}$, co dąży do $1 \cdot \frac12$ ✓

Odpowiedź: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$

Ostatnia kontrola pokazuje, że regułę da się tu ominąć — kosztem jednego chwytu algebraicznego z jedynką trygonometryczną. Warto ją znać, bo pokazuje, skąd bierze się połowa.

Przykład 3 Iloczyn zamieniony na iloraz

Oblicz $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$.

1. Podstawienie daje $0 \cdot (-\infty)$ — to nieoznaczoność, ale nie ta, którą reguła obsługuje.
2. Zapisuję jako iloraz: $x \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$.
3. Teraz mamy $\frac{-\infty}{+\infty}$, czyli przypadek dopuszczalny ✓
4. Różniczkuję osobno: licznik $(\ln x)' = \frac1x$, mianownik $\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}$.
5. Iloraz pochodnych: $\frac{1/x}{-1/x^2} = -x$.
6. $\lim_{x \to 0^+} (-x) = \textcolor{#E0453A}{0}$.
7. Kontrola liczbowa: dla $x = 0{,}001$ mamy $0{,}001 \cdot \ln 0{,}001$, czyli około $-0{,}0069$ ✓
8. Kontrola dla mniejszego argumentu: dla $x = 0{,}000001$ wychodzi około $-0{,}0000138$ — coraz bliżej zera ✓

Odpowiedź: $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$

Zamiana iloczynu na iloraz to jedyny sposób, żeby w ogóle zastosować regułę. Warto zauważyć, że wybór był tu istotny: zapis $\frac{x}{1/\ln x}$ też jest ilorazem, ale prowadzi do wyrażenia gorszego niż wyjściowe.

Przykład 4 Gdy reguła daje wynik fałszywy

Pokaż, że zastosowanie reguły do $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}$ bez sprawdzenia warunku prowadzi do złej odpowiedzi.

1. Podstawienie: licznik $1 + 3 = \textcolor{#16A06A}{4}$, mianownik $1 + 1 = \textcolor{#16A06A}{2}$. To zwykły ułamek — nieoznaczoności nie ma.
2. Skoro funkcja jest w tym punkcie określona i ciągła, granica to po prostu wartość: $\frac{4}{2} = \textcolor{#E0453A}{2}$.
3. Gdyby mimo to zróżniczkować osobno: licznik $(x^2+3)' = 2x$, mianownik $(x^2+1)' = 2x$.
4. Iloraz pochodnych to $\frac{2x}{2x} = 1$ dla każdego $x \neq 0$, więc „granica” wyszłaby $\textcolor{#9b1c14}{1}$.
5. Kontrola liczbowa: dla $x = 1{,}01$ ułamek wynosi $\frac{4{,}0201}{2{,}0201}$, czyli około $2$, a nie $1$ ✓
6. Kontrola z drugiej strony: dla $x = 0{,}99$ ułamek wynosi $\frac{3{,}9801}{1{,}9801}$ — też około $2$ ✓
7. Wniosek: warunek nieoznaczoności nie jest formalnością. Bez niego reguła liczy zupełnie inną wielkość — stosunek nachyleń zamiast stosunku wartości ✓

Odpowiedź: Poprawnie $2$; reguła użyta bez sprawdzenia warunku dałaby $1$.

Warto zobaczyć, co właściwie policzył ten błędny rachunek: iloraz pochodnych mówi, jak szybko rosną licznik i mianownik, a nie ile wynoszą. Przy braku nieoznaczoności te dwie rzeczy nie mają ze sobą nic wspólnego.