Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Q: Ile to jest pierwiastek z 2 plus pierwiastek z 2?

√2 + √2 = 2√2 ≈ 2,83 — tak jak x + x = 2x. To nie jest √4 = 2.

Q: Czy pierwiastek z a plus pierwiastek z b to pierwiastek z (a + b)?

Nie. Przykład: √9 + √16 = 7, a √(9 + 16) = 5. Dla dodatnich a i b suma pierwiastków jest zawsze większa, bo (√a + √b)² = a + b + 2√(ab). Pierwiastek rozdziela się tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

Q: Czy można dodać pierwiastek kwadratowy i sześcienny?

Jednym pierwiastkiem — nie. √2 ≈ 1,41, a ∛2 ≈ 1,26, więc to różne liczby, mimo że pod pierwiastkiem jest ta sama dwójka. Wynik zostaje w postaci √2 + ∛2.

Pierwiastki dodaje się jak wyrazy podobne: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ , tak samo jak $2x + 3x = 5x$ . Liczb pod pierwiastkiem się nie dodaje — $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ to $7$ , a nie $\sqrt{25} = 5$ . Gdy pod pierwiastkami stoją różne liczby, najpierw wyłącza się czynnik przed znak pierwiastka, a potem sprawdza, czy wyszły pierwiastki podobne.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: klasy 7–8 i liceum

Krótko: Pierwiastki dodajemy i odejmujemy jak wyrazy podobne, gdy mają tę samą liczbę pod pierwiastkiem: 2√3 + 5√3 = 7√3. Natomiast √9 + √16 = 3 + 4 = 7, a nie √25.

Kalkulator: dodawanie i odejmowanie pierwiastków

W skrócie: jak dodać (albo odjąć) pierwiastki

Ten sam stopień i ta sama liczba pod pierwiastkiem — dodajesz liczby stojące przed pierwiastkiem, pierwiastek zostaje: $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ , $7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{7} + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ .
Różne liczby pod pierwiastkiem — wyłączasz czynnik przed znak pierwiastka i patrzysz, czy wyszły pierwiastki podobne: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
Nie da się sprowadzić do tego samego pierwiastka — suma zostaje sumą: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie upraszcza się dalej ( $\approx 3{,}15$ ).

Nigdy nie dodajesz liczb pod pierwiastkiem: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$ . Pierwiastek „rozdziela się” tylko przy mnożeniu i dzieleniu: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — o tym jest strona o mnożeniu i dzieleniu pierwiastków.

1Dodaje się tylko pierwiastki podobne

Pierwiastki podobne to takie, które mają ten sam stopień i tę samą liczbę pod znakiem pierwiastka — różnią się co najwyżej liczbą stojącą przed nim. Takie pierwiastki dodaje się i odejmuje dokładnie jak wyrazy podobne w algebrze:

\textcolor{#16A06A}{m}\sqrt{a} + \textcolor{#16A06A}{n}\sqrt{a} = (\textcolor{#16A06A}{m} + \textcolor{#16A06A}{n})\sqrt{a}, \qquad \textcolor{#16A06A}{m}\sqrt{a} - \textcolor{#16A06A}{n}\sqrt{a} = (\textcolor{#16A06A}{m} - \textcolor{#16A06A}{n})\sqrt{a}

To nie jest nowa reguła do zapamiętania, tylko rozdzielność mnożenia względem dodawania — ta sama, dzięki której $2x + 3x = 5x$ . Pierwiastek gra tu rolę litery $x$ : można go „wyłączyć przed nawias”.

działanie	jak liczę	wynik
$2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}$	$(2 + 3)\sqrt{5}$	$5\sqrt{5}$
$7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$	$(7 - 4)\sqrt{2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{7} + \sqrt{7}$	$(1 + 1)\sqrt{7}$	$2\sqrt{7}$
$\sqrt{6} - 5\sqrt{6}$	$(1 - 5)\sqrt{6}$	$-4\sqrt{6}$

Pułapka jest w trzecim i czwartym wierszu: przed $\sqrt{7}$ „nic nie stoi”, ale to niewidoczna jedynka — tak jak $x = 1 \cdot x$ . Stąd $\sqrt{7} + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ , a nie $\sqrt{14}$ .

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków podobnych: 2√5 + 3√5 = 5√5, 7√2 − 4√2 = 3√2, √7 + √7 = 2√7, √6 − 5√6 = −4√6 — Pierwiastki podobne dodaje się i odejmuje jak wyrazy podobne.

2Liczb pod pierwiastkiem się nie dodaje

Najczęstszy błąd to zapis $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ . Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby go obalić:

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = \textcolor{#E0453A}{7}, \quad \text{ale} \quad \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Rysunek 1.

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

to droga po dwóch bokach, a

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

— na skróty. Suma pierwiastków jest zawsze dłuższa:

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}

, czyli więcej niż

a + b

. Dlatego

\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}

Ten rysunek pokazuje, że to nie przypadek liczb. Suma dwóch pierwiastków jest zawsze większa od pierwiastka z sumy (dla $a, b > 0$ ), bo po podniesieniu do kwadratu zostaje dodatkowy składnik $2\sqrt{ab}$ . Podobnie fałszywe są pozostałe „naturalne” próby:

kuszący zapis	sprawdzenie na liczbach	werdykt
$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$	$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ , a $\sqrt{25} = 5$	fałsz
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$	$\sqrt{25} - \sqrt{9} = 2$ , a $\sqrt{16} = 4$	fałsz
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{4}$	$2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ , a $\sqrt{4} = 2$	fałsz
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$	lewa $\approx 7{,}71$ , prawa $\approx 11{,}18$	fałsz

Wniosek w jednym zdaniu: pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków — „rozdzielać” pierwiastek wolno tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Potęgi i pierwiastki — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Potęgi i pierwiastki”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł~~35,10 zł~~−19,20 zł Cała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Różne liczby pod pierwiastkiem — wyłącz czynnik

Pierwiastki, które na pierwszy rzut oka są różne, często okazują się podobne. Trzeba liczbę pod pierwiastkiem rozłożyć na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej ( $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ ), i wyłączyć go przed znak pierwiastka:

\sqrt{\textcolor{#16A06A}{k^2} \cdot n} = \textcolor{#16A06A}{k}\sqrt{n}, \qquad \text{np.} \quad \sqrt{12} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \textcolor{#16A06A}{2}\sqrt{3}

Po wyłączeniu czynnika z obu składników często wychodzi ten sam pierwiastek — i wtedy dodaje się już jak w sekcji 1:

\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{3}}

Rysunek 2. Po wyłączeniu czynnika oba pierwiastki mierzy się tą samą „jednostką”

\sqrt3

\sqrt{12} = 2\sqrt3

\sqrt{27} = 3\sqrt3

. Dodajemy jak wyrazy podobne (

2x + 3x = 5x

\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt3

, a to jest

\sqrt{75}

, nie

\sqrt{39}

Najczęściej potrzebne rozkłady warto mieć pod ręką. W każdym wierszu wyłączony jest największy kwadrat — wtedy pierwiastek od razu jest w najprostszej postaci:

pierwiastek	rozkład (największy kwadrat)	po wyłączeniu
$\sqrt{8}$	$\sqrt{4 \cdot 2}$	$2\sqrt{2}$
$\sqrt{12}$	$\sqrt{4 \cdot 3}$	$2\sqrt{3}$
$\sqrt{18}$	$\sqrt{9 \cdot 2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{20}$	$\sqrt{4 \cdot 5}$	$2\sqrt{5}$
$\sqrt{24}$	$\sqrt{4 \cdot 6}$	$2\sqrt{6}$
$\sqrt{27}$	$\sqrt{9 \cdot 3}$	$3\sqrt{3}$
$\sqrt{28}$	$\sqrt{4 \cdot 7}$	$2\sqrt{7}$
$\sqrt{32}$	$\sqrt{16 \cdot 2}$	$4\sqrt{2}$
$\sqrt{45}$	$\sqrt{9 \cdot 5}$	$3\sqrt{5}$
$\sqrt{48}$	$\sqrt{16 \cdot 3}$	$4\sqrt{3}$
$\sqrt{50}$	$\sqrt{25 \cdot 2}$	$5\sqrt{2}$
$\sqrt{72}$	$\sqrt{36 \cdot 2}$	$6\sqrt{2}$
$\sqrt{75}$	$\sqrt{25 \cdot 3}$	$5\sqrt{3}$
$\sqrt{98}$	$\sqrt{49 \cdot 2}$	$7\sqrt{2}$

Szukaj największego kwadratu

$\sqrt{72}$ można rozłożyć jako $\sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ — ale $18$ wciąż ma czynnik $9$ , więc trzeba wyłączać dalej: $2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ . Krócej od razu: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ . Wynik jest ten sam, różni się tylko liczba kroków.

Dodawanie pierwiastków o różnych liczbach: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka — Przy różnych liczbach pod pierwiastkiem najpierw wyłącza się czynnik: √12 + √27 = 5√3.

4Kiedy dodać się nie da

Jeśli po wyłączeniu czynników pod pierwiastkami zostają różne liczby, sumy nie da się zapisać jednym pierwiastkiem. Wynik zostaje wtedy w postaci sumy — i to jest poprawna, pełna odpowiedź, nie niedokończone zadanie:

wyrażenie	co da się zrobić	odpowiedź
$\sqrt{2} + \sqrt{3}$	nic — $2$ i $3$ nie mają czynnika kwadratowego	$\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15$
$3\sqrt{2} + 5 - \sqrt{2}$	połączyć tylko pierwiastki podobne	$2\sqrt{2} + 5$
$\sqrt{8} + \sqrt{3}$	uprościć pierwszy: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$	$2\sqrt{2} + \sqrt{3}$
$2 + \sqrt{3}$	nic — liczba i pierwiastek to nie wyrazy podobne	$2 + \sqrt{3}$ , nie $2\sqrt{3}$

Przybliżenie dziesiętne podaje się tylko wtedy, gdy zadanie o nie prosi — zapis z pierwiastkiem jest dokładny, a $3{,}15$ już nie.

5Pierwiastki sześcienne

Dla pierwiastków trzeciego stopnia wszystko działa tak samo, tylko przed znak pierwiastka wyłącza się sześciany ( $8, 27, 64, 125$ ), a nie kwadraty:

\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} + \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt[3]{2}}

Podobne muszą być oba: stopień i liczba pod pierwiastkiem. Dlatego $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ nie upraszcza się — to dwie różne liczby ( $\approx 1{,}41$ i $\approx 1{,}26$ ), mimo że pod pierwiastkiem stoi ta sama dwójka.

Wszystkie działania na pierwiastkach — także mnożenie i dzielenie — są zebrane na jednej kartce w ściądze z działań na potęgach i pierwiastkach.

6W której klasie się to pojawia

Pierwiastki wchodzą w klasie VII. Dział II podstawy programowej dla klas VII–VIII („Pierwiastki”) ma pięć punktów. Dla dodawania najważniejsze są dwa z nich — punkt 4: „oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka”, oraz punkt 2: „szacuje wielkość danego pierwiastka kwadratowego lub sześciennego oraz wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki”.

Dodawania pierwiastków ta lista nie wymienia osobnym punktem — sprawdziłem wszystkie pięć. Wprost jest tylko punkt 5: „mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia”. Dodawanie pojawia się mimo to w zadaniach, bo składa się z dwóch umiejętności, które w podstawie są: wyłączania czynnika przed znak pierwiastka i redukcji wyrazów podobnych z algebry.

Na egzaminie ósmoklasisty pierwiastki sprawdza się głównie przez szacowanie i przez pułapkę z pierwiastkiem z sumy — zadania z rozwiązaniami są na stronie pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty. W liceum działania na pierwiastkach wracają przy wyrażeniach algebraicznych i przy pierwiastku jako potędze o wykładniku ułamkowym — tak jak na stronie o potęgowaniu i pierwiastkowaniu.

7Przykłady krok po kroku

Pięć przykładów od najprostszego: najpierw jeden pierwiastek do uproszczenia, potem trzy i na końcu liczby przed pierwiastkami. W każdym na końcu jest kontrola na przybliżeniach — da się ją zrobić zawsze.

Przykład $1$ Jeden pierwiastek do uproszczenia

Oblicz $\sqrt{8} + \sqrt{2}$ .

Pod pierwiastkami są różne liczby, więc sprawdzam, czy któryś da się uprościć. $8 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot 2$ , a $4$ jest kwadratem.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ .
Teraz oba pierwiastki są podobne: $2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2 + 1)\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt{2}}$ .
Kontrola: $\sqrt{8} + \sqrt{2} \approx 2{,}83 + 1{,}41 = 4{,}24$ i $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ ✓

Odpowiedź: $\sqrt{8} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Zwróć uwagę na niewidoczną jedynkę przed $\sqrt{2}$ w trzecim kroku — bez niej wychodzi $2\sqrt{2}$ i o jeden $\sqrt{2}$ za mało.

Przykład $2$ Odejmowanie z wynikiem ujemnym

Oblicz $\sqrt{20} - \sqrt{45}$ .

$20 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5$ , więc $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
$45 = \textcolor{#16A06A}{9} \cdot 5$ , więc $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ .
$2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (2 - 3)\sqrt{5} = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt{5}}$ .
Kontrola: $\sqrt{20} - \sqrt{45} \approx 4{,}47 - 6{,}71 = -2{,}24$ i $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ ✓

Odpowiedź: $\sqrt{20} - \sqrt{45} = -\sqrt{5}$

Wynik ujemny jest tu w porządku: odejmujemy większą liczbę od mniejszej. Minus stoi przed pierwiastkiem, nie pod nim.

Przykład $3$ Trzy pierwiastki, ten sam wynik uproszczenia

Oblicz $\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{48}$ .

Szukam największych kwadratów: $75 = 25 \cdot 3$ , $12 = 4 \cdot 3$ , $48 = 16 \cdot 3$ .
$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ , $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .
$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (5 + 2 - 4)\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt{3}}$ .
Kontrola: $8{,}66 + 3{,}46 - 6{,}93 = 5{,}19$ i $3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ ✓ (różnica to tylko zaokrąglenia)

Odpowiedź: $\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{48} = 3\sqrt{3}$

Gdyby rozłożyć $48$ jako $4 \cdot 12$ , wyszłoby $2\sqrt{12}$ — i trzeba by wyłączać drugi raz. Największy kwadrat oszczędza krok.

Przykład $4$ Jeden składnik już jest prosty

Oblicz $\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$ .

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ , a $\sqrt{2}$ zostaje.
$5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = (5 - 4 + 1)\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt{2}}$ .
Kontrola: $7{,}07 - 5{,}66 + 1{,}41 = 2{,}82$ i $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ ✓

Odpowiedź: $\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Kolejność działań zwykła: dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej, czyli $5 - 4 + 1 = 2$ , a nie $5 - (4 + 1) = 0$ .

Przykład $5$ Liczby przed pierwiastkami

Oblicz $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - \sqrt{72}$ .

Upraszczam same pierwiastki: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .
Mnożę przez liczby, które stały przed nimi: $2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ , $3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .
$6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt{2}}$ .
Kontrola: $2 \cdot 4{,}24 + 3 \cdot 2{,}83 - 8{,}49 = 8{,}48$ i $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ ✓

Odpowiedź: $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Liczba przed pierwiastkiem mnoży się z liczbą wyłączoną spod pierwiastka — $2\sqrt{18}$ to $2 \cdot 3\sqrt{2}$ , a nie $5\sqrt{2}$ .

8Najczęstsze błędy

Dodawanie liczb pod pierwiastkiem.

Skąd się bierze: Pierwiastek „rozdziela się” przy mnożeniu ( $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ ) i ta własność bywa przenoszona na dodawanie.

Jak zrobić dobrze: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{\sqrt{25} = 5}$ . Suma pierwiastków jest zawsze większa od pierwiastka z sumy.

Dodawanie także liczb pod pierwiastkiem przy pierwiastkach podobnych.

Skąd się bierze: Skoro liczby przed pierwiastkiem się dodaje, ręka dodaje też to, co pod nim.

Jak zrobić dobrze: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ , nie $\textcolor{#9b1c14}{5\sqrt{6}}$ — tak jak $2x + 3x = 5x$ , a nie $5x^2$ czy $5 \cdot 2x$ . Pierwiastek przepisuje się bez zmian.

Zatrzymanie się w połowie wyłączania.

Skąd się bierze: Pierwszy znaleziony kwadrat nie musi być największy — $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ wygląda na gotowe.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy pod pierwiastkiem nie został jeszcze czynnik $4, 9, 16…$ . Tu $18 = 9 \cdot 2$ , więc $2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$ . Bez tego $2\sqrt{18}$ i $\sqrt{2}$ wyglądają na niepodobne, choć są.

Łączenie liczby z pierwiastkiem.

Skąd się bierze: Zapis $2 + \sqrt{3}$ wygląda na niedokończony i kusi, żeby go „skleić”.

Jak zrobić dobrze: $2 + \sqrt{3}$ to już wynik ( $\approx 3{,}73$ ). Zapis $\textcolor{#9b1c14}{2\sqrt{3}}$ oznacza iloczyn i wynosi $\approx 3{,}46$ — inna liczba.

Dodawanie pierwiastków różnych stopni.

Skąd się bierze: Pod pierwiastkiem stoi ta sama liczba, więc $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ wygląda jak wyrazy podobne.

Jak zrobić dobrze: Podobne muszą mieć i tę samą liczbę, i ten sam stopień. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ — to dwie różne liczby i suma zostaje sumą.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Pierwiastki — kartkówka, klasa 7

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne, wyłączanie czynnika, mnożenie.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Potęgi i pierwiastki — kartkówka, klasa 8

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Potęgi i pierwiastki — sprawdzian, liceum, klasa 1

Wykładnik całkowity i wymierny, działania na pierwiastkach, suma jednakowych potęg.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, pierwiastki, notacja wykładnicza, błąd względny.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Czy pierwiastki można dodawać?

Można, ale jednym pierwiastkiem da się zapisać tylko sumę pierwiastków podobnych — z tą samą liczbą pod pierwiastkiem i tym samym stopniem: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ . Suma pierwiastków niepodobnych, np. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ , zostaje sumą.

Jak dodać pierwiastki o różnych liczbach pod pierwiastkiem?

Najpierw wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: rozłóż liczbę na iloczyn z kwadratem i wyciągnij go, np. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ . Jeśli wyjdą pierwiastki podobne, dodaj liczby przed nimi: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}$ .

Ile to jest pierwiastek z 2 plus pierwiastek z 2?

$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ — tak jak $x + x = 2x$ . To nie jest $\sqrt{4} = 2$ .

Czy pierwiastek z a plus pierwiastek z b to pierwiastek z (a + b)?

Nie. Przykład: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ , a $\sqrt{9 + 16} = 5$ . Dla dodatnich $a$ i $b$ suma pierwiastków jest zawsze większa, bo $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ . Pierwiastek rozdziela się tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

Jak odejmować pierwiastki?

Tak samo jak dodawać: sprowadź do pierwiastków podobnych i odejmij liczby stojące przed nimi, np. $\sqrt{20} - \sqrt{45} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5}$ . Liczby pod pierwiastkiem się nie odejmuje.

Czy można dodać pierwiastek kwadratowy i sześcienny?

Jednym pierwiastkiem — nie. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , a $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ , więc to różne liczby, mimo że pod pierwiastkiem jest ta sama dwójka. Wynik zostaje w postaci $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ .

Potęgi i pierwiastki — wszystkie tematy

Wzory, działania na potęgach i pierwiastkach oraz liczby niewymierne — cały dział w jednym miejscu.

Potęgi

Pierwiastki

Pierwiastkowanie — wzory
Działania na pierwiastkach
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków (ta strona)
Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Liczby niewymierne

Czytaj dalej

PierwiastkowanieCo to jest pierwiastek, skąd biorą się liczby niewymierne i jak szacować pierwiastek bez kalkulatora.Pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty23 zadania z rozwiązaniami: szacowanie, mnożenie i dzielenie, wyłączanie czynnika.Mnożenie i dzielenie pierwiastkówTu pierwiastek „rozdziela się”: √a · √b = √(ab), liczby przed pierwiastkami i kalkulator.Dodawanie i odejmowanie potęgTa sama pułapka przy potęgach: wzoru na sumę nie ma, są wyrazy podobne i wyłączanie czynnika.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

1Dodaje się tylko pierwiastki podobne

2Liczb pod pierwiastkiem się nie dodaje

3Różne liczby pod pierwiastkiem — wyłącz czynnik

4Kiedy dodać się nie da

5Pierwiastki sześcienne

6W której klasie się to pojawia

7Przykłady krok po kroku

8Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Pierwiastki — kartkówka, klasa 7

Potęgi i pierwiastki — kartkówka, klasa 8

Potęgi i pierwiastki — sprawdzian, liceum, klasa 1

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku