Strona główna › Trygonometria › Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkącie prostokątnym — i to jest jego jedyna, ale poważna wada. Twierdzenie cosinusów zdejmuje to ograniczenie: liczy trzeci bok w dowolnym trójkącie, dokładając do znanego wzoru jeden człon poprawkowy. Najciekawsze jest to, że przy kącie prostym ten człon znika bez śladu i zostaje czysty Pitagoras. To nie jest nowy wzór — to ten sam, tylko bez założenia.
Przejdź od razu do zadań (7) ↓
1Co trzeba wiedzieć o cosinusie
Zanim wzór stanie się czytelny, wystarczy minimum o samym cosinusie — pełne omówienie funkcji trygonometrycznych to osobny temat.
Cosinus przypisuje kątowi liczbę. Dla kątów, jakie mogą wystąpić w trójkącie, czyli od do , ta liczba mieści się między a .
| kąt | rodzaj kąta | |
|---|---|---|
| ostry | ||
| ostry | ||
| prosty | ||
| rozwarty | ||
| rozwarty |
Najważniejsza w całym twierdzeniu jest jedna komórka tej tabeli: . Za chwilę okaże się, że to ona odpowiada za związek z Pitagorasem.
Druga rzecz warta zauważenia: dla kątów rozwartych cosinus jest ujemny. To nie jest ciekawostka — od tego zależy, czy poprawka we wzorze będzie odejmowana, czy dodawana.
To jest w podstawie programowej
Podstawa dla liceum, dział VII. Trygonometria, zakres podstawowy, punkt 3 brzmi dosłownie: „stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta” — a dalej stoi wzór, który w pliku podstawy jest grafiką, więc go nie odczytałem.
Wymieniony jest tam wyłącznie cosinus: twierdzenia sinusów w zakresie podstawowym nie ma (jest w rozszerzeniu, punkt 7). Punkt 1 dokłada wartości funkcji dla kątów , i oraz definicje dla kątów od do , a punkt 4 — obliczanie kątów i boków trójkąta prostokątnego. Teoria tej strony nie wykracza poza zakres podstawowy; dodatkowego twierdzenia sinusów, czyli materiału rozszerzonego, wymaga tylko zadanie 5.
Cosinus nie pojawia się tu przypadkiem — to jedna z trzech funkcji, na których opiera się cały dział o trygonometrii w liceum, od definicji w trójkącie prostokątnym po wartości dla kątów rozwartych.
2Wzór i co w nim jest
Twierdzenie cosinusów
W dowolnym trójkącie o bokach , , , gdzie to kąt naprzeciw boku :
Porównaj to z twierdzeniem Pitagorasa, . Cała różnica to jeden dodatkowy człon , który pełni rolę poprawki.
Kluczowe jest, który kąt wstawiamy. Musi to być kąt leżący naprzeciw boku stojącego po lewej stronie równania — nie dowolny kąt trójkąta. Wzór ma więc trzy równoważne postaci:
- — gdzie leży naprzeciw ,
- — gdzie leży naprzeciw ,
- — gdzie leży naprzeciw .
Schemat jest za każdym razem ten sam: po lewej kwadrat szukanego boku, po prawej kwadraty dwóch pozostałych i kąt między nimi. Ostatnie słowo jest tu istotne — kąt leży dokładnie między bokami i , czyli między tymi, które występują w członie .
Kiedy sięgać po ten wzór
Dwa boki i kąt między nimi → szukasz trzeciego boku. To najczęstszy przypadek.
Trzy boki → szukasz dowolnego kąta, korzystając ze wzoru odwróconego (niżej).
Jeśli dane są dwa kąty i bok, twierdzenie cosinusów nie pomoże — wtedy potrzebne jest twierdzenie sinusów.
3Dlaczego to jest uogólnienie Pitagorasa
To najważniejsza obserwacja na tej stronie i warto ją zobaczyć rachunkiem, a nie przyjąć na słowo.
Podstawmy do wzoru kąt prosty, czyli :
Człon poprawkowy wyzerował się w całości, bo mnożymy przez . Zostało dokładnie twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów — tym dla . Nie są to dwa konkurencyjne wzory, tylko jeden, raz z założeniem i raz bez.
Zobaczmy jeszcze, co poprawka robi w pozostałych przypadkach:
| kąt | człon | wniosek | |
|---|---|---|---|
| ostry | dodatni | odejmowany | — bok krótszy niż u Pitagorasa |
| prosty | znika | — dokładnie Pitagoras | |
| rozwarty | ujemny | dodawany | — bok dłuższy niż u Pitagorasa |
Ostatnia kolumna ma sens także bez rachunku. Rozwierając kąt między dwoma bokami, rozsuwasz ich końce — więc bok naprzeciw musi się wydłużyć. Twierdzenie cosinusów mówi dokładnie, o ile.
Stąd bierze się też kryterium rodzaju trójkąta
Porównując z dla najdłuższego boku , rozstrzygasz rodzaj trójkąta bez liczenia kątów:
→ ostrokątny, → prostokątny, → rozwartokątny.
Środkowy przypadek to znane twierdzenie odwrotne do Pitagorasa — pozostałe dwa są jego naturalnym rozszerzeniem.
4Wzór odwrócony — liczenie kąta
Mając trzy boki, można wyznaczyć dowolny kąt. Wystarczy przekształcić wzór, traktując go jak zwykłe równanie.
Ta postać jest bardzo wygodna, bo sam znak wyniku od razu mówi, jaki to kąt:
- wynik dodatni → kąt ostry,
- wynik równy zero → kąt prosty,
- wynik ujemny → kąt rozwarty.
Nie trzeba więc sięgać po kalkulator, żeby stwierdzić, czy trójkąt jest rozwartokątny — wystarczy spojrzeć, czy licznik wyszedł ujemny.
Warto też zauważyć kontrolę zakresu: wynik musi mieścić się między a . Jeśli wyjdzie poza ten przedział, dane są sprzeczne — najczęściej dlatego, że nie spełniają nierówności trójkąta i taki trójkąt w ogóle nie istnieje.
5Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady: kąt ostry, kąt rozwarty i wyznaczanie kąta z trzech boków.
Przykład 1 Trzeci bok przy kącie 60°
W trójkącie dane są boki , oraz kąt między nimi . Oblicz bok .
- Kąt leży między danymi bokami, więc leży naprzeciw szukanego boku — twierdzenie cosinusów pasuje wprost.
- Zapisuję wzór: .
- Odczytuję wartość: .
- Podstawiam:
- Liczę kolejno:
- Kontrola nierówności trójkąta: ✓ oraz ✓
- Kontrola sensu: kąt jest ostry, więc musi być krótszy niż przy kącie prostym, gdzie wyszłoby — i rzeczywiście ✓
Odpowiedź: .
Warto zwrócić uwagę na człon — to dokładnie tyle, o ile kwadrat boku jest mniejszy niż u Pitagorasa. Cały wzór sprowadza się do jednego odejmowania więcej.
Przykład 2 Kąt rozwarty — poprawka zmienia znak
W trójkącie dane są boki , oraz kąt między nimi . Oblicz bok .
- Kąt jest rozwarty, więc jego cosinus będzie ujemny: .
- Podstawiam do wzoru:
- Uwaga na znaki: odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie. Człon poprawkowy wynosi .
- Kontrola nierówności trójkąta: ✓
- Kontrola sensu: kąt rozwarty, więc musi być dłuższy niż przy prostym, gdzie wyszłoby — i rzeczywiście ✓
- Kontrola kryterium: , a ; skoro , trójkąt jest rozwartokątny ✓
Odpowiedź: .
Tu leży najczęstszy błąd rachunkowy całego tematu: przy kącie rozwartym poprawkę trzeba dodać, mimo że we wzorze stoi minus. Odpowiadają za to dwa minusy — jeden ze wzoru, drugi z ujemnego cosinusa.
Przykład 3 Kąt z trzech boków
Trójkąt ma boki , i . Wyznacz kąt leżący naprzeciw najdłuższego boku.
- Najpierw sprawdzam, czy taki trójkąt istnieje: ✓
- Szukany kąt leży naprzeciw boku , więc przyjmuję , , .
- Korzystam ze wzoru odwróconego: .
- Licznik:
- Mianownik:
- Wartość ujemna, więc kąt jest rozwarty. Z tabeli odczytuję .
- Kontrola zakresu: mieści się między a ✓
- Kontrola wsteczna: dla , , wychodzi , czyli ✓
Odpowiedź: .
Znak licznika wystarczył, żeby rozstrzygnąć rodzaj kąta jeszcze przed dzieleniem. Kontrola wsteczna — podstawienie wyniku z powrotem do wzoru prostego — jest tu wyjątkowo tania i warto ją robić zawsze.
6Najczęstsze błędy
Cztery błędy — dwa pierwsze dotyczą znaków i doboru kąta.
Wzięcie kąta, który nie leży naprzeciw szukanego boku
Skąd się bierze: Wzór wiąże bok z kątem leżącym naprzeciw niego — czyli z tym zawartym między dwoma pozostałymi bokami. Podstawienie dowolnego innego kąta daje wynik, który nie ma nic wspólnego z zadaniem, a przy tym wygląda sensownie.
Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, wskaż na rysunku bok szukany i sprawdź, który kąt leży dokładnie po drugiej stronie. Kontrola: kąt musi być zawarty między bokami występującymi w członie .
Odejmowanie poprawki przy kącie rozwartym
Skąd się bierze: We wzorze widnieje minus, więc uczeń odejmuje — nie zauważając, że jest wtedy ujemny i dwa minusy dają plus. Dla , , daje to zamiast .
Jak zrobić dobrze: Podstawiaj wartość cosinusa w nawiasie, razem ze znakiem: . Kontrola sensu: przy kącie rozwartym musi wyjść dłuższe niż .
Zapominanie o pierwiastku na końcu
Skąd się bierze: Wzór daje , a nie . Po policzeniu prawej strony łatwo zapisać wynik jako długość boku — zwłaszcza gdy liczba wygląda „ładnie”, jak .
Jak zrobić dobrze: Zapisuj wyraźnie, że liczysz , i dopiero w ostatnim wierszu wyciągaj pierwiastek. Kontrola rzędu wielkości: bok trójkąta o pozostałych bokach i nie może mieć .
Stosowanie twierdzenia cosinusów, gdy dane są dwa kąty i bok
Skąd się bierze: Wzór zawiera trzy boki i jeden kąt, więc przy dwóch kątach i jednym boku ma dwie niewiadome naraz — jedno równanie ich nie rozstrzyga. W tej sytuacji sięga się po twierdzenie sinusów.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź układ danych: dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki → twierdzenie cosinusów. Dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt nie między nimi → twierdzenie sinusów.
Zadania maturalne — twierdzenie cosinusów i trygonometria w trójkącie dowolnym
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
twierdzenie cosinusów: , gdzie to kąt między bokami i ;
pole trójkąta: — znowu z kątem między tymi bokami;
twierdzenie sinusów: , gdzie to promień okręgu opisanego.
Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem Pitagorasa: dla mamy i cały ostatni składnik znika, zostaje . Dwie rzeczy, na które trzeba uważać przy kątach rozwartych: jest ujemny, więc odejmowanie zamienia się w dodawanie; i naprzeciw kąta rozwartego leży najdłuższy bok.
Zadania otwarte
Zadanie 1 (wrzesień 2022)2 pktśrednie
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Cosinus największego kąta jest równy
- Krok 1 — który kąt jest największy? W każdym trójkącie naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt. Najdłuższy bok ma długość , więc szukamy kąta leżącego naprzeciw niego.
- Nazwijmy go ; boki go obejmujące mają długości i .
- Krok 2 — twierdzenie cosinusów. Bok naprzeciw kąta ma długość :
- Krok 3 — wyznaczamy cosinus:
- Odpowiedź: cosinus największego kąta jest równy .
- Kontrola liczbowa: odpowiada kątowi . Pozostałe dwa kąty (z twierdzenia cosinusów) to i ; suma ✓
- Kontrola znaku — warto ją zrobić od razu. Cosinus wyszedł dodatni, więc największy kąt jest ostry — a to znaczy, że trójkąt jest ostrokątny. Ma to sens, bo jest większe od : gdyby było mniejsze, kąt byłby rozwarty i cosinus ujemny.
- Ta obserwacja to gotowe narzędzie. Porównując z , rozpoznajesz rodzaj kąta bez liczenia: większe — kąt ostry, równe — prosty (czyli Pitagoras), mniejsze — rozwarty.
💡 Wskazówka: Zacznij od ustalenia, naprzeciw którego boku leży szukany kąt — największy kąt jest zawsze naprzeciw najdłuższego boku. Potem podstaw tak, żeby ten bok stał sam po lewej stronie wzoru, a dwa pozostałe w nawiasach po prawej. Najczęstsza pomyłka to podstawienie długości w złych miejscach; zapisanie „bok naprzeciw kąta = ” przed rachunkiem temu zapobiega.
⚠ Podstawienie do wzoru boku albo w miejsce boku naprzeciw kąta. Dla boku wychodzi — liczba dodatnia i sensowna, więc błąd nie ujawnia się sam. Dlatego trzeba świadomie sprawdzić, który bok jest naprzeciw. Drugi błąd: pominięcie minusa we wzorze i policzenie z pomyloną kolejnością — najbezpieczniej przenieść wyraz z cosinusem na lewą stronę, jak w rozwiązaniu, i dopiero potem dzielić.
Zadanie 2 (informator CKE)2 pktśrednie
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Środkowa z wierzchołka ma długość
- Krok 1 — gdzie kończy się środkowa. Środkowa z wierzchołka prowadzi do środka przeciwległego boku, czyli do środka . Nazwijmy ten punkt :
- Krok 2 — wybieramy trójkąt do rachunku. W trójkącie znamy dwa boki i kąt między nimi: , , a kąt między nimi to ten sam kąt przy wierzchołku (bo leży na boku ).
- To jest dokładnie sytuacja, do której służy twierdzenie cosinusów.
- Krok 3 — twierdzenie cosinusów. Szukana środkowa leży naprzeciw kąta :
- Odpowiedź: środkowa ma długość .
- Kontrola liczbowa: .
- Kontrola sensowności. Środkowa musi być krótsza od (bo leży bliżej niż , a kąt przy jest ostry) i dłuższa od różnicy . Wynik mieści się między i ✓
- Uwaga na kluczową pułapkę. Kąt jest kątem między bokami i — a więc także między i , bo jest częścią i leży na tej samej półprostej. Gdyby środkowa wychodziła z innego wierzchołka, kąt trzeba by najpierw policzyć.
💡 Wskazówka: Środkowa dzieli przeciwległy bok na pół — i to jedyna rzecz, którą trzeba dopisać do danych, żeby móc użyć twierdzenia cosinusów. Wybierz ten trójkąt, w którym znasz dwa boki i kąt między nimi; tu jest to , bo kąt leży właśnie między i . Zapisz od razu, żeby nie mnożyć symbolu przez liczby.
⚠ Użycie całej długości zamiast połowy — wtedy liczymy nie środkową, a bok : ? nie, , czyli przypadkiem tę samą liczbę. Zbieg okoliczności, ale groźny: obie drogi dają , więc błąd nie ujawnia się w wyniku. Dlatego warto jawnie zapisać jako osobny krok. Drugi błąd: przyjęcie — to sinus; cosinus sześćdziesięciu stopni wynosi .
Zadanie 3 (grudzień 2022)2 pktśrednie
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe
- Dane są dwa boki i kąt między nimi — to sytuacja dla wzoru . Kłopot w tym, że treść podaje cosinus, a wzór potrzebuje sinusa.
- Krok 1 — sinus z jedynki trygonometrycznej. Kąt w trójkącie jest mniejszy od , a jego sinus jest zawsze dodatni, więc bierzemy pierwiastek dodatni:
- (trójka pitagorejska )
- Krok 2 — pole. Kąt leży między bokami i , więc do wzoru wchodzą właśnie ich długości:
- Odpowiedź: .
- Kontrola liczbowa: odpowiada kątowi , a ✓
- Kontrola sensowności. Największe możliwe pole trójkąta o bokach i przypada na kąt prosty i wynosi . Nasz kąt jest ostry (cosinus dodatni), więc pole musi być mniejsze od — i jest () ✓
- Dlaczego wzór z sinusem, a nie „podstawa razy wysokość”. Wysokości nie znamy i policzenie jej wymagałoby dodatkowej pracy; wzór omija ten krok, bo jest wysokością opuszczoną na bok . To ten sam wzór zapisany inaczej.
💡 Wskazówka: Kąt we wzorze na pole musi leżeć między dwoma bokami, które mnożysz — sprawdź to, zanim podstawisz. Zapis mówi wprost, że kąt jest przy wierzchołku , więc obejmują go boki wychodzące z , czyli i . Gdyby treść podała bok , nie wolno by go było użyć w tym wzorze.
⚠ Podstawienie cosinusa do wzoru na pole i policzenie . Wzór na pole zawiera sinus i trzeba go najpierw policzyć z jedynki trygonometrycznej. Kontrola: jest bliżej maksimum , niż powinno być dla kąta — a im mniejszy kąt, tym mniejsze pole. Drugi błąd: użycie boku zamiast jednego z boków przy wierzchołku — ale nie jest w tym zadaniu nawet podane, co samo w sobie podpowiada, które boki mnożyć.
Zadanie 4 (czerwiec 2019)4 pkttrudniejsze
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź:
- Zadanie za cztery punkty i jedyne na tej stronie, w którym twierdzenie cosinusów prowadzi do równania kwadratowego — bo szukany bok stoi po prawej stronie wzoru, nie po lewej.
- Krok 1 — rozpoznajemy układ. Kąt jest przy wierzchołku , więc naprzeciw niego leży bok . Boki obejmujące ten kąt to i szukany — oznaczmy go .
- Krok 2 — twierdzenie cosinusów. Pamiętamy, że — liczba ujemna:
- Lewa strona: — do kwadratu podnosimy oba czynniki.
- Prawa strona: dwa minusy dają plus, więc ostatni składnik dodaje się:
- Krok 3 — równanie kwadratowe:
- Krok 4 — odrzucamy pierwiastek ujemny. Długość boku nie może być liczbą ujemną, więc .
- Odpowiedź: .
- Sprawdzenie przez podstawienie: , a ✓
- Kontrola sensowności. Naprzeciw kąta rozwartego leży najdłuższy bok: jest dłuższe od i od ✓ Gdyby wyszło większe od , byłby to sygnał błędu.
💡 Wskazówka: Gdy szukany bok obejmuje dany kąt (a nie leży naprzeciw niego), twierdzenie cosinusów daje równanie kwadratowe — i tak ma być. Zapisz je w postaci i policz deltę. Przy kącie rozwartym pilnuj znaku: , więc podwójny minus zamienia się w plus i wyraz z ma współczynnik dodatni.
⚠ Przyjęcie zamiast . Wtedy równanie brzmi i daje — liczbę dodatnią i wyglądającą wiarygodnie, więc błąd nie ujawnia się sam. Wykrywa go dopiero kontrola: byłoby dłuższe od boku leżącego naprzeciw kąta rozwartego, a to niemożliwe. Drugi błąd: policzenie jako zamiast — do kwadratu podnosimy oba czynniki. Trzeci: przyjęcie, że skoro kąt jest rozwarty, to szukany bok leży naprzeciw niego; naprzeciw leży bok podany w treści.
Zadanie 5 (styczeń 2003)4 pkttrudniejsze
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: cm
- Jedyne zadanie na tej stronie, które wymaga obu twierdzeń: cosinusów do trzeciego boku, a potem sinusów do promienia.
- Krok 1 — trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Kąt jest między bokami i , więc szukany bok leży naprzeciw niego:
- Krok 2 — promień z twierdzenia sinusów. Wzór wiąże bok z kątem naprzeciw niego — a naprzeciw boku leży właśnie znany kąt . To dlatego liczymy jako pierwsze.
- Krok 3 — usuwamy niewymierność z mianownika:
- (bo )
- Odpowiedź: cm.
- Kontrola liczbowa: , więc cm. Trzeci bok cm.
- Sprawdzenie twierdzeniem sinusów: ✓
- Kontrola sensowności. Trójkąt rozwartokątny ma środek okręgu opisanego na zewnątrz siebie, a promień jest większy niż połowa najdłuższego boku: ✓ Gdyby wyszło mniejsze od połowy najdłuższego boku, byłby to sygnał błędu, bo każdy bok jest cięciwą tego okręgu.
💡 Wskazówka: Kolejność jest tu wymuszona: twierdzenie sinusów wiąże bok z kątem naprzeciw niego, a jedyny znany kąt leży naprzeciw nieznanego boku — więc najpierw twierdzenie cosinusów, potem sinusów. Do sinusa kąta rozwartego użyj wzoru redukcyjnego: , czyli tyle samo co dla kąta ostrego, bez zmiany znaku (inaczej niż cosinus).
⚠ Przyjęcie przez analogię do cosinusa. Sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni — ujemny wyszedłby tylko cosinusowi. Ujemny promień od razu sygnalizuje ten błąd. Drugi błąd: pominięcie dwójki we wzorze i policzenie zamiast ; wynik wychodzi wtedy dwa razy za duży, a kontrola „promień większy od połowy najdłuższego boku, ale nie dwukrotnie” go wyłapuje. Trzeci: użycie kąta z bokiem albo we twierdzeniu sinusów — ten kąt leży naprzeciw trzeciego boku, a nie naprzeciw tych, które go obejmują.
Zadanie 6 (sierpień 2020)4 pkttrudniejsze
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź:
- Krok 1 — cosinus kąta przy wierzchołku . Kąt przy leży między dwoma ramionami, a naprzeciw niego jest podstawa — czyli znamy wszystkie trzy boki i szukamy kąta. To wprost twierdzenie cosinusów. Oznaczmy :
- Krok 2 — długość środkowej . Punkt jest środkiem ramienia , więc . W trójkącie znamy teraz dwa boki i kąt między nimi (ten sam , bo kąt przy jest wspólny dla obu trójkątów) — znowu twierdzenie cosinusów, tym razem w drugą stronę:
- Krok 3 — sinus kąta . Potrzebny będzie do pola. Bierzemy go z jedynki trygonometrycznej:
- Krok 4 — pole trójkąta policzone DWOMA sposobami. To jest cały pomysł na to zadanie. Trójkąt ma dwa kąty, o których coś wiemy: przy wierzchołku oraz szukany przy wierzchołku . Wzór zadziała dla obu.
- Raz — przez kąt , między bokami i :
- Dwa — przez kąt , między bokami i :
- Krok 5 — porównujemy. To jedno i to samo pole, więc:
- Odpowiedź: .
- Kontrola sensowności — warto ją zrobić, bo wynik jest brzydki i łatwo się pomylić w rachunku. Kąt jest częścią kąta , więc musi być od niego mniejszy. Cosinus kąta liczymy z twierdzenia cosinusów: , czyli . Z naszego wyniku ✓ mniejszy.
- Kontrola domykająca: pozostała część, czyli kąt , powinna wynosić . Policzmy ją niezależnie z trójkąta — i faktycznie , czyli ✓ obie części składają się na całość. Podaję tu dwa miejsca po przecinku nie z pedanterii: przy jednym miejscu wyszłoby i kontrola przestałaby się domykać, choć rachunek byłby poprawny.
💡 Wskazówka: Dwie rzeczy warto zauważyć od razu. Po pierwsze: środkowa nie jest wysokością. Trójkąt jest równoramienny, ale osią symetrii jest tylko środkowa poprowadzona z do podstawy — środkowa poprowadzona do ramienia nie ma żadnych szczególnych własności i nie tworzy kąta prostego. Po drugie: kąta nie da się dosięgnąć bezpośrednio, bo nie leży naprzeciw żadnego znanego boku w trójkącie o trzech znanych bokach. Ratuje policzenie tego samego pola dwoma sposobami — raz przez kąt, który znamy, raz przez kąt, którego szukamy. To standardowy chwyt na „sinus kąta, do którego nie ma dojścia”, i wraca w wielu zadaniach za cztery punkty.
⚠ Założenie, że środkowa jest prostopadła do ramienia , i policzenie z trójkąta prostokątnego. Prostopadłość zachodziłaby tylko wtedy, gdyby , a tutaj — trójkąt jest równoramienny, ale „nie tą stroną”. Drugi błąd: wzięcie zamiast ; punkt jest środkiem ramienia, więc dzieli je na połowy. Trzeci błąd, najbardziej podstępny: policzenie sinusa niewłaściwego kąta, czyli zamiast . Wychodzi wtedy — liczba równie „brzydka”, więc nic nie zgrzyta. Treść mówi jasno: kąt między środkową a ramieniem , a nie między środkową a podstawą.
Zadanie 7 (czerwiec 2016)4 pkttrudniejsze
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: a) , b)
- Krok 1 — sinus kąta . Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi liczy się przez sinus, a treść podaje cosinus. Zamieniamy jedynką trygonometryczną. Kąt jest kątem trójkąta i ma cosinus dodatni, więc jest ostry, a sinus jest dodatni:
- Krok 2 — długość . Uwaga na kierunek warunku: znaczy, że kawałek przy jest krótszy. Oba kawałki składają się na cały bok:
- Krok 3 — długość . Tutaj warunek jest odwrócony: , czyli kawałek przy jest dłuższy:
- Krok 4 — pole trójkąta . Boki i wychodzą z wierzchołka , więc kątem między nimi jest dokładnie — ten sam, który podaje treść. Nie trzeba liczyć żadnego nowego kąta:
- Odpowiedź a): .
- Krok 5 — pole całego trójkąta . Ten sam wzór i ten sam kąt , tylko z pełnymi bokami:
- Krok 6 — czworokąt jako różnica. Odcinek dzieli trójkąt na dwie części: trójkąt i czworokąt . Nie trzeba więc żadnego wzoru na czworokąt — wystarczy odjąć:
- Odpowiedź b): .
- Kontrola pierwsza, przez stosunek pól. Trójkąty i mają wspólny kąt , a ich boki są w stosunkach oraz . Ponieważ w obu polach występuje ten sam , stosunek pól jest iloczynem tych dwóch liczb: . I zgadza się: ✓
- Kontrola druga, całkiem inną drogą — przez twierdzenie cosinusów i wzór Herona. W trójkącie znamy dwa boki i kąt między nimi, więc trzeci bok liczymy z twierdzenia cosinusów:
- Trójkąt ma więc boki , , . Wzór Herona: i ✓ to samo pole, a droga zupełnie inna.
💡 Wskazówka: Klucz jest w tym, że kąt jest wspólny dla małego trójkąta i dużego. Dlatego jeden raz policzony obsługuje oba pola, a czworokąt wychodzi z odejmowania — bez żadnego wzoru na czworokąt. Warto zapamiętać wniosek ogólny, bo wraca często: jeśli na dwóch bokach wychodzących z jednego wierzchołka odetniemy części w stosunkach i , to pole odciętego trójkąta stanowi pola całego — iloczyn, nie kwadrat. Kwadrat skali obowiązuje tylko dla figur podobnych, a tu , więc trójkąty podobne nie są.
⚠ Odczytanie obu warunków w tę samą stronę. Zapisy i są celowo napisane odwrotnie: w pierwszym dłuższy jest kawałek przy , w drugim — kawałek przy . Kto potraktuje je jednakowo, dostanie zamiast i pole zamiast . Drugi błąd: podstawienie do wzoru na pole cosinusa zamiast sinusa; wzór wymaga sinusa kąta między tymi bokami, a treść podaje cosinus właśnie dlatego, żeby wymusić przejście przez jedynkę. Trzeci błąd: potraktowanie stosunku pól jako kwadratu skali — trójkąty i nie są podobne, bo boki są skrócone w różnych stosunkach; podobieństwo wymagałoby tego samego stosunku na obu bokach. Czwarty błąd: liczenie pola czworokąta osobno, jakiegoś wzoru na trapez — czworokąt nie jest trapezem, a odejmowanie od pola całego trójkąta jest i krótsze, i pewne.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
| 1. Cosinus największego kąta jest równy | 2. Środkowa z wierzchołka ma długość | 3. Pole trójkąta jest równe | 4. | 5. cm | 6. |
| 7. a) , b) |
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
7Pytania i odpowiedzi
Jak brzmi twierdzenie cosinusów?
W dowolnym trójkącie , gdzie to kąt leżący naprzeciw boku , czyli zawarty między bokami i . Wzór ma trzy równoważne postaci, po jednej dla każdego boku.
Dlaczego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem Pitagorasa?
Bo dla kąta prostego , więc człon zeruje się w całości i zostaje . Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów, a nie osobnym wzorem.
Kiedy stosować twierdzenie cosinusów, a kiedy sinusów?
Cosinusów — gdy dane są dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. Sinusów — gdy dane są dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt nieleżący między nimi. Decyduje układ danych, nie rodzaj trójkąta.
Jak obliczyć kąt, znając trzy boki trójkąta?
Ze wzoru odwróconego . Sam znak wyniku rozstrzyga rodzaj kąta: dodatni oznacza ostry, zero prosty, a ujemny rozwarty — bez sięgania po kalkulator.
Dlaczego przy kącie rozwartym bok wychodzi dłuższy?
Bo cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc odejmowany człon staje się dodawany i przekracza . Geometrycznie: rozwierając kąt między dwoma bokami, rozsuwasz ich końce, więc bok naprzeciw musi się wydłużyć.
Czy twierdzenie cosinusów jest na maturze podstawowej?
Tak. Podstawa programowa wymienia je w dziale VII Trygonometria, w zakresie podstawowym, punkt 3 — razem ze wzorem na pole . Twierdzenie sinusów stoi w tym samym dziale, ale dopiero w zakresie rozszerzonym (punkt 7).
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
