Okrąg i koło — czym się różnią

Odpowiedź: D

1. Podkreślone słowo obwód jest tu najważniejsze. Wycinek koła to figura domknięta trzema liniami: łukiem i dwoma promieniami — a obwód to długość całego brzegu.
2. Najpierw łuk. Kąt $\textcolor{#16A06A}{30^\circ}$ to $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{30}}{360} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{12}}$ pełnego kąta, więc łuk jest dwunastą częścią całego okręgu:
3. $\ell = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{12}} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\pi}{2}}$
4. Teraz dwa promienie: $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{6}$.
5. $\text{Obwód} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\pi}{2}} + \textcolor{#E0453A}{6}$
6. Odpowiedź: D.
7. Kontrola rzędem wielkości: $\tfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, więc obwód to około $7{,}6$. Sam łuk to niecałe $1{,}6$ — czyli mniej niż jeden promień. To ma sens: przy kącie $30^\circ$ łuk jest krótki, a brzeg wycinka składa się głównie z dwóch prostych odcinków.
8. Skąd bierze się odpowiedź $A$: $\tfrac34\pi$ to pole tego wycinka, czyli $\tfrac{1}{12} \cdot \pi \cdot 3^2$. Zadanie pyta o obwód, a nie o pole — i obie te liczby są wśród odpowiedzi.

💡 Wskazówka: Przy wycinku zawsze zapisz osobno: łuk i dwa promienie. Najczęstszy błąd to podanie samego łuku, bo „obwód koła” kojarzy się z okręgiem, który promieni nie ma. Wycinek to nie koło — jego brzeg zawiera dwa odcinki proste.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $\tfrac12\pi$ — sam łuk, bez doliczenia dwóch promieni. Odpowiedź $A$, czyli $\tfrac34\pi$, to pole wycinka, a nie obwód: te same dane, inne pytanie. Odpowiedź $C$ łączy oba błędy — dodaje dwa promienie do pola zamiast do łuku, więc sumuje wielkości w różnych jednostkach.

Odpowiedź: A

1. Zacznijmy od ustalenia, jaki kształt ma część wspólna — bo to jest cała treść tego zadania; sam rachunek jest potem jednolinijkowy.
2. Środek koła leży w wierzchołku $A$, a w wierzchołku kwadratu schodzą się dwa boki pod kątem $\textcolor{#16A06A}{90^\circ}$. Część koła leżąca wewnątrz kwadratu jest więc wycinkiem o kącie środkowym $\textcolor{#16A06A}{90^\circ}$, czyli ćwiartką koła.
3. Trzeba jeszcze sprawdzić, czy ta ćwiartka na pewno mieści się w kwadracie: promień równa się bokowi, więc łuk przechodzi dokładnie przez $B$ i $D$ i nigdzie nie wychodzi poza kwadrat ✓
4. $P = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} \cdot \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{8}^2 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} \cdot \pi \cdot 64 = \textcolor{#E0453A}{16\pi}$
5. Odpowiedź: A.
6. Kontrola rzędem wielkości: $16\pi \approx 50{,}3$, a pole całego kwadratu to $64$. Część wspólna musi być mniejsza od kwadratu i mniejsza od koła ($64\pi \approx 201$) — obie nierówności są spełnione, a stosunek $\tfrac{50{,}3}{64} \approx 0{,}79$ zgadza się z tym, co widać na rysunku: ćwiartka koła zajmuje wyraźnie większość kwadratu, ale nie cały.
7. Uwaga o przerywanym odcinku na rysunku: to promień o długości $8$, a nie przekątna kwadratu. Przekątna miałaby długość $8\sqrt2 \approx 11{,}3$ i wychodziłaby poza okrąg — dlatego odcinek kończy się na łuku, w środku kwadratu.

💡 Wskazówka: Najpierw nazwij figurę, potem licz. Gdy środek koła siedzi w wierzchołku kąta prostego, część wspólna jest ćwiartką koła — pod warunkiem, że promień nie jest większy od boków. Tu promień równa się bokowi, czyli jest to przypadek graniczny i wciąż dokładnie ćwiartka.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $8\pi$ — wzięcie ósmej części koła zamiast czwartej, najczęściej z pomylenia kąta $90^\circ$ z $45^\circ$ zasugerowanym przez przerywany odcinek. Odpowiedzi $C$ i $D$ zawierają $\sqrt2$, który do tego zadania w ogóle nie wchodzi: pierwiastek z dwóch pojawiłby się, gdyby promieniem była przekątna kwadratu — a nią nie jest. Obecność $\sqrt2$ w odpowiedzi jest tu sygnałem, że ktoś użył nie tej długości.

Odpowiedź: C

1. Styczność kół nie ma tu żadnego znaczenia rachunkowego — koła się nie nakładają, więc pole figury to po prostu suma pól obu kół. Słowo „styczne” gwarantuje tylko, że nic się nie liczy dwa razy.
2. Pole $F_1$: $\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{1}^2 + \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^2 = \pi + 9\pi = \textcolor{#E0453A}{10\pi}$
3. Pole $F_2$: dwa jednakowe koła, czyli $2\pi r^2$.
4. Przyrównujemy i dzielimy obie strony przez $\pi$:
5. $2r^2 = \textcolor{#E0453A}{10} \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \textcolor{#E0453A}{5} \quad\Longrightarrow\quad r = \textcolor{#E0453A}{\sqrt5}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola „do przodu”: $2\pi(\sqrt5)^2 = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ ✓ — tyle samo, co pole $F_1$.
8. Kontrola oszacowaniem, która odsiewa dwie odpowiedzi bez rachunku. Liczba $r$ spełnia $r^2 = \tfrac{1^2 + 3^2}{2}$, czyli jest średnią kwadratową promieni $1$ i $3$. Średnia kwadratowa dwóch różnych liczb jest zawsze większa od ich średniej arytmetycznej, a ta wynosi tu $2$. Zatem $r > 2$ — co wyklucza odpowiedzi $A$ ($\approx 1{,}73$) i $B$. Musi też być $r < 3$, bo inaczej $F_2$ byłoby większe od $F_1$; odpada więc i $D$.

💡 Wskazówka: Przy równości pól zawsze podziel obie strony przez $\pi$ — zostaną same kwadraty promieni i rachunek robi się jednolinijkowy. I pamiętaj, że przy sumowaniu pól kół dodają się kwadraty promieni, a nie promienie: dlatego szukana liczba nie jest średnią $1$ i $3$.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $2$ — uśrednienie samych promieni: $\tfrac{1+3}{2}$. Wtedy pole $F_2$ wyniosłoby $8\pi$ zamiast $10\pi$, czyli o $2\pi$ za mało. Ten sam wynik daje przyrównanie obwodów zamiast pól, bo obwody zależą od promienia liniowo: $2\pi \cdot 1 + 2\pi \cdot 3 = 8\pi = 2 \cdot 2\pi \cdot 2$. Odpowiedź $D$, czyli $3$, to po prostu większy z podanych promieni.

Odpowiedź: C

1. Całe zadanie kryje się w jednym zdaniu treści. „Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego” znaczy, że środek większego okręgu leży na mniejszym okręgu.
2. A punkt leżący na okręgu jest oddalony od jego środka dokładnie o promień tego okręgu.
3. Szukana odległość to więc promień mniejszego okręgu, czyli $\textcolor{#E0453A}{10}$.
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola sensem: gdyby odległość środków była mniejsza niż $10$, środek większego okręgu leżałby wewnątrz mniejszego koła, a nie na jego brzegu; gdyby większa — na zewnątrz. Tylko $10$ daje położenie opisane w treści.
6. Warto zauważyć rzecz, która w zadaniach maturalnych zdarza się rzadko: promień $15$ nie jest do niczego potrzebny. Służy wyłącznie do tego, żeby wiadomo było, który okrąg jest „mniejszy”. Wszystkie trzy błędne odpowiedzi powstają właśnie z prób wciągnięcia go do rachunku: $15 - 10 = 5$, $\tfrac{15-10}{2} = 2{,}5$ oraz $\tfrac{15+10}{2} = 12{,}5$.

💡 Wskazówka: Przeczytaj zdanie o wzajemnym położeniu dosłownie i przetłumacz je na jedno zdanie o odległości. „Okrąg przechodzi przez punkt” zawsze znaczy „ten punkt jest oddalony od środka o promień” — i bardzo często to już jest cała odpowiedź.

⚠ Wszystkie trzy dystraktory to działania na obu promieniach: różnica ($5$), połowa różnicy ($2{,}5$) i średnia ($12{,}5$). Odruch „skoro dane są dwie liczby, to trzeba je jakoś połączyć” jest tu wprost wykorzystany przez autora zadania. Sprawdzianem jest pytanie: na którym okręgu leży punkt, o który chodzi? Odpowiedź na nie wskazuje jeden promień i tylko jego.

Odpowiedź: B

1. To dokładnie to samo zadanie co poprzednie, z innymi liczbami — i warto je rozwiązać, żeby sprawdzić, czy wniosek naprawdę się utrwalił.
2. Środek większego okręgu leży na mniejszym okręgu, więc jego odległość od środka mniejszego równa się promieniowi mniejszego, czyli $\textcolor{#E0453A}{12}$.
3. Odpowiedź: B.
4. Kontrola: promień $\textcolor{#16A06A}{17}$ znowu nie wchodzi do rachunku. Cztery podane odpowiedzi to kolejno różnica promieni ($5$), mniejszy promień ($12$), większy promień ($17$) i ich suma ($29$) — czyli wszystkie cztery „naturalne” liczby, jakie da się z dwóch danych ułożyć. Poprawna jest ta, której nie podpowiada żadne działanie.
5. Zestawienie obu zadań pokazuje, na czym polega ich trudność. Nie na rachunku — rachunku tu nie ma w ogóle — tylko na tym, żeby oprzeć się podpowiedzi płynącej z listy odpowiedzi. Sesje dzieli prawie dwa lata, a zadanie jest to samo.

💡 Wskazówka: Jeśli rozwiązałeś poprzednie zadanie, to tutaj nie ma czego liczyć — odpowiedzią jest promień mniejszego okręgu. Jeśli mimo to sięgasz po drugą liczbę, zatrzymaj się i zapytaj, do czego miałaby posłużyć.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $5$ — różnica promieni, najczęstszy odruch przy dwóch danych liczbach. Odpowiedź $C$, czyli $17$, to promień większego okręgu: pomylenie, który z dwóch okręgów przechodzi przez czyj środek. Odpowiedź $D$, czyli $29$, to suma promieni — odległość środków dwóch okręgów stycznych zewnętrznie, czyli poprawna odpowiedź na zupełnie inne pytanie.