Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Pierwiastki tego samego stopnia mnoży się i dzieli „pod jednym dachem”: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ i $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$. Liczby stojące przed pierwiastkami mnoży się osobno, liczby pod pierwiastkami — osobno. To zupełnie inaczej niż przy dodawaniu pierwiastków, gdzie pod pierwiastek niczego wciągać nie wolno.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: klasy 7–8 i liceum

Wyłącz kolory

1Wzory na mnożenie i dzielenie

Dla liczb nieujemnych $a$ i $b$ (przy dzieleniu $b$ musi być dodatnie) zachodzą dwa wzory:

Działają w obie strony. Czytane od lewej pozwalają połączyć dwa pierwiastki w jeden; czytane od prawej — rozbić pierwiastek z iloczynu na dwa, co robi się przy wyłączaniu czynnika ($\sqrt{12} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$).

Skąd wiadomo, że to prawda? Z definicji: $\sqrt{a}$ to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje $a$. A $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$ — więc $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ jest właśnie pierwiastkiem z $ab$. Widać to też w polach:

2Gdy pierwiastek „znika”

Najwygodniejsze są przykłady, w których pod wspólnym pierwiastkiem wychodzi kwadrat liczby naturalnej — wtedy wynik jest liczbą bez pierwiastka. Zadania często są układane właśnie tak:

Osobno żaden z tych pierwiastków nie jest liczbą całkowitą ($\sqrt{3} \approx 1{,}73$, $\sqrt{12} \approx 3{,}46$), a iloczyn — jest. Liczenie na przybliżeniach dałoby tu $5{,}99$ zamiast $6$; dlatego najpierw łączy się pierwiastki, a dopiero potem liczy.

3Liczby przed pierwiastkami

Liczba przed pierwiastkiem jest z nim pomnożona ($3\sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2}$), a mnożenie można przestawiać. Dlatego przy mnożeniu mnoży się liczby przed pierwiastkami przez siebie i liczby pod pierwiastkami przez siebie:

Przy dzieleniu — tak samo, tylko dzieli się:

4Uprość wynik

Po połączeniu pierwiastków pod znakiem często stoi liczba, z której da się wyłączyć czynnik. Odpowiedź w zadaniu podaje się w najprostszej postaci, więc ten krok jest częścią rozwiązania:

Czasem wygodniej upraszczać przed mnożeniem — wynik będzie ten sam, a liczby mniejsze: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{27} = 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{6}$ zamiast szukać czynnika w $\sqrt{216}$ ($216 = 36 \cdot 6$, więc też $6\sqrt{6}$). Jak wyłączać czynnik krok po kroku, pokazuję przy dodawaniu pierwiastków — tam jest też tabela najczęstszych rozkładów.

5Pierwiastek razy on sam

Szczególny przypadek mnożenia: gdy mnożymy pierwiastek przez ten sam pierwiastek, pod znakiem wychodzi kwadrat i pierwiastek znika. Dla $a \geq 0$:

Z liczbą przed pierwiastkiem trzeba podnieść do kwadratu obie części: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$, a $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Częsty skrót myślowy „kwadrat zjada pierwiastek” gubi tę czwórkę i daje $6$ zamiast $12$.

6Pierwiastki sześcienne

Dla pierwiastków trzeciego stopnia wzory są te same — wystarczy, że oba pierwiastki mają stopień $3$:

Pierwiastek sześcienny „znika”, gdy pod znakiem wyjdzie sześcian liczby: $8 = 2^3$, $27 = 3^3$, $64 = 4^3$, $125 = 5^3$. I odwrotnie: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a$ — trzeba trzech czynników, nie dwóch.

7Różne stopnie

Wzór $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ łączy tylko pierwiastki tego samego stopnia. Iloczyn $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ nie jest ani $\sqrt{4}$, ani $\sqrt[3]{4}$: $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} \approx 1{,}41 \cdot 1{,}26 \approx 1{,}78$, a $\sqrt{4} = 2$ i $\sqrt[3]{4} \approx 1{,}59$.

W szkole podstawowej takie iloczyny po prostu zostawia się bez zmian. W liceum da się je połączyć, zapisując pierwiastki jako potęgi o wykładnikach ułamkowych: $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}$ — jak to działa, pokazuję na stronie o potęgowaniu i pierwiastkowaniu.

Dodawanie i odejmowanie rządzi się zupełnie innymi prawami — tam pierwiastki trzeba najpierw sprowadzić do podobnych: dodawanie i odejmowanie pierwiastków.

8W której klasie się to pojawia

Mnożenie i dzielenie pierwiastków to materiał klasy VII, zapisany w podstawie programowej wprost. Dział II („Pierwiastki”) podstawy dla klas VII–VIII ma dwa punkty dokładnie o tym: punkt 4 — „oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka” — i punkt 5 — „mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia”.

Zwróć uwagę na słowa „tego samego stopnia” w punkcie 5: dokładnie ten warunek, o którym jest sekcja 7. Zadania z pierwiastkami z egzaminu ósmoklasisty, w tym na mnożenie i dzielenie, są rozwiązane na stronie pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty.

9Przykłady krok po kroku

Pięć przykładów: dwa z „znikającym” pierwiastkiem, dwa z liczbami przed pierwiastkami i jeden mieszany. Na końcu każdego — kontrola na przybliżeniach.

10Najczęstsze błędy

11Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.