Strona główna › Potęgi › Mnożenie i dzielenie potęg

Mnożenie i dzielenie potęg

Mnożenie i dzielenie potęg sprowadza się do jednego pytania: co jest wspólne — podstawa czy wykładnik? Przy wspólnej podstawie działasz na wykładnikach, przy wspólnym wykładniku — na podstawach. Gdy wspólnego nie ma nic, próbujesz je sprowadzić, a jeśli się nie da — po prostu liczysz. Poniżej wszystkie cztery przypadki dla mnożenia i dla dzielenia, z przykładami.

Dział: PotęgiPoziom: klasy 7–8 i liceum

Krótko: Przy tej samej podstawie wykładniki dodajemy lub odejmujemy: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ i aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Przy tym samym wykładniku mnożymy lub dzielimy podstawy: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ.

W skrócie

  • Mnożenie, ta sama podstawa: dodaj wykładniki — 23⋅24=272^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}.
  • Dzielenie, ta sama podstawa: odejmij wykładniki — 56:54=525^{6} : 5^{4} = 5^{2}.
  • Ten sam wykładnik: pomnóż albo podziel podstawy — 23⋅53=1032^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3}, 124:34=4412^{4} : 3^{4} = 4^{4}.
  • Różne podstawy i wykładniki: sprowadź do wspólnej podstawy (8=238 = 2^{3}, 27=3327 = 3^{3}) albo policz.

1Mnożenie potęg — cztery przypadki

SytuacjaCo robiszPrzykład
ta sama podstawawykładniki dodajesz: am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}23⋅24=27=1282^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128
10−2⋅105=10310^{-2} \cdot 10^{5} = 10^{3}
ten sam wykładnikpodstawy mnożysz: an⋅bn=(a⋅b)na^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}23⋅53=103=10002^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3} = 1000
45⋅255=1005=10104^{5} \cdot 25^{5} = 100^{5} = 10^{10}
różne podstawy i wykładniki, ale da się je sprowadzićzamień na wspólną podstawę albo wspólny wykładnik82⋅43=26⋅26=2128^{2} \cdot 4^{3} = 2^{6} \cdot 2^{6} = 2^{12}
116⋅272=116⋅36=33611^{6} \cdot 27^{2} = 11^{6} \cdot 3^{6} = 33^{6}
nic wspólnegopolicz każdą potęgę i pomnóż wyniki23⋅32=8⋅9=722^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72

Dlaczego przy tej samej podstawie wykładniki się dodają? Bo 23⋅242^{3} \cdot 2^{4} to (2⋅2⋅2)⋅(2⋅2⋅2⋅2)(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) — razem siedem dwójek. Przy tym samym wykładniku działa przestawianie czynników: 23⋅53=(2⋅5)⋅(2⋅5)⋅(2⋅5)=1032^{3} \cdot 5^{3} = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 10^{3}. Skąd biorą się pozostałe wzory, pokazuję na stronie o potęgach, a wszystkie są w jednej ściądze wzorów.

Mnożenie potęg o tej samej podstawie: 2³ · 2⁴ to siedem dwójek, czyli 2⁷ = 128; przy dzieleniu wykładniki się odejmuje
Przy tej samej podstawie wykładniki się dodaje, bo liczy się czynniki.

2Dzielenie potęg — cztery przypadki

SytuacjaCo robiszPrzykład
ta sama podstawawykładniki odejmujesz: am:an=am−na^{m} : a^{n} = a^{m - n}, a≠0a \neq 056:54=52=255^{6} : 5^{4} = 5^{2} = 25
32:35=3−3=1273^{2} : 3^{5} = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}
ten sam wykładnikpodstawy dzielisz: an:bn=(a:b)na^{n} : b^{n} = (a : b)^{n}, b≠0b \neq 0124:34=44=25612^{4} : 3^{4} = 4^{4} = 256
153:53=33=2715^{3} : 5^{3} = 3^{3} = 27
różne podstawy i wykładniki, ale da się je sprowadzićzamień na wspólną podstawę, potem odejmij wykładniki274:95=312:310=32=927^{4} : 9^{5} = 3^{12} : 3^{10} = 3^{2} = 9
163:84=212:212=116^{3} : 8^{4} = 2^{12} : 2^{12} = 1
nic wspólnegopolicz i podziel wyniki (albo zostaw jako ułamek)53:22=1254=31,255^{3} : 2^{2} = \dfrac{125}{4} = 31{,}25

Przy dzieleniu wykładnik wyniku może wyjść zerowy albo ujemny — i to jest w porządku: 73:73=70=17^{3} : 7^{3} = 7^{0} = 1, a 32:35=3−33^{2} : 3^{5} = 3^{-3}, czyli 127\dfrac{1}{27}. Dzielenie potęg zapisuje się też kreską ułamkową — działa dokładnie tak samo.

Mnożenie i dzielenie potęg: wspólna podstawa, wspólny wykładnik, sprowadzanie do wspólnej podstawy albo liczenie wprost, z przykładami
Co jest wspólne: podstawa, wykładnik, czy nic? Cztery przypadki działań na potęgach.
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Potęgi i pierwiastki — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Potęgi i pierwiastki”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Jak rozpoznać, co zrobić — cztery pytania

  1. Czy podstawy są takie same? Tak → dodaj (przy mnożeniu) albo odejmij (przy dzieleniu) wykładniki. Koniec.
  2. Czy wykładniki są takie same? Tak → pomnóż albo podziel podstawy, wykładnik zostaje.
  3. Czy podstawy są potęgami tej samej liczby? Warto znać na pamięć: 2, 4, 8, 16, 32, 64 (potęgi dwójki), 3, 9, 27, 81 (trójki), 5, 25, 125 (piątki). Zamień i wróć do pytania 1. Czasem łatwiej wyrównać wykładniki: 410=2204^{10} = 2^{20}.
  4. Nic z tego? Policz każdą potęgę osobno. Wzoru na mnożenie potęg o zupełnie różnych podstawach i wykładnikach nie ma — tak samo jak wzoru na dodawanie potęg.

4Trener online

Wpisz brakujący wykładnik albo podstawę i naciśnij „Sprawdź” (albo Enter). Zadania losują się z pięciu typów — tych samych co w tabelach.

5Przykłady krok po kroku

Przykład 1. Oblicz 410⋅5204^{10} \cdot 5^{20}.

  1. Podstawy różne, wykładniki różne — ale 4=224 = 2^{2}.
  2. 410=(22)10=2204^{10} = (2^{2})^{10} = 2^{20}.
  3. Teraz wykładniki są równe: 220⋅520=(2⋅5)20=10202^{20} \cdot 5^{20} = (2 \cdot 5)^{20} = 10^{20}.
  4. Wynik: jedynka i dwadzieścia zer.

Przykład 2. Oblicz 82⋅438^{2} \cdot 4^{3}.

  1. 8=238 = 2^{3}, 4=224 = 2^{2}.
  2. (23)2⋅(22)3=26⋅26(2^{3})^{2} \cdot (2^{2})^{3} = 2^{6} \cdot 2^{6}.
  3. Ta sama podstawa, dodaję wykładniki: 212=40962^{12} = 4096.

Przykład 3. Oblicz 274:9527^{4} : 9^{5}.

  1. 27=3327 = 3^{3}, 9=329 = 3^{2}.
  2. 274=31227^{4} = 3^{12}, 95=3109^{5} = 3^{10}.
  3. Dzielę przy tej samej podstawie: 312−10=32=93^{12 - 10} = 3^{2} = 9.

Przykład 4. Oblicz 124:3412^{4} : 3^{4}.

  1. Ten sam wykładnik — dzielę podstawy: (12:3)4=44(12 : 3)^{4} = 4^{4}.
  2. 44=2564^{4} = 256. Liczenie 124=20 73612^{4} = 20\,736 niepotrzebne.

Przykład 5. Uprość (25⋅23):26(2^{5} \cdot 2^{3}) : 2^{6}.

  1. Najpierw nawias: 25+3=282^{5 + 3} = 2^{8}.
  2. Potem dzielenie: 28−6=22=42^{8 - 6} = 2^{2} = 4.

6Najczęstsze błędy

Na egzaminie ósmoklasisty potęgi są w 20 z 22 arkuszy — zadania z rozwiązaniami są na stronie potęgi na egzaminie ósmoklasisty. Działania razem z pierwiastkami opisuję w tekście działania na potęgach i pierwiastkach, a potęgę o wykładniku ułamkowym — przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Wszystkie materiały z matematyki →

7Pytania i odpowiedzi

Jak mnożyć potęgi o tych samych podstawach?

Wykładniki się dodaje, a podstawa zostaje: am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, np. 23⋅24=27=1282^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128.

Jak dzielić potęgi o tych samych podstawach?

Wykładniki się odejmuje: am:an=am−na^{m} : a^{n} = a^{m - n}, np. 56:54=52=255^{6} : 5^{4} = 5^{2} = 25. Wynik może mieć wykładnik zerowy albo ujemny: 32:35=3−3=1273^{2} : 3^{5} = 3^{-3} = \tfrac{1}{27}.

Jak mnożyć potęgi o różnych podstawach i wykładnikach?

Najpierw spróbuj sprowadzić je do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika, np. 410⋅520=220⋅520=10204^{10} \cdot 5^{20} = 2^{20} \cdot 5^{20} = 10^{20}. Jeśli się nie da, policz każdą potęgę osobno i pomnóż wyniki: 23⋅32=8⋅9=722^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72.

Jak mnożyć potęgi o tych samych wykładnikach?

Mnoży się podstawy, a wykładnik zostaje: an⋅bn=(ab)na^n \cdot b^n = (ab)^n, np. 23⋅53=103=10002^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3} = 1000.

Jak dzielić potęgi o różnych podstawach?

Przy tym samym wykładniku dzieli się podstawy: 124:34=4412^{4} : 3^{4} = 4^{4}. Przy różnych wykładnikach sprowadza się do wspólnej podstawy (274:95=312:310=9)(27^{4} : 9^{5} = 3^{12} : 3^{10} = 9), a gdy się nie da — liczy obie potęgi.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23