Strona główna › Liczby i działania › Pierwiastek z 3
Pierwiastek z 3
Pierwiastek z 3 to liczba, która pomnożona przez siebie daje 3. Wynosi w przybliżeniu √3 ≈ 1,732 i jest liczbą niewymierną — jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy.
Krótko: √3 ≈ 1,7320508…, a √3 · √3 = 3. To liczba niewymierna: nie da się jej zapisać ułamkiem zwykłym.
1Ile wynosi pierwiastek z 3
Sprawdzenie na kalkulatorze: 1,732² = 2,999824, czyli prawie 3. Dokładnie nie da się go zapisać dziesiętnie, dlatego w zadaniach zostawia się symbol √3 albo podaje przybliżenie.
Bez kalkulatora oszacujesz go tak: 1,7² = 2,89, a 1,8² = 3,24. Skoro 2,89 < 3 < 3,24, to 1,7 < √3 < 1,8.
2Gdzie występuje pierwiastek z 3
- wysokość trójkąta równobocznego o boku a: h = a√32,
- przekątna sześcianu o krawędzi a: d = a√3,
- boki trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° mają się jak 1 : √3 : 2,
- tangens kąta 60°: tg 60° = √3.
3Działania z pierwiastkiem z 3
| działanie | wynik |
|---|---|
| √3 · √3 | 3 |
| 2√3 + 5√3 | 7√3 |
| √3 · √12 = √36 | 6 |
| √27 = √9 · 3 | 3√3 |
| √48 = √16 · 3 | 4√3 |
Pierwiastki z liczbami podpierwiastkowymi 3, 12, 27 i 48 można dodawać i odejmować, gdy sprowadzisz je do postaci k√3.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Wysokość trójkąta równobocznego
Bok trójkąta równobocznego ma 6 cm. Oblicz wysokość.
- h = a√32 = 6√32 = 3√3.
- 3√3 ≈ 3 · 1,732 = 5,20 cm.
Odpowiedź: h = 3√3 cm ≈ 5,20 cm
Przykład 2 Suma pierwiastków
Oblicz √27 + √12.
- √27 = 3√3, a √12 = 2√3.
- 3√3 + 2√3 = 5√3.
Odpowiedź: 5√3
Przykład 3 Przybliżenie
Oszacuj wartość 4√3.
- √3 ≈ 1,732.
- 4 · 1,732 = 6,928 ≈ 6,93.
Odpowiedź: około 6,93
5Najczęstsze błędy
√3 = 1,5
Skąd się bierze: Połowa z trzech — dzielenie przez 2 zamiast szukania liczby podnoszonej do kwadratu.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź: 1,5² = 2,25, a nie 3. Szukana liczba to około 1,73.
√3 + √3 = √6
Skąd się bierze: Dodawanie liczb pod pierwiastkiem.
Jak zrobić dobrze: √3 + √3 = 2√3 ≈ 3,46. Pod pierwiastkiem dodaje się tylko wtedy, gdy mnożysz: √3 · √3 = 3.
Zaokrąglanie za wcześnie
Skąd się bierze: Wpisanie 1,7 w połowie rachunku.
Jak zrobić dobrze: Zostaw √3 do końca albo użyj co najmniej 1,732.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Ile wynosi w przybliżeniu √3?
1,73² ≈ 2,99.
2. Ile wynosi √3 · √3?
Iloczyn pierwiastka z samym sobą to liczba pod pierwiastkiem.
3. Zapisz √27 w prostszej postaci.
√27 = √9 · 3 = 3√3.
4. Czy √3 jest liczbą wymierną?
Nie. √3 jest niewymierny.
5. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 2 wynosi:
h = 2√32 = √3.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Ile wynosi pierwiastek z 3?
Około 1,732 (dokładniej 1,7320508…).
Czy pierwiastek z 3 jest liczbą wymierną?
Nie, jest niewymierny: nie da się go zapisać jako ułamka liczb całkowitych.
Jak policzyć pierwiastek z 3 bez kalkulatora?
Oszacuj: 1,7² = 2,89, a 1,8² = 3,24, więc wynik leży między 1,7 a 1,8; zawężaj przedział, sprawdzając kolejne setne.
Gdzie pojawia się pierwiastek z 3 w geometrii?
W wysokości trójkąta równobocznego, w przekątnej sześcianu i w bokach trójkąta 30°-60°-90°.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
