Strona główna › Liczby i działania › Usuwanie niewymierności z mianownika
Usuwanie niewymierności z mianownika
Usuwanie niewymierności z mianownika to przekształcenie ułamka tak, aby w mianowniku nie było pierwiastka. Mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, np. 1√2 = √22.
Krótko: Dla a√b mnożymy licznik i mianownik przez √b: a√b = a√bb. Dla a√b + √c mnożymy przez √b − √c, bo (√b + √c)(√b − √c) = b − c.
1Typ 1: w mianowniku jest jeden pierwiastek
Mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, który stoi w mianowniku. Ponieważ √b · √b = b, pierwiastek znika z mianownika, a wartość ułamka się nie zmienia (mnożymy przez √b√b = 1).
2Typ 2: w mianowniku jest suma lub różnica pierwiastków
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a + b)(a − b) = a² − b². Mnożymy licznik i mianownik przez „sprzężenie” mianownika — to samo wyrażenie ze zmienionym znakiem pośrodku. Z mianownika √b + √c robimy wtedy zwykłą liczbę b − c.
3Kiedy nie trzeba
Jeśli w mianowniku jest liczba wymierna (np. √22), niewymierności nie ma. Zadania zwykle żądają, by wynik był w postaci bez pierwiastka w mianowniku i maksymalnie skrócony.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Jeden pierwiastek
Usuń niewymierność z mianownika: 6√3.
- Mnożę licznik i mianownik przez √3: 6√3√3 · √3 = 6√33.
- Skracam przez 3: 2√3.
Odpowiedź: 2√3
Przykład 2 Liczba przed pierwiastkiem
Usuń niewymierność z mianownika: 52√5.
- Mnożę przez √5: 5√52√5 · √5 = 5√52 · 5 = 5√510.
- Skracam przez 5: √52.
Odpowiedź: √52
Przykład 3 Różnica pierwiastków
Usuń niewymierność z mianownika: 1√3 − 1.
- Mnożę licznik i mianownik przez sprzężenie √3 + 1.
- Mianownik: (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2.
- Licznik: 1 · (√3 + 1) = √3 + 1.
Odpowiedź: √3 + 12
5Najczęstsze błędy
Mnożenie tylko mianownika
Skąd się bierze: Wydaje się, że wystarczy „pozbyć się” pierwiastka z dołu.
Jak zrobić dobrze: Mnożysz licznik i mianownik przez ten sam czynnik — inaczej zmienisz wartość ułamka.
Zły znak w sprzężeniu
Skąd się bierze: Przy mianowniku √3 − 1 mnożymy przez √3 − 1 zamiast √3 + 1.
Jak zrobić dobrze: Sprzężenie ma przeciwny znak pośrodku: dla √3 − 1 jest to √3 + 1.
Brak skrócenia wyniku
Skąd się bierze: Zatrzymanie się na 6√33.
Jak zrobić dobrze: Po usunięciu niewymierności skróć ułamek: 6√33 = 2√3.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Ile wynosi 4√2 po usunięciu niewymierności z mianownika?
4√22 = 2√2.
2. Ile wynosi 3√3?
3√33 = √3.
3. Przez co mnożymy licznik i mianownik ułamka 1√7?
Przez √7, bo √7 · √7 = 7.
4. Ile wynosi 1√2 − 1?
Mnożymy przez √2 + 1: mianownik 2 − 1 = 1, więc wynik √2 + 1.
5. Ile wynosi 2√5 + 1?
Mnożymy przez √5 − 1: mianownik 5 − 1 = 4, licznik 2(√5 − 1), po skróceniu √5 − 12.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Liczby, procenty, równania” (klasa 8), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Dlaczego usuwa się niewymierność z mianownika?
Dzięki temu wynik jest w ujednoliconej postaci, łatwiej porównywać liczby i wykonywać dalsze działania. Tego wymagają też polecenia w zadaniach.
Jak usunąć niewymierność, gdy w mianowniku jest suma pierwiastków?
Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie (ten sam zapis ze zmienionym znakiem). Wtedy mianownik staje się liczbą wymierną dzięki wzorowi a² − b².
Czy mnożenie licznika i mianownika zmienia wartość ułamka?
Nie, jeśli mnożysz przez tę samą liczbę różną od zera, bo mnożysz ułamek przez 1.
Czy zawsze trzeba usuwać niewymierność z mianownika?
Tylko gdy polecenie tego wymaga albo gdy upraszcza dalsze rachunki. Matematycznie ułamki z pierwiastkiem w mianowniku też są poprawne.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
