Strona główna › Potęgi › Mnożenie i dzielenie potęg
Mnożenie i dzielenie potęg
Mnożenie i dzielenie potęg sprowadza się do jednego pytania: co jest wspólne — podstawa czy wykładnik? Przy wspólnej podstawie działasz na wykładnikach, przy wspólnym wykładniku — na podstawach. Gdy wspólnego nie ma nic, próbujesz je sprowadzić, a jeśli się nie da — po prostu liczysz. Poniżej wszystkie cztery przypadki dla mnożenia i dla dzielenia, z przykładami.
W skrócie
- Mnożenie, ta sama podstawa: dodaj wykładniki — 23 · 24 = 27.
- Dzielenie, ta sama podstawa: odejmij wykładniki — 56 : 54 = 52.
- Ten sam wykładnik: pomnóż albo podziel podstawy — 23 · 53 = 103, 124 : 34 = 44.
- Różne podstawy i wykładniki: sprowadź do wspólnej podstawy (8 = 23, 27 = 33) albo policz.
1Mnożenie potęg — cztery przypadki
| Sytuacja | Co robisz | Przykład |
|---|---|---|
| ta sama podstawa | wykładniki dodajesz: am · an = am+n | 23 · 24 = 27 = 128 10−2 · 105 = 103 |
| ten sam wykładnik | podstawy mnożysz: an · bn = (a · b)n | 23 · 53 = 103 = 1000 45 · 255 = 1005 = 1010 |
| różne podstawy i wykładniki, ale da się je sprowadzić | zamień na wspólną podstawę albo wspólny wykładnik | 82 · 43 = 26 · 26 = 212 116 · 272 = 116 · 36 = 336 |
| nic wspólnego | policz każdą potęgę i pomnóż wyniki | 23 · 32 = 8 · 9 = 72 |
Dlaczego przy tej samej podstawie wykładniki się dodają? Bo 23 · 24 to (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) — razem siedem dwójek. Przy tym samym wykładniku działa przestawianie czynników: 23 · 53 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103. Skąd biorą się pozostałe wzory, pokazuję na stronie o potęgach, a wszystkie są w jednej ściądze wzorów.
2Dzielenie potęg — cztery przypadki
| Sytuacja | Co robisz | Przykład |
|---|---|---|
| ta sama podstawa | wykładniki odejmujesz: am : an = am−n, a ≠ 0 | 56 : 54 = 52 = 25 32 : 35 = 3−3 = 1/27 |
| ten sam wykładnik | podstawy dzielisz: an : bn = (a : b)n, b ≠ 0 | 124 : 34 = 44 = 256 153 : 53 = 33 = 27 |
| różne podstawy i wykładniki, ale da się je sprowadzić | zamień na wspólną podstawę, potem odejmij wykładniki | 274 : 95 = 312 : 310 = 32 = 9 163 : 84 = 212 : 212 = 1 |
| nic wspólnego | policz i podziel wyniki (albo zostaw jako ułamek) | 53 : 22 = 125/4 = 31,25 |
Przy dzieleniu wykładnik wyniku może wyjść zerowy albo ujemny — i to jest w porządku: 73 : 73 = 70 = 1, a 32 : 35 = 3−3, czyli 1/27. Dzielenie potęg zapisuje się też kreską ułamkową — działa dokładnie tak samo.
3Jak rozpoznać, co zrobić — cztery pytania
- Czy podstawy są takie same? Tak → dodaj (przy mnożeniu) albo odejmij (przy dzieleniu) wykładniki. Koniec.
- Czy wykładniki są takie same? Tak → pomnóż albo podziel podstawy, wykładnik zostaje.
- Czy podstawy są potęgami tej samej liczby? Warto znać na pamięć: 2, 4, 8, 16, 32, 64 (potęgi dwójki), 3, 9, 27, 81 (trójki), 5, 25, 125 (piątki). Zamień i wróć do pytania 1. Czasem łatwiej wyrównać wykładniki: 410 = 220.
- Nic z tego? Policz każdą potęgę osobno. Wzoru na mnożenie potęg o zupełnie różnych podstawach i wykładnikach nie ma — tak samo jak wzoru na dodawanie potęg.
4Trener online
Wpisz brakujący wykładnik albo podstawę i naciśnij „Sprawdź” (albo Enter). Zadania losują się z pięciu typów — tych samych co w tabelach.
5Przykłady krok po kroku
Przykład 1. Oblicz 410 · 520.
- Podstawy różne, wykładniki różne — ale 4 = 22.
- 410 = (22)10 = 220.
- Teraz wykładniki są równe: 220 · 520 = (2 · 5)20 = 1020.
- Wynik: jedynka i dwadzieścia zer.
Przykład 2. Oblicz 82 · 43.
- 8 = 23, 4 = 22.
- (23)2 · (22)3 = 26 · 26.
- Ta sama podstawa, dodaję wykładniki: 212 = 4096.
Przykład 3. Oblicz 274 : 95.
- 27 = 33, 9 = 32.
- 274 = 312, 95 = 310.
- Dzielę przy tej samej podstawie: 312−10 = 32 = 9.
Przykład 4. Oblicz 124 : 34.
- Ten sam wykładnik — dzielę podstawy: (12 : 3)4 = 44.
- 44 = 256. Liczenie 124 = 20 736 niepotrzebne.
Przykład 5. Uprość (25 · 23) : 26.
- Najpierw nawias: 25+3 = 28.
- Potem dzielenie: 28−6 = 22 = 4.
6Najczęstsze błędy
- Mnożenie podstaw przy tej samej podstawie. 23 · 24 to 27, a nie 47. Podstawa zostaje.
- Dzielenie wykładników. 28 : 22 = 26, a nie 24 — wykładniki się odejmuje, nie dzieli.
- Dodawanie wykładników przy różnych podstawach. 23 · 32 to 72, a nie 65. Wzór działa tylko przy wspólnej podstawie.
- Mylenie mnożenia potęg z potęgą potęgi. 23 · 24 = 27, ale (23)4 = 212.
Na egzaminie ósmoklasisty potęgi są w 20 z 22 arkuszy — zadania z rozwiązaniami są na stronie potęgi na egzaminie ósmoklasisty. Działania razem z pierwiastkami opisuję w tekście działania na potęgach i pierwiastkach, a potęgę o wykładniku ułamkowym — przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu.
7Pytania i odpowiedzi
Jak mnożyć potęgi o tych samych podstawach?
Wykładniki się dodaje, a podstawa zostaje: a^m · a^n = a^(m+n), np. 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128.
Jak dzielić potęgi o tych samych podstawach?
Wykładniki się odejmuje: a^m : a^n = a^(m−n), np. 5^6 : 5^4 = 5^2 = 25. Wynik może mieć wykładnik zerowy albo ujemny: 3^2 : 3^5 = 3^(−3) = 1/27.
Jak mnożyć potęgi o różnych podstawach i wykładnikach?
Najpierw spróbuj sprowadzić je do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika, np. 4^10 · 5^20 = 2^20 · 5^20 = 10^20. Jeśli się nie da, policz każdą potęgę osobno i pomnóż wyniki: 2^3 · 3^2 = 8 · 9 = 72.
Jak mnożyć potęgi o tych samych wykładnikach?
Mnoży się podstawy, a wykładnik zostaje: a^n · b^n = (ab)^n, np. 2^3 · 5^3 = 10^3 = 1000.
Jak dzielić potęgi o różnych podstawach?
Przy tym samym wykładniku dzieli się podstawy: 12^4 : 3^4 = 4^4. Przy różnych wykładnikach sprowadza się do wspólnej podstawy (27^4 : 9^5 = 3^12 : 3^10 = 9), a gdy się nie da — liczy obie potęgi.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
