Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Q: Ile to jest pierwiastek z 2 plus pierwiastek z 2?

√2 + √2 = 2√2 ≈ 2,83 — tak jak x + x = 2x. To nie jest √4 = 2.

Q: Czy pierwiastek z a plus pierwiastek z b to pierwiastek z (a + b)?

Nie. Przykład: √9 + √16 = 7, a √(9 + 16) = 5. Dla dodatnich a i b suma pierwiastków jest zawsze większa, bo (√a + √b)² = a + b + 2√(ab). Pierwiastek rozdziela się tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

Q: Czy można dodać pierwiastek kwadratowy i sześcienny?

Jednym pierwiastkiem — nie. √2 ≈ 1,41, a ∛2 ≈ 1,26, więc to różne liczby, mimo że pod pierwiastkiem jest ta sama dwójka. Wynik zostaje w postaci √2 + ∛2.

Pierwiastki dodaje się jak wyrazy podobne: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ , tak samo jak $2x + 3x = 5x$ . Liczb pod pierwiastkiem się nie dodaje — $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ to $7$ , a nie $\sqrt{25} = 5$ . Gdy pod pierwiastkami stoją różne liczby, najpierw wyłącza się czynnik przed znak pierwiastka, a potem sprawdza, czy wyszły pierwiastki podobne.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: klasy 7–8 i liceum

Kalkulator: dodawanie i odejmowanie pierwiastków

W skrócie: jak dodać (albo odjąć) pierwiastki

Ten sam stopień i ta sama liczba pod pierwiastkiem — dodajesz liczby stojące przed pierwiastkiem, pierwiastek zostaje: $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ , $7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{7} + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ .
Różne liczby pod pierwiastkiem — wyłączasz czynnik przed znak pierwiastka i patrzysz, czy wyszły pierwiastki podobne: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
Nie da się sprowadzić do tego samego pierwiastka — suma zostaje sumą: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie upraszcza się dalej ( $\approx 3{,}15$ ).

Nigdy nie dodajesz liczb pod pierwiastkiem: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$ . Pierwiastek „rozdziela się” tylko przy mnożeniu i dzieleniu: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — o tym jest strona o mnożeniu i dzieleniu pierwiastków.

1Dodaje się tylko pierwiastki podobne

Pierwiastki podobne to takie, które mają ten sam stopień i tę samą liczbę pod znakiem pierwiastka — różnią się co najwyżej liczbą stojącą przed nim. Takie pierwiastki dodaje się i odejmuje dokładnie jak wyrazy podobne w algebrze:

\textcolor{#16A06A}{m}\sqrt{a} + \textcolor{#16A06A}{n}\sqrt{a} = (\textcolor{#16A06A}{m} + \textcolor{#16A06A}{n})\sqrt{a}, \qquad \textcolor{#16A06A}{m}\sqrt{a} - \textcolor{#16A06A}{n}\sqrt{a} = (\textcolor{#16A06A}{m} - \textcolor{#16A06A}{n})\sqrt{a}

To nie jest nowa reguła do zapamiętania, tylko rozdzielność mnożenia względem dodawania — ta sama, dzięki której $2x + 3x = 5x$ . Pierwiastek gra tu rolę litery $x$ : można go „wyłączyć przed nawias”.

działanie	jak liczę	wynik
$2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}$	$(2 + 3)\sqrt{5}$	$5\sqrt{5}$
$7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$	$(7 - 4)\sqrt{2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{7} + \sqrt{7}$	$(1 + 1)\sqrt{7}$	$2\sqrt{7}$
$\sqrt{6} - 5\sqrt{6}$	$(1 - 5)\sqrt{6}$	$-4\sqrt{6}$

Pułapka jest w trzecim i czwartym wierszu: przed $\sqrt{7}$ „nic nie stoi”, ale to niewidoczna jedynka — tak jak $x = 1 \cdot x$ . Stąd $\sqrt{7} + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ , a nie $\sqrt{14}$ .

2Liczb pod pierwiastkiem się nie dodaje

Najczęstszy błąd to zapis $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ . Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby go obalić:

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = \textcolor{#E0453A}{7}, \quad \text{ale} \quad \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Rysunek 1.

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

to droga po dwóch bokach, a

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

— na skróty. Suma pierwiastków jest zawsze dłuższa:

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}

, czyli więcej niż

a + b

. Dlatego

\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}

Ten rysunek pokazuje, że to nie przypadek liczb. Suma dwóch pierwiastków jest zawsze większa od pierwiastka z sumy (dla $a, b > 0$ ), bo po podniesieniu do kwadratu zostaje dodatkowy składnik $2\sqrt{ab}$ . Podobnie fałszywe są pozostałe „naturalne” próby:

kuszący zapis	sprawdzenie na liczbach	werdykt
$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$	$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ , a $\sqrt{25} = 5$	fałsz
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$	$\sqrt{25} - \sqrt{9} = 2$ , a $\sqrt{16} = 4$	fałsz
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{4}$	$2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ , a $\sqrt{4} = 2$	fałsz
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$	lewa $\approx 7{,}71$ , prawa $\approx 11{,}18$	fałsz

Wniosek w jednym zdaniu: pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków — „rozdzielać” pierwiastek wolno tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

3Różne liczby pod pierwiastkiem — wyłącz czynnik

Pierwiastki, które na pierwszy rzut oka są różne, często okazują się podobne. Trzeba liczbę pod pierwiastkiem rozłożyć na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej ( $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ ), i wyłączyć go przed znak pierwiastka:

\sqrt{\textcolor{#16A06A}{k^2} \cdot n} = \textcolor{#16A06A}{k}\sqrt{n}, \qquad \text{np.} \quad \sqrt{12} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \textcolor{#16A06A}{2}\sqrt{3}

Po wyłączeniu czynnika z obu składników często wychodzi ten sam pierwiastek — i wtedy dodaje się już jak w sekcji 1:

\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{3}}

Rysunek 2. Po wyłączeniu czynnika oba pierwiastki mierzy się tą samą „jednostką”

\sqrt3

\sqrt{12} = 2\sqrt3

\sqrt{27} = 3\sqrt3

. Dodajemy jak wyrazy podobne (

2x + 3x = 5x

\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt3

, a to jest

\sqrt{75}

, nie

\sqrt{39}

Najczęściej potrzebne rozkłady warto mieć pod ręką. W każdym wierszu wyłączony jest największy kwadrat — wtedy pierwiastek od razu jest w najprostszej postaci:

pierwiastek	rozkład (największy kwadrat)	po wyłączeniu
$\sqrt{8}$	$\sqrt{4 \cdot 2}$	$2\sqrt{2}$
$\sqrt{12}$	$\sqrt{4 \cdot 3}$	$2\sqrt{3}$
$\sqrt{18}$	$\sqrt{9 \cdot 2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{20}$	$\sqrt{4 \cdot 5}$	$2\sqrt{5}$
$\sqrt{24}$	$\sqrt{4 \cdot 6}$	$2\sqrt{6}$
$\sqrt{27}$	$\sqrt{9 \cdot 3}$	$3\sqrt{3}$
$\sqrt{28}$	$\sqrt{4 \cdot 7}$	$2\sqrt{7}$
$\sqrt{32}$	$\sqrt{16 \cdot 2}$	$4\sqrt{2}$
$\sqrt{45}$	$\sqrt{9 \cdot 5}$	$3\sqrt{5}$
$\sqrt{48}$	$\sqrt{16 \cdot 3}$	$4\sqrt{3}$
$\sqrt{50}$	$\sqrt{25 \cdot 2}$	$5\sqrt{2}$
$\sqrt{72}$	$\sqrt{36 \cdot 2}$	$6\sqrt{2}$
$\sqrt{75}$	$\sqrt{25 \cdot 3}$	$5\sqrt{3}$
$\sqrt{98}$	$\sqrt{49 \cdot 2}$	$7\sqrt{2}$

Szukaj największego kwadratu

$\sqrt{72}$ można rozłożyć jako $\sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ — ale $18$ wciąż ma czynnik $9$ , więc trzeba wyłączać dalej: $2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ . Krócej od razu: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ . Wynik jest ten sam, różni się tylko liczba kroków.

4Kiedy dodać się nie da

Jeśli po wyłączeniu czynników pod pierwiastkami zostają różne liczby, sumy nie da się zapisać jednym pierwiastkiem. Wynik zostaje wtedy w postaci sumy — i to jest poprawna, pełna odpowiedź, nie niedokończone zadanie:

wyrażenie	co da się zrobić	odpowiedź
$\sqrt{2} + \sqrt{3}$	nic — $2$ i $3$ nie mają czynnika kwadratowego	$\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15$
$3\sqrt{2} + 5 - \sqrt{2}$	połączyć tylko pierwiastki podobne	$2\sqrt{2} + 5$
$\sqrt{8} + \sqrt{3}$	uprościć pierwszy: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$	$2\sqrt{2} + \sqrt{3}$
$2 + \sqrt{3}$	nic — liczba i pierwiastek to nie wyrazy podobne	$2 + \sqrt{3}$ , nie $2\sqrt{3}$

Przybliżenie dziesiętne podaje się tylko wtedy, gdy zadanie o nie prosi — zapis z pierwiastkiem jest dokładny, a $3{,}15$ już nie.

5Pierwiastki sześcienne

Dla pierwiastków trzeciego stopnia wszystko działa tak samo, tylko przed znak pierwiastka wyłącza się sześciany ( $8, 27, 64, 125$ ), a nie kwadraty:

\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} + \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt[3]{2}}

Podobne muszą być oba: stopień i liczba pod pierwiastkiem. Dlatego $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ nie upraszcza się — to dwie różne liczby ( $\approx 1{,}41$ i $\approx 1{,}26$ ), mimo że pod pierwiastkiem stoi ta sama dwójka.

Wszystkie działania na pierwiastkach — także mnożenie i dzielenie — są zebrane na jednej kartce w ściądze z działań na potęgach i pierwiastkach.

6W której klasie się to pojawia

Pierwiastki wchodzą w klasie VII. Dział II podstawy programowej dla klas VII–VIII („Pierwiastki”) ma pięć punktów. Dla dodawania najważniejsze są dwa z nich — punkt 4: „oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka”, oraz punkt 2: „szacuje wielkość danego pierwiastka kwadratowego lub sześciennego oraz wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki”.

Dodawania pierwiastków ta lista nie wymienia osobnym punktem — sprawdziłem wszystkie pięć. Wprost jest tylko punkt 5: „mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia”. Dodawanie pojawia się mimo to w zadaniach, bo składa się z dwóch umiejętności, które w podstawie są: wyłączania czynnika przed znak pierwiastka i redukcji wyrazów podobnych z algebry.

Na egzaminie ósmoklasisty pierwiastki sprawdza się głównie przez szacowanie i przez pułapkę z pierwiastkiem z sumy — zadania z rozwiązaniami są na stronie pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty. W liceum działania na pierwiastkach wracają przy wyrażeniach algebraicznych i przy pierwiastku jako potędze o wykładniku ułamkowym — tak jak na stronie o potęgowaniu i pierwiastkowaniu.

7Przykłady krok po kroku

Pięć przykładów od najprostszego: najpierw jeden pierwiastek do uproszczenia, potem trzy i na końcu liczby przed pierwiastkami. W każdym na końcu jest kontrola na przybliżeniach — da się ją zrobić zawsze.

Przykład $1$ Jeden pierwiastek do uproszczenia

Oblicz $\sqrt{8} + \sqrt{2}$ .

Pod pierwiastkami są różne liczby, więc sprawdzam, czy któryś da się uprościć. $8 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot 2$ , a $4$ jest kwadratem.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ .
Teraz oba pierwiastki są podobne: $2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2 + 1)\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt{2}}$ .
Kontrola: $\sqrt{8} + \sqrt{2} \approx 2{,}83 + 1{,}41 = 4{,}24$ i $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ ✓

Odpowiedź: $\sqrt{8} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Zwróć uwagę na niewidoczną jedynkę przed $\sqrt{2}$ w trzecim kroku — bez niej wychodzi $2\sqrt{2}$ i o jeden $\sqrt{2}$ za mało.

Przykład $2$ Odejmowanie z wynikiem ujemnym

Oblicz $\sqrt{20} - \sqrt{45}$ .

$20 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5$ , więc $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
$45 = \textcolor{#16A06A}{9} \cdot 5$ , więc $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ .
$2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (2 - 3)\sqrt{5} = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt{5}}$ .
Kontrola: $\sqrt{20} - \sqrt{45} \approx 4{,}47 - 6{,}71 = -2{,}24$ i $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ ✓

Odpowiedź: $\sqrt{20} - \sqrt{45} = -\sqrt{5}$

Wynik ujemny jest tu w porządku: odejmujemy większą liczbę od mniejszej. Minus stoi przed pierwiastkiem, nie pod nim.

Przykład $3$ Trzy pierwiastki, ten sam wynik uproszczenia

Oblicz $\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{48}$ .

Szukam największych kwadratów: $75 = 25 \cdot 3$ , $12 = 4 \cdot 3$ , $48 = 16 \cdot 3$ .
$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ , $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .
$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (5 + 2 - 4)\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt{3}}$ .
Kontrola: $8{,}66 + 3{,}46 - 6{,}93 = 5{,}19$ i $3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ ✓ (różnica to tylko zaokrąglenia)

Odpowiedź: $\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{48} = 3\sqrt{3}$

Gdyby rozłożyć $48$ jako $4 \cdot 12$ , wyszłoby $2\sqrt{12}$ — i trzeba by wyłączać drugi raz. Największy kwadrat oszczędza krok.

Przykład $4$ Jeden składnik już jest prosty

Oblicz $\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$ .

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ , a $\sqrt{2}$ zostaje.
$5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = (5 - 4 + 1)\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt{2}}$ .
Kontrola: $7{,}07 - 5{,}66 + 1{,}41 = 2{,}82$ i $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ ✓

Odpowiedź: $\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Kolejność działań zwykła: dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej, czyli $5 - 4 + 1 = 2$ , a nie $5 - (4 + 1) = 0$ .

Przykład $5$ Liczby przed pierwiastkami

Oblicz $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - \sqrt{72}$ .

Upraszczam same pierwiastki: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .
Mnożę przez liczby, które stały przed nimi: $2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ , $3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .
$6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt{2}}$ .
Kontrola: $2 \cdot 4{,}24 + 3 \cdot 2{,}83 - 8{,}49 = 8{,}48$ i $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ ✓

Odpowiedź: $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Liczba przed pierwiastkiem mnoży się z liczbą wyłączoną spod pierwiastka — $2\sqrt{18}$ to $2 \cdot 3\sqrt{2}$ , a nie $5\sqrt{2}$ .

8Najczęstsze błędy

Dodawanie liczb pod pierwiastkiem.

Skąd się bierze: Pierwiastek „rozdziela się” przy mnożeniu ( $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ ) i ta własność bywa przenoszona na dodawanie.

Jak zrobić dobrze: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{\sqrt{25} = 5}$ . Suma pierwiastków jest zawsze większa od pierwiastka z sumy.

Dodawanie także liczb pod pierwiastkiem przy pierwiastkach podobnych.

Skąd się bierze: Skoro liczby przed pierwiastkiem się dodaje, ręka dodaje też to, co pod nim.

Jak zrobić dobrze: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ , nie $\textcolor{#9b1c14}{5\sqrt{6}}$ — tak jak $2x + 3x = 5x$ , a nie $5x^2$ czy $5 \cdot 2x$ . Pierwiastek przepisuje się bez zmian.

Zatrzymanie się w połowie wyłączania.

Skąd się bierze: Pierwszy znaleziony kwadrat nie musi być największy — $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ wygląda na gotowe.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy pod pierwiastkiem nie został jeszcze czynnik $4, 9, 16…$ . Tu $18 = 9 \cdot 2$ , więc $2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$ . Bez tego $2\sqrt{18}$ i $\sqrt{2}$ wyglądają na niepodobne, choć są.

Łączenie liczby z pierwiastkiem.

Skąd się bierze: Zapis $2 + \sqrt{3}$ wygląda na niedokończony i kusi, żeby go „skleić”.

Jak zrobić dobrze: $2 + \sqrt{3}$ to już wynik ( $\approx 3{,}73$ ). Zapis $\textcolor{#9b1c14}{2\sqrt{3}}$ oznacza iloczyn i wynosi $\approx 3{,}46$ — inna liczba.

Dodawanie pierwiastków różnych stopni.

Skąd się bierze: Pod pierwiastkiem stoi ta sama liczba, więc $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ wygląda jak wyrazy podobne.

Jak zrobić dobrze: Podobne muszą mieć i tę samą liczbę, i ten sam stopień. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ — to dwie różne liczby i suma zostaje sumą.

9Pytania i odpowiedzi

Czy pierwiastki można dodawać?

Można, ale jednym pierwiastkiem da się zapisać tylko sumę pierwiastków podobnych — z tą samą liczbą pod pierwiastkiem i tym samym stopniem: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ . Suma pierwiastków niepodobnych, np. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ , zostaje sumą.

Jak dodać pierwiastki o różnych liczbach pod pierwiastkiem?

Najpierw wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: rozłóż liczbę na iloczyn z kwadratem i wyciągnij go, np. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ . Jeśli wyjdą pierwiastki podobne, dodaj liczby przed nimi: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}$ .

Ile to jest pierwiastek z 2 plus pierwiastek z 2?

$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ — tak jak $x + x = 2x$ . To nie jest $\sqrt{4} = 2$ .

Czy pierwiastek z a plus pierwiastek z b to pierwiastek z (a + b)?

Nie. Przykład: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ , a $\sqrt{9 + 16} = 5$ . Dla dodatnich $a$ i $b$ suma pierwiastków jest zawsze większa, bo $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ . Pierwiastek rozdziela się tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

Jak odejmować pierwiastki?

Tak samo jak dodawać: sprowadź do pierwiastków podobnych i odejmij liczby stojące przed nimi, np. $\sqrt{20} - \sqrt{45} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5}$ . Liczby pod pierwiastkiem się nie odejmuje.

Czy można dodać pierwiastek kwadratowy i sześcienny?

Jednym pierwiastkiem — nie. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , a $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ , więc to różne liczby, mimo że pod pierwiastkiem jest ta sama dwójka. Wynik zostaje w postaci $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ .

Czytaj dalej

PierwiastkowanieCo to jest pierwiastek, skąd biorą się liczby niewymierne i jak szacować pierwiastek bez kalkulatora.Pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty23 zadania z rozwiązaniami: szacowanie, mnożenie i dzielenie, wyłączanie czynnika.Mnożenie i dzielenie pierwiastkówTu pierwiastek „rozdziela się”: √a · √b = √(ab), liczby przed pierwiastkami i kalkulator.Dodawanie i odejmowanie potęgTa sama pułapka przy potęgach: wzoru na sumę nie ma, są wyrazy podobne i wyłączanie czynnika.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.