Strona główna › Pierwiastki › Działania na pierwiastkach

Działania na pierwiastkach — wszystkie zasady i kalkulator krok po kroku

Jedna tabela ze wszystkimi regułami: co wolno dodać, co pomnożyć, jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka i czego nie wolno robić nigdy. Pod tabelą narzędzie, które upraszcza dowolne wyrażenie z pierwiastkami i pokazuje każdy krok — od 23+122\sqrt{3} + \sqrt{12} po (25)2−20⋅5(2\sqrt{5})^2 - \sqrt{20} \cdot \sqrt{5}. Szczegóły każdego działania są na osobnych stronach: dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie pierwiastków.

Dział: PierwiastkiPoziom: klasa 8 · liceum

1Wszystkie zasady w jednej tabeli

Wszędzie niżej a,b≥0a, b \ge 0 (pod pierwiastkiem kwadratowym nie może stać liczba ujemna), a kk to liczba, która „wychodzi” przed pierwiastek. Reguły dla pierwiastka sześciennego  3\sqrt[3]{\ } są takie same, tylko zamiast kwadratu liczby szukamy jej sześcianu.

działanieregułaprzykładuwaga
dodawanie i odejmowanieac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}57−27=375\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7}tylko pierwiastki podobne — ten sam stopień i ta sama liczba pod pierwiastkiem
mnożeniea⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}8⋅2=16=4\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4liczby przed razy przed, pod razy pod: 32⋅28=616=243\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{8} = 6\sqrt{16} = 24
dzieleniea:b=a:b\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}50:2=25=5\sqrt{50} : \sqrt{2} = \sqrt{25} = 5ten sam stopień; b≠0b \ne 0
wyłączanie czynnikak2⋅r=kr\sqrt{k^2 \cdot r} = k\sqrt{r}12=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}szukasz największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem
włączanie czynnikakr=k2⋅rk\sqrt{r} = \sqrt{k^2 \cdot r}32=183\sqrt{2} = \sqrt{18}odwrotność wyłączania — przydaje się do porównywania: 32<203\sqrt{2} < \sqrt{20}, bo 18<2018 < 20
pierwiastek z ułamkaab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}94=32\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}gdy mianownik nie jest kwadratem, rozszerz: 35=155\sqrt{\dfrac{3}{5}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}
potęga pierwiastka(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a(25)2=4⋅5=20(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20do kwadratu idzie też liczba przed pierwiastkiem
pierwiastek z kwadratua2=a\sqrt{a^2} = a dla a≥0a \ge 072=7\sqrt{7^2} = 7dla liczby ujemnej (−7)2=7\sqrt{(-7)^2} = 7, nie −7-7
stopień trzecia3⋅b3=ab3\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}, k3r3=kr3\sqrt[3]{k^3 r} = k\sqrt[3]{r}163⋅43=643=4\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{64} = 4z liczby ujemnej wolno: −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2
czego nie wolnoa+b≠a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a + b}9+16=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7, a 25=5\sqrt{25} = 5pierwiastek nie „rozdziela się” na składniki sumy; nie łączy się też 2⋅23\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} w jeden pierwiastek bez potęg ułamkowych

Jedno pytanie, które porządkuje wszystko

Zanim cokolwiek policzysz, zapytaj: to samo pod pierwiastkiem czy nie? Jeśli to samo — wolno dodawać i odejmować (liczysz liczby przed pierwiastkiem). Jeśli nie — spróbuj wyłączyć czynnik; często po wyłączeniu okazuje się, że jednak to samo: 12+27=23+33=53\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. Mnożyć i dzielić wolno zawsze, byle stopień był ten sam.

Działania na pierwiastkach z przykładami: dodawanie 5√7 − 2√7 = 3√7, mnożenie √8 · √2 = 4, dzielenie √50 : √2 = 5, wyłączanie i włączanie czynnika, potęga (2√5)² = 20
Sześć działań na pierwiastkach, każde z przykładem.

2Kalkulator: uprość wyrażenie z pierwiastkami

Wpisz wyrażenie tak, jak stoi w zadaniu. Narzędzie wyłącza czynniki, mnoży i dzieli pod jednym pierwiastkiem, redukuje wyrazy podobne i zapisuje każdy krok tak, jak powinien wyglądać w zeszycie. Wynik podaje dokładnie (z pierwiastkiem) i w przybliżeniu.

Działania na pierwiastkach online — uprość wyrażenie krok po kroku

przykłady:

Ćwiczenie: wyłącz czynnik przed znak pierwiastka

Działania na pierwiastkach: czy pod pierwiastkami stoi ta sama liczba; √12 + √27 = 5√3 i błąd √9 + √16 ≠ √25
Przed dodawaniem pierwiastków sprawdź, czy pod znakiem stoi ta sama liczba.

3Kolejność działań, gdy są pierwiastki

Pierwiastek liczy się jak potęgę: przed mnożeniem i dodawaniem, a to, co stoi pod pierwiastkiem, traktuje się jak nawias — najpierw liczy się całość pod znakiem, dopiero potem pierwiastek. Reszta jak zawsze: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie od lewej, dodawanie i odejmowanie od lewej (więcej na stronie o kolejności wykonywania działań).

Przykład 1. Pod pierwiastkiem jak w nawiasie

16+9=25=5a nie: 16+9=4+3=7\begin{gathered} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \text{a nie: } \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{gathered}

Najpierw suma pod znakiem, potem pierwiastek. Ten przykład to cała różnica między a+b\sqrt{a + b} a a+b\sqrt{a} + \sqrt{b}.

Przykład 2. Mnożenie przed odejmowaniem

23⋅12−4=236−4=2⋅6−4=82\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - 4 = 2\sqrt{36} - 4 = 2 \cdot 6 - 4 = 8

Iloczyn 3⋅12\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} idzie pod jeden pierwiastek, dopiero potem odejmujemy.

Przykład 3. Nawiasy z pierwiastkami — każdy wyraz przez każdy

(5+1)(5−1)=5⋅5−5+5−1=5−1=4\begin{gathered} (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 \\ = 5 - 1 = 4 \end{gathered}

Środkowe wyrazy się znoszą — to wzór (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 z a=5a = \sqrt{5}. W ósmej klasie wystarczy pomnożyć „każdy przez każdy”.

4W której klasie i co na egzaminie

Wszystkie reguły z tabeli są w podstawie programowej dla klas VII–VIII, dział „Pierwiastki”: uczeń „oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka” oraz „mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia”. Dodawanie pierwiastków podobnych nie ma osobnego punktu — wynika z redukcji wyrazów podobnych (dział „Wyrażenia algebraiczne”). Na egzaminie ósmoklasisty pierwiastki pojawiają się w zadaniach zamkniętych (która liczba jest większa, prawda/fałsz o wyniku działania) i w geometrii, gdy z twierdzenia Pitagorasa wychodzi 50=52\sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

Liceum (zakres podstawowy) dokłada dwie rzeczy: uczeń „stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych” i „stosuje prawa działań na potęgach i pierwiastkach” — czyli zapis an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} oraz usuwanie niewymierności z mianownika (12=22\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}). Tych dwóch rzeczy kalkulator wyżej celowo nie robi — gdy o nie poprosisz, napisze dlaczego.

5Najczęstsze błędy

1. Dodawanie liczb pod pierwiastkiem

2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} zapisane jako 5\sqrt{5}. Sprawdzenie na kalkulatorze: 1,41+1,73=3,141{,}41 + 1{,}73 = 3{,}14, a 5≈2,24\sqrt{5} \approx 2{,}24. Pierwiastki o różnych liczbach pod znakiem zostają obok siebie — jak 2x+3y2x + 3y.

2. Niedokończone wyłączanie

72=218\sqrt{72} = 2\sqrt{18} jest prawdą, ale to nie koniec: 18=9⋅218 = 9 \cdot 2, więc 72=62\sqrt{72} = 6\sqrt{2}. Szukaj od razu największego kwadratu (3636), albo wyłączaj do skutku, aż pod pierwiastkiem nie zostanie żaden kwadrat.

3. Kwadrat tylko pierwiastka

(25)2=2⋅5=10(2\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 5 = 10 — błąd. Do kwadratu podnosi się cały iloczyn: (25)2=22⋅(5)2=4⋅5=20(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20.

4. Mnożenie „przed przez pod”

32⋅2=63\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} — trójka „wpadła” pod pierwiastek bez podniesienia do kwadratu. Poprawnie: liczba przed zostaje przed, pod mnożymy pod: 3⋅2⋅2=3⋅2=63 \cdot \sqrt{2 \cdot 2} = 3 \cdot 2 = 6.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, pierwiastki, notacja wykładnicza, błąd względny.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne, matura — 11 kart PDF

Karty pracy · sklep

Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne, matura — 11 kart PDF

11 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, rozkład na czynniki, niewymierność z…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

6Pytania i odpowiedzi

Jak dodawać pierwiastki?

Tylko wtedy, gdy pod pierwiastkami stoi ta sama liczba (i stopień jest ten sam): dodajesz liczby przed pierwiastkiem, 57−27=375\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7}. Gdy liczby pod znakiem są różne, najpierw spróbuj wyłączyć czynnik: 12+27=23+33=53\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. Jeśli i po tym są różne — sumy nie da się uprościć.

Jak mnożyć pierwiastki?

Pierwiastki tego samego stopnia mnoży się pod jednym znakiem: a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, np. 8⋅2=16=4\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4. Gdy przed pierwiastkami są liczby, mnożysz je osobno: 32⋅28=616=243\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{8} = 6\sqrt{16} = 24. Na końcu sprawdź, czy z wyniku da się wyłączyć czynnik.

Czy √a + √b to √(a + b)?

Nie. 9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7, a 9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. Pierwiastek „rozdziela się” tylko na iloczyn i iloraz, nigdy na sumę ani różnicę.

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na największy kwadrat razy reszta i wyciągnij pierwiastek z kwadratu: 72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}. Jeśli weźmiesz mniejszy kwadrat (72=218\sqrt{72} = 2\sqrt{18}), wyłączaj dalej, aż pod znakiem nie zostanie żaden kwadrat. Kalkulator na tej stronie robi to za jednym razem i pokazuje rozkład.

Czy można mnożyć pierwiastek kwadratowy przez sześcienny?

Pod jeden znak pierwiastka — nie: 2⋅23\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} nie jest ani 4\sqrt{4}, ani 43\sqrt[3]{4}. W szkole podstawowej taki iloczyn zostawia się w tej postaci; w liceum zapisuje się go potęgami o wykładnikach ułamkowych: 212⋅213=2562^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}}.

Czytaj dalej

Dodawanie i odejmowanie pierwiastkówTylko pierwiastki podobne, różne liczby pod pierwiastkiem — wyłącz czynnik. Dlaczego √a + √b ≠ √(a + b), przykłady i kalkulator.Mnożenie i dzielenie pierwiastków√a · √b = √(ab), liczby przed razy przed, pod razy pod, upraszczanie wyniku, pierwiastki sześcienne i różne stopnie.Pierwiastkowanie od zeraCzym jest pierwiastek, jak go liczyć i szacować — wyjaśnienie od zera i osobne zestawy zadań dla ósmoklasisty i do matury.Wzory na potęgiMnożenie, dzielenie, potęga potęgi, iloczynu i ilorazu, potęga zerowa i ujemna — w tabeli z przykładami i pułapkami.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-28. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22