Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkącie prostokątnym — i to jest jego jedyna, ale poważna wada. Twierdzenie cosinusów zdejmuje to ograniczenie: liczy trzeci bok w dowolnym trójkącie, dokładając do znanego wzoru jeden człon poprawkowy. Najciekawsze jest to, że przy kącie prostym ten człon znika bez śladu i zostaje czysty Pitagoras. To nie jest nowy wzór — to ten sam, tylko bez założenia.
Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7
Krótko: Twierdzenie cosinusów mówi, że w trójkącie o bokach a, b, c i kącie γ leżącym naprzeciw boku c zachodzi c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Pozwala obliczyć trzeci bok, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, albo kąt, gdy znamy wszystkie trzy boki.
Zanim wzór stanie się czytelny, wystarczy minimum o samym cosinusie — pełne omówienie funkcji trygonometrycznych to osobny temat.
Cosinus przypisuje kątowi liczbę. Dla kątów, jakie mogą wystąpić w trójkącie, czyli od 0° do 180°, ta liczba mieści się między −1 a 1.
kąt
cos
rodzaj kąta
30°
23≈0,87
ostry
60°
21
ostry
90°
0
prosty
120°
−21
rozwarty
150°
−23≈−0,87
rozwarty
Najważniejsza w całym twierdzeniu jest jedna komórka tej tabeli: cos90°=0. Za chwilę okaże się, że to ona odpowiada za związek z Pitagorasem.
Druga rzecz warta zauważenia: dla kątów rozwartych cosinus jest ujemny. To nie jest ciekawostka — od tego zależy, czy poprawka we wzorze będzie odejmowana, czy dodawana.
To jest w podstawie programowej
Podstawa dla liceum, dział VII. Trygonometria, zakres podstawowy, punkt 3 brzmi dosłownie: „stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta” — a dalej stoi wzór, który w pliku podstawy jest grafiką, więc go nie odczytałem.
Wymieniony jest tam wyłącznie cosinus: twierdzenia sinusów w zakresie podstawowym nie ma (jest w rozszerzeniu, punkt 7). Punkt 1 dokłada wartości funkcji dla kątów 30°, 45° i 60° oraz definicje dla kątów od 0° do 180°, a punkt 4 — obliczanie kątów i boków trójkąta prostokątnego. Teoria tej strony nie wykracza poza zakres podstawowy; dodatkowego twierdzenia sinusów, czyli materiału rozszerzonego, wymaga tylko zadanie 5.
Cosinus nie pojawia się tu przypadkiem — to jedna z trzech funkcji, na których opiera się cały dział o trygonometrii w liceum, od definicji w trójkącie prostokątnym po wartości dla kątów rozwartych.
2Wzór i co w nim jest
Twierdzenie cosinusów
W dowolnym trójkącie o bokach a, b, c, gdzie γ to kąt naprzeciw boku c:
c2=a2+b2−2abcosγ
Porównaj to z twierdzeniem Pitagorasa, c2=a2+b2. Cała różnica to jeden dodatkowy człon−2abcosγ, który pełni rolę poprawki.
Kluczowe jest, który kąt wstawiamy. Musi to być kąt leżący naprzeciw boku stojącego po lewej stronie równania — nie dowolny kąt trójkąta. Wzór ma więc trzy równoważne postaci:
c2=a2+b2−2abcosγ — gdzie γ leży naprzeciw c,
a2=b2+c2−2bccosα — gdzie α leży naprzeciw a,
b2=a2+c2−2accosβ — gdzie β leży naprzeciw b.
Schemat jest za każdym razem ten sam: po lewej kwadrat szukanego boku, po prawej kwadraty dwóch pozostałych i kąt między nimi. Ostatnie słowo jest tu istotne — kąt γ leży dokładnie między bokami a i b, czyli między tymi, które występują w członie 2ab.
Kiedy sięgać po ten wzór
Dwa boki i kąt między nimi → szukasz trzeciego boku. To najczęstszy przypadek.
Trzy boki → szukasz dowolnego kąta, korzystając ze wzoru odwróconego (niżej).
Jeśli dane są dwa kąty i bok, twierdzenie cosinusów nie pomoże — wtedy potrzebne jest twierdzenie sinusów.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Geometria płaska: okręgi i pola” (liceum, klasa 2), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Dlaczego to jest uogólnienie Pitagorasa
To najważniejsza obserwacja na tej stronie i warto ją zobaczyć rachunkiem, a nie przyjąć na słowo.
Podstawmy do wzoru kąt prosty, czyli γ=90°:
c2=a2+b2−2abcos90°=a2+b2−2ab⋅0=a2+b2
Człon poprawkowy wyzerował się w całości, bo mnożymy przez cos90°=0. Zostało dokładnie twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów — tym dla γ=90°. Nie są to dwa konkurencyjne wzory, tylko jeden, raz z założeniem i raz bez.
Zobaczmy jeszcze, co poprawka robi w pozostałych przypadkach:
kąt γ
cosγ
człon −2abcosγ
wniosek
ostry
dodatni
odejmowany
c2<a2+b2 — bok krótszy niż u Pitagorasa
prosty
0
znika
c2=a2+b2 — dokładnie Pitagoras
rozwarty
ujemny
dodawany
c2>a2+b2 — bok dłuższy niż u Pitagorasa
Ostatnia kolumna ma sens także bez rachunku. Rozwierając kąt między dwoma bokami, rozsuwasz ich końce — więc bok naprzeciw musi się wydłużyć. Twierdzenie cosinusów mówi dokładnie, o ile.
Stąd bierze się też kryterium rodzaju trójkąta
Porównując c2 z a2+b2 dla najdłuższego boku c, rozstrzygasz rodzaj trójkąta bez liczenia kątów:
Mając trzy boki, można wyznaczyć dowolny kąt. Wystarczy przekształcić wzór, traktując go jak zwykłe równanie.
c2=a2+b2−2abcosγ⇒2abcosγ=a2+b2−c2
cosγ=2aba2+b2−c2
Ta postać jest bardzo wygodna, bo sam znak wyniku od razu mówi, jaki to kąt:
wynik dodatni → kąt ostry,
wynik równy zero → kąt prosty,
wynik ujemny → kąt rozwarty.
Nie trzeba więc sięgać po kalkulator, żeby stwierdzić, czy trójkąt jest rozwartokątny — wystarczy spojrzeć, czy licznik a2+b2−c2 wyszedł ujemny.
Warto też zauważyć kontrolę zakresu: wynik musi mieścić się między −1 a 1. Jeśli wyjdzie poza ten przedział, dane są sprzeczne — najczęściej dlatego, że nie spełniają nierówności trójkąta i taki trójkąt w ogóle nie istnieje.
Twierdzenie cosinusów — szukanie boku i szukanie kąta
5Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady: kąt ostry, kąt rozwarty i wyznaczanie kąta z trzech boków.
Przykład 1 Trzeci bok przy kącie 60°
W trójkącie dane są boki a=5, b=8 oraz kąt między nimi γ=60°. Oblicz bok c.
Kąt 60° leży między danymi bokami, więc leży naprzeciw szukanego boku c — twierdzenie cosinusów pasuje wprost.
Zapisuję wzór: c2=a2+b2−2abcosγ.
Odczytuję wartość: cos60°=21.
Podstawiam: c2=52+82−2⋅5⋅8⋅21
Liczę kolejno: 25+64−40=49
c=49=7
Kontrola nierówności trójkąta: 5+7=12>8 ✓ oraz 5+8=13>7 ✓
Kontrola sensu: kąt jest ostry, więc c musi być krótszy niż przy kącie prostym, gdzie wyszłoby 89≈9,43 — i rzeczywiście 7<9,43 ✓
Odpowiedź: c=7.
Warto zwrócić uwagę na człon 2abcosγ=40 — to dokładnie tyle, o ile kwadrat boku jest mniejszy niż u Pitagorasa. Cały wzór sprowadza się do jednego odejmowania więcej.
Przykład 2 Kąt rozwarty — poprawka zmienia znak
W trójkącie dane są boki a=3, b=5 oraz kąt między nimi γ=120°. Oblicz bok c.
Kąt jest rozwarty, więc jego cosinus będzie ujemny: cos120°=−21.
Podstawiam do wzoru: c2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−21)
Uwaga na znaki: odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie. Człon poprawkowy wynosi −30⋅(−21)=+15.
c2=9+25+15=49
c=49=7
Kontrola nierówności trójkąta: 3+5=8>7 ✓
Kontrola sensu: kąt rozwarty, więc c musi być dłuższy niż przy prostym, gdzie wyszłoby 34≈5,83 — i rzeczywiście 7>5,83 ✓
Kontrola kryterium: 72=49, a 32+52=34; skoro 49>34, trójkąt jest rozwartokątny ✓
Odpowiedź: c=7.
Tu leży najczęstszy błąd rachunkowy całego tematu: przy kącie rozwartym poprawkę trzeba dodać, mimo że we wzorze stoi minus. Odpowiadają za to dwa minusy — jeden ze wzoru, drugi z ujemnego cosinusa.
Przykład 3 Kąt z trzech boków
Trójkąt ma boki 7, 8 i 13. Wyznacz kąt leżący naprzeciw najdłuższego boku.
Najpierw sprawdzam, czy taki trójkąt istnieje: 7+8=15>13 ✓
Szukany kąt leży naprzeciw boku 13, więc przyjmuję c=13, a=7, b=8.
Korzystam ze wzoru odwróconego: cosγ=2aba2+b2−c2.
Licznik: 72+82−132=49+64−169=−56
Mianownik: 2⋅7⋅8=112
cosγ=112−56=−21
Wartość ujemna, więc kąt jest rozwarty. Z tabeli odczytuję γ=120°.
Kontrola zakresu: −0,5 mieści się między −1 a 1 ✓
Kontrola wsteczna: dla a=7, b=8, γ=120° wychodzi c2=49+64+56=169, czyli c=13 ✓
Odpowiedź: γ=120°.
Znak licznika wystarczył, żeby rozstrzygnąć rodzaj kąta jeszcze przed dzieleniem. Kontrola wsteczna — podstawienie wyniku z powrotem do wzoru prostego — jest tu wyjątkowo tania i warto ją robić zawsze.
6Najczęstsze błędy
Cztery błędy — dwa pierwsze dotyczą znaków i doboru kąta.
Wzięcie kąta, który nie leży naprzeciw szukanego boku
Skąd się bierze: Wzór wiąże bok z kątem leżącym naprzeciw niego — czyli z tym zawartym między dwoma pozostałymi bokami. Podstawienie dowolnego innego kąta daje wynik, który nie ma nic wspólnego z zadaniem, a przy tym wygląda sensownie.
Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, wskaż na rysunku bok szukany i sprawdź, który kąt leży dokładnie po drugiej stronie. Kontrola: kąt musi być zawarty między bokami występującymi w członie 2ab.
Odejmowanie poprawki przy kącie rozwartym
Skąd się bierze: We wzorze widnieje minus, więc uczeń odejmuje — nie zauważając, że cosγ jest wtedy ujemny i dwa minusy dają plus. Dla a=3, b=5, γ=120° daje to c2=19 zamiast 49.
Jak zrobić dobrze: Podstawiaj wartość cosinusa w nawiasie, razem ze znakiem: −2ab⋅(−21). Kontrola sensu: przy kącie rozwartym c musi wyjść dłuższe niż a2+b2.
Zapominanie o pierwiastku na końcu
Skąd się bierze: Wzór daje c2, a nie c. Po policzeniu prawej strony łatwo zapisać wynik jako długość boku — zwłaszcza gdy liczba wygląda „ładnie”, jak 49.
Jak zrobić dobrze: Zapisuj wyraźnie, że liczysz c2, i dopiero w ostatnim wierszu wyciągaj pierwiastek. Kontrola rzędu wielkości: bok trójkąta o pozostałych bokach 5 i 8 nie może mieć 49.
Stosowanie twierdzenia cosinusów, gdy dane są dwa kąty i bok
Skąd się bierze: Wzór zawiera trzy boki i jeden kąt, więc przy dwóch kątach i jednym boku ma dwie niewiadome naraz — jedno równanie ich nie rozstrzyga. W tej sytuacji sięga się po twierdzenie sinusów.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź układ danych: dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki → twierdzenie cosinusów. Dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt nie między nimi → twierdzenie sinusów.
Zadania maturalne — twierdzenie cosinusów i trygonometria w trójkącie dowolnym
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Gdy trójkąt nie jest prostokątny, Pitagoras nie działa — i wtedy trzy wzory robią całą robotę: twierdzenie cosinusów:a2=b2+c2−2bccosα, gdzie α to kąt między bokami b i c; pole trójkąta:P=21bcsinα — znowu z kątem między tymi bokami; twierdzenie sinusów:sinαa=2R, gdzie R to promień okręgu opisanego. Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem Pitagorasa: dla α=90∘ mamy cos90∘=0 i cały ostatni składnik znika, zostaje a2=b2+c2. Dwie rzeczy, na które trzeba uważać przy kątach rozwartych: cos120∘=−21 jest ujemny, więc odejmowanie zamienia się w dodawanie; i naprzeciw kąta rozwartego leży najdłuższy bok.
Zadania otwarte
Zadanie 1(wrzesień 2022)2 pktśrednie
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Cosinus największego kąta jest równy 41
Krok 1 — który kąt jest największy? W każdym trójkącie naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt. Najdłuższy bok ma długość 8, więc szukamy kąta leżącego naprzeciw niego.
Nazwijmy go γ; boki go obejmujące mają długości 6 i 7.
Krok 2 — twierdzenie cosinusów. Bok naprzeciw kąta γ ma długość 8:
82=62+72−2⋅6⋅7⋅cosγ
64=36+49−84cosγ
Krok 3 — wyznaczamy cosinus:
84cosγ=36+49−64=21⟹cosγ=8421=41
Odpowiedź: cosinus największego kąta jest równy 41.
Kontrola liczbowa: cosγ=0,25 odpowiada kątowi γ≈75,52∘. Pozostałe dwa kąty (z twierdzenia cosinusów) to ≈46,57∘ i ≈57,91∘; suma ≈180∘ ✓
Kontrola znaku — warto ją zrobić od razu. Cosinus wyszedł dodatni, więc największy kąt jest ostry — a to znaczy, że trójkąt jest ostrokątny. Ma to sens, bo 62+72=85 jest większe od 82=64: gdyby było mniejsze, kąt byłby rozwarty i cosinus ujemny.
Ta obserwacja to gotowe narzędzie. Porównując b2+c2 z a2, rozpoznajesz rodzaj kąta bez liczenia: większe — kąt ostry, równe — prosty (czyli Pitagoras), mniejsze — rozwarty.
💡 Wskazówka: Zacznij od ustalenia, naprzeciw którego boku leży szukany kąt — największy kąt jest zawsze naprzeciw najdłuższego boku. Potem podstaw tak, żeby ten bok stał sam po lewej stronie wzoru, a dwa pozostałe w nawiasach po prawej. Najczęstsza pomyłka to podstawienie długości w złych miejscach; zapisanie „bok naprzeciw kąta = 8” przed rachunkiem temu zapobiega.
⚠ Podstawienie do wzoru boku 6 albo 7 w miejsce boku naprzeciw kąta. Dla boku 6 wychodzi cos=2⋅7⋅849+64−36=11277=1611 — liczba dodatnia i sensowna, więc błąd nie ujawnia się sam. Dlatego trzeba świadomie sprawdzić, który bok jest naprzeciw. Drugi błąd: pominięcie minusa we wzorze i policzenie cosγ=−8464−36−49 z pomyloną kolejnością — najbezpieczniej przenieść wyraz z cosinusem na lewą stronę, jak w rozwiązaniu, i dopiero potem dzielić.
Zadanie 2(informator CKE)2 pktśrednie
W trójkącie ABC dane są długości dwóch boków ∣AB∣=12, ∣BC∣=8 oraz miara kąta ∣∠ABC∣=60∘. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka A.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Środkowa z wierzchołka A ma długość 47
Krok 1 — gdzie kończy się środkowa. Środkowa z wierzchołka A prowadzi do środka przeciwległego boku, czyli do środka BC. Nazwijmy ten punkt M:
∣BM∣=28=4
Krok 2 — wybieramy trójkąt do rachunku. W trójkącie ABM znamy dwa boki i kąt między nimi: ∣AB∣=12, ∣BM∣=4, a kąt między nimi to ten sam kąt 60∘ przy wierzchołku B (bo M leży na boku BC).
To jest dokładnie sytuacja, do której służy twierdzenie cosinusów.
Krok 3 — twierdzenie cosinusów. Szukana środkowa AM leży naprzeciw kąta 60∘:
∣AM∣2=122+42−2⋅12⋅4⋅cos60∘
=144+16−96⋅21=160−48=112
∣AM∣=112=16⋅7=47
Odpowiedź: środkowa ma długość 47.
Kontrola liczbowa: 47≈10,583.
Kontrola sensowności. Środkowa musi być krótsza od ∣AB∣=12 (bo M leży bliżej B niż C, a kąt przy B jest ostry) i dłuższa od różnicy 12−4=8. Wynik 10,58 mieści się między 8 i 12 ✓
Uwaga na kluczową pułapkę. Kąt 60∘ jest kątem między bokami AB i BC — a więc także między AB i BM, bo BM jest częścią BC i leży na tej samej półprostej. Gdyby środkowa wychodziła z innego wierzchołka, kąt trzeba by najpierw policzyć.
💡 Wskazówka: Środkowa dzieli przeciwległy bok na pół — i to jedyna rzecz, którą trzeba dopisać do danych, żeby móc użyć twierdzenia cosinusów. Wybierz ten trójkąt, w którym znasz dwa boki i kąt między nimi; tu jest to ABM, bo kąt 60∘ leży właśnie między AB i BM. Zapisz cos60∘=21 od razu, żeby nie mnożyć symbolu przez liczby.
⚠ Użycie całej długości ∣BC∣=8 zamiast połowy — wtedy liczymy nie środkową, a bok AC: 144+64−96=112? nie, 144+64−2⋅12⋅8⋅21=208−96=112, czyli przypadkiem tę samą liczbę. Zbieg okoliczności, ale groźny: obie drogi dają 112, więc błąd nie ujawnia się w wyniku. Dlatego warto jawnie zapisać ∣BM∣=4 jako osobny krok. Drugi błąd: przyjęcie cos60∘=23 — to sinus; cosinus sześćdziesięciu stopni wynosi 21.
Zadanie 3(grudzień 2022)2 pktśrednie
Dany jest trójkąt ABC, w którym ∣AC∣=4, ∣AB∣=3, cos∠BAC=54. Oblicz pole trójkąta ABC.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Pole trójkąta ABC jest równe 518=353
Dane są dwa boki i kąt między nimi — to sytuacja dla wzoru P=21bcsinα. Kłopot w tym, że treść podaje cosinus, a wzór potrzebuje sinusa.
Krok 1 — sinus z jedynki trygonometrycznej. Kąt w trójkącie jest mniejszy od 180∘, a jego sinus jest zawsze dodatni, więc bierzemy pierwiastek dodatni:
sin2α=1−(54)2=1−2516=259⟹sinα=53
(trójka pitagorejska 3,4,5)
Krok 2 — pole. Kąt α=∠BAC leży między bokami AB i AC, więc do wzoru wchodzą właśnie ich długości:
P=21⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅sinα=21⋅3⋅4⋅53=6⋅53=518
Odpowiedź:P=518=353.
Kontrola liczbowa: cosα=0,8 odpowiada kątowi α≈36,87∘, a P=21⋅3⋅4⋅sin36,87∘≈6⋅0,6=3,6 ✓
Kontrola sensowności. Największe możliwe pole trójkąta o bokach 3 i 4 przypada na kąt prosty i wynosi 21⋅3⋅4=6. Nasz kąt jest ostry (cosinus dodatni), więc pole musi być mniejsze od 6 — i jest (3,6) ✓
Dlaczego wzór z sinusem, a nie „podstawa razy wysokość”. Wysokości nie znamy i policzenie jej wymagałoby dodatkowej pracy; wzór 21bcsinα omija ten krok, bo csinαjest wysokością opuszczoną na bok b. To ten sam wzór zapisany inaczej.
💡 Wskazówka: Kąt we wzorze na pole musi leżeć między dwoma bokami, które mnożysz — sprawdź to, zanim podstawisz. Zapis ∠BAC mówi wprost, że kąt jest przy wierzchołku A, więc obejmują go boki wychodzące z A, czyli AB i AC. Gdyby treść podała bok BC, nie wolno by go było użyć w tym wzorze.
⚠ Podstawienie cosinusa do wzoru na pole i policzenie 21⋅3⋅4⋅54=524. Wzór na pole zawiera sinus i trzeba go najpierw policzyć z jedynki trygonometrycznej. Kontrola: 524=4,8 jest bliżej maksimum 6, niż powinno być dla kąta 37∘ — a im mniejszy kąt, tym mniejsze pole. Drugi błąd: użycie boku BC zamiast jednego z boków przy wierzchołku A — ale ∣BC∣ nie jest w tym zadaniu nawet podane, co samo w sobie podpowiada, które boki mnożyć.
Zadanie 4(czerwiec 2019)4 pkttrudniejsze
Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∠ACB ma miarę 120∘. Ponadto wiadomo, że ∣BC∣=10 i ∣AB∣=107 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: ∣AC∣=20
Zadanie za cztery punkty i jedyne na tej stronie, w którym twierdzenie cosinusów prowadzi do równania kwadratowego — bo szukany bok stoi po prawej stronie wzoru, nie po lewej.
Krok 1 — rozpoznajemy układ. Kąt 120∘ jest przy wierzchołku C, więc naprzeciw niego leży bok AB=107. Boki obejmujące ten kąt to BC=10 i szukany AC — oznaczmy go x.
Krok 2 — twierdzenie cosinusów. Pamiętamy, że cos120∘=−21 — liczba ujemna:
(107)2=x2+102−2⋅x⋅10⋅(−21)
Lewa strona:(107)2=100⋅7=700 — do kwadratu podnosimy oba czynniki.
Prawa strona: dwa minusy dają plus, więc ostatni składnik dodaje się:
700=x2+100+10x
Krok 3 — równanie kwadratowe:
x2+10x−600=0
Δ=102+4⋅600=100+2400=2500,Δ=50
x=2−10+50=20albox=2−10−50=−30
Krok 4 — odrzucamy pierwiastek ujemny. Długość boku nie może być liczbą ujemną, więc x=20.
Odpowiedź:∣AC∣=20.
Sprawdzenie przez podstawienie: 202+102−2⋅20⋅10⋅(−21)=400+100+200=700, a (107)2=700 ✓
Kontrola sensowności. Naprzeciw kąta rozwartego leży najdłuższy bok: 107≈26,46 jest dłuższe od 20 i od 10 ✓ Gdyby wyszło x większe od 26,46, byłby to sygnał błędu.
💡 Wskazówka: Gdy szukany bok obejmuje dany kąt (a nie leży naprzeciw niego), twierdzenie cosinusów daje równanie kwadratowe — i tak ma być. Zapisz je w postaci x2+bx+c=0 i policz deltę. Przy kącie rozwartym pilnuj znaku: cos120∘=−21, więc podwójny minus zamienia się w plus i wyraz z x ma współczynnik dodatni.
⚠ Przyjęcie cos120∘=21 zamiast −21. Wtedy równanie brzmi x2−10x−600=0 i daje x=30 — liczbę dodatnią i wyglądającą wiarygodnie, więc błąd nie ujawnia się sam. Wykrywa go dopiero kontrola: 30 byłoby dłuższe od boku 107≈26,5 leżącego naprzeciw kąta rozwartego, a to niemożliwe. Drugi błąd: policzenie (107)2 jako 10⋅7=70 zamiast 100⋅7=700 — do kwadratu podnosimy oba czynniki. Trzeci: przyjęcie, że skoro kąt jest rozwarty, to szukany bok leży naprzeciw niego; naprzeciw leży bok podany w treści.
Zadanie 5(styczeń 2003)4 pkttrudniejsze
Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę 120∘. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: R=3457 cm
Jedyne zadanie na tej stronie, które wymaga obu twierdzeń: cosinusów do trzeciego boku, a potem sinusów do promienia.
Krok 1 — trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Kąt 120∘ jest między bokami 8 i 12, więc szukany bok c leży naprzeciw niego:
c2=82+122−2⋅8⋅12⋅cos120∘
=64+144−192⋅(−21)=208+96=304
c=304=16⋅19=419
Krok 2 — promień z twierdzenia sinusów. Wzór sinγc=2R wiąże bok z kątem naprzeciw niego — a naprzeciw boku c leży właśnie znany kąt 120∘. To dlatego liczymy c jako pierwsze.
sin120∘=sin(180∘−120∘)=sin60∘=23
2R=23419=419⋅32=3819
R=3419
Krok 3 — usuwamy niewymierność z mianownika:
R=3419⋅33=3457=3457
(bo 19⋅3=57)
Odpowiedź:R=3457 cm.
Kontrola liczbowa: 57≈7,550, więc R≈330,20≈10,07 cm. Trzeci bok c=419≈17,44 cm.
Kontrola sensowności. Trójkąt rozwartokątny ma środek okręgu opisanego na zewnątrz siebie, a promień jest większy niż połowa najdłuższego boku: 217,44=8,72<10,07 ✓ Gdyby R wyszło mniejsze od połowy najdłuższego boku, byłby to sygnał błędu, bo każdy bok jest cięciwą tego okręgu.
💡 Wskazówka: Kolejność jest tu wymuszona: twierdzenie sinusów wiąże bok z kątem naprzeciw niego, a jedyny znany kąt leży naprzeciw nieznanego boku — więc najpierw twierdzenie cosinusów, potem sinusów. Do sinusa kąta rozwartego użyj wzoru redukcyjnego: sin120∘=sin60∘=23, czyli tyle samo co dla kąta ostrego, bez zmiany znaku (inaczej niż cosinus).
⚠ Przyjęcie sin120∘=−23 przez analogię do cosinusa. Sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni — ujemny wyszedłby tylko cosinusowi. Ujemny promień od razu sygnalizuje ten błąd. Drugi błąd: pominięcie dwójki we wzorze i policzenie R=sinγc zamiast 2sinγc; wynik wychodzi wtedy dwa razy za duży, a kontrola „promień większy od połowy najdłuższego boku, ale nie dwukrotnie” go wyłapuje. Trzeci: użycie kąta 120∘ z bokiem 8 albo 12 we twierdzeniu sinusów — ten kąt leży naprzeciw trzeciego boku, a nie naprzeciw tych, które go obejmują.
Zadanie 6(sierpień 2020)4 pkttrudniejsze
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym podstawa AB ma długość 12, a każde z ramion AC i BC ma długość równą 10. Punkt D jest środkiem ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta α, jaki środkowa AD tworzy z ramieniem AC trójkąta ABC.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: sinα=4852497≈0,487
Krok 1 — cosinus kąta przy wierzchołku C. Kąt przy C leży między dwoma ramionami, a naprzeciw niego jest podstawa — czyli znamy wszystkie trzy boki i szukamy kąta. To wprost twierdzenie cosinusów. Oznaczmy γ=∢ACB:
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cosγ
122=102+102−2⋅10⋅10⋅cosγ
144=200−200cosγ⟹cosγ=20056=257
Krok 2 — długość środkowej AD. Punkt D jest środkiem ramienia BC, więc ∣CD∣=5. W trójkącie ACD znamy teraz dwa boki i kąt między nimi (ten sam γ, bo kąt przy C jest wspólny dla obu trójkątów) — znowu twierdzenie cosinusów, tym razem w drugą stronę:
Krok 3 — sinus kąta γ. Potrzebny będzie do pola. Bierzemy go z jedynki trygonometrycznej:
sinγ=1−(257)2=1−62549=625576=2524
Krok 4 — pole trójkąta ACD policzone DWOMA sposobami. To jest cały pomysł na to zadanie. Trójkąt ACD ma dwa kąty, o których coś wiemy: γ przy wierzchołku C oraz szukany α przy wierzchołku A. Wzór P=21absinγ zadziała dla obu.
Krok 5 — porównujemy. To jedno i to samo pole, więc:
597⋅sinα=24⟹sinα=59724=4852497
Odpowiedź:sinα=4852497≈0,487.
Kontrola sensowności — warto ją zrobić, bo wynik jest brzydki i łatwo się pomylić w rachunku. Kąt α jest częścią kąta BAC, więc musi być od niego mniejszy. Cosinus kąta BAC liczymy z twierdzenia cosinusów: cos∢BAC=2⋅12⋅10144+100−100=0,6, czyli ∢BAC≈53,13∘. Z naszego wyniku α=arcsin0,487≈29,17∘ ✓ mniejszy.
Kontrola domykająca: pozostała część, czyli kąt BAD, powinna wynosić 53,13∘−29,17∘=23,96∘. Policzmy ją niezależnie z trójkąta ABD — i faktycznie cos∢BAD=979≈0,9138, czyli 23,96∘ ✓ obie części składają się na całość. Podaję tu dwa miejsca po przecinku nie z pedanterii: przy jednym miejscu wyszłoby 29,2∘+24,0∘=53,2∘ i kontrola przestałaby się domykać, choć rachunek byłby poprawny.
💡 Wskazówka: Dwie rzeczy warto zauważyć od razu. Po pierwsze: środkowa AD nie jest wysokością. Trójkąt jest równoramienny, ale osią symetrii jest tylko środkowa poprowadzona z C do podstawy — środkowa poprowadzona do ramienia nie ma żadnych szczególnych własności i nie tworzy kąta prostego. Po drugie: kąta α nie da się dosięgnąć bezpośrednio, bo nie leży naprzeciw żadnego znanego boku w trójkącie o trzech znanych bokach. Ratuje policzenie tego samego pola dwoma sposobami — raz przez kąt, który znamy, raz przez kąt, którego szukamy. To standardowy chwyt na „sinus kąta, do którego nie ma dojścia”, i wraca w wielu zadaniach za cztery punkty.
⚠ Założenie, że środkowa AD jest prostopadła do ramienia BC, i policzenie sinα z trójkąta prostokątnego. Prostopadłość zachodziłaby tylko wtedy, gdyby ∣AB∣=∣AC∣, a tutaj 12=10 — trójkąt jest równoramienny, ale „nie tą stroną”. Drugi błąd: wzięcie ∣CD∣=10 zamiast 5; punkt D jest środkiem ramienia, więc dzieli je na połowy. Trzeci błąd, najbardziej podstępny: policzenie sinusa niewłaściwego kąta, czyli ∢BAD zamiast ∢DAC. Wychodzi wtedy 974=97497≈0,406 — liczba równie „brzydka”, więc nic nie zgrzyta. Treść mówi jasno: kąt między środkową AD a ramieniem AC, a nie między środkową a podstawą.
Zadanie 7(czerwiec 2016)4 pkttrudniejsze
W trójkącie ABC dane są długości boków ∣AB∣=15 i ∣AC∣=12 oraz cosα=54, gdzie α=∢BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że ∣BD∣=2∣AD∣ i ∣AE∣=2∣CE∣ (zobacz rysunek). Oblicz pole a) trójkąta ADE, b) czworokąta BCED.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: a) PADE=12, b) PBCED=42
Krok 1 — sinus kąta α. Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi liczy się przez sinus, a treść podaje cosinus. Zamieniamy jedynką trygonometryczną. Kąt α jest kątem trójkąta i ma cosinus dodatni, więc jest ostry, a sinus jest dodatni:
sinα=1−(54)2=1−2516=259=53
Krok 2 — długość AD. Uwaga na kierunek warunku: ∣BD∣=2∣AD∣ znaczy, że kawałek przy A jest krótszy. Oba kawałki składają się na cały bok:
∣AD∣+∣BD∣=∣AB∣⟹∣AD∣+2∣AD∣=15⟹∣AD∣=5
Krok 3 — długość AE. Tutaj warunek jest odwrócony: ∣AE∣=2∣CE∣, czyli kawałek przy A jest dłuższy:
∣AE∣+∣CE∣=∣AC∣⟹∣AE∣+21∣AE∣=12⟹∣AE∣=8
Krok 4 — pole trójkąta ADE. Boki AD i AE wychodzą z wierzchołka A, więc kątem między nimi jest dokładnie α — ten sam, który podaje treść. Nie trzeba liczyć żadnego nowego kąta:
PADE=21⋅∣AD∣⋅∣AE∣⋅sinα=21⋅5⋅8⋅53=12
Odpowiedź a):PADE=12.
Krok 5 — pole całego trójkąta ABC. Ten sam wzór i ten sam kąt α, tylko z pełnymi bokami:
PABC=21⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅sinα=21⋅15⋅12⋅53=54
Krok 6 — czworokąt jako różnica. Odcinek DE dzieli trójkąt ABC na dwie części: trójkąt ADE i czworokąt BCED. Nie trzeba więc żadnego wzoru na czworokąt — wystarczy odjąć:
PBCED=PABC−PADE=54−12=42
Odpowiedź b):PBCED=42.
Kontrola pierwsza, przez stosunek pól. Trójkąty ADE i ABC mają wspólny kąt α, a ich boki są w stosunkach ∣AB∣∣AD∣=155=31 oraz ∣AC∣∣AE∣=128=32. Ponieważ w obu polach występuje ten sam sinα, stosunek pól jest iloczynem tych dwóch liczb: 31⋅32=92. I zgadza się: 5412=92 ✓
Kontrola druga, całkiem inną drogą — przez twierdzenie cosinusów i wzór Herona. W trójkącie ADE znamy dwa boki i kąt między nimi, więc trzeci bok liczymy z twierdzenia cosinusów:
∣DE∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅54=25+64−64=25⟹∣DE∣=5
Trójkąt ADE ma więc boki 5, 8, 5. Wzór Herona: p=9 i P=9⋅4⋅1⋅4=144=12 ✓ to samo pole, a droga zupełnie inna.
💡 Wskazówka: Klucz jest w tym, że kąt α jest wspólny dla małego trójkąta i dużego. Dlatego jeden raz policzony sinα obsługuje oba pola, a czworokąt wychodzi z odejmowania — bez żadnego wzoru na czworokąt. Warto zapamiętać wniosek ogólny, bo wraca często: jeśli na dwóch bokach wychodzących z jednego wierzchołka odetniemy części w stosunkach p i q, to pole odciętego trójkąta stanowi p⋅q pola całego — iloczyn, nie kwadrat. Kwadrat skali obowiązuje tylko dla figur podobnych, a tu 31=32, więc trójkąty podobne nie są.
⚠ Odczytanie obu warunków w tę samą stronę. Zapisy ∣BD∣=2∣AD∣ i ∣AE∣=2∣CE∣ są celowo napisane odwrotnie: w pierwszym dłuższy jest kawałek przy B, w drugim — kawałek przy A. Kto potraktuje je jednakowo, dostanie ∣AE∣=4 zamiast 8 i pole 6 zamiast 12. Drugi błąd: podstawienie do wzoru na pole cosinusa zamiast sinusa; wzór P=21absinγ wymaga sinusa kąta między tymi bokami, a treść podaje cosinus właśnie dlatego, żeby wymusić przejście przez jedynkę. Trzeci błąd: potraktowanie stosunku pól jako kwadratu skali — trójkąty ADE i ABC nie są podobne, bo boki są skrócone w różnych stosunkach; podobieństwo wymagałoby tego samego stosunku na obu bokach. Czwarty błąd: liczenie pola czworokąta BCED osobno, jakiegoś wzoru na trapez — czworokąt nie jest trapezem, a odejmowanie od pola całego trójkąta jest i krótsze, i pewne.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1. Cosinus największego kąta jest równy 41
2. Środkowa z wierzchołka A ma długość 47
3. Pole trójkąta ABC jest równe 518=353
4.∣AC∣=20
5.R=3457 cm
6.sinα=4852497≈0,487
7. a) PADE=12, b) PBCED=42
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Twierdzenie sinusów i cosinusów — sprawdzian, liceum klasa 2
Pole trójkąta z dwóch boków i kąta, bok i kąt z twierdzenia cosinusów.
W dowolnym trójkącie c2=a2+b2−2abcosγ, gdzie γ to kąt leżący naprzeciw boku c, czyli zawarty między bokami a i b. Wzór ma trzy równoważne postaci, po jednej dla każdego boku.
Dlaczego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem Pitagorasa?
Bo dla kąta prostego cos90°=0, więc człon −2abcosγ zeruje się w całości i zostaje c2=a2+b2. Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów, a nie osobnym wzorem.
Kiedy stosować twierdzenie cosinusów, a kiedy sinusów?
Cosinusów — gdy dane są dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. Sinusów — gdy dane są dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt nieleżący między nimi. Decyduje układ danych, nie rodzaj trójkąta.
Jak obliczyć kąt, znając trzy boki trójkąta?
Ze wzoru odwróconego cosγ=2aba2+b2−c2. Sam znak wyniku rozstrzyga rodzaj kąta: dodatni oznacza ostry, zero prosty, a ujemny rozwarty — bez sięgania po kalkulator.
Dlaczego przy kącie rozwartym bok wychodzi dłuższy?
Bo cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc odejmowany człon staje się dodawany i c2 przekracza a2+b2. Geometrycznie: rozwierając kąt między dwoma bokami, rozsuwasz ich końce, więc bok naprzeciw musi się wydłużyć.
Czy twierdzenie cosinusów jest na maturze podstawowej?
Tak. Podstawa programowa wymienia je w dziale VII Trygonometria, w zakresie podstawowym, punkt 3 — razem ze wzorem na pole P=21absinγ. Twierdzenie sinusów stoi w tym samym dziale, ale dopiero w zakresie rozszerzonym (punkt 7).
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
